3.3　函数的应用（一）课件-2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第一册

该高中数学课件聚焦函数的应用，涵盖一次、二次、分段及对勾函数模型，通过汽车销售公司销量情境导入，引导学生从实际数据出发，经历“问题转化—模型建立—求解验证”的过程，搭建从函数概念到实际应用的学习支架。 其亮点在于以真实情境驱动数学建模，典型例题如报刊亭利润、渔场增长量等覆盖多种函数类型，通性通法总结强化数学思维与运算能力。采用“情境—问题—模型—应用”教学方法，助力学生提升用数学解决实际问题的能力，也为教师提供系统的教学资源与思路。

3.3　函数的应用（一） 新课程标准解读 核心素养 1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律 的重要数学语言和工具 数学建模、数学 运算 2.在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实 问题的变化规律 数学建模、数学 运算 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 　　随着经济和社会的发展，汽车已逐步成为人们外出的代步工具.下 面是某地一汽车销售公司对近三年的汽车销售量的统计表： 年份 2021 2022 2023 销量/万辆 8 18 30 　　结合以上三年的销量及人们生活的需要，2024年初，该汽车销售 公司的经理提出全年预售43万辆汽车的目标…… 目录 数学·必修第一册（B版） 【问题】　（1）在实际生产生活中，对已收集到的样本数据常采用 什么方式获取直观信息？ （2）你认为该目标能够实现吗？  　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 目录 数学·必修第一册（B版） 知识点　常见的几类函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f （ x ）＝ ax ＋ b （ a ， b 为常数， a ≠0） 二次函数模型 f （ x ）＝ ax2＋ bx ＋ c （ a ， b ， c 为常数， a ≠0） 分段函数模型 f （ x ）＝ 目录 数学·必修第一册（B版） 提醒　求解函数应用题的程序 目录 数学·必修第一册（B版） 1. 某物体一天中的温度 T 与时间 t 满足函数关系： T （ t ）＝ t3－3 t ＋ 60，时间的单位是小时，温度的单位是℃， t ＝0表示中午12：00， 其前 t 值为负，其后 t 值为正，则上午8时的温度是（　　） A. 8 ℃ B. 12 ℃ C. 58 ℃ D. 18 ℃ 解析：　求上午8时的温度，即求 t ＝－4时的值，所以 T （－4） ＝（－4）3－3×（－4）＋60＝8.故选A. 目录 数学·必修第一册（B版） 2. 甲、乙、丙、丁四辆玩具赛车同时从起点出发并做匀速直线运动， 丙车最先到达终点，丁车最后到达终点.若甲、乙两车的 S － t 图象 如图所示，则对于丙、丁两车的图象所在区域，判断正确的是（　） A. 丙在Ⅲ区域，丁在Ⅰ区域 B. 丙在Ⅰ区城，丁在Ⅲ区域 C. 丙在Ⅱ区域，丁在Ⅰ区域 D. 丙在Ⅲ区域，丁在Ⅱ区域 解析：　由图象可得相同时间内丙车行驶路程最远，丁车行驶路 程最近，即丙在Ⅲ区域，丁在Ⅰ区域，故选A. 目录 数学·必修第一册（B版） 3. 某商品进货单价为45元，若按50元一个销售，能卖出50个；若销售 单价每涨1元，其销售量就减少2个，为了获得最大利润，此商品的 最佳售价应为每个 元. 解析：设涨价 x 元，销售的利润为 y 元， 则 y ＝（50＋ x －45）（50－2 x ）＝－2 x2＋40 x ＋250 ＝－2（ x －10）2＋450， 所以当 x ＝10，即销售价为60元时， y 取得最大值. 60 目录 数学·必修第一册（B版） 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 一次函数模型的应用 【例1】　（链接教科书第129页例2）某报刊亭从报社买进报纸的价 格是每份0.24元，卖出的价格是每份0.40元，卖不掉的报纸可以以每 份0.08元的价格退回报社.在一个月（以30天计算）里，有20天每天可 卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的报纸 份数必须相同，试问报刊亭摊主应该每天从报社买进多少份报纸，才 能使每月所获得利润最大，每月最多可获利多少元？ 