周末练18 综合检测试卷（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（人教A版）

**基本信息** 以高考模拟卷为载体，整合集合、函数、三角函数等核心知识，通过多题型综合考查逻辑推理与运算能力，强化知识应用与数学建模。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |集合与逻辑|3题（1-3）|概念辨析与条件判断|从集合运算到命题真假，构建逻辑推理基础| |函数与导数|5题（4-6,8,11）|性质应用与方程根问题|结合单调性、奇偶性及最值，深化函数思想| |三角函数|2题（7,10）|恒等变换与图象性质|从三角公式推导到图象分析，强化运算能力| |不等式与应用|3题（9,14,18）|性质判断与实际应用|以不等式性质为基，结合基本不等式解决最值| |二次函数综合|2题（15,19）|集合关系与方程综合|从解析式求解到恒成立问题，体现模型应用|

周末练18　综合检测试卷 [时间：120分钟 分值：150分] 一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分) 1.(2024·新课标全国Ⅰ)已知集合A={x|-5<x3<5}，B={-3，-1，0，2，3}，则A∩B等于(　　) A.{-1，0} B.{2，3} C.{-3，-1，0} D.{-1，0，2} 答案　A 解析　因为A={x|-<x<}， B={-3，-1，0，2，3}， 且1<<2，-2<-<-1， 所以A∩B={-1，0}. 2.已知命题p：∀x∈R，x2+1>0；命题q：∃x>0<0，则(　　) A.命题p是真命题，命题q是真命题 B.命题p是假命题，命题q是假命题 C.命题p是真命题，命题q是假命题 D.命题p是假命题，命题q是真命题 答案　C 解析　因为∀x∈R，x2+1≥1>0，所以命题p是真命题， 因为≥0，所以不存在x>0<0，所以命题q是假命题. 3.“m=1”是“mn+1=m+n”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案　A 解析　由mn+1=m+n，得(m-1)(n-1)=0，解得m=1或n=1， 显然“m=1”可以推出“m=1或n=1”，“m=1或n=1”不可以推出“m=1”， 所以“m=1”是“mn+1=m+n”的充分不必要条件. 4.设x+3y=2，则函数z=3x+27y的最小值是(　　) A.12 B.6 C.27 D.30 答案　B 解析　∵x+3y=2， ∴函数z=3x+27y≥2=2=6， 当且仅当x=3y=1时取等号. ∴函数z=3x+27y的最小值是6. 5.已知a=log23，b=c=20.4，则下列结论正确的是(　　) A.c>b>a B.b>c>a C.b>a>c D.a>b>c 答案　C 解析　因为y=log2x在(0，+∞)上单调递增， 且<4， 所以log2<log2<log24， 即log2<log23<log222， 所以<log23<2，即<a<2， b==log310， 因为y=log3x在(0，+∞)上单调递增，且10>9， 所以log310>log39=2，即b>2， 因为y=2x为R上的增函数，且0<0.4< 所以20<20.4<<1.5，即1<c<1.5， 所以b>a>c. 6.函数f(x)=·sin x在[-2，2]上的图象大致是(　　) 答案　A 解析　因为f(-x)=·sin(-x)=-·sin x=·sin x=f(x)， 所以函数f(x)是偶函数，其图象关于y轴对称，排除C，D； 又f(1)=·sin 1=-sin 1<0，排除B. 7.(2023·新高考全国Ⅰ)已知sin(α-β)=cos αsin β=则cos(2α+2β)等于(　　) A. B. C.- D.- 答案　B 解析　因为sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β= 而cos αsin β= 因此sin αcos β= 则sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β= 所以cos(2α+2β)=cos 2(α+β)=1-2sin2(α+β)=1-2×. 8.已知定义域为R的函数f(x)满足：∀x，y∈R，f(x)-f(y)=f(x-y)+2(x-y)y，且f(6)=0，则(　　) A.f(0)=1 B.f(3)=9 C.f(x)是奇函数 D.