1.1.2　集合的基本关系 课件-2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第一册

该高中数学课件聚焦集合的基本关系，涵盖子集、真子集、集合相等及维恩图应用。通过“北京市公民与中国公民集合”的情境导入，以问题引导学生从元素与集合关系过渡到集合间关系，搭建从集合概念到关系的学习支架。 其亮点在于以数学抽象和直观想象为核心，通过“想一想”辨析易混点，“通性通法”总结解题策略。如用维恩图、数轴辅助理解抽象关系，典型例题分题型（关系判断、子集个数、参数求解），帮助学生深化概念，教师可直接用于课堂，提升教学效率。

1.1.2　集合的基本关系 新课程标准解读 核心素养 1.理解集合之间包含与相等的含义 数学抽象 2.能识别给定集合的子集 数学抽象 3.了解空集与其他集合的关系 数学抽象 4.能使用维恩图表达集合的基本关系，体会图形对 理解抽象概念的作用 数学抽象、直观 想象 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 　　所有中国公民构成的集合为 B ，北京市的中国公民构成的集合为 A . 目录 数学·必修第一册（B版） （2）集合 A 与集合 B 有什么关系？  　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【问题】　（1）集合 A 中元素与集合 B 中元素存在怎样的关系？ 目录 数学·必修第一册（B版） 知识点一　子集 1. 概念：一般地，如果集合 A 的任意一个元素都是集合 B 的元素，那 么集合 A 称为集合 B 的子集.记作 A ⊆ B （或 B ⊇ A ），读作“ A 包含 于 B ”（或“ B 包含 A ”）. 2. 如果 A 不是 B 的子集，记作 A ⊈ B （或 B ⊉ A ），读作“ A 不包含于 B ”（或“ B 不包含 A ”）. 3. 性质： A ⊆ A ；∅⊆ A . 目录 数学·必修第一册（B版） 【想一想】 1. 任意两个集合之间是否有包含关系？ 提示：不一定，如集合 A ＝{1，3}， B ＝{2，3}，这两个集合就没 有包含关系. 目录 数学·必修第一册（B版） 2. 符号“∈”与“⊆”有什么区别？ 提示：（1）“∈”是表示元素与集合之间的关系，比如1∈N，－ 1∉N. （2）“⊆”是表示集合与集合之间的关系，比如N⊆R，{1，2， 3}⊆{3，2，1}. （3）“∈”的左边是元素，右边是集合，而“⊆”的两边均为 集合. 目录 数学·必修第一册（B版） 知识点二　真子集 1. 真子集的有关概念与性质 （1）概念：一般地，如果集合 A 是集合 B 的子集，并且 B 中至少有 一个元素不属于 A ，那么集合 A 称为集合 B 的真子集，记作 A ⫋ B （或 B ⫌ A ），读作“ A 真包含于 B ”（或“ B 真包含 A ”）； （2）性质：对于集合 A ， B ， C ，①如果 A ⊆ B ， B ⫋ C ，则 A ⫋ C ；②如果 A ⫋ B ， B ⫋ C ，则 A C . ⫋　 目录 数学·必修第一册（B版） （1）概念：如果用平面上一条封闭曲线的 来表示集合， 这种示意图通常称为维恩图； （2）维恩图的优点及其表示 ①优点：形象直观； ②表示：通常用 的 代表集合. 内部　 封闭曲线　 内部　 2. 维恩图 目录 数学·必修第一册（B版） 【想一想】 1. 任何集合 A 是其本身的真子集吗？ 提示：任何集合 A 不可能是其本身的真子集. 2. 空集是任何集合的真子集吗？ 提示：空集是任何非空集合的真子集. 目录 数学·必修第一册（B版） 3. 你认为“⊆”和“⫋”有什么区别和联系？ 提示：（1）“⊆”和“⫋”均表示集合与集合之间的关系. （2）“⊆”表示子集关系，“⫋”表示真子集关系. （3）若 A ⫋ B ，则 A ⊆ B . 但是，若 A ⊆ B ，则 A ⫋ B 不一定成立. 