第5章 周末练17 章末检测试卷(五)（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（人教A版）

**基本信息** 聚焦三角函数与三角恒等变换，通过概念辨析、性质应用、实际建模等题型，系统整合定义、图像、性质及应用，强化逻辑推理与数学建模能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|3题（1,9,12）|终边相同角、象限角判断、三角函数定义|从角的概念到三角函数定义，构建基础认知| |性质应用|5题（2,5,8,10,11）|函数奇偶性、周期性、最值、图像对称性|以函数性质为核心，串联三角恒等变换与图像分析| |三角计算|4题（3,4,14,15）|三角公式化简、求值、条件等式|强化和差倍角公式应用，培养运算能力| |图像分析|2题（11,17）|由图像求解析式、对称轴与对称中心|结合图像直观，深化数形结合思想| |实际建模|1题（18）|摩天轮高度与时间函数关系|运用三角函数模型解决实际问题，体现数学应用|

周末练17　章末检测试卷(五) [时间：120分钟 分值：150分] 一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分) 1.下列各角中，与27°角终边相同的是(　　) A.63° B.153° C.207° D.387° 答案　D 解析　与27°角终边相同的角构成的集合为 {α|α=27°+k·360°，k∈Z}， 取k=1，可得α=387°. 故与27°角终边相同的是387°. 2.设θ∈R，则“sin θtan θ<0”是“θ为第二象限角”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案　B 解析　因为sin θtan θ<0，所以sin θ>0，tan θ<0或sin θ<0，tan θ>0， 所以θ是第二象限角或第三象限角， 所以“sin θtan θ<0”是“θ为第二象限角”的必要不充分条件. 3.(tan 10°-等于(　　) A.-2 B.2 C.1 D.-1 答案　A 解析　原式=(tan 10°-tan 60°) = = = =-2. 4.(2024·全国甲卷)已知则tan等于(　　) A.2+1 B.2-1 C. D.1- 答案　B 解析　因为 所以⇒tan α=1- 所以tan=2-1. 5.函数f(x)=x∈的图象大致是(　　) 答案　A 解析　函数f(-x)==-=-f(x)，则函数f(x)是奇函数，排除D； 当0<x<时，2cos x-1>0，则f(x)>0，排除B，C. 6.我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”现有一类似问题：不确定大小的圆柱形木材，部分埋在墙壁中，其截面如图所示.用锯去锯这木材，若∠AOB=AB=2，则图中弧ACB与弦AB围成的弓形的面积为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　因为∠AOB=OA=OB，所以△AOB为等边三角形， 因为AB=2，所以OA=OB=AB=2， 所以弧ACB与弦AB围成的弓形的面积为 2××22=. 7.音乐喷泉曲线形似藤蔓上挂结的葫芦，也可称为“葫芦曲线”.它的性质是每经过相同的时间间隔，它的振幅就变化一次.如图所示，某一条葫芦曲线的方程为|y|=x≥0，其中[x]表示不超过x的最大整数.若该曲线还满足ω∈(1，3)，经过点M则这条葫芦曲线与直线x=交点的纵坐标为(　　) A.± B.± C.± D.±1 答案　C 解析　将点M代入葫芦曲线的方程可得 即=1，由ω∈(1，3)可得ω=2， 因此曲线方程为|y|=|sin 2x|， 当x=时，可得|y|= 所以交点的纵坐标为±. 8.已知函数f(x)=cos ωx-2sin 2ωxsin ωx(ω>0)在(0，2π)上有最小值没有最大值，则ω的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　依题意，f(x)=cos(2ωx-ωx)-2sin 2ωxsin ωx =cos(2ωx+ωx)=cos 3ωx， 当x∈(0，2π)时，3ωx∈(0，6ωπ)， 若f(x)在(0，2π)上有最小值没有最大值， 则π<6ωπ≤2π，所以<ω≤. 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.下列结论正确的是(　　) A.-是第三象限角 B.若圆心角为的扇形的弧长为π，则该扇形面积为 C.若角α的终边过点P(-3，4)，则cos α=- D.若角α为锐角，则角2α为钝角 答案　BC 解析　选项A，-的终边与的终边相同，为第二象限角，所以A不正确； 选项B，设扇形的半径为r，则r=π，所以r=3， 扇形面积为×3×π=所以B正确； 选项C，角α的终边过点P(-3，4)，根据三角函数的定义，cos α=-所以C正确； 选项D，当角α为锐角时，0<α<0<2α<π，所以D不正确. 