第2章 2.1.1 等式的性质与方程的解集（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（人教B版）

本讲义聚焦等式的性质、恒等式、十字相乘法及方程的解集核心知识点，通过狐狸的错误推理情境导入，梳理等式性质，结合恒等式学习分解因式，最终用十字相乘法解决方程解集问题，构建从基础到应用的学习支架。 资料以情境化问题培养数学眼光（发现等式性质应用漏洞），通过问题链与例题变式发展数学思维（如含参数方程分类讨论），规范符号语言提升数学表达。课中助力教师引导逻辑推理，课后练习帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

2.1.1　等式的性质与方程的解集 学习目标　1.能用符号语言和量词表示等式的性质.2.了解恒等式，掌握常见的恒等式，会用“十字相乘法”分解二次三项式.3.能利用等式的性质和有关恒等式进行代数变形，求方程的解集. 导语 有只狡猾的狐狸平时总喜欢戏弄其他动物，有一天它遇见老虎，狐狸说：“我发现了2和5可以相等.我这里有一个方程5x-2=2x-2. 等式两边同时加上2，得5x-2+2=2x-2+2，即5x=2x，等式两边同时除以x，得5=2”. 老虎瞪大了眼睛，一脸疑惑，你认为狐狸的说法正确吗？ 一、等式的性质、恒等式 问题1　判断下列命题是否正确. (1)如果a=b，那么b=a； (2)如果a=b，b=c，那么a=c； (3)如果a=b，那么a±c=b±c； (4)如果a=b，那么ac=bc； (5)如果a=b，c≠0，那么=. 提示　以上均正确，这些都是等式的基本性质. 知识梳理 1.等式的性质 (1)等式的两边同时加上(或减去)同一个数或代数式，等式仍成立，用公式表示：如果a=b，则对任意c，都有a±c=b±c；这里的a，b，c可以是具体的一个数，也可以是一个代数式. (2)等式的两边同时乘以(或除以)同一个不为零的数或代数式，等式仍成立，用公式表示：如果a=b，则对任意不为零的c，都有ac=bc=. 2.恒等式 (1)恒等式的含义 一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意实数时等式都成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等. (2)常见的代数恒等式 ①(a+b)2=a2+2ab+b2， (a-b)2=a2-2ab+b2. ②a2-b2=(a+b)(a-b). ③a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)， a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2). ④(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab， (ax+b)(cx+d)=acx2+(ad+bc)x+bd. 例1　(课本例1)化简(2x+1)2-(x-1)2. 解　方法一　可以利用两数和的平方公式与两数差的平方公式展开，然后合并同类项， 即(2x+1)2-(x-1)2=4x2+4x+1-(x2-2x+1)=3x2+6x. 方法二　可以将2x+1和x-1分别看成一个整体，然后使用平方差公式，即(2x+1)2-(x-1)2=[(2x+1)+(x-1)][(2x+1)-(x-1)]=3x(x+2)=3x2+6x. 例1　(1)下列变形一定正确的是(　　) A.若ax=bx，则a=b B.若(a+1)x=a+1，则x=1 C.若x=y，则x-5=5-y D.若x=y，则= 答案　D 解析　等式的性质(2)中等式的两边同时除以一个不为0的数，等式仍成立，应找不为0的式子，而A中x可能为0，B中a+1可能为0，故A，B错误；而D中a2+1>0，故D正确. (2)化简(m2+1)(m+1)(m-1)-(m4+1)的值是(　　) A.-2m2 B.0 C.-2 D.-1 答案　C 解析　(m2+1)(m+1)(m-1)-(m4+1) =(m2+1)(m2-1)-(m4+1) =(m4-1)-(m4+1) =m4-1-m4-1 =-2. 反思感悟　(1)使用公式化简时，一定要分清公式中的a，b分别对应题目中的哪个数或哪个整式. (2)利用公式化简时，要注意选择恰当的公式，可以有效地简化运算. 跟踪训练1　(1)化简(x+3y)2-(3x+y)2. 解　方法一　(x+3y)2-(3x+y)2 =x2+6xy+9y2-(9x2+6xy+y2) =x2+6xy+9y2-9x2-6xy-y2 =8y2-8x2. 方法二　(x+3y)2-(3x+y)2 =[(x+3y)+(3x+y)][(x+3y)-(3x+y)] =(x+3y+3x+y)(x+3y-3x-y) =(4x+4y)(-2x+2y) =4(x+y)×2(-x+y) =8y2-8x2. (2)已知a2+b2+2a-4b+5=0，则2a2+4b-3的值为　　　　.  