∀x∈R，f(x)+f(-x)≥0 答案　D 解析　对于A，令x=6，y=0，则f(6)-f(0)=f(6-0)+2(6-0)×0，即f(6)-f(0)=f(6)， 所以f(0)=0，故A错误； 对于B，令x=6，y=3，则f(6)-f(3)=f(6-3)+2(6-3)×3，因为f(6)=0， 所以0-f(3)=f(3)+18，解得f(3)=-9，故B错误； 对于C，令x=0，则f(0)-f(y)=f(-y)-2y2， 又f(0)=0，所以-f(y)=f(-y)-2y2，则-f(x)=f(-x)-2x2， 当x≠0时，f(-x)=-f(x)+2x2≠-f(x)，不满足奇函数的定义， 所以f(x)不是奇函数，故C错误； 对于D，由C选项知，-f(x)=f(-x)-2x2，即f(x)+f(-x)=2x2≥0， 所以∀x∈R，f(x)+f(-x)≥0，故D正确. 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.已知a，b，c，d均为实数，下列不等关系推导不成立的是(　　) A.若a>b，c<d，则a+c>b+d B.若a>b，c>d，则ac>bd C.若a>b>0，c>d>0，则 D.若bc-ad>0>0，则ab<0 答案　ABD 解析　对于A，若a=2，b=1，c=-2，d=-1， 则a+c=b+d=0，所以A错误； 对于B，若a=2，b=1，c=-1，d=-2，则ac=bd=-2，所以B错误； 对于C，因为c>d>0，所以>0，即>0，因为a>b>0，所以>0，所以>0，所以C正确； 对于D，若a=1，b=2，c=2，d=1，满足bc-ad>0>0，而此时ab=2>0，所以D错误. 10.下列关于函数f(x)=tan的说法不正确的是(　　) A.在区间上单调递减 B.最小正周期是π C.为非奇非偶函数 D.图象关于点中心对称 答案　AB 解析　选项A，由x∈得2x+则函数f(x)=tan在区间上单调递增，故A错误； 选项B，函数f(x)=tan的最小正周期是故B错误； 选项C，f(x)为非奇非偶函数，故C正确； 选项D，当x=-时，f(x)=tan 0=0，故f(x)关于点中心对称，故D正确. 11.已知函数f(x)=方程[f(x)]2-mf(x)-1=0有4个不同的实数根，则下列选项正确的是(　　) A.函数f(x)零点的个数为2 B.实数m的取值范围为 C.函数f(x)无最值 D.函数f(x)在(0，+∞)上单调递增 答案　ABC 解析　因为函数f(x)=可得函数图象如图， 由图知函数f(x)有2个零点，故A选项正确； 函数f(x)没有最值，故C选项正确； 函数f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增，故D选项错误； 由于方程[f(x)]2-mf(x)-1=0有4个不同的实数根， 令t=f(x)，则t2-mt-1=0有2个不同的实数根， 因为Δ=m2+4>0恒成立， 设t2-mt-1=0的两个不相等的实数根为t1，t2，且t1<t2， 由根与系数的关系知t1+t2=m，t1t2=-1， 则t1，t2异号，由图可知t1<0，0<t2≤2， 所以22-2m-1≥0，解得m≤故B选项正确. 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12.函数f(x)=的定义域是　　　　　　　　　　　. 答案　(0，1)∪(1，2] 解析　因为f(x)= 所以 解得0<x<1或1<x≤2，即函数的定义域为(0，1)∪(1，2]. 13.(2024·全国甲卷)已知a>1，且=-则a=　　　　. 答案　64 解析　由题知a>1，则log2a>0 =log2a=- 整理得(log2a)2-5log2a-6=0， 则log2a=-1(舍去)或log2a=6， 所以log2a=6=log226， 故a=26=64. 14.已知幂函数f(x)=(m-1)2在(0，+∞)上单调递增，函数g(x)=2x-a，∀x1∈[1，5)，总存在x2∈[2，5)，使得f(x1)=g(x2)，则实数a的取值范围是　　　　　　　　　. 答案 [3，7] 解析　由已知(m-1)2=1，得m=0或m=2.当m=0时，y=x2，当m=2时，y=x-2. 又f(x)在(0，+∞)上单调递增，∴y=x2， ∴f(x)在[1，5)上的值域为[1，25)，由题意知，g(x)在[2，5)上的值域为[4-a，32-a)， ∵∀x1∈[1，5)，总存在x2∈[2，5)，使得f(x1)=g(x2)， ∴[1，25)是[4-a，32-a)的子集， ∴解得3≤a≤7. 四、解答题(本题共5小题，共77分) 15.(13分)已知集合A={x|1<x<3}，集合B={x|2m<x<1-m}. (1)当m=-1时，求A∪B；(5分) (2)若B⊆A，求实数m的取值范围.(8分) 解　(1)当m=-1时，B={x|-2<x<2}， 所以A∪B={x|-2<x<3}. (2)因为B⊆A， 所以当B=∅时，2m≥1-m，解得m≥ 满足B⊆A； 当B≠∅时，若满足B⊆A，则 该不等式无解， 综上，若B⊆A，则实数m的取值范围是. 16.(15分)(1)计算：+lg 5++lg 2+sin+tan+cos；(7分) (2)若tan θ=2，求的值.(8分) 解　(1)原式=+lg 5+lg 2+sin+tan+cos =+1+sin+tan+cos =4++1+=6. (2)因为tan θ=2， 所以 = ==2+=2+. 17.(15分)已知函数f(x)=x∈R). (1)填写下表，并用“五点法”画出f(x)在[0，π]上的图象；(6分) 2x+ x 0 π f(x) (2)将y=f(x)的图象向上平移1个单位长度，横坐标缩短为原来的再将得到的图象上所有点向右平移个单位长度后，得到g(x)的图象，求g(x)图象的对称轴方程.(9分) 解　(1)由题意可得表格如下， 2x+ π 2π x 0 π f(x) 0 - 0 可得图象如图所示. (2)将y=f(x)的图象向上平移1个单位长度得到y=+1的图象，再将横坐标缩短为原来的可得到y=+1的图象，再向右平移个单位长度可得y=+1 =+1的图象， 即g(x)=+1， 令4x-+kπ，k∈Z，解得x=k∈Z， 所以g(x)图象的对称轴方程是x=k∈Z. 18.(17分)某公司出售一款产品，需要固定投入300万元费用.假设购进该款产品可以全部售出.若该产品最高以80元的单价出售，且单价为80元时，可售出15万件，且每降价1元，销量增加5千件.若销量不超过30万件，则经销商按照每件30元成本收费；若销量在30万件以上，则直接与生产公司合作，以全新方式进行销售，此时利润P(x)(单位：万元)与销量x(单位：万件)的关系为P(x)=-x-+1 000. (1)当销量为20万件时，利润是多少？(4分) (2)写出利润W(x)(单位：万元)关于销量x(单位：万件)的函数解析式？(利润=销售收入-成本)(6分) (3)该产品的销量为多少万件时，利润最大？此时利润是多少？(7分) 解　(1)由题意知当销量为20万件时，单价为80-=70(元)， 则利润为(70-30)×20-300=500(万元). 所以当销量为20万件时，利润是500万元. (2)由题意知x≥15， 当15≤x≤30时，单价为80-=110-2x， 所以W(x)=(110-2x)x-30x-300=-2x2+80x-300； 当x>30时，W(x)=-x-+1 000， 所以W(x)= (3)由(2)知，当15≤x≤30时，W(x)=-2x2+80x-300=-2(x-20)2+500， 所以当x=20时，利润最大，此时利润是500万元； 当x>30时，W(x)=-x-+1 000 =-+1 010 ≤-2+1 010=910， 当且仅当x+10=即x=40时，利润最大，此时利润是910万元， 因为910>500，所以销量为40万件时，利润最大，此时利润是910万元. 19.(17分)已知二次函数y=f(x)的图象经过原点，函数f(x+1)是偶函数，方程f(x)+1=0有两个相等的实数根. (1)求y=f(x)的解析式；(5分) (2)若对任意x∈2f(log2x)+m≥0恒成立，求实数m的取值范围；(5分) (3)若函数g(x)=与h(x)=a·3x-a-2的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围.(7分) 解　(1)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0).由题意得，f(0)=c=0， ∴f(x)=ax2+bx，f(x+1)=ax2+(2a+b)x+b+a， ∵f(x+1)是偶函数， ∴-=0，即2a+b=0. ① ∵f(x)+1=0有两个相等的实数根， ∴Δ=b2-4a=0， ② 由①②，解得a=1，b=-2，∴f(x)=x2-2x. (2)若对任意x∈2f(log2x)+m≥0恒成立， 只需m≥-2(log2x)2+4log2x在x∈时恒成立. 令φ(x)=-2(log2x)2+4log2x，x∈则φ(x)max=φ(2)=2. 若对任意x∈2f(log2x)+m≥0恒成立， 只需满足m≥φ(x)max=2， ∴m的取值范围为[2，+∞). (3)函数g(x)=与h(x)=a·3x-a-2的图象有且只有一个公共点， ∴方程=a·3x-a-2有且只有一个实数根， 即(a-1)·(3x)2-a·3x-1=0有且只有一个实数根. 令t=3x>0，则关于t的方程(a-1)t2-at-1=0 (记为*式)只有一个正的实数根. 若a=1，则t=-不符合题意，舍去； 若a≠1，则方程(*)的两根异号或有两相等正根， ∴<0或 ∴a>1或 ∴a>1或a=-3. 综上，实数a的取值范围是{-3}∪(1，+∞). 学科网（北京）股份有限公司 $