3.2 第2课时 零点的存在性及其近似值的求法-【金版新学案】2025-2026学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（人教B版）

该高中数学课件聚焦函数零点存在定理及二分法，通过问题导思结合具体函数图像，引导学生观察零点区间与端点函数值乘积关系，衔接前期函数零点概念，为方程近似解学习搭建逻辑支架。 其亮点是微课程补充定理细节，合作探究设电话线故障排查等实际案例，以逻辑推理分析定理条件，数学建模解决近似值问题。分层练习助学生巩固，教师可高效教学，提升学生数据分析与问题解决能力。

第2课时　零点的存在性及其近似值的求法 　 第三章　3.2　函数与方程、不等式之间的关系 知识目标 1．掌握函数零点存在定理，并会判断函数零点的个数． 2．了解二分法是求方程近似解的常用方法，掌握二分法求函数零点近似解的步骤． 3．理解函数与方程之间的联系，并能用函数与方程思想分析问题、解决问题. 素养目标 通过零点存在定理的学习，培养逻辑推理素养；通过二分法的学习，提升数据分析、数学建模素养；理解函数与方程之间的联系，提升数学抽象素养. 新知导学 1 课时测评 4 合作探究 2 内容索引 随堂演练 3 新知导学 返回 观察函数f(x)＝x2－2x－3的图象： 问题导思 问题1.f(x)在区间(－2，1)上有零点吗？f(－2)·f(1)的值和0有什么关系？ 提示：利用图象可知，有零点－1∈(－2，1)，且f(－2)>0，f(1)<0，所以f(－2)·f(1)<0. 问题2.f(x)在区间(2，4)上有零点吗？f(2)·f(4)的值与0有什么关系？ 提示：利用图象可知有零点3∈(2，4)，且f(2)<0，f(4)>0，所以f(2)·f(4)<0. 知识点一　函数零点存在定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是__________的，并且___________ (即在区间两个端点处的函数值异号)，则函数y＝f(x)在区间(a，b)中至少有一个零点，即∃x0∈(a，b)，f(x0)＝0. 新知构建 连续不断 f(a)f(b)＜0 1．一般地，解析式是多项式的函数的图象都是连续不断的．需要注意的是，反比例函数y＝ 的图象不是连续不断的． 2．一个函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点必须同时满足：①函数f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线；②f(a)·f(b)＜0.这两个条件缺一不可． 3．若函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，则由f(a)·f(b)＜0可以推出函数y＝f(x)在区间(a，b)内存在零点；但是，由函数y＝f(x)在区间(a，b)内存在零点不一定能推出f(a)·f(b)＜0. 微提醒 4．如果单调函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有唯一的零点，即存在唯一的c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根． 知识点二　二分法 1．二分法的概念 对于图象在区间[a，b]上不间断，且满足_____________的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间__________，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到____________的方法叫做二分法． 2．用二分法求函数零点的近似值 先确定零点的初始区间(a，b)(依据是：如果函数y＝f(x)的图象在区间[a，b]上是连续不断的，并且f(a)与f(b)的符号相反，则f(x)在(a，b)内存在零点)，然后多次将区间(a，b)一分为二，直至找到零点的准确值或满足题中的精度要求的零点的近似值． f(a)f(b)＜0 一分为二 零点近似值 不断重复相似步骤，直到找到零点的准确值或满足题中的精度要求的零点的近似值． 1．我们把x＝ 称为区间(a，b)的中点．在这里，区间的中点是个实数，而不是点． 2．用二分法求函数零点近似值的方法仅对函数的变号零点(曲线通过零点，且在零点两侧函数值异号)适用，对函数的不变号零点(曲线通过零点，且在零点两侧函数值同号)不适用．如函数f(x)＝(x－1)2的零点就不能用二分法求解． 3．二分法采用逐步逼近的思想，使区间逐步缩小，即使函数的零点所在的范围逐步缩小，也就是逐渐逼近函数的零点． 微提醒 1．若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，则下列说法中正确的是 A．若f(a)·f(b)＞0，则不存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0 B．若f(a)·f(b)＜0，则只存在一个实数c∈(a，b)使得f(c)＝0 C．若f(a)·f(b)＞0，则有可能存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0 D．若f(a)·f(b)＜0，则有可能不存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0 √ 当f(a)>0，f(b)>0时，函数图象与x轴可以有一个或两个交点，还可以没有交点，可知A不正确，C正确；若y＝f(x)满足函数零点存在定理的两个条件，则在该区间内必存在零点，但个数不能确定，故B、D都不正确． 自主检测 2．(多选)用二分法求如图所示函数f(x)的零点时，能求出的零点是 A．x1 B．x2 C．x3 D．x4 √ √ √ 观察图象可知：零点x3的附近两边的函数值都为负值，所以零点x3不能用二分法求出． 3．函数f(x)＝x3－2的零点所在的区间是 A．(－2，0) B．(0，1) C．(1，2) D．(2，3) √ 函数f(x)＝x3－2在R上连续，且单调递增，因为f(0)＝－2<0，f(1)＝1－2<0，f(2)＝23－2＝6>0，f(3)＝33－2＝25>0，所以函数f(x)＝x3－2的零点所在的区间为(1，2)．故选C. 4．用二分法求方程的近似解，求得函数f(x)＝x3＋2x－9的部分函数值数据如表： √ f(1)＝－6 f(2)＝3 f(1.5)＝－2.625 f(1.625)＝－1.459 f(1.75)＝－0.14 f(1.875)＝1.341 8 那么方程x3＋2x－9＝0的一个近似根为 A．1.6 B．1.7 C．1.8 D．1.9 由表格可得，f(1.625)·f(1.75)>0，f(1.75)·f(1.875)<0，由零点存在定理可得，函数f(x)＝x3＋2x－9的近似零点在区间(1.75，1.875)内，结合选项可知，方程x3＋2x－9＝0的一个近似根为1.8.故选C. 5．用二分法求函数f(x)在区间[0，2]上零点的近似解，若f(0)·f(2)<0，取区间中点x1＝1，计算得f(0)·f(x1)<0，则此时可以判定零点x0∈__________(填区间)． (0，1) 由二分法的定义，根据f(0)f(2)<0，f(0)·f(x1)<0，x1＝1，故零点所在区间可以为(0，1). 返回 合作探究 返回 题型一　函数零点区间 　函数f(x)＝x3＋x2＋1的零点所在的区间为 A．[－3，－2] B．[－2，－1] C．[－1，0] D．[0，1] 点拨：根据零点存在定理、对照选项，只需验证区间端点函数值的符号，或可借助于图象分析． √ 例1 因为f(－2)＝(－2)3＋(－2)2＋1＝－3＜0，f(－1)＝(－1)3＋(－1)2＋1＝1＞0，所以f(－2)·f(－1)＜0.又函数f(x)的图象在区间[－2，－1]上是连续不间断的，所以函数f(x)在区间[－2，－1]上存在零点，易知A，C，D均不符合题意．故选B. 规律方法 判断函数零点所在区间的三个步骤 第一步，代入：将区间端点值代入函数求出函数值； 第二步，判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断； 第三步，结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点． 对点练1.设函数f(x)＝4x3＋x－8，用二分法求方程4x3＋x－8＝0近似解的过程中，计算得到f(1)<0，f(3)>0，则方程的近似解落在区间 A．(1，1.5) B．(1.5，2) C．(2，2.5) D．(2.5，3) √ 取x1＝2，因为f(2)＝4×8＋2－8＝26>0，所以方程近似解x0∈(1，2)，取x2＝1.5，因为f(1.5)＝4× ＋1.5－8＝7>0，所以方程近似解x0∈(1，1.5)．故选A. 题型二　用二分法求函数零点的近似值(方程的近似解) 　用二分法求函数f(x)＝x3＋x－3的一个正零点的近似值(精度0.1)． 点拨：确定f(1)与f(2)的符号→确定零点所在的区间[1，2]→按二分法求函数零点的步骤求解 解：由于f(1)＝－1＜0，f(2)＝7＞0，可取区间[1，2]作为计算的初始区间． 用二分法逐步计算，列表如下： 例2 区间端点值或区间中点值 计算端点或中点的函数值 定区间 a＝1，b＝2 f(1)＝－1，f(2)＝7 [1，2] x0＝(1＋2)/2＝1.5 f(x0)＝1.875＞0 [1，1.5] x1＝(1＋1.5)/2＝1.25 f(x1)≈0.203＞0 [1，1.25] x2＝(1＋1.25)/2＝1.125 f(x2)≈－0.451＜0 [1.125，1.25] 由上表的计算可知，区间[1.125，1.25]的长度小于0.2，因此可取x＝(1.125＋1.25)/2＝1.187 5作为所求函数的一个正零点的近似值． 区间端点值或区间中点值 计算端点或中点的函数值 定区间 a＝1，b＝2 f(1)＝－1，f(2)＝7 [1，2] x0＝(1＋2)/2＝1.5 f(x0)＝1.875＞0 [1，1.5] x1＝(1＋1.5)/2＝1.25 f(x1)≈0.203＞0 [1，1.25] x2＝(1＋1.25)/2＝1.125 f(x2)≈－0.451＜0 [1.125，1.25] 规律方法 1．用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则 (1)需依据图象估计零点所在的初始区间[m，n](一般采用估计值的方法完成)． (2)取区间端点的平均数c，计算f(c)，确定有解区间是[m，c]还是[c，n]，逐步缩小区间的“长度”，直到区间的两个端点符合精确度要求，终止计算，得到函数零点的近似值． 2．二分法求函数零点步骤的记忆口诀 定区间，找中点，中值计算两边看． 同号丢，异号算，零点落在异号间． 重复做，何时止，精确度来把关口． 对点练2.利用计算器求方程x2－2x－1＝0的正解的近似值(精确度0.1)． 解：设f(x)＝x2－2x－1. 因为f(2)＝－1<0，f(3)＝2>0，又f(x)在(2，3)内递增， 所以在区间(2，3)内，方程x2－2x－1＝0有唯一实数根，记为x0. 取区间(2，3)的中点x1＝2.5. 因为f(2.5)＝0.25>0，所以x0∈(2，2.5)． 再取区间(2，2.5)的中点x2＝2.25. 因为f(2.25)＝－0.437 5<0，所以x0∈(2.25，2.5)． 同理可得，x0∈(2.375，2.5)，x0∈(2.375，2.437 5)． 因为|2.375－2.437 5|＝0.062 5<0.1， 所以方程x2－2x－1＝0的一个精确度为0.1的近似正解可取为2.437 5. 题型三　二分法的实际应用 　在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥所的电话线发生故障，这是一条10 km长的笔直的线路，怎样迅速查出故障所在？如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多，每查找一个点就要爬一次电线杆，10 km有200多根电线杆．想一想，维修线路的工人师傅怎样查找故障最 合理？ 点拨：可以参照用二分法求函数零点近似值的方法，以减少工作量并节省时间． 例3 如图，工人师傅可以从线段AB的中点C处开始查找，分别测试AC段和BC段的线路，若发现AC段正常，断定故障在BC段；再查线段BC的中点D，若发现BD段正常，则故障在CD段；再查CD的中点E……依此类推．每查一次，可以把待查的线路长度缩减一半，可以算出，要把故障范围缩小到50 m～100 m，即一两根电线杆附近，只要7次就够了． 规律方法 数学知识来源于客观实际，服务于实际问题，数学是人们认识世界、改造世界的工具．其中函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型．把实际问题转化为数学问题，利用二分法解决问题． 对点练3.在26枚崭新的金币中，有一枚外表与真金币完全相同的假币(质量小一点)，现在只有一架天平，则应用二分法的思想，最多称____次就可以发现这枚假币． 4 将26枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，则假币一定在质量小的那13枚金币里面．从这13枚金币中拿出1枚，然后将剩下的12枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，若天平平衡，则假币一定是拿出的那一枚；若不平衡，则假币一定在质量小的那6枚金币里面，将这6枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，则假币一定在质量小的那3枚金币里面，从这3枚金币中任拿出2枚，分别放在天平两端，若天平平衡，则剩下的那一枚是假币，若不平衡，则质量小的那一枚是假币．综上可知，最多称4次就可以发现这枚假币． 返回 随堂演练 返回 1．函数f(x)＝x3＋x－5的零点所在区间为 A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4) √ 由函数f(x)＝x3＋x－5可得f(1)＝1＋1－5＝－3<0，f(2)＝8＋2－5＝5>0，故有f(1)f(2)<0，根据函数零点存在定理可得，函数f(x)的零点所在区间为(1，2)．故选B. 2．下列函数不宜用二分法求零点的是 A．f(x)＝x3－1 B．f(x)＝2x3＋x－5 C．f(x)＝x2＋2 x＋2 D．f(x)＝－x2＋4x－1 √ √ 4．用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经计算得f(0)<0，f(0.5)>0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________． (0，0.5) f(0.25) 返回 课时测评 返回 1．若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不间断的曲线，则“f(a)·f(b)<0”是“函数f(x)在区间[a，b]上恰有一个零点”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 √ 由函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不间断的曲线，且f(a)·f(b)<0，得函数f(x)在区间[a，b]上至少存在一个零点；反之，函数f(x)在区间[a，b]上恰有一个零点也不一定推出f(a)·f(b)<0.例如，函数f(x)＝|x－1|在区间[0，2]上恰有一个零点，但f(0)·f(2)<0不成立．故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2．下列图象对应的函数中，能用二分法求零点的是 √ A、B、D中的图象对应的函数零点两侧函数值不异号，所以不能用二分法求零点．故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3．用二分法求函数f(x)＝－x3－3x＋5的零点取的初始区间可以是 A．(－2，0) B．(－2，1) C．(0，1) D．(1，2) √ 由函数f(x)＝－x3－3x＋5单调递减，图象连续不断，得f(－2)＝19，f(0)＝5，f(1)＝1，f(2)＝－9，故f(1)·f(2)<0，故函数f(x)＝－x3－3x＋5的零点可以取的初始区间是(1，2)．故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4．在用二分法求方程3x＋3x－8＝0在(1，2)内近似根的过程中，已经得到f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的根落在区间 A．(1，1.25) B．(1.25，1.5) C．(1.5，2) D．不能确定 √ 因为f(1.5)·f(1.25)<0, 由零点存在定理，可得方程的根落在区间(1.25，1.5)．故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5．某同学用二分法求方程2x＋5x－8＝0在x∈(1，2)内近似解的过程中，设f(x)＝2x＋5x－8，且计算f(1)<0，f(2)>0，f(1.5)>0，则该同学在下次应计算的函数值为 A．f(0.5) B．f(1.125) C．f(1.25) D．f(1.75) √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6．用“二分法”求方程x3＋x－4＝0在区间(1，2)内的实根，首先取区间中点x＝1.5进行判断，那么下一个取的点是x＝_______． 1.25 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7．用二分法计算f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值，参考数据如下： 那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确到0.1)为_____． f(1)＝2 f(1.5)＝0.625 f(1.25)＝－0.984 f(1.375)＝－0.260 f(1.437 5)＝0.162 f(1.406 25)＝－0.054 1.4 由题中参考数据可得根在区间(1.406 25，1.437 5)内，又因为1.406 25和1.437 5精确到小数点后面一位都是1.4，符合要求． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8．已知函数f(x)＝x2＋x＋a(a<0)在区间(0，1)上有零点，则实数a的取值范围为__________． (－2，0) 由题意f(1)·f(0)<0，所以a(2＋a)<0.所以－2<a<0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9．(10分)求证：函数f(x)＝x3＋x2＋1在区间[－2，－1]上存在零点． 证明：因为f(－2)＝(－2)3＋(－2)2＋1＝－3＜0， f(－1)＝(－1)3＋(－1)2＋1＝1＞0， 所以f(－2)·f(－1)＜0. 又函数f(x)的图象在区间[－2，－1]上是连续不间断的， 所以函数f(x)在区间[－2，－1]上存在零点． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10．(10分)用二分法求函数f(x)＝x3－x－1在区间[1，1.5]内的一个零点．(精确度0.01) 解：经计算f(1)<0，f(1.5)>0 所以函数在[1，1.5]内存在零点x0. 取(1，1.5)的中点x1＝1.25，经计算f(1.25)<0. 因为f(1.5)·f(1.25)<0，所以x0∈(1.25，1.5)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 如此继续下去，如下表： 因为|1.328 125－1.320 312 5|＝0.007 812 5<0.01， 所以函数f(x)＝x3－x－1精确度为0.01的一个近似零点可取为1.328 125. 区间 中点值 中点函数近似值 (1，1.5) 1.25 －0.30 (1.25，1.5) 1.375 0.22 (1.25，1.375) 1.312 5 －0.05 (1.312 5，1.375) 1.343 75 0.08 (1.312 5，1.343 75) 1.328 125 0.01 (1.312 5，1.328 125) 1.320 312 5 －0.02 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11．(5分)若a<b<c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间 A．(a，b)和(b，c)内 B．(－∞，a)和(a，b)内 C．(b，c)和(c，＋∞)内 D．(－∞，a)和(c，＋∞)内 √ 由于f(a)＝(a－b)(a－c)>0，f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c－b)>0，所以f(x)在区间(a，b)，(b，c)内分别存在一个零点，又函数f(x)是二次函数，最多有两个零点，因此f(x)的两个零点分别在区间(a，b)和(b，c)内，故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12．(5分)已知定义在R上的函数f(x)＝(x2－5x＋6)g(x)＋x2－8，其中函数y＝g(x)的图象是一条连续曲线，则方程f(x)＝0在下面哪个范围内必有实 数根 A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4) √ 令x2－5x＋6＝0，解得x＝2或x＝3.因为f(2)＝4－8＝－4＜0，f(3)＝9－8＝1＞0，又易知函数f(x)的图象在R上连续不间断，所以函数f(x)在(2，3)内必有零点，故方程f(x)＝0在(2，3)内必有实数根． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13．(10分)已知二次函数f(x)＝x2－2ax＋4，在下列条件下，求实数a的取值范围． (1)零点均大于1；(3分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)一个零点大于1，一个零点小于1；(3分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (3)一个零点在(0，1)内，另一个零点在(6，8)内．(4分) 解：因为f(x)一个零点在(0，1)内，另一个零点在(6，8)，则由f(x)图象可知， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14．(5分)若方程7x2－(m＋13)x－m－2＝0的一个根在区间(0，1)内，另一根在区间(1，2)内，则实数m的取值范围为______________． (－4，－2) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15．(15分)(新定义)对于函数f(x)，若存在x0，使f(x0)＝x0成立，则称x0为函数f(x)的不动点，已知f(x)＝x2＋bx＋c. (1)若f(x)的两个不动点为－3，2，求函数f(x)的零点；(5分) 解：由题意知f(x)＝x有两根，即x2＋(b－1)x＋c＝0有两根，分别为－3，2. 从而f(x)＝x2＋2x－6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 谢 谢 观 看 ！ 第 三 章 　 函 数 返回 即用区间中点将区间(a，b)一分为二，从而得到两个区间和，其中一个区间一定包含零点．如果f ＞0，f(a)＜0，我们便认为区间包含零点，如下图所示： 因为f(x)＝x2＋2x＋2＝(x＋)2≥0，不存在小于0的函数值，所以不能用二分法求零点．故选C. 3．若函数f(x)在[a，b]上的图象为一条连续不断的曲线，且同时满足f(a)·f(b)<0，f(a)·f>0，则 A．f(x)在上有零点 B．f(x)在上有零点 C．f(x)在上无零点 D．f(x)在上无零点 由f(a)·f(b)<0，f(a)·f >0，可知f ·f(b)<0，根据零点的存在性定理，可知f(x)在上有零点．故选B. 因为f(0)<0，f(0.5)>0，所以f(0)·f(0.5)<0，故f(x)的一个零点x0∈(0，0.5)，利用二分法，则第二次应计算f ＝f(0.25)． 因为f(1)<0，f(2)>0，f(1.5)>0，所以在区间(1，1.5)内函数f(x)＝2x＋5x－8存在一个零点，该同学在下次应计算的x＝＝1.25，即f(1.25)．故选C. 设函数f(x)＝x3＋x－4，易知函数为增函数，因为f(1)＝－2<0，f(2)＝6>0，f(1.5)＝1.53＋1.5－4＝0.875>0，所以下一个有根区间是(1，1.5)，那么下一个取的点是x＝＝1.25. 解：因为f(x)的零点均大于1，则由f(x)图象知， 解得2≤a<，即实数a的取值范围为[2，)． 解：因为f(x)一个零点大于1，一个零点小于1，则由f(x)图象可知，f(1)<0，即5－2a<0，解得a>，即实数a的取值范围为(，＋∞)． 解得<a<. 即实数a的取值范围为. 设函数f(x)＝7x2－(m＋13)x－m－2，因为方程7x2－(m＋13)x－m－2＝0的一个根在区间(0，1)内，另一根在区间(1，2)内．所以所以则－4<m<－2. 所以解得 由f(x)＝0，得x1＝－1－，x2＝－1＋. 故f(x)的零点为－1±. 所以(b－1)2－b2＜0，即－2b＋1＜0，解得b＞. 故实数b的取值范围为. (2)当c＝b2时，函数f(x)没有不动点，求实数b的取值范围．(10分) 解：若c＝，则f(x)＝x2＋bx＋， 又f(x)无不动点，即方程x2＋bx＋＝x无解， $