目录 数学·必修第一册（B版） 知识点三　集合的相等与子集的关系 性质：由集合相等的定义可知：如果 且 ，则 A ＝ B ；反之，如果 A ＝ B ，则 且 ⁠. A ⊆ B 　 B ⊆ A 　 A ⊆ B 　 B ⊆ A 　 目录 数学·必修第一册（B版） 1. （多选）下列表述正确的是（　　） A. {1}⊆{1，2} B. {0}⊆{1，2} C. {1，2}⊇{2} D. {1，2}⊆{2，1} 解析：　由子集的概念知A、C、D表述正确；因为0∉{1，2}， 所以{0}⊈{1，2}. 目录 数学·必修第一册（B版） 2. 已知集合 P ＝{－1，0，1，2}， Q ＝{－1，0，1}，则（　　） A. P ∈ Q B. P ⊆ Q C. Q ⊆ P D. Q ∈ P 解析：　集合 Q 中的元素都在集合 P 中，所以 Q ⊆ P . 目录 数学·必修第一册（B版） 3. 若 M ＝{ x ｜（ x －1）（ x ＋2）＝0}， N ＝{1，－2}， P ＝ {（ x ， y ）｜ y ＝（ x －1）（ x ＋2）}，则这三个集合中，具 有相等关系的是 ⁠. 解析： M 为方程（ x －1）（ x ＋2）＝0的解集，故 M ＝{1，－2}， P 表示点集， M ， N 都为数集，且元素完全相同.故填 M 和 N . M 和 N 目录 数学·必修第一册（B版） 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 集合间关系的判断 【例1】　（链接教科书第13页例3）指出下列各对集合之间的关系： （1） A ＝{－1，1}， B ＝{（－1，－1），（－1，1），（1，－ 1），（1，1）}； 解：集合 A 的代表元素是数，集合 B 的代表元素是有序实 数对，故 A 与 B 之间无包含关系. 目录 数学·必修第一册（B版） （2） A ＝{ x ｜－1＜ x ＜4}， B ＝{ x ｜ x －5＜0}； 解：集合 B ＝{ x ｜ x ＜5}，用数 轴表示集合 A ， B 如图所示，由图可 知 A ⫋ B . （3） A ＝{ x ｜ x 是等边三角形}， B ＝{ x ｜ x 是等腰三角形}； 解：等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边 相等的三角形，故 A ⫋ B . 目录 数学·必修第一册（B版） （4） M ＝{ x ｜ x ＝2 n －1， n ∈N*}， N ＝{ x ｜ x ＝2 n ＋1， n ∈N*}； 解：两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于 n ∈N*，因此集合 M 含有元素“1”，而集合 N 不含元素“1”，故 N ⫋ M . （5） A ＝{ x ｜ x ＝ a2＋1， a ∈R}， B ＝{ x ｜ x ＝ a2－4 a ＋5， a ∈R}. 解：A ＝{ x ｜ x ＝ a2＋1， a ∈R}＝{ x ｜ x ≥1}， B ＝{ x ｜ x ＝（ a －2）2＋1， a ∈R}＝{ x ｜ x ≥1}，所以 A ＝ B . 目录 数学·必修第一册（B版） 通性通法 1. 判断集合间关系的常用方法 目录 数学·必修第一册（B版） 2. 已知集合相等求参数的方法 从集合相等的概念入手，寻找两个集合中元素之间的关系.首先 分析一个集合中的元素与另一个集合中哪个元素相等，共有几种 情况，然后通过列方程或方程组求解.当集合中未知元素不止一 个时，往往要分类讨论.求出参数值后要注意检验是否满足集合 中元素的互异性. 目录 数学·必修第一册（B版） 【跟踪训练】 1. 下列各组两个集合 A 和 B 表示同一集合的是（　　） A. A ＝{π}， B ＝{3.14} B. A ＝{2，3}， B ＝{（2，3）} D. A ＝{ x ｜－1＜ x ≤1， x ∈N}， B ＝{1} 目录 数学·必修第一册（B版） 解析：　A选项中集合 A 中的元素为无理数，而 B 中的元素为有理 数，故 A ≠ B ；B选项中集合 A 中的元素为实数，而 B 中的元素为有 序数对，故 A ≠ B ；C选项中因为｜－ ｜＝ ，则集合 A ＝{1， ，π}， B ＝{π，1， }，故 A ＝ B ；D选项中集合 A 中的元素为 0，1，而 B 中的元素为1，故 A ≠ B . 故选C. 目录 数学·必修第一册（B版） 2. 若集合 M ＝ ， N ＝{ x ｜ x ＝ ＋ ， k ∈Z}， 则集合 M ， N 之间的关系是 .⁠ 解析：因为 M ＝ ＝ ， N ＝ ＝ ， 若 x ∈ M ，则 x ＝ ＝ ， M ⫋ N 　 目录 数学·必修第一册（B版） 因为 k ∈Z，所以2 k －1∈Z， 所以 x ∈ N ，所以 M ⊆ N ， 又因为0∈ N ，0∉ M ，所以 M ⫋ N . 目录 数学·必修第一册（B版） 题型二 确定有限集合的子集、真子集及其个数 【例2】　（链接教科书第11页例1）（1）集合 M ＝{1，2，3}的真子 集个数是（　B　） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 解析：集合 M 的真子集所含有的元素的个数可以有0个，1个或2个， 含有0个为∅，含有1个有3个真子集{1}，{2}，{3}，含有2个元素有3 个真子集{1，2}，{1，3}和{2，3}，共有7个真子集，故选B. 目录 数学·必修第一册（B版） （2）满足{1，2}⫋ M ⊆{1，2，3，4，5}的集合 M 有 个. 解析：由{1，2}⫋ M ⊆{1，2，3，4，5}，可以确定集合 M 必含 有元素1，2，且含有元素3，4，5中的至少一个，因此集合 M 的 元素个数分类如下： 含有三个元素：{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}； 含有四个元素：{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4， 5}； 含有五个元素：{1，2，3，4，5}. 故满足题意的集合 M 共有7个. 7 目录 数学·必修第一册（B版） 通性通法 1. 求集合子集、真子集个数的3个步骤 目录 数学·必修第一册（B版） 2. 与子集、真子集个数有关的3个结论 假设集合 A 中含有 n 个元素，则有： （1） A 的子集的个数为2 n 个； （2） A 的真子集的个数为2 n －1个； （3） A 的非空真子集的个数为2 n －2个. 目录 数学·必修第一册（B版） 【跟踪训练】 1. 集合{ x ∈N｜－4＜ x －1＜4， x ≠1}的非空真子集的个数为 （　　） A. 31 B. 30 C. 15 D. 14 解析：　由题意得集合{ x ∈N｜－4＜ x －1＜4， x ≠1}＝{0，2， 3，4}，则该集合的非空真子集个数为24－2＝14个.故选D. 目录 数学·必修第一册（B版） 2. 若集合 A ＝{ x ｜ x2－3 x ＝0}， B ＝{0，1，2，3}，则满足 A ⊆ M ⊆ B 的集合 M 的个数是 ⁠. 解析：因为集合 A ＝{ x ｜ x2－3 x ＝0}＝{0，3}， B ＝{0，1，2， 3}，因为 A ⊆ M ⊆ B ，故 M 有元素0，3，且可能有元素1或2，所以 M ＝{0，3}或 M ＝{0，1，3}或 M ＝{0，2，3}或 M ＝{0，1，2， 3}，故满足 A ⊆ M ⊆ B 的集合 M 的个数为4. 4 目录 数学·必修第一册（B版） 题型三 由集合间的关系求参数值（范围） 角度1　由集合相等求参数 【例3】　已知集合 A ＝{ a ， a ＋ b ， a ＋2 b }， B ＝{ a ， ac ， ac2}， 若 A ＝ B ，求 c 的值. 解：∵ A ＝ B ，∴ 当时，消去 b 得 ac2＋ a －2 ac ＝0. 若 a ＝0，则 a ＝ ac ＝ ac2＝0，不满足集合中元素的互异性， 目录 数学·必修第一册（B版） ∴ a ≠0，∴ c2－2 c ＋1＝0，∴ c ＝1，此时 a ＝ ac ＝ ac2＝ a ，不满足 集合中元素的互异性，舍去. 当时，消去 b 得2 ac2－ ac － a ＝0. ∵ a ≠0，∴2 c2－ c －1＝0.而 c ≠1，∴ c ＝－ . 将 c ＝－得 b ＝－ a . 从而可得 A ＝ ， B ＝ ，满足题意. 故 c 的值为－ . 