10.(2024·新课标全国Ⅱ)对于函数f(x)=sin 2x和g(x)=sin下列说法中正确的有(　　) A.f(x)与g(x)有相同的零点 B.f(x)与g(x)有相同的最大值 C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期 D.f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴 答案　BC 解析　A选项，令f(x)=sin 2x=0， 解得x=k∈Z，即为f(x)的零点， 令g(x)=sin=0， 解得x=k∈Z，即为g(x)的零点， 显然f(x)，g(x)零点不同，A选项错误； B选项，显然f(x)max=g(x)max=1，B选项正确； C选项，根据周期公式，f(x)，g(x)的最小正周期均为=π，C选项正确； D选项，根据正弦函数的性质，f(x)的对称轴满足2x=kπ+k∈Z， 解得x=k∈Z， g(x)的对称轴满足2x-=kπ+k∈Z， 解得x=k∈Z， 显然f(x)，g(x)图象的对称轴不同，D选项错误. 11.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示，则下列说法正确的是(　　) A.ω= B.f(x)的图象关于直线x=对称 C.f(x)在区间[-π，π]上有且只有2个零点 D.若f(x1)=f(x2)=-1(x1≠x2)，则|x1-x2|min=π 答案　BCD 解析　根据图象可知A=2，又易知图象过点(0 所以f(0)=2sin φ=即sin φ=又|φ|<可得φ= 由对称性可知函数f(x)的一条对称轴为即f(x)的图象关于直线x=对称，即B正确； 由图可知最小正周期T=可得<ω< 又f =2sin所以sin 结合图象可得ω++2kπ，k∈Z，解得ω=k，k∈Z， 因此当k=1时，符合题意，即ω=所以A错误； 所以f(x)=2sin令f(x)=0，可得x+=kπ，k∈Z， 即x=-kπ，k∈Z， 又x∈[-π，π]，可得k=0或k=1，且当k=0时，x=-当k=1时，x=π，即f(x)在区间[-π，π]上有且只有2个零点，可得C正确； 若f(x1)=f(x2)=-1(x1≠x2)，则当x1+=-+2kx2+=-+2kπ，k∈Z时， |x1-x2|取得最小值=π，即D正确. 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12.已知sin则sin=　　　　　　. 答案　- 解析　sin=sin=-cos=2sin2-1=2×-1=-. 13.若函数y=2sin x+cos x+4的最小值为1，则实数a=　　　　. 答案　5 解析　y=2sin x+cos x+4=sin(x+φ)+4，其中tan φ=且φ的终边过点(2). 所以ymin=-+4=1，解得a=5. 14.(2024·新课标全国Ⅱ)已知α为第一象限角，β为第三象限角，tan α+tan β=4，tan αtan β=+1，则sin(α+β)=　　　　. 答案　- 解析　方法一　由题意得tan(α+β) ==-2 因为α∈ β∈k，m∈Z， 则α+β∈((2m+2k)π+π，(2m+2k)π+2π)，k，m∈Z， 又因为tan(α+β)=-2<0， 则α+β∈k，m∈Z， 则sin(α+β)<0， 则=-2 联立 sin2(α+β)+cos2(α+β)=1， 解得sin(α+β)=-. 方法二　 因为α为第一象限角，β为第三象限角， 则cos α>0，cos β<0， cos α= cos β= 则sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β =cos αcos β(tan α+tan β) =4cos αcos β= = ==-. 四、解答题(本题共5小题，共77分) 15.(13分)已知-<x<sin x+cos x=. (1)求的值；(7分) (2)求sin x-cos x的值.(6分) 解　(1)∵sin x+cos x= ∴1+2sin xcos x=即sin xcos x=- ∴ ==sin xcos x=-. (2)由(1)知sin xcos x=-<0，又-<x< ∴cos x>0，sin x<0， ∴sin x-cos x=- =-=-. 16.(15分)已知函数f(x)=sin2x-cos2x+2sin x·cos x. (1)求f(x)的最小正周期；(7分) (2)若f(α)=求cos的值.(8分) 解　(1)f(x)=sin2x-cos2x+2sin xcos x =-cos 2x+sin 2x=2 =2sin ∴T=π. (2)由(1)得f(α)=2sin ∴sin ∴cos=cos 2 =1-2sin2=1-. 