第2章 2.2.4 第1课时 均值不等式（配套课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（人教B版）

该高中数学课件聚焦均值不等式，通过金店天平问题导入，从基本不等式推导均值不等式，结合作差法、分析法、几何法证明及几何意义，构建从概念到直接法、拼凑法求最值的完整知识脉络。 其亮点是以问题驱动培养数学思维，通过几何意义（如矩形面积）发展数学眼光，规范例题解析与反思感悟提升数学语言表达。学生能深化理解，教师可系统教学，有效提升课堂效率与学生应用能力。

第1课时 均值不等式 第二章　 2.2.4　均值不等式及其应用 <<< 1.掌握均值不等式及其推导过程. 2.理解均值不等式的几何意义. 3.能初步运用均值不等式求最值. 学习目标 从前有个金店的天平坏了，天平的两臂长短不相等，店主不想购置新的天平，又怕别人说他缺斤少两，于是他想出一个办法：先把顾客要购买的黄金放入左边的托盘中，右边托盘中加砝码得到一个读数，再把黄金放入右边的托盘中，在左边托盘加砝码得到第二个读数，然后把两个读数相加除以2作为黄金的最终质量出售.你觉得店主这个买卖做到诚信无欺了吗？要解决这个问题，我们一起进入今天的课堂吧！ 导 语 一、对均值不等式的理解 二、利用均值不等式求最值 课时对点练 随堂演练 内容索引 对均值不等式的理解 一 提示　正方形的边长AB=故正方形的面积为a2+b2，而四个直角三角形的面积为2ab，故有a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时，等号成立.实际上该不等式对任意的实数a，b都能成立. 如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，你能找到正方形ABCD的面积与四个直角三角形的面积之和的关系吗？ 问题1 提示　用分别替换上式中的a，b可得到a+b≥2当且仅当a=b时，等号成立.我们习惯表示成≤. 现在我们讨论一种特别的情况，如果a>0，b>0，我们用分别替换上式中的a，b，能得到什么样的结论？ 问题2 提示　方法一　(作差法) -===≥0， 即≥当且仅当a=b时，等号成立. 上述不等式是在a2+b2≥2ab(a，b∈R)的基础上转化出来的，是否对所有的a>0，b>0都能成立？请给出证明. 问题3 方法二　(分析法) 要证≤只需证2≤a+b， 只需证2-a-b≤0， 只需证-(-)2≤0， 显然(-)2≥0成立，当且仅当a=b时，等号成立. 方法三　(几何法) 如图所示，AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC=a，BC=b，过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD，BD，故有△ACD∽△DCB，故CD=由于CD小于或等于圆的半径，故用不等式表示为≤由此也可以得出圆的半径不小于半弦. 提示　将均值不等式两边平方可得≥ab， 如果矩形的长和宽分别为a和b，那么矩形的面积为ab可以看 成与矩形周长相等的正方形的面积，因此均值不等式的一个几何意义为：所有周长一定的矩形中，正方形的面积最大. 探索均值不等式的几何意义. 问题4 算术平均值 给定两个正数a，b，数______称为a，b的算术平均值 几何平均值 给定两个正数a，b，数称为a，b的几何平均值 均值不等式 如果a，b都是正数，那么≥当且仅当 时，等号成立 几何意义 所有周长一定的矩形中， 的面积最大 a=b 正方形 知识梳理 (1)均值不等式常见的变形：①若a>0，b>0，则a+b≥2；②若a>0，b>0，则ab≤. (2)均值不等式的实质是：两个正实数的算术平均值不小于它们的几何平均值. 注 意 点 <<< 13 下列命题中正确的是 A.当a，b∈R时+≥2 =2 B.若a<0，b<0，则≤ab C.当a>2时，a+的最小值是6 D.当a>0，b>0时≥ √ 例 1 14 A中，可能<0，所以A不正确； B中，对任意的a，b∈R，都有a2+b2≥2ab，即≥ab，所以B不正确； C中，a+≥2=6，当且仅当a=即a=3时，等号成立，所以C正确； D中，由均值不等式知≤(a>0，b>0)，所以D不正确. 解析 15 均值不等式≥(a>0，b>0)的两个注意点 (1)不等式成立的条件：a，b都是正数. (2)“当且仅当”的含义： ①当a=b时≥的等号成立，即a=b⇒=； ②仅当a=b时≥的等号成立，即=⇒a=b. 反 思 感 悟 16 (多选)下列结论不正确的是 A.若x∈R，且x≠0，则+x≥4 B.当x>0时+≥2 C.当x≥2时，x+的最小值为2 D.当0<x≤2时，2x+的最小值为2 跟踪训练 1 √ √ 17 对于选项A，当x<0时+x≥4显然不成立； 对于选项B，符合应用均值不等式的基本条件，当x>0时+≥ 2=2，当且仅当=即x=1时，等号成立. 对于选项C，忽视了验证等号成立的条件，即x=即x=1，不满足x≥2； 对于选项D，2x+≥2=2当且仅当2x=即x=时，等号成立. 解析 18 二 利用均值不等式求最值 提示　x+y=8，由≥xy得xy≤16，当且仅当x=y=4时，等号成立，即这两个正数都为4时，其积最大. 若两个正数的和为8，那么这两个正数分别是多少时，其积最大？ 问题5 提示　xy=16，由x+y≥2得x+y≥8，当且仅当x=y=4时等号成立，即这两个正数都等于4时，其和最小. 若两个正数的积为16，那么这两个正数分别是多少时，其和最小？ 问题6 用均值不等式求最值 两个正数的和为常数时，它们的积有最 值 已知x，y都是正数，如果和x+y等于定值S，那么当 时，积xy有最大值S2. 两个正数的积为常数时，它们的和有最 值 已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当 时，和x+y有最小值2. 大 小 x=y x=y 知识梳理 (1)口诀：和定积最大，积定和最小. (2)应用均值不等式求最值时，应把握不等式成立的条件：一正二定三相等. 注 意 点 <<< 23 (课本例1)已知x>0，求y=x+的最小值，并说明x为何值时y取得最小值. 例 2 角度1　直接法求最值 因为x>0，所以根据均值不等式有x+≥2=2， 其中等号成立当且仅当x=即x2=1， 解得x=1或x=-1(舍). 因此x=1时，y取得最小值2. 解 24 (1)当x>0时，求+4x的最小值； 例 2 ∵x>0，∴>0，4x>0. ∴+4x≥2=8. 当且仅当=4x，即x=时，等号成立， ∴当x>0时+4x的最小值为8. 解 25 (2)当x<0时，求+4x的最大值； ∵x<0，∴-x>0. 则+(-4x)≥2=8 当且仅当=-4x，即x=-时，等号成立. ∴+4x≤-8. ∴当x<0时+4x的最大值为-8. 解 26 (3)已知t>0，求y=的最小值. 依题意得，y=t+-4≥2-4=-2， 当且仅当t=1时，等号成立，即y=(t>0)的最小值是-2. 解 27 在利用均值不等式求最值时要注意三点：一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值；三是考虑等号成立的条件是否具备. 反 思 感 悟 28 若a，b都是正数，则的最小值为 A.7 B.8 C.9 D.10 跟踪训练 2 因为a，b都是正数，所以=5++≥5+2=9， 当且仅当b=2a时取等号. 解析 √ 29 已知x>2，则y=x+的最小值为　 　.  例 3 角度2　拼凑法求最值 因为x>2，所以x-2>0， 所以y=x+=x-2++2≥2 +2=6， 当且仅当x-2=即x=4时，等号成立. 所以y=x+的最小值为6. 解析 6 30 若把本例中的条件“x>2”改为“x<2”，求y=x+的最大值. 延伸探究 因为x<2，所以2-x>0， 所以y=x+=-+2≤-2+2=-2， 当且仅当2-x= 即x=0时，等号成立. 故y=x+的最大值为-2. 解 31 通过拼凑法利用均值不等式求最值的策略 (1)拼凑的技巧，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形. (2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标. (3)拆项、添项应注意检验利用均值不等式的前提. 反 思 感 悟 32 (1)若0<x<则x(1-2x)的最大值是　 　.  跟踪训练 3 因为0<x<所以1-2x>0， 所以x(1-2x)=×2x×(1-2x)≤=×= 当且仅当2x=1-2x，即x=时，等号成立. 所以x(1-2x)的最大值为. 解析 33 (2)若x>1，则的最小值为　　　.  因为x>1，所以x-1>0， 所以==x+1+=(x-1)++2≥2+2=4， 当且仅当=x-1，即x=2时，等号成立， 所以当x>1时的最小值为4. 解析 4 34 1.知识清单： (1)≥(a，b都是正数). (2)直接法求最值. (3)拼凑法求最值. 2.方法归纳：拼凑法. 3.常见误区：忽视a，b都是正数的条件，忽视等号成立的条件. 课堂小结 随堂演练 三 1 2 3 4 1.不等式a2+≥4中，等号成立的条件是 A.a=4 B.a= C.a=- D.a=± √ 此不等式等号成立的条件为a2=即a=±. 解析 1 2 3 4 2.(多选)下列不等式成立的是 A.ab≤ B.≤ C.≥ab(a>0，b>0) D.a+b≤2 √ a2+b2-2ab=(a-b)2≥0， ∴a2+b2≥2ab，当ab>0时≥故A正确，B不正确； 由均值不等式可知C是其变形，故C正确； a+b≥2故D不正确. 解析 √ 1 2 3 4 3.若x>0，则x+　　2若x<0，则x+　　-2.(填“=”“≥” “≤”“>”或“<”)  当x>0时，x+≥2=2 当且仅当x=即x=时取等号. 当x<0时，x+=-≤-2当且仅当x=-时取等号. 解析 ≥ ≤ 1 2 3 4 4.已知x<则y=4x-2+的最大值为　　　，此时x的值是　　　.  ∵x<∴5-4x>0. ∴y=4x-2+=-+3≤-2+3=-2+3=1， 当且仅当5-4x= 即x=1时，等号成立.故y的最大值为1，此时x的值是1. 解析 1 1 课时对点练 四 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 ACD B BC C BCD D x<y 题号 8 11 12 13 14 15 答案 ≤ B C AC 12 AC 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为x<3，所以3-x>0. 又因为y=2(x-3)++7=-+7， 由均值不等式可得2(3-x)+≥2=2 当且仅当2(3-x)= 即x=3-时，等号成立， 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 于是-≤-2 -+7≤7-2 故y的最大值是7-2. 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 y==. 因为x>0，所以x+≥2=2， 当且仅当x=即x=1时，等号成立. 所以0<y≤=1， 故y的最大值为1. 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)因为a，b为正实数，且+=2 所以+=2≥2 即ab≥. 因为a2+b2≥2ab≥2×=1 所以a2+b2的最小值为1. 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)因为+=2所以a+b=2ab. 因为(a-b)2≥4(ab)3， 所以(a+b)2-4ab≥4(ab)3， 即(2ab)2-4ab≥4(ab)3， 即(ab)2-2ab+1≤0，即(ab-1)2≤0. 因为a，b为正实数，所以ab=1. 基础巩固 1.(多选)下列条件可使+≥2成立的有 A.ab>0 B.ab<0 C.a>0，b>0 D.a<0，b<0 √ 根据均值不等式的条件知，a，b同号，则>0>0，故A，C，D正确. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 2.已知x>0，y>0，x+=8，则的最大值为 A.2 B.4 C.6 D.8 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为8=x+≥2=4 所以≤2，从而≤4. 当且仅当x=即x=4，y=1时等号成立. 解析 3.(多选)已知正数a，b，则下列说法正确的是 A.+的最小值为2 B.(a+b)≥4 C.≥2 D.> √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意知a，b为正数. 对于A+≥2=2，当且仅当=1时等号成立，而>故等号不成立，A不正确； 对于B，(a+b)=1+1++≥2+2=4，当且仅当a=b时等号成立，故B正确； 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于C≥=2当且仅当a=b时等号成立，故C正确； 对于D≤=当且仅当a=b时等号成立，故D不正确. 解析 4.设x>0，则y=3-3x-的最大值是 A.3 B.3-2 C.3-2 D.-1 √ y=3-3x-=3-≤3-2 =3-2当且仅当3x= 即x=时取等号. ∴当x=时，y的最大值是3-2. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.(多选)若x>0，y>0，且x+y≤4，则下列结论正确的是 A.≤ B.+≥1 C.≥ D.≤2 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵x>0，y>0，x+y≤4，则≥A不正确； 由2≤x+y≤4，即≤2，xy≤4，当且仅当x=y=2时，等号成立， ∴≥≥且+≥2≥2×=1，故BCD正确. 解析 6.已知x>-1，则y=的最小值为 A.-1 B.2 C.3 D.2+1 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵x>-1，∴x+1>0， ∴y===x+1++1≥2+1=2+1， 当且仅当x+1=即x=-1时等号成立，所以y的最小值为2+1. 解析 7.已知a，b是不相等的正数，x=y=则x，y的大小关系是　　　　.  x2=y2=a+b=. ∵a+b>2(a>0，b>0且a≠b)， ∴x2<y2.∵x>0，y>0，∴x<y. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 x<y 8.已知a>b>c，则与的大小关系是　 　　　　　　　. ∵a>b>c，∴a-b>0，b-c>0， ∴≤=. 当且仅当a-b=b-c，即a+c=2b时，等号成立. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ≤ 9.若x<3，求y=2x+1+的最大值. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为x<3，所以3-x>0. 又因为y=2(x-3)++7=-+7， 由均值不等式可得2(3-x)+≥2=2 当且仅当2(3-x)=即x=3-时，等号成立， 于是-≤-2-+7≤7-2 故y的最大值是7-2. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.已知x>0，求y=的最大值. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 y==. 因为x>0，所以x+≥2=2， 当且仅当x= 即x=1时，等号成立. 所以0<y≤=1， 故y的最大值为1. 解 11.式子的最小值为 A.3 B.4 C.6 D.8 √ 综合运用 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 =|x|+≥2=4，当且仅当|x|=即x=±2时，等号成立，故最小值为4. 解析 12.已知x，y为正实数，则+的最小值为 A.4 B.5 C.6 D.8 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意得+=+设=t(t>0)， 则t+=t+2+-2≥2-2=8-2=6， 当且仅当t=2，即y=2x时取等号. 所以+的最小值为6. 解析 13.(多选)一个矩形的周长为l，面积为S，则下列四组数对中，可作为数对(S，l)的有 A.(1，4) B.(6，8) C.(7，12) D. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设矩形的长和宽分别为x，y， 则x+y=l，xy=S. 对于(1，4)，则x+y=2，xy=1， 根据均值不等式，满足xy≤符合题意； 对于(6，8)，则x+y=4，xy=6， 根据均值不等式，不满足xy≤不符合题意； 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于(7，12)，则x+y=6，xy=7， 根据均值不等式，满足xy≤符合题意； 对于则x+y=xy=3， 根据均值不等式，不满足xy≤不符合题意. 解析 14.中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形的三条边长分别为a，b，c，则三角形的面积S可由公式S=求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足a=8，b+c=10，则此三角形面积的最大值为　　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由已知可得p==9， 所以S= =3≤=12. 当且仅当b=c=5时，等号成立.故该三角形面积的最大值为12. 解析 15.(多选)《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题的方法，这种方法是西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有图形如图所示，C为线段AB上的点，且AC=a，BC=b，O为AB的中点，以AB为直径作半圆.过点C作AB的垂线交半圆于D，连接OD，AD，BD，过点C作OD的垂线，垂足为E，则该图形可以完成的所有的无字证明为 A.≥(a>0，b>0) B.a2+b2≥2ab(a>0，b>0) C.≥(a>0，b>0) D.≥(a≥0，b>0) 拓广探究 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由AC+CB=a+b，得OD= 由Rt△ACD∽Rt△DCB可知 CD== 又OD≥CD，∴≥(a>0，b>0)，A正确； 由Rt△CDE∽Rt△ODC可知CD2=DE·OD， 即DE=== 又CD≥DE，即≥(a>0，b>0)，C正确. 解析 16.已知a，b为正实数，且+=2. (1)求a2+b2的最小值； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为a，b为正实数，且+=2 所以+=2≥2 即ab≥. 因为a2+b2≥2ab≥2×=1 所以a2+b2的最小值为1. 解 (2)若(a-b)2≥4(ab)3，求ab的值. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为+=2所以a+b=2ab. 因为(a-b)2≥4(ab)3，所以(a+b)2-4ab≥4(ab)3， 即(2ab)2-4ab≥4(ab)3， 即(ab)2-2ab+1≤0，即(ab-1)2≤0. 因为a，b为正实数，所以ab=1. 解 第二章　 2.2.4　均值不等式及其应用 <<< $