目录 数学·必修第一册（B版） 通性通法 由集合相等求参数的方法 　　解决由两集合相等求参数问题的关键是明确“两集合相等即两集 合中所含元素完全相同，且与元素排列顺序无关”，利用分类讨论的 思想方法呈现所有可能的对应情况即可.另外，需注意检验所求参数的 值是否满足题中的限制条件，以及是否满足集合中元素的互异性. 目录 数学·必修第一册（B版） 角度2　已知包含关系求参数 【例4】　（链接教科书第11页例2）已知集合 A ＝{ x ｜－2≤ x ≤5}， B ＝{ x ｜ m ＋1≤ x ≤2 m －1}，若 B ⫋ A ，求实数 m 的取值范围. 解：①当 B ≠∅时，如图所示. ∵ B ⫋ A ∴或 解这两个不等式组，得2≤ m ≤3. ②当 B ＝∅时，由 m ＋1＞2 m －1，得 m ＜2，此时 B ⫋ A . 综上可得， m 的取值范围是（－∞，3]. 目录 数学·必修第一册（B版） 【母题探究】 1. （变条件）在本例条件下，若 B ⊆ A ，求实数 m 的取值范围. 解：当 B ＝∅时， m ＋1＞2 m －1，即 m ＜2. 当 B ≠∅时， 解得即2≤ m ≤3. 综上可知， m 的取值范围为（－∞，3]. 目录 数学·必修第一册（B版） 2. （变条件）在本例条件下，若 A ⫋ B ，求实数 m 的取值范围. 解：∵ A ⫋ B . ∴ 即 ∴ m ∈∅，即不存在 m 使 A ⫋ B . 目录 数学·必修第一册（B版） 通性通法 应用集合关系求参数的4个步骤 目录 数学·必修第一册（B版） 【跟踪训练】 1. 若[－1，2）⫋（－∞， k ]，则实数 k 的取值范围是（　　） A. k ≤2 B. k ≥－1 C. k ＞－1 D. k ≥2 解析：　由于[－1，2）⫋（－∞， k ]，如图， 所以 k ≥2.故选D. 目录 数学·必修第一册（B版） 2. 设 a ， b ∈R，若集合{1， a ＋ b ， a }＝ ，则 a － b ＝ ⁠. 解析：因为{1， a ＋ b ， a }中含有元素0， a ≠0， 所以 a ＋ b ＝0，所以 ＝{0，－1， b }. 由已知{1， a ＋ b ， a }＝ ， 得{1，0， a }＝{0，－1， b }，所以 a ＝－1， b ＝1， 所以 a － b ＝－2. －2 目录 数学·必修第一册（B版） 1. (2025高一上·东莞期末) 设集合，，满足，则实数的取值范围是（　　） A.{a∣a≤−1} B. {a∣a≥−1} C. {a∣a≥2} D. {a∣a≤2} 解析：∵A⊆B，，， 由题意如图： ∴a−1≥1，解得. 目录 数学·必修第一册（B版） 2. 已知集合 A ＝{0，1，2}， B ＝{1， m }.若 B ⊆ A ，则 m 等于（　　） A. 0 B. 0或1 C. 0或2 D. 1或2 解析：　因为 A ＝{0，1，2}， B ＝{1， m }，且 B ⊆ A ，所以 m ＝ 0或2.故选C. 目录 数学·必修第一册（B版） 3. 若集合 A ＝{ x ｜ x ＝3 k ， k ∈Z}， B ＝{ x ｜ x ＝6 k ， k ∈Z}，则 A 与 B 之间最适合的关系是（　　） A. A ⊆ B B. A ⊇ B C. A ⫋ B D. B ⫋ A 解析：　依题意，集合 A 的元素是3的倍数，集合 B 的元素是6的 倍数，所以集合 B 是集合 A 的真子集.故选D. 目录 数学·必修第一册（B版） 4. （多选）已知集合 A ＝{ x ｜ ax ≤4}， B ＝{4， }，若 B ⊆ A ，则 实数 a 的值可能是（　　） A. －1 B. 1 C. －2 D. 2 解析：　因为 B ⊆ A ，所以4∈ A ， ∈ A ，则解 得 a ≤1.故选A、B、C. 目录 数学·必修第一册（B版） 5. 已知集合 A ⊆{0，1，2}，且集合 A 中至少含有一个偶数，则这样的 集合 A 的个数为 ⁠. 解析：集合{0，1，2}的子集为：∅，{0}，{1}，{2}，{0，1}， {0，2}，{1，2}，{0，1，2}，其中含有偶数的集合有6个. 6 目录 数学·必修第一册（B版） 谢 谢 观 看！ $