目录 数学·必修第一册（B版） 解：设每天从报社买进 x 份（250≤ x ≤400）报纸；每月所获利润 是 y 元，则每月售出报纸共（20 x ＋10×250）份；每月退回报社 报纸共10×（ x －250）份. 依题意得 y ＝（0.40－0.24）×（20 x ＋10×250）－（0.24－ 0.08）×10（ x －250）. 即 y ＝0.16（20 x ＋2 500）－0.16（10 x －2 500）， 化简得 y ＝1.6 x ＋800（其中250≤ x ≤400）. ∵此一次函数（ y ＝ kx ＋ b ， k ≠0）的 k ＝1.6＞0， ∴ y 是一个单调增函数，再由250≤ x ≤400知当 x ＝400时， y 取得 最大值，此时 y ＝1.6×400＋800＝1 440（元）. ∴每天从报社买进400份报纸时所获利润最大，每月最多可获利1 440元. 目录 数学·必修第一册（B版） 通性通法 利用一次函数模型解决实际问题的2个注意点 （1）待定系数法是求一次函数解析式的常用方法； （2）当一次项系数为正时，一次函数为增函数；当一次项系数为负 时，一次函数为减函数. 目录 数学·必修第一册（B版） 【跟踪训练】 若一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，则燃烧剩下的高度 h （cm）与燃烧时间 t （小时）的函数关系用图象表示为（　　） 解析：　依题设可知，蜡烛高度 h 与燃烧时间 t 之间构成一次函数关 系，又∵函数图象必过两端点（0，20），（4，0），且该图象应为 一条线段.故选B. 目录 数学·必修第一册（B版） 题型二 二次函数模型的应用 【例2】　（链接教科书第129页例3）渔场中鱼群的最大养殖量为 m （ m ＞0），为了保证鱼群的生长空间，实际养殖量 x 小于 m ，以便留 出适当的空闲量.已知鱼群的年增长量 y 和实际养殖量与空闲率（空闲 率是空闲量与最大养殖量的比值）的乘积成正比，比例系数为 k （ k ＞ 0）. 目录 数学·必修第一册（B版） （1）写出 y 关于 x 的函数关系式，并指出该函数的定义域； 解：根据题意知，空闲率是 ，故 y 关于 x 的函数关系式 是 y ＝ kx · ，0≤ x ＜ m . 目录 数学·必修第一册（B版） （2）求鱼群年增长量的最大值. 解：由（1）知， y ＝ kx · ＝－ x2＋ kx ＝－ · ＋ ，0≤ x ＜ m ，则当 x ＝ 时， y 取得最大值， ymax＝ . 所以鱼群年增长量的最大值为 . 目录 数学·必修第一册（B版） 通性通法 　　二次函数模型主要用来解决实际问题中的利润最大、用料最省等 问题，是高考考查的重点.解题时，建立二次函数解析式后，可以利用 配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等来求函数的最值，从而 解决实际问题. 目录 数学·必修第一册（B版） 【跟踪训练】 把长为12 cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两 个正三角形面积之和的最小值是（　　） A. cm2 B. 4 cm2 C. 3 cm2 D. 2 cm2 目录 数学·必修第一册（B版） 解析：　设两段长分别为 x cm，（12－ x ）cm，其中0＜ x ＜12，则 这两个正三角形的边长分别为 cm， cm，面积之和为 S （ x ）＝ ［ ＋ ］＝ ，由二次函数的性质可 知，当 x ＝－ ＝6时， S （ x ）取得最小值，所以 S （ x ）min＝ S （6）＝2 cm2. 故选D. 目录 数学·必修第一册（B版） 题型三 对勾函数模型的应用 【例3】　（链接教科书第130页例5）某工厂有一段旧墙长14 m， 现准备利用这段旧墙为一面建造一个平面图形为矩形，占地面积 为126 m2的厂房，工程条件是：①建1 m新墙的费用为 a 元；②修 1 m旧墙的费用为 元；③拆去1 m旧墙，用所得的材料建1 m新墙 的费用为 元.经讨论有两种方案：（1）利用旧墙的一段 x m（ x ＜14）为矩形厂房的一面；（2）矩形厂房利用旧墙的一面边长 x ≥14.问如何利用旧墙，即 x 为多少米时，建墙总费用最省？（1） （2）两种方案哪个更好？ 目录 数学·必修第一册（B版） 解：易知矩形厂房中与旧墙相邻的一面的边长为 m.设建墙总费用 为 y 元. （1）利用旧墙的一段 x m（ x ＜14）为矩形厂房的一面，则修旧 墙的费用为 x · 元，将剩余的旧墙拆得的材料建新墙的费用为 （14－ x ）· 元， 其余建新墙的费用为 a 元. 目录 数学·必修第一册（B版） 故总费用为 y ＝ · a ＋ · a ＋（2 x ＋ －14）· a ＝ a ＝7 a （0＜ x ＜14）. ∴ y ≥7 a ＝35 a ， 当且仅当 ＝ ，即 x ＝12时， y 取得最小值， ymin＝35 a . 目录 数学·必修第一册（B版） （2）若矩形厂房利用旧墙的一面边长 x ≥14， 则修旧墙的费用为 ·14＝ a （元）， 建新墙的费用为（ 2 x ＋ －14） a 元， 故总费用为 y ＝ a ＋ a ＝ a ＋2 a （ x ＋ －7）（ x ≥14）. 令 f （ x ）＝ x ＋ （ x ≥14）， 设14≤ x2＜ x1， 目录 数学·必修第一册（B版） 则 f （ x1）－ f （ x2）＝ － ＝（ x1－ x2） . ∵14≤ x2＜ x1， ∴ x1－ x2＞0， x1 x2＞126. 从而 ＞0， ∴ f （ x1）＞ f （ x2）， ∴函数 f （ x ）＝ x ＋ 在[14，＋∞）上为增函数. 目录 数学·必修第一册（B版） 故当 x ＝14时， y 取得最小值， ymin＝ a ＋2 a （14＋ －7）＝35.5 a . 综上可知，采用方案（1），利用12 m的旧墙为矩形厂房的一面时， 建墙总费用最省，为35 a 元. 目录 数学·必修第一册（B版） 通性通法 　　形如 y ＝ x ＋ （ a ＞0）的函数模型，我们称之为“对勾函数”模 型，它是一个奇函数，在（－∞，－ ]和[ ，＋∞）上是增函 数，在[－ ，0）和（0， ]上是减函数，应用此函数模型求解最 值时，要注意自变量的最值范围及取得最值的条件. 目录 数学·必修第一册（B版） 【跟踪训练】 单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道 路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关.假设某条道路一小时 通过的车辆数 N 满足关系 N ＝ ，其中 d0为安全距离， v 为 车速（m/s）.当安全距离 d0取30 m时，该道路一小时“道路容量”的 最大值约为（　　） A. 135 B. 149 C. 165 D. 195 目录 数学·必修第一册（B版） 解析：　由题意得， N ＝ ＝ ≤ ≈149，当且仅当0.3 v ＝ ，即 v ＝10时取“＝”，所以该道路一小时 “道路容量”的最大值约为149.故选B. 目录 数学·必修第一册（B版） 题型四 分段函数模型的应用 【例4】　（链接教科书第128页例1）小王大学毕业后，决定利用所 学专业进行自主创业，经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年 固定成本为3万元，每生产 x 万件，需另投入流动成本为 W （ x ）万 元，在年产量不足8万件时， W （ x ）＝ x2＋ x （万元）.在年产量不 小于8万件时， W （ x ）＝6 x ＋ －38（万元）.每件产品售价为5元. 通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完. 目录 数学·必修第一册（B版） （1）写出年利润 L （ x ）（万元）关于年产量 x （万件）的函数解析 式；（注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本） 解：因为每件商品售价为5元，则 x 万件商品销售收入为5 x 万元，依题意得：当0＜ x ＜8时， L （ x ）＝5 x － －3＝－ x2＋4 x －3； 当 x ≥8时， L （ x ）＝5 x － －3＝35－ . 所以 L （ x ）＝ 目录 数学·必修第一册（B版） （2）年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最 大？最大利润是多少？ 解：当0＜ x ＜8时， L （ x ）＝－ （ x －6）2＋9. 此时，当 x ＝6时， L （ x ）取得最大值 L （6）＝9万元， 当 x ≥8时， L （ x ）＝35－ ≤35－2 ＝35－20＝ 15， 当且仅当 x ＝ 时等号成立， 即 x ＝10时， L （ x ）取得最大值15万元. 因为9＜15，所以当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产 中所获利润最大，最大利润为15万元. 目录 数学·必修第一册（B版） 通性通法 1. 现实生活中有很多问题都是用分段函数表示的，如出租车计费、个 人所得税等，分段函数是刻画现实问题的重要模型. 2. 分段函数的每一段自变量变化所遵循的规律不同，因此可以先将其 看成几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起， 要注意各段自变量的范围，特别是端点值. 目录 数学·必修第一册（B版） 【跟踪训练】 国家规定个人稿费纳税办法：不超过800元的不纳税；超过800元而不 超过4 000元的按超过800元部分的14％纳税；超过4 000元的按全部稿 酬的11.2％纳税，已知某人出版一本书，共纳税420元，则这个人应得 稿费（扣税前）为（　　） A. 2 800元 B. 3 000元 C. 3 800元 D. 3 818元 目录 数学·必修第一册（B版） 解析：　由题意，知纳税额 y （单位：元）与稿费（扣税前） x （单 位：元）之间的函数关系式为 y ＝，而此人纳税420元. ∴800＜ x ≤4 000时，令（ x －800）×0.14＝420，解得 x ＝3 800， x ＞4 000时，令0.112 x ＝420，解得 x ＝3 750（舍去），故这个人应得 稿费（扣税前）为3 800元.故选C. 目录 数学·必修第一册（B版） 1. 随着海拔高度的升高，大气压强下降，空气中的含氧量也随之下 降，且含氧量 y （g/m3）与大气压强 x （kPa）成正比例函数关系.当 x ＝36 kPa时， y ＝108 g/m3，则 y 与 x 的函数关系式为（　　） A. y ＝3 x （ x ≥0） B. y ＝3 x C. y ＝ x （ x ≥0） D. y ＝ x 解析：　由题意设 y ＝ kx （ k ≠0），将（36，108）代入解析式可 得 k ＝3，故 y ＝3 x ，考虑到含氧量不可能为负，可知 x ≥0. 目录 数学·必修第一册（B版） 2. 某工厂八年来某种产品总产量 C 与时间 t 的函数关系如图所示.下列 说法： ①前三年中产量增长的速度越来越快； ②前三年中产量增长的速度保持稳定； ③第三年后产量增长的速度保持稳定； ④第三年后，年产量保持不变； ⑤第三年后，这种产品停止生产. 其中说法正确的是（　　） A. ②⑤ B. ①③ C. ①④ D. ②④ 目录 数学·必修第一册（B版） 解析：　观察函数图象知，在区间[0，3]上图象是线段，直线上 升，表明年产量增长的速度保持不变，②正确；在区间（3，8]上 图象是线段，却是水平的，表明总产量停留在第三年末的总产量上 未变，第三年后的年产量为0，即产品停止生产，⑤正确.故选A. 目录 数学·必修第一册（B版） 3. 某地固定电话市话收费规定：前三分钟0.20元（不满三分钟按三分 钟计算），以后每加一分钟增收0.10元（不满一分钟按一分钟计 算），那么某人打市话用时550秒，应支付电话费（　　） A. 1.00元 B. 0.90元 C. 1.20元 D. 0.80元 解析：　 y ＝0.2＋0.1×（[ x ]－3）（[ x ]是不小于 x 的最小整数， x ＞3），令 x ＝ ，故[ x ]＝10，则 y ＝0.9. 目录 数学·必修第一册（B版） 4. （多选）水滴进玻璃容器，如图所示（设单位时间内进水量相同），观察水的高度随时间的变化，下列图象与容器匹配的有（　　） A. a—（3） B. b—（2） C. c—（1） D. d—（4） 目录 数学·必修第一册（B版） 解析：　图a和图b的水面上升速度是匀速的，且a上升得快，因 此a—（3），b—（2）.图c的水面开始是缓慢上升，后来上升得 快，而图d的水面是开始上升得快，中间较缓慢，后来加快，因此 c—（4），d—（1）.故选A、B. 目录 数学·必修第一册（B版） 5. 某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金为3 000元时，可全部 租出.当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆. 租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维 护费50元.若使租赁公司的月收益最大，每辆车的月租金应该定 为 元. 4 050 目录 数学·必修第一册（B版） 解析：设每辆车的月租金定为 x 元，则租赁公司的月收益： y ＝（ x －150）× －50× （ x －3 000） ＝（ x －150） － x ＋3 000＝－ ＋162 x －21 000＝－ （ x －4 050）2＋307 050，∴当 x ＝4 050时， f （ x ）最大，最大值 为 f （4 050）＝307 050，即当每辆车的月租金定为4 050元时，租赁 公司的月收益最大，最大月收益是307 050元. 目录 数学·必修第一册（B版） 谢 谢 观 看！ $