答案　7 解析　a2+b2+2a-4b+5=(a2+2a+1)+(b2-4b+4)=(a+1)2+(b-2)2=0， 所以a=-1，b=2， 所以2a2+4b-3=2×(-1)2+4×2-3=7. 二、十字相乘法分解因式 问题2　我们学过那些分解因式的方法？ 提示　提取公因式法，公式法等. 问题3　我们知道对任意的x，a，b，都有(x+a)·(x+b)=x2+(a+b)x+ab.那么对于二次三项式x2+x-2如何分解因式呢？ 提示　由(x+2)(x-1)=x2+x-2可知，二次三项式x2+x-2可分解为(x-1)(x+2). 知识梳理 给定式子x2+Cx+D，如果能找到a和b，使得D=ab且C=a+b，则x2+Cx+D=(x+a)(x+b).为了方便记忆，已知C和D，寻找满足条件的a和b的过程，通常用图来表示：，其中两条交叉的线表示对应数相乘后相加要等于C，也正因为如此，这种因式分解的方法称为“十字相乘法”. 注意点： 把二次项系数和常数项分解，交叉相乘，得到两个因数，再把两个因数相加，看它们的和是不是正好等于一次项系数. 例2　将下列各式因式分解： (1)x2+6x-7； (2)2x2-7x+6； (3)x2+29xy+100y2； (4)(a-b)2+11(a-b)+28. 解　(1)方法一　x2+6x-7=x2+6x+9-9-7 =(x+3)2-16=(x+3+4)(x+3-4) =(x+7)(x-1). 方法二　x2+6x-7=(x+7)(x-1). (2)首先把二次项系数2分成1×2，常数项6分成(-2)×(-3)，写成十字相乘，左边两个数的积为二次项系数. 右边两个数相乘为常数项，交叉相乘的和为1×(-3)+2×(-2)=-7，正好是一次项系数，从而得2x2-7x+6=(x-2)(2x-3). (3)x2+29xy+100y2=x2+29y·x+4y·25y=(x+4y)(x+25y). (4)(a-b)2+11(a-b)+28 =[(a-b)+4][(a-b)+7] =(a-b+4)(a-b+7). 反思感悟　(1)对于二次项系数是1的二次三项式的十字相乘法，重点是运用公式x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)进行因式分解. (2)对于二次三项式ax2+bx+c(a，b，c都是整数，且a≠0)来说，如果存在四个整数a1，c1，a2，c2满足a1a2=a，c1c2=c，并且a1c2+a2c1=b，那么二次三项式ax2+bx+c，即a1a2x2+(a1c2+a2c1)x+c1c2可以分解为(a1x+c1)·(a2x+c2). 跟踪训练2　将下列各式因式分解： (1)x2+37x+36； (2)-x2+(a-2)x+2a. 解　(1)x2+37x+36=(x+1)(x+36). (2)-x2+(a-2)x+2a=(x+2)(-x+a)=-(x+2)·(x-a). 三、方程的解集 1.方程的解(或根)是指能使方程左右两边相等的未知数的值.一般地，把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集. 2.方程(x-x1)(x-x2)=0，当x1≠x2时解集为{x1，x2}，当x1=x2时解集为{x1}. 注意点： 把方程通过变换，求出的未知数的值不一定是这个方程的根，也可能是这个方程的增根. 例3　(1)(课本例2)求方程x2-5x+6=0的解集. 解　因为x2-5x+6=(x-2)(x-3)，所以原方程可以化为(x-2)(x-3)=0， 从而可知x-2=0或x-3=0，即x=2或x=3，因此所求解集为{2，3}. (2)(课本例3)求关于x的方程ax=2的解集，其中a是常数. 解　当a≠0时，在等式ax=2的两边同时乘以得x=此时解集为. 当a=0时，方程变为0x=2，这个方程无解，此时解集为∅. 综上，当a≠0时，解集为；当a=0时，解集为∅. 例3　求下列方程的解集： (1)4-3(10-y)=5y； (2)4x2-3x-1=0； (3)ax2-(a+1)x+1=0. 解　(1)去括号，得4-30+3y=5y. 移项，得3y-5y=30-4. 合并同类项，得-2y=26. 系数化为1，得y=-13. 所以该方程的解集为{-13}. (2)因为4x2-3x-1=(x-1)(4x+1)， 所以原方程可化为(x-1)(4x+1)=0， 所以x-1=0或4x+1=0，即x=1或x=- 故原方程的解集为. (3)当a=0时，原方程可化为-x+1=0，所以x=1； 当a≠0时，对于ax2-(a+1)x+1来说， 因为a×1=a，(-1)×(-1)=1，a×(-1)+1×(-1)=-(a+1)，如图所示， 所以ax2-(a+1)x+1=(ax-1)(x-1)， 所以原方程可化为(ax-1)(x-1)=0， 所以当a=1时，x=1， 当a≠1时，x=或x=1. 所以当a=0或a=1时，方程的解集为{1}； 当a≠0且a≠1时，方程的解集为. 反思感悟　利用因式分解将式子分解为因式乘积的形式，利用ab=0，则a=0或b=0求解. 跟踪训练3　(1)求下列方程的解集： ①(x+3)(x+1)=6x+2； ②16(x-5)2-9(x+4)2=0. 解　①整理，得x2-2x+1=0. 即(x-1)2=0， 所以x1=x2=1. 所以原方程的解集为{1}. ②利用平方差公式，将原方程化为[4(x-5)+3(x+4)][4(x-5)-3(x+4)]=0， 整理可得(7x-8)(x-32)=0， 所以7x-8=0或x-32=0， 所以x=或x=32，故原方程的解集为. (2)求关于x的方程ax=1(其中a为常数)的解集. 解　当a≠0时，在等式ax=1的两边同时乘以得x=此时解集为. 当a=0时，方程无解，此时解集为∅. 综上所述，当a≠0时，方程ax=1的解集为；当a=0时，方程ax=1的解集为∅. 1.知识清单： (1)等式的性质及常见的恒等式. (2)十字相乘法. (3)求方程的解集. 2.方法归纳：提取公因式法、公式法、十字相乘法. 3.常见误区：公式中“±”号的选取，十字相乘法中的配凑. 1.已知等式ax=ay，下列变形不正确的是(　　) A.= B.ax+1=ay+1 C.2ax=2ay D.3-ax=3-ay 答案　A 解析　对于A，当x=y=0时，满足ax=ay，但无意义，故A选项错误； 对于B，∵ax=ay，∴ax+1=ay+1，故B选项正确； 对于C，∵ax=ay，∴2ax=2ay，故C选项正确； 对于D，∵ax=ay，∴3-ax=3-ay，故D选项正确. 2.已知关于x的方程2x+a-9=0的解集是{2}，则a的值为(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 答案　D 解析　原方程可化为x=又方程的解集是{2}，所以=2，解得a=5. 3.(多选)下列因式分解正确的是(　　) A.x2+6xy+9y2=(x+3y)2 B.2x2-4xy+9y2=(2x-3y)2 C.2x2-8y2=2(x+4y)(x-4y) D.x2+(a+2)x+2a=(x+a)(x+2) 答案　AD 解析　A正确；(2x-3y)2=4x2-12xy+9y2，故B错误；对于C，2x2-8y2=2(x2-4y2)=2(x+2y)(x-2y)，故C错误；D正确. 4.若2x2+3x+5=a(2x+1)(x+1)+b恒成立，则a+b的值为　　　　.  答案　5 解析　因为2x2+3x+5=a(2x+1)(x+1)+b，即2x2+3x+5=2ax2+3ax+a+b恒成立， 所以所以a+b=5. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共25分；多选题每小题6分，共24分 1.(多选)下列变形中不正确的是(　　) A.若=则a=b B.若(a2+1)x=a2+1，则x=1 C.若|a|=|b|，则a=b D.若a2=b2，则a=b 答案　CD 解析　对于A，c≠0，显然成立，故A正确；对于B，a2+1>0，所以x=1，故B正确；对于C，若|a|=|b|，则a=±b，故C错误；对于D，若a2=b2，则a=±b，故D错误. 2.(多选)下列方程的解集不正确的是(　　) A.x-3=1的解集是{-2} B.x-2x=6的解集是{-4} C.3x-4=(x-3)的解集是{3} D.-x=2的解集是 答案　ACD 解析　方程x-3=1的解是x=4x-2x=6的解是x=-4，3x-4=(x-3)的解是x=-7，-x=2的解是x=-6，故选ACD. 3.下列因式分解正确的是(　　) A.-x2+4x=-x(x+4) B.x2+xy+x=x(x+y) C.x(x-y)+y(y-x)=(x-y)2 D.x2-4x+4=(x+2)(x-2) 答案　C 解析　对于A，因为-x2+4x=-x(x-4)，故A错误；对于B，因为x2+xy+x=x(x+y+1)，故B错误；对于C，因为x(x-y)+y(y-x)=(x-y)2，故C正确；对于D，因为x2-4x+4=(x-2)2，故D错误. 4.方程2m+x=1和3x-1=2x+1的解相同，则m的值为(　　) A.0 B.1 C.-2 D.- 答案　D 解析　方程3x-1=2x+1的解集为{2}，方程2m+x=1可化为x=1-2m，所以由已知可得1-2m=2，即m=-. 5.小南是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：a-b，x-1，3，x2+1，a，x+1分别对应下列六个字：科，爱，我，勤，理，学，现将3a(x2-1)-3b(x2-1)因式分解，结果呈现的密码信息可能是(　　) A.勤学 B.爱科学 C.我爱理科 D.我爱科学 答案　D 解析　3a(x2-1)-3b(x2-1) =3(x2-1)(a-b)=3(x+1)(x-1)(a-b)， ∵a-b，x-1，3，x2+1，a，x+1分别对应下列六个字：科，爱，我，勤，理，学， ∴结果呈现的密码信息可能是我爱科学. 6.若4x3-x=1，则 8x4+12x3-2x2-5x+5的值是(　　) A.2 B.4 C.6 D.8 答案　D 解析　∵4x3-x=1，∴8x4+12x3-2x2-5x+5=2x(4x3-x)+3(4x3-x)-2x+5=2x+3-2x+5=8. 7.(5分)方程-=1的解集为　　　　.  答案　 解析　原方程可化为-=1， 即6x-4-3x+9=6，即3x=1，解得x= 所以方程的解集为. 8.(5分)关于x的方程x2+mx=5m+5x(m为常数且m≠-5)的解集为　　　　　　　.  答案　{5，-m} 解析　原方程可化为x2+(m-5)x-5m=0，(x-5)(x+m)=0，又m≠-5，所以x=5或x=-m，所以方程的解集为{5，-m}. 9.(10分)分解下列因式： (1)(2x+y)2-(x+2y)2；(5分) (2)-8a2b+2a3+8ab2.(5分) 解　(1)原式=[(2x+y)+(x+2y)][(2x+y)-(x+2y)]=3(x+y)(x-y). (2)原式=2a(a2-4ab+4b2)=2a(a-2b)2. 10.(10分)(1)求关于x的方程x2-(k+3)x+3k=0(k为常数)的解集；(4分) (2)关于x的方程ax=3的解集A包含于方程x2+6x+5=0的解集B，求a的值.(6分) 解　(1)原方程可化为(x-3)(x-k)=0， 当k≠3时，方程的解集为{3，k}； 当k=3时，方程的解集为{3}. (2)x2+6x+5=0可化为(x+1)(x+5)=0， 即x=-1或x=-5，所以B={-1，-5}. 又当a=0时，A=∅，满足A⊆B；当a≠0时，A=由A⊆B，得=-1或=-5，即a=-3或a=-. 综上可得，a=0或a=-3或a=-. 11.在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形(a>b)(如图甲)，将余下的部分剪接拼成一个长方形(如图乙)，根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证的等式为(　　) A.(a+2b)(a-b)=a2+ab-2b2 B.a2-b2=(a+b)(a-b) C.(a+b)2=a2+2ab+b2 D.(a-b)2=a2-2ab+b2 答案　B 解析　图甲中阴影部分的面积为a2-b2，图乙中阴影部分的面积为(a+b)(a-b)， 因为两个图形中阴影部分的面积相等， 所以a2-b2=(a+b)(a-b). 12.(多选)要在二次三项式x2+(　　)x-6的括号中填上一个整数，使它能按公式x2+(a+b)x+ab=(x+a)·(x+b)因式分解，那么这个整数可以是(　　) A.1 B.-1 C.5 D.7 答案　ABC 解析　∵-6可以分解成-2×3，2×(-3)，-1×6，1×(-6)，∴(　　 )中填上的整数应该是-6的两个因数的和，即1，-1，5，-5. 13.(5分)若实数a，b满足(4a+4b)(4a+4b-2)-8=0，则a+b=　　　　.  答案　-或1 解析　设a+b=x，则原方程可化为4x(4x-2)-8=0，整理得16x2-8x-8=0，所以(2x+1)(x-1)=0， 解得x=-或x=1，则a+b=-或a+b=1. 14.(5分)已知y=1是方程2-13(m-y)=2y的解，则m=　　　　，关于x的方程m(x-3)-2=m(2x-5)的解集为　　　　.  答案　1　{0} 解析　因为y=1是方程2-13(m-y)=2y的解， 所以2-13(m-1)=2，即m=1. 所以方程m(x-3)-2=m(2x-5)⇒(x-3)-2=2x-5，解得x=0.所以方程的解集为{0}. 15.(多选)规定一种运算：=ad-bc.例如：=8，运算得5x-2=8，解得x=2.按照这种运算的规定，那么当=5时，x的可能取值为(　　) A.-1 B.0 C.2 D.5 答案　AD 解析　由题意，得=x2-4x=5， 即x2-4x-5=0，解得x=5或x=-1. 16.(11分)已知集合A={x|x2+(m-2)x-2m=0}，B={x|mx=2x+1}，若B⊆A，求实数m的值. 解　当m≠2时，B=； 当m=2时，B=∅. 又A={x|(x-2)(x+m)=0}，当m≠-2时，A={2，-m}；当m=-2时，A={2}. 又因为B⊆A，所以当m=2时，B=∅⊆A，满足条件； 当m≠2时，由B⊆A，得=2或=-m， 解得m=或m=1. 综上，实数m的值为1或2或. 学科网（北京）股份有限公司 $