17.(15分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示，函数f(x)的图象与y轴的交点的纵坐标为-. (1)求函数f(x)的解析式；(5分) (2)求函数f(x)图象的对称轴方程和对称中心的坐标；(5分) (3)若函数f(x)在区间上的值域为[1，2]，求实数m的取值范围.(5分) 解　(1)由图可知函数f(x)的最小正周期为T=4×=π，可得ω==2， 又由图可知f=-A，有Asin=-A，有sin=-1，又-<φ<则-<-+φ<有-+φ=-可得φ=-. 又由题意可知f(0)=-有Asin=-可得A=2. 故函数f(x)的解析式为f(x)=2sin. (2)令2x-=kπ+k∈Z)，可得x=k∈Z)， 可得函数f(x)图象的对称轴方程为x=k∈Z)， 令2x-=kπ(k∈Z)，可得x=k∈Z)， 可得函数f(x)图象的对称中心的坐标为k∈Z). (3)当x∈时≤2x-≤2m-有2sin =1. 若函数f(x)在区间上的值域为[1，2]，由正弦函数的图象和性质可知≤2m-可得≤m≤ 故实数m的取值范围为. 18.(17分)某游乐园内竖立着一座摩天轮，半径为20米，购票后可以乘坐一圈，每逆时针匀速旋转一圈要12分钟，摩天轮的最低点与地面相距1米，供游客上下摩天轮的轿厢.放假期间小王同学来此游玩，若从小王进入摩天轮的轿厢开始计时，在运行过程中，将轿厢与其中的游客看作是摩天轮圆环上的一个点. (1)求出小王同学距离地面的高度H(单位：米)关于时间t(单位：分钟)的函数；(7分) (2)当小王同学距离地面高度为11米时，突然发现小李同学在摩天轮的另一个轿厢里，此时正和他处于同一高度，小王同学记得自己是下午6：00进入的摩天轮轿厢，按此推算，小李大概是什么时候进入的摩天轮轿厢？(5分) (3)当游客距离地面高度达到31米及以上时，可以俯瞰到该游乐园的全景，这段时间称为“美景期”，则摩天轮在旋转一圈的过程中，小王同学处于“美景期”的时间有多长？(5分) 解　(1)方法一　设H(t)=Asin(ωt+φ)+b，A>0，ω>0， 由题意知，H的最大值是41米，最小值是1米， 即解得 因为摩天轮匀速旋转一圈要12分钟，即T=12，所以ω= 又因为从摩天轮位于最低点时开始计时，即t=0时，H=1，代入H(t)中得到1=20sin φ+21，得sin φ=-1，不妨取φ=- 所以H(t)=20sin+21=21-20cos t，t∈[0，12]. 方法二　以摩天轮的中心为原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 因为摩天轮匀速旋转一圈要12分钟，即T=12，即角速度ω= 设经过t分钟后，小王同学在点Q的位置，则∠xOQ=t- 所以点Q的纵坐标yQ=20sin=-20cos t， 由题意知y轴与地面的交点P的纵坐标为-21， 所以H(t)=yQ-yP=21-20cos t，t∈[0，12]. (2)由H(t)=21-20cos t=11，得cos t= 因为t∈[0，12]，所以t=2或10， 所以两人之间相差8分钟，即小李大概是下午5：52或6：08进入的摩天轮轿厢. (3)由H(t)=21-20cos t≥31，得cos t≤- 因为t∈[0，12]，所以4≤t≤8， 所以小王同学处于“美景期”的时间有4分钟. 19.(17分)已知函数f(x)=4sin x·cos+2. (1)求函数f(x)的单调递增区间；(7分) (2)将f(x)的图象向左平移φ个单位长度，向下平移1个单位长度，再把所有点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，得到y=2cos x的图象，若g(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)在[0，π]内恰有3个零点，求ω的取值范围.(10分) 解　(1)依题意，f(x)=4sin x·cos+2 =4sin x·+2 =sin 2x-2sin2x+2=sin 2x+cos 2x+1 =2sin+1， 由-+2kπ≤2x++2kπ，k∈Z， 解得-+kπ≤x≤+kπ，k∈Z， 所以f(x)的单调递增区间为k∈Z). (2)将f(x)的图象向左平移φ个单位长度，向下平移1个单位长度，得到y=2sin的图象， 再把所有点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，得到y=2sin=2cos x的图象， 则2φ++2kπ，k∈Z，得φ=+kπ，k∈Z， 因为0<φ<所以φ= 所以g(x)的解析式为g(x)=sinω>0)， 由x∈[0，π]，得ωx+由函数g(x)在区间[0，π]内恰有3个零点， 得3π≤ωπ+<4π，解得≤ω< 所以ω的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $