专题19 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象性质（压轴题9大类型专项训练）高一数学人教A版2019必修第一册

专题19 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像与性质 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 典例详解 1 类型一、y＝Asin(ωx＋φ)的周期性 1 类型二、y＝Asin(ωx＋φ)的单调性（含比较大小、解不等式） 3 类型三、y＝Asin(ωx＋φ)的最值、值域 6 类型四、y＝Asin(ωx＋φ)的奇偶性 10 类型五、y＝Asin(ωx＋φ)的对称性 13 类型六、y＝Asin(ωx＋φ)的图像变换 17 类型七、根据图像求解析式 21 类型八、y＝Asin(ωx＋φ)与零点相结合 27 类型九、y＝Asin(ωx＋φ)实际应用 30 压轴专练 34 类型一、y＝Asin(ωx＋φ)的周期性 1、的图像与性质 最小正周期：. 2、 最小正周期： 1．（25-26高一上·全国·课后作业）函数的最小正周期是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】利用周期公式可得． 2．（24-25高一下·山东日照·期末）函数的最小正周期为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】利用正切型函数的最小正周期公式求解即可. 【详解】函数的最小正周期为. 故选：A. 3．（24-25高一下·广东佛山·期中）下列四个函数中，以为最小正周期的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用三角函数周期公式求解判断. 【详解】对于A，函数的最小正周期为，A不是； 对于B，函数的最小正周期为，B是； 对于C，函数的最小正周期为，C不是； 对于D，函数的最小正周期为，D不是. 故选：B 4．（24-25高一下·甘肃白银·期末）函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用辅助角公式将函数解析式进行化简；再利用正弦型函数的性质可求解. 【详解】因为函数的最小正周期， 所以函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为. 故选：B. 5．（2025高一·全国·专题练习）下列函数中，最小正周期为的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由正余弦型的三角函数的周期公式求解. 【详解】由正余弦型的三角函数的周期公式求解，要注意C项是绝对值函数的周期特点. 四个选项中的函数周期分别为，，，， 故选：D． 6．（24-25高一下·河南·月考）若函数的图象关于直线对称，则（    ） A．的最小正周期的最小值为 B．的最小正周期的最大值为 C．的最小正周期的最小值为 D．的最小正周期的最大值为 【答案】B 【分析】把角看成一个整体，结合余弦函数的对称性求出的取值范围，再根据三角函数的最小正周期公式即可求该函数的最小正周期. 【详解】因为函数的图象关于直线对称，所以，解得.又，所以， 则的最小正周期，所以的最小正周期的最大值为. 故选：B 类型二、y＝Asin(ωx＋φ)的单调性（含比较大小、解不等式） 单调性 1．（24-25高一下·北京海淀·期中）下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据诱导公式结合三角函数的单调性逐项分析判断即可. 【详解】对于A，由正弦函数性质得在上单调递减， 则，故A错误， 对于B，由余弦函数性质得， ，则，故B错误， 对于C，由诱导公式得， 且在上单调递减， 得到，即，故C正确； 对于D，由正切函数性质结合诱导公式得， ，得到，故D错误. 故选：C 2．（24-25高一下·江西·月考）已知函数的最小正周期为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据函数的周期确定的值，再结合正切函数的图象解不等式即可. 【详解】因为函数的最小正周期为，所以，得. 所以， 由得，得， 解得. 故选：A 3．（24-25高一下·江西抚州·期末）设，，，则有（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正切的二倍角公式，余弦的两角和公式，余弦的二倍角公式进行化简，再利用三角函数的单调性进行大小比较即可. 【详解】由， ， ， 根据正弦函数的单调性可知， 根据正切函数的单调性可知， 故选：D. 4．（24-25高一下·黑龙江齐齐哈尔·月考）的单调增区间 【答案】 【分析】根据给定函数，利用正弦函数的单调性列式求出单调递增区间. 【详解】由，解得， 所以所求单调增区间为. 故答案为： 5．（24-25高一下·陕西渭南·月考）函数的单调增区间为 . 【答案】 【分析】根据给定函数，结合余弦函数的性质、诱导公式求出单调增区间. 【详解】函数，即， 则，解得， 所以函数的单调增区间为. 故答案为： 6．（24-25高一上·全国·课后作业）不等式的解集为 . 【答案】或 【分析】结合正弦函数图象可直接得到结果. 【详解】作出正弦函数在上的图象，作出直线和，如图所示， 由图可知：在上，当或时，不等式成立， 原不等式的解集为或. 故答案为：或. 类型三、y＝Asin(ωx＋φ)的最值、值域 （1）定义域与值域：的定义域为R，值域为[-A,A]. （2）最值（以下） 1．（24-25高一下·上海青浦·期中）下列函数的最大值是2的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应用辅助角公式及二倍角正余弦公式，结合正余弦型函数的性质判断各函数的最大值，即可得. 【详解】A：，不符； B：，符合； C：，不符； D：，不符. 故选：B 2．（24-25高一下·安徽亳州·月考）已知函数的最大值为1，最小值为，则函数的最大值为（    ） A．5 B．－5 C．1 D．－1 【答案】A 【分析】分，求出的值，再求函数的最大值. 【详解】若，则， 所以（当时取“”）； 若，则， 所以（当时取“”）. 综上可知：的最大值为：5. 故选：A 3．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数，则函数在上的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应用整体法，结合余弦函数的性质求函数值域. 【详解】因为，所以，则， 所以. 故选：B 4．（25-26高一·全国·假期作业）已知函数的最小正周期为π，则f（x）在的最小值为（    ） A． B． C．0 D． 【答案】A 【分析】根据周期公式求出，得到函数，由求出，结合正弦函数的图像得到最小值. 【详解】 ，由，得， 即，当时， ， 画出图象，如图，由图可知，在上单调递减， 所以，当时，． 故选： 5．（23-24高一下·上海浦东新·期中）函数，的最大值与最小值之和为 . 【答案】 【分析】换元法求函数值域，首先令，根据得，进而结合二次函数的图象与性质即可求解. 【详解】令，，， 则，因为对称轴为， 所以，在上单调递减，在上单调递增， 所以，当时，，当时，， 函数的最大值与最小值之和为. 故答案为：. 6．（25-26高一上·全国·课前预习）函数的最大值为 ． 【答案】 【分析】应用二倍角正余弦公式及辅助角公式化简函数式为，结合正弦型函数的性质求最大值. 【详解】由题知 ，且锐角满足， 故函数的最大值为. 故答案为： 7．已知函数．若在区间上的值域为，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】先利用二倍角公式和辅助角公式化简，再根据正弦函数的图象和性质求解即可. 【详解】由题意可得， 由，得， 要使在区间上的值域为， 则需，解得， 所以的取值范围为. 故答案为： 类型四、y＝Asin(ωx＋φ)的奇偶性 函数具有奇、偶性的充要条件 （1）函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数⇔φ＝kπ(k∈Z)； （2）函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数⇔φ＝kπ＋(k∈Z)； （3）函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数⇔φ＝kπ＋(k∈Z)； （4）函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数⇔φ＝kπ(k∈Z)． 1．（24-25高一上·全国·课后作业）函数（    ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．是非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数 【答案】B 【分析】先判断的定义域是否对称，再利用函数奇偶性的定义判断即可. 【详解】的定义域为，定义域对称， 因为， 所以是偶函数. 故选：B. 2．（24-25高一下·安徽蚌埠·期末）下列函数中，最小正周期为的偶函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对A，利用余弦函数的周期性判断；对B，由是奇函数，可判断；对C，作出函数的图象可判断；对D，举反例说明周期不是. 【详解】对于A，的最小正周期为，不合题意，故A错误； 对于B，是奇函数，不合题意，故B错误； 对于C，作出函数的图象如下图所示：      由图可知，函数是最小正周期为的偶函数，故C正确； 对于D，设，因为， ，所以， 所以的周期不是，故D错误. 故选：C. 3．（24-25高一下·江西萍乡·期末）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析函数的奇偶性与零点个数，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】函数的定义域为， ，即函数为奇函数，排除BC选项， 由可得或，解得， 故函数有无数个零点，排除A选项. 故选：D. 4．已知函数为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据偶函数的性质，列式求解. 【详解】为偶函数，则，，取，则. 故选：D. 5．（23-24高一上·广西柳州·期末）已知函数是奇函数，则时， ． 【答案】 【分析】由函数为奇函数，可知即可求解. 【详解】因为函数是奇函数， 所以,即, 又因为，所以令，， 故答案为：. 6．（24-25高一下·北京·期中）若为奇函数，则的一个取值为 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据余弦函数的性质找到符合题意的的值即可. 【详解】函数的定义域为， 当时， 则，所以为奇函数， 同理当时也为奇函数， 故均能使为奇函数. 故答案为：（答案不唯一） 7．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知函数为奇函数，则 ． 【答案】 【分析】由奇函数的定义求解即可. 【详解】函数为奇函数，其定义域为，所以， 所以， 即， 所以，所以. 故答案为： 类型五、y＝Asin(ωx＋φ)的对称性 对称轴与对称中心. 1．（24-25高一下·四川眉山·期末）函数的一个对称中心是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用余弦函数的对称中心求出函数的对称中心，再逐一检验各选项即得. 【详解】由，可得， 即函数的对称中心为， 结合各选项，可知仅满足题意，故B正确，A，C，D均错误. 故选：B. 2．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·月考）已知函数，则函数的一条对称轴可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先利用二倍角公式和和差角的正弦公式将函数化简，然后利用正弦函数的对称轴性质求得结果. 【详解】因为， 所以对称轴为：，解得. 令，则对称轴为. 故选：D. 3．（24-25高一下·江西南昌·期末）若点是函数图象的一个对称中心，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正切函数的图象和性质求解即可. 【详解】因为， 则由，，可得函数的图象的对称中心的横坐标为，， 又，所以当时，取的最小值， 故选：C 4．若函数与函数图象的对称中心完全一致，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】易得函数与的周期相等，从而可求出，再根据余弦函数和正切函数的对称性分别求出两个函数的对称中心，进而可得出答案. 【详解】因为函数的相邻对称中心的距离都是半个周期， 且函数与函数图象的对称中心完全一致， 所以函数与的周期相等， 则函数的周期，即，所以， 则， 令，故， 令，则， 故，解得， 因为，所以． 故选：D． 5．（23-24高一下·陕西·月考）已知函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为，则 ． 【答案】2 【分析】借助正切函数的对称性与周期计算即可得. 【详解】由题意可得，即，则. 故答案为：2. 6．（23-24高一下·上海·期中）设函数的一个对称中心是，则 ． 【答案】/ 【分析】借助余弦型函数的对称性计算即可得. 【详解】由题意可得，即， 又因为，所以. 故答案为：. 7．（24-25高一下·北京西城·期中）已知函数的图象关于直线对称，则当的最小正周期取得最大值时，距离原点最近的对称中心为 . 【答案】 【分析】根据三角函数周期的计算公式，可知最小正周期取得最大值时，取得最小值，求出参数的值，求出对称中心通式，找出离原点最近的坐标. 【详解】已知函数的图象关于直线对称，则，，解得，， 当时，即时最小正周期取得最大值. 此时，对称中心为，解得. 当时，离原点最近，此时对称中心为. 故答案为：. 8．（24-25高一下·辽宁·期末）已知函数的图象关于直线对称，则的值为 . 【答案】/ 【分析】先利用和角的正弦公式与辅助角公式将化简成正弦型函数，再由的图象关于直线对称，求出的值，利用二倍角的正切公式求解即得. 【详解】由 ，其中角满足. 因为的图象关于直线对称， 所以，可得，， 即， 所以 ， 所以. 故答案为：. 类型六、y＝Asin(ωx＋φ)的图像变换 函数y＝sin x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)的图象的步骤 注：每一个变换总是对变量而言的，即图像变换要看“变量”发生多大变化，而不是“角”变化多少. 1．（25-26高一·全国·假期作业）已知函数的图象为C，为得到函数的图象，只需把C上的所有点（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】A 【分析】利用三角函数图象变换可得出结论． 【详解】， 为得到函数的图象， 只需把C上的所有点向左平移个单位长度， 故选：A． 2．把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，由的图象逆向变换即可得的解析式. 【详解】将图象上所有点向右平移个单位长度，得函数的图象， 再把函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变， 得，即. 故选：C 3．（24-25高一上·黑龙江大庆·期末）已知函数的最小正周期是，将的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若为偶函数，则正实数的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据辅助角公式，把函数化为正弦型函数，利用周期计算公式，和偶函数性质求得. 【详解】因为函数， 函数的最小正周期是且，则，解得， 所以 将的图象向右平移个单位后得到函数的图象， 则， 若为偶函数，则，， 解得，，可知当时，正实数取得最小值. 故选：A. 4．（24-25高一下·四川泸州·期末）（多选题）将函数的图象向左平移个单位长度得到的图象，则下列说法正确的是（   ） A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称 C．在上有最大值 D．在上单调递增 【答案】ACD 【分析】根据条件得到，再利用的性质，对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【详解】由题知， 对于A，令，得到， 当时，，所以A正确， 对于B，因为，的图象不关于点对称，所以B错误， 对于C，当时，， 当，即时，，所以C正确， 对于D，由，解得， 令，得到，又，在上单调递增，所以D正确， 故选：ACD. 5．（24-25高一下·内蒙古包头·期末）（多选题）要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．先向右平移个单位长度，再将所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变） B．先向左平移个单位长度，再将所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变） C．所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度 D．所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度 【答案】BC 【分析】利用三角函数的平移伸缩变换即可求解. 【详解】对于A，将先向右平移个单位长度，可得， 再将所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得，故A错误； 对于B，将先向左平移个单位长度，可得， 再将所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得，故B正确； 对于C，将所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得， 再向左平移个单位长度得，故C正确； 对于D，将所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得， 再向左平移个单位长度得，故D错误. 故选：BC. 6．（24-25高一下·浙江杭州·期中）将函数的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是 . 【答案】. 【分析】利用三角函数的平移可得新函数，再结合正弦函数的图像性质，可求得函数的对称轴方程为，，通过对取值进行比较，从而可得平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程. 【详解】因为函数的图象向右平移个单位长度， 可得， 由正弦函数的图像性质可知，函数的对称轴方程为，， 解得，， 当时，；当时，， 所以平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是. 故答案为：. 类型七、根据图像求解析式 确定y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A＞0，ω＞0)的解析式的步骤 (1)求A，B，确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，B＝． (2)求ω，确定函数的周期T，则ω＝． (3)求φ，常用方法为代入法，即把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入． 1．（24-25高一下·江苏盐城·期中）（多选题）若函数在一个周期内的图象如图所示，则（   ）    A．的最小正周期为3π B．的增区间是 C．是奇函数 D．将的图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到的图象 【答案】AB 【分析】由函数最值求解A，由周期求ω，结合特殊点的函数值求，即得函数解析式，结合正弦函数的性质检验各选项即可． 【详解】对于A，由图，，函数的最小正周期满足，则，故A正确； 对于B，由A可得，则，又因图象过点，则， 即，因，所以则得 令，解得，故B正确； 对于C，，因函数的定义域为，其图象显然不经过点，故不是奇函数，即C错误； 对于D，将的图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）可得，故D错误． 故选：AB． 2．（24-25高一下·湖南衡阳·期末）（多选题）已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C． D．把函数的图象平移个单位后关于y轴对称，则的最小值为 【答案】ACD 【分析】根据三角函数的周期性求得，利用特殊点求得，也即求得的解析式，再结合三角函数图象变换来确定正确答案. 【详解】对于A选项，由图象可得，解得，A正确. 对于B选项，由可得， 且由，和可得，B错误. 对于C选项，显然，故，C正确. 对于D选项，，由偶函数性质可得，， 于是，当且仅当时，等号成立，D正确. 故选：ACD． 3．（24-25高一下·四川成都·期末）（多选题）已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．是函数的对称中心 D．是函数的一条对称轴 【答案】CD 【分析】根据函数图象知：、利用过点，可求得函数的解析式、求得对称轴与对称中心可判断每个选项的正误. 【详解】由图知：，即，而，可得，故B错误； 所以，又函数过点，可得， 所以，所以，又，所以，故A错误； 所以，由，可得， 所以函数的对称中心是，故C正确； 由，可得， 当，可得为对称轴，故D正确. 故选：CD. 4．（25-26高一上·全国·单元测试）（多选题）已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A．的最小正周期为 B． C．将的图象向左平移个单位长度得到的图象关于直线对称 D．将的图象上所有点的横坐标扩大2倍（纵坐标不变），得到的图象对应的函数在区间上单调递增 【答案】CD 【分析】由的最小正周期结合其图象特征可判断A；先依次由最值和周期求出A和，再由即可求解判断B；先求出变换后的函数图象的解析式，再由即可判断C；先求出变换后的函数的图象解析式，再结合角的范围和三角函数性质即可求解判断D. 【详解】对于A，设的最小正周期为T，则，即， 由的图象特征可知的图象是将的图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方，翻折后函数的最小正周期不变， 故的最小正周期与相同仍为，故A错误； 对于B，由图得，解得， 由，解得，则， 因为，所以， 又因为，所以，可得，解得， （另解，，又，所以），故B错误； 对于C，，设将的图象向左平移个单位长度得到的图象， 则， 因为，所以的图象关于直线对称，故C正确； 对于D，设将的图象上所有点的横坐标扩大2倍（纵坐标不变）得到的图象， 则，当时，， 又，所以函数在区间上单调递增，故D正确. 故选：CD 5．（24-25高一下·山西吕梁·期末）（多选题）已知函数的部分图象如图所示，则（   ）    A． B．的最小正周期为 C．将函数的图象向左平移个单位长度后得到曲线，则曲线的一个对称中心为 D．的图象与直线和线段围成的图形面积为 【答案】ABD 【分析】根据，结合给定的的范围得可判断A；利用结合得，由即可判断B；由得函数的解析式，由图象平移得曲线：，通过代入验证可判断C；通过画出的图象，并应用余弦函数的对称性，数形结合求出图形围成的面积即可判断D. 【详解】对于A选项，观察图象，得，即，而，解得，故A正确； 对于B选项，由，且在函数的递增区间内，得，解得，解得，因此，故B正确； 对于C选项，将向左平移个单位后，得曲线C：，故C错误； 对于D选项，画出的图象与直线，线段，如图实线围成区域即为所求，      由于，且的最小正周期为， 结合对称性知，所求区域面积即为矩形ABCD的面积：，故D正确. 故选：ABD. 类型八、y＝Asin(ωx＋φ)与零点相结合 1．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数，则在上的零点有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个 【答案】B 【详解】求函数在上的零点个数，即求函数的图象与函数的图象在上的交点的个数．如图所示，显然函数的图象与函数的图象在上的交点的个数为3． 2．（24-25高一下·河南南阳·期末）函数在上的零点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】用辅助角公式化为，且，再令求解即得. 【详解】. ，. 令得，∴或或. 所以或或 故选：C. 3．（2024高一上·江苏南京·专题练习）已知函数，若方程在区间上有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】令，，问题转化为在时有两个不相等的实数根，结合函数单调性和图象求解 【详解】令，当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 又， 方程在区间上有两个不相等的实数根，即的图象有两个不同的交点， 结合图象可知． 故答案为： 4．已知函数的图象经过点，且在轴右侧的第一个零点为，当时，曲线与的交点有 个， 【答案】6 【分析】根据题意，求得函数的解析式为，画出与在区间上的图象，结合图象，即可求解. 【详解】因为函数的图象经过点，可得，即，又因为，所以， 因为在轴右侧的第一个零点为所以， 解得，所以， 画出与在区间上的图象，如图所示， 由图可知曲线与的交点有6个. 故答案为：6. 5．（25-26高一上·全国·课后作业）若函数的部分图象如图所示，将的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，得到函数的图象，若在上恰有3个零点，则的取值范围为 ．    【答案】 【分析】先根据图象里的最值求出A，根据周期求出，根据最大值点或最小值点求出，从而确定的解析式，根据函数图象变换求出的解析式，最后结合图象及在上恰有3个零点即可求出m的范围． 【详解】记的最小正周期为，由题图可得， ∴，∴， 又，∴，∴． 将的图象向右平移个单位长度后得到的图象， 再将的图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到的图象，故．当时，． ∵在上恰有3个零点，如图：    则，解得，故答案为：． 类型九、y＝Asin(ωx＋φ)实际应用 一、函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)中，A，ω，φ的物理意义 1、简谐运动的振幅就是A. 2、简谐运动的周期T＝. 3、简谐运动的频率f＝＝. 4、ωx＋φ称为相位． 5、x＝0时的相位φ称为初相． 二、解三角函数应用问题的基本步骤 1．（24-25高一下·江西·月考）由于潮汐，某港口一天24h的海水水位（单位：m）随时间（单位：）的变化近似满足关系式，若一天中最高水位为14m，最低水位为6m，则该港口一天内水位不小于8m的时长为（   ） A．12h B．14h C．16h D．18h 【答案】C 【分析】根据最值求得求得函数解析式，根据正弦函数性质解不等式即可得解. 【详解】由题知解得所以． 令，即．因为，所以， 由正弦函数图象与性质可知，，解得， 所以该港口一天内水位不小于8m的时长为小时． 故选：C 2．（23-24高一下·内蒙古包头·期末）已知摩天轮的半径为60m，其中心距离地面70m，摩天轮做匀速转动，每30min转一圈，摩天轮上点P的起始位置在最低点处．则在时刻t（min）时，点P离地面的高度h为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用三角函数的图象性质求出解析式. 【详解】点的初始位置在最低点，设点从最低点沿逆时针方向匀速转动， 在内所转过的角度为，则以为始边，为终边的角为， 因此点的纵坐标， 所以点离地面的高度. 故选：B 3．（24-25高一下·山东枣庄·期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今仍在农业生产中发挥作用，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理．一半径为2m的筒车水轮如图，水轮圆心O距离水面1m，已知水轮每30s逆时针匀速转动一圈，如果当水轮上的点P从水中浮现时（图中点）开始计时，则下列结论错误的是（ ） A．点P再次进入水中用时20s B．当水轮转动25s时，点P处于最低点 C．当水轮转动28.75s时，点P距离水面 D．点P第三次到达距水面时用时42.5s 【答案】D 【分析】由题意，利用角度除以角速度等于时间，再结合特殊角三角函数值逐项判断可得. 【详解】由题意，角速度弧度/秒， 又由水轮的半径为2米，且圆心O距离水面1米，可知半径与水面所成角为，点P再次进入水中用时为秒，故A正确； 当水轮转动25秒时，半径转动了弧度，而，点P正好处于最低点，故B正确； 当水轮转动28.75秒时，由于，又，所以距水面高度为米，故C正确； 逆时针转动一周时，两次到达离水面高度为用时30秒， 所以第三次到达距水面高度为时需要转动一周后再逆时针转动弧度，此时用时为秒， 所以点P第三次到达距水面米时用时37.5秒，故D错误． 故选：D． 4．（24-25高一上·陕西榆林·期末）已知某地区某天的温度（单位：）随时间（单位：）的变化近似满足函数关系，且这天的最大温差为，则 ；若温度不低于需要开空调降温，则这天需要降温的时长为 h． 【答案】 4 6 【分析】根据题意结合正弦函数的图象和性质求解即可. 【详解】对于，其最小正周期， 故这天的最大温差即为的最大值与最小值的差， 又，故，解得， 令，即，， 由，得， 所以或，解得， 则一天中需要降温的时长为， 故答案为：4；6 1．（24-25高一下·四川成都·期末）已知，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二倍角公式与和差角的正切公式化简计算，再根据正弦函数的单调性比较大小即可. 【详解】因， ， ， 又因函数在第一象限是增函数，故，即. 故选：C. 2．（24-25高一下·安徽蚌埠·期末）下列函数中，最小正周期为的偶函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对A，利用余弦函数的周期性判断；对B，由是奇函数，可判断；对C，作出函数的图象可判断；对D，举反例说明周期不是. 【详解】对于A，的最小正周期为，不合题意，故A错误； 对于B，是奇函数，不合题意，故B错误； 对于C，作出函数的图象如下图所示：      由图可知，函数是最小正周期为的偶函数，故C正确； 对于D，设，因为， ，所以， 所以的周期不是，故D错误. 故选：C. 3．（24-25高一下·江苏徐州·期中）下列函数的最小正周期为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角恒等变换化简各选项中函数的解析式，再结合三角函数的周期公式逐项判断即可. 【详解】对于A选项，，该函数的最小正周期为，A不满足要求； 对于B选项，， 该函数的最小正周期为，B不满足要求； 对于C选项，， 该函数的最小正周期为，C满足要求； 对于D选项，， 该函数的最小正周期为，D不满足要求. 故选：C. 4．（24-25高一上·湖南株洲·期末）若函数的图像的两个对称中心的最短距离为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由两个对称中心的最短距离为半个周期求得周期，然后得到的值，然后求得的值. 【详解】设函数的最小正周期为，由题意可知，可得，， 则， 故选：A. 5．（2025高一·全国·专题练习）如果函数的图象关于点中心对称（），那么函数的一条对称轴是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可得，再求对称轴判断即可. 【详解】因为函数关于点中心对称， 所以，即， 又，所以，，即， 令，解得， 所以对称轴为（），则函数的一条对称轴是. 故选：B． 6．（24-25高一下·内蒙古包头·月考）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．若的最小正周期是，则 B．当时，的对称中心为 C．当时， D．若在区间上单调递增，则 【答案】D 【分析】按照周期和对称中心计算公式计算周期和对称中心可判断AB选项；当时，代入以及，并根据周期性转化到同一周期，结合正切函数的单调性可比较大小，从而判断C；根据正切函数的单调性整体代入法列出不等式求解可得出的范围，可判断D. 【详解】A选项：的最小正周期是，所以，故A错误； B选项：当时，令，则，所以的对称中心为，故B错误； C选项；时，， ， ，在上单调递增，所以，即，故C错误； D选项：若在区间上单调递增，则，解得：，又因为，所以，D正确； 故选：D 7．（23-24高一下·辽宁葫芦岛·期末）已知函数，若将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象.若函数为奇函数，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平移变换知识先求出的解析式，再根据三角函数的奇偶性得关于的方程即可计算求解. 【详解】由题意， 因为函数为奇函数，所以，， 又，所以当时，有最小值是. 故选：C. 8．（24-25高一下·安徽·月考）受潮汐影响，某港口一天的水深（单位：）与时刻的部分记录如下表： 时刻 水深 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 若该天从与的关系可近似的用函数来表示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．时的水深约为 D．一天中水深低于的时间为4小时 【答案】C 【详解】由的最值，即可判断A，由周期即可判断B，由的值可得，代入计算，即可判断C，求解不等式，即可判断D. 【分析】由数据知，所以，A错误；，故B错误； 由，得，故C正确； 由，得，或，故水深低于3.75的时间为8小时，故D错误. 故选：C. 9．（24-25高一上·内蒙古鄂尔多斯·期末）当时，函数的零点个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】函数，其零点就是方程的解，也就是的解. 作出与在给定区间上的图象，根据图象交点个数来确定函数的零点个数. 【详解】由，得， 作出，，的图象，    由图可知，两函数的图象的交点有4个， 则曲线在上的零点个数为4． 故选：C． 10．（25-26高一上·全国·课后作业）（多选题）将函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，则下列说法正确的是（   ） A．函数的图象关于点对称 B．函数的最小正周期是 C．函数在上单调递增 D．函数在上的最大值是1 【答案】AC 【详解】依题意，知．易知，则的图象关于点对称，故A正确；函数的最小正周期为，故B错误；当时，单调递增，故C正确；由C知当时，单调递增，所以，则函数无最大值，故D错误． 11．（24-25高一下·四川成都·期末）（多选题）函数向左平移个单位，再把横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数，若是周期为的奇函数，则可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】分别根据各选项，结合平移伸缩变换求得的解析式，再根据函数的周期与奇偶性逐一判断即可. 【详解】对于A，若，依题意，，其周期为，且为奇函数，故A正确； 对于B，若，依题意，，其周期为，故B错误； 对于C，若，依题意，将其向左平移个单位，可得， 再将其横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数，显然它是周期为的奇函数，故C正确； 对于D，若，依题意，将其向左平移个单位，可得， 再将其横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数，显然该函数不是奇函数，故D错误. 故选：AC. 12．（24-25高一下·辽宁朝阳·月考）（多选题）函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B．的图象关于直线对称 C．若方程在上有且只有6个根，则 D．的图象向左平移个单位长度后得到函数 【答案】ABC 【分析】根据函数的图象可求解函数的解析式，即可求解AB，结合范围以及正弦函数的性质即可求解C，由函数图象的平移即可求解D. 【详解】由图可知：，故， 结合以及位于函数上升的图象上，故， ，且点位于减区间内，故， 所以， 由于则，故，因此，故，A正确， ，故是函数的一条对称轴，B正确， 对于C，令，则 ，当时，， 要使在上有且只有6个根，则，解得，故C正确， 对于D, 的图象向左平移个单位长度后得到函数，故D错误， 故选：ABC 13．（25-26高一上·江西宜春·期中）（多选题）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．的图象关于点对称 B．的图象关于直线对称 C．在上为增函数 D．把的图象向右平移个单位长度，得到一个奇函数的图象 【答案】AC 【分析】根据给定图象利用“五点法”作图方法求出函数的解析式，再对各选项逐一分析即可得解. 【详解】由图象得，令的最小正周期为T，则，解得，， 又，即，而，则，， 因，则的图象关于点对称，A正确； 因，则的图象不关于对称，B不正确； 因，则，所以在上为增函数，C正确； 的图象向右平移个单位长度，得到是偶函数，D不正确. 故选：AC 14．（24-25高一下·湖北武汉·期末）（多选题）已知函数的部分图象如图所示，将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．函数为奇函数 D．函数在区间上单调递减 【答案】ACD 【分析】根据函数的图象，求得，结合三角函数的图象与性质，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A中，由函数的部分图象， 可得，且，可得，所以． 又由，所以， 所以，因为，所以， 即，所以A正确； 对于B中，由，且， 因为不恒为0，所以B错误； 对于C中，将函数的图象向左平移个单位长度得到，则为奇函数，所以C正确； 对于D中，当，可得， 因为在上单调递减，所以函数在区间上单调递减，所以D正确. 故选：ACD． 15．（24-25高一下·湖北恩施·期中）写出函数的图象的一个对称中心 ．（任写一个即可） 【答案】（答案符合即可） 【分析】利用辅助角公式化简函数，再利用正弦函数的性质求出对称中心. 【详解】函数， 由，解得， 所以对称中心为，取，得. 故答案为： 16．（23-24高一上·重庆·期末）已知函数，当时，关于的方程有两个实数根，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据二倍角的正、余弦公式和辅助角公式可得，讨论余弦函数的单调性求得当且时函数图象与直线有2个交点，即可求解. 【详解】， 由，得， 设，则当时，函数单调递增， 当时，函数单调递减，所以， 得，要使方程在上有2个实根， 则函数图象与直线在上有2个交点， 当且，即时，函数图象与直线有2个交点， 所以，解得， 即实数a的取值范围为. 故答案为： 17．（23-24高一上·山东济南·期末）已知函数的图象关于直线对称，则的值为 ． 【答案】0 【分析】根据函数图象对称得，代入解析式得，即可计算的值. 【详解】∵函数的图象关于直线对称， ∴对任意的，有，则，即， ∴，即， ∴， ∴． 故答案为：0． 18．（23-24高一下·上海·期末）设函数在上恰有两个零点，则 . 【答案】或 【分析】先将函数化简成，将函数有两个零点问题转化成函数与图象在上恰有两个交点问题，然后数形结合根据函数的图象性质即可得解. 【详解】由题得， 因为函数在上恰有两个零点， 所以方程在上恰有两个根， 所以函数与图象在上恰有两个交点， 令， 即函数的对称轴方程为， 所以在上有两条对称轴为和，如图， 所以由函数的图象性质可知或. 故答案为：或. 【点睛】思路点睛：研究三角函数问题，通常需要利用三角恒等变换公式化成一角一函数，故解决本题先利用辅助角公式将函数化简成，再将题中所给条件函数有两个零点问题转化成函数与图象在上恰有两个交点问题，然后作出有关函数图象，数形结合根据函数的图象性质即可得解. 19．（24-25高一下·云南·月考）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保.明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图1）.假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.如图2，将筒车抽象为一个半径为的圆，设筒车按逆时针方向每旋转一周用时120秒，当时，盛水筒位于点，经过秒后运动到点，点的纵坐标满足，则当筒车旋转90秒时，盛水筒对应的点的纵坐标为 . 【答案】 【分析】根据筒车按逆时针方向每旋转一周用时120秒，可求出，由时，求出和，从而可求出的关系式，进而可求出点的纵坐标. 【详解】因为筒车按逆时针方向每旋转一周用时120秒，所以，得，所以. 因为当时，盛水筒M位于点，所以，所以. 因为，所以，得. 因为，所以，所以. 所以. 故答案为： 20．（24-25高一下·四川成都·月考）已知函数图象的相邻两对称轴间的距离为，且为奇函数.，记函数在上的零点从小到大依次为，则的值为 . 【答案】 【分析】根据题目条件,先求出,得到,从而的根为，设，转化为直线与函数在上的图象交点问题，根据对称性得，代入即得. 【详解】由题知的最小正周期为，所以， 所以,又为奇函数, 故，得，又，所以， 所以，故 由，得到, 因为， 令,则， 设，如下图所示： 由图可知，直线与函数在上的图象有四个交点， 点关于直线对称， 点关于直线对称， 所以，而， 代入得：. 故答案为：. 21．（2025高一上·湖北随州·专题练习）已知函数，的最小正周期为． (1)求函数的单调递减区间； (2)求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时的值； (3)求不等式的解集． 【答案】(1)，. (2)，，，． (3)． 【分析】（1）根据三角恒等变换化简函数解析式，再利用整体代入法可得函数的单调性； （2）利用整体代入法可得值域，即可得解； （3）根据三角函数的性质解不等式即可. 【详解】（1）由题意， 又函数的最小正周期为，则，，所以， 即， 当，即，时，单调递减， 的单调递减区间是，； （2），则，故， ，此时，即， ，此时，即； （3）由已知，即， 所以或，， 即或，， 所以不等式的解集为． 22．（24-25高一上·福建莆田·期末）如图，是函数（，，）图象的一部分 (1)求函数的解析式； (2)函数在区间上有且仅有两个零点，求实数的取值范围； (3)若关于x的方程在上有解，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据图中的最值和周期求出和，再利用特殊点求得，即可得解； （2）令，则问题可以转换为在有且仅有两个实根求解即可； （3）由题意，令，则问题转化为方程在上有解，分离参数，构造函数，利用单调性求值域即可求解. 【详解】（1）由图可得， 函数的最小正周期为，则， 所以，因为， 则，因为，所以，解得， 所以. （2）令，则 因为函数在区间上有且仅有两个零点 所以方程在有且仅有两个实根. 令，得或 所以方程的正根从小到大排列分别是 所以，解得 （3）由， 可得， 即， 即， 即，其中， 因为，则，令， 则有，则关于t的方程在上有解， 由可得， 令，则， 因为，在上均为减函数， 所以函数在上为减函数，且当趋向于时，趋向于正无穷大， 则，所以，解得， 故实数a的取值范围是. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题19 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像与性质 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 典例详解 1 类型一、y＝Asin(ωx＋φ)的周期性 1 类型二、y＝Asin(ωx＋φ)的单调性（含比较大小、解不等式） 2 类型三、y＝Asin(ωx＋φ)的最值、值域 3 类型四、y＝Asin(ωx＋φ)的奇偶性 4 类型五、y＝Asin(ωx＋φ)的对称性 5 类型六、y＝Asin(ωx＋φ)的图像变换 6 类型七、根据图像求解析式 8 类型八、y＝Asin(ωx＋φ)与零点相结合 10 类型九、y＝Asin(ωx＋φ)实际应用 11 压轴专练 13 类型一、y＝Asin(ωx＋φ)的周期性 1、的图像与性质 最小正周期：. 2、 最小正周期： 1．（25-26高一上·全国·课后作业）函数的最小正周期是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·山东日照·期末）函数的最小正周期为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（24-25高一下·广东佛山·期中）下列四个函数中，以为最小正周期的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·甘肃白银·期末）函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离为（    ） A． B． C． D． 5．（2025高一·全国·专题练习）下列函数中，最小正周期为的是（    ）． A． B． C． D． 6．（24-25高一下·河南·月考）若函数的图象关于直线对称，则（    ） A．的最小正周期的最小值为 B．的最小正周期的最大值为 C．的最小正周期的最小值为 D．的最小正周期的最大值为 类型二、y＝Asin(ωx＋φ)的单调性（含比较大小、解不等式） 单调性 1．（24-25高一下·北京海淀·期中）下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·江西·月考）已知函数的最小正周期为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·江西抚州·期末）设，，，则有（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·黑龙江齐齐哈尔·月考）的单调增区间 5．（24-25高一下·陕西渭南·月考）函数的单调增区间为 . 6．（24-25高一上·全国·课后作业）不等式的解集为 . 类型三、y＝Asin(ωx＋φ)的最值、值域 （1）定义域与值域：的定义域为R，值域为[-A,A]. （2）最值（以下） 1．（24-25高一下·上海青浦·期中）下列函数的最大值是2的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·安徽亳州·月考）已知函数的最大值为1，最小值为，则函数的最大值为（    ） A．5 B．－5 C．1 D．－1 3．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数，则函数在上的值域为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一·全国·假期作业）已知函数的最小正周期为π，则f（x）在的最小值为（    ） A． B． C．0 D． 5．（23-24高一下·上海浦东新·期中）函数，的最大值与最小值之和为 . 6．（25-26高一上·全国·课前预习）函数的最大值为 ． 7．已知函数．若在区间上的值域为，则的取值范围为 ． 类型四、y＝Asin(ωx＋φ)的奇偶性 函数具有奇、偶性的充要条件 （1）函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数⇔φ＝kπ(k∈Z)； （2）函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数⇔φ＝kπ＋(k∈Z)； （3）函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数⇔φ＝kπ＋(k∈Z)； （4）函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数⇔φ＝kπ(k∈Z)． 1．（24-25高一上·全国·课后作业）函数（    ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．是非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数 2．（24-25高一下·安徽蚌埠·期末）下列函数中，最小正周期为的偶函数是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·江西萍乡·期末）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 4．已知函数为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·广西柳州·期末）已知函数是奇函数，则时， ． 6．（24-25高一下·北京·期中）若为奇函数，则的一个取值为 ． 7．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知函数为奇函数，则 ． 类型五、y＝Asin(ωx＋φ)的对称性 对称轴与对称中心. 1．（24-25高一下·四川眉山·期末）函数的一个对称中心是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·月考）已知函数，则函数的一条对称轴可以是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·江西南昌·期末）若点是函数图象的一个对称中心，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 4．若函数与函数图象的对称中心完全一致，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·陕西·月考）已知函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为，则 ． 6．（23-24高一下·上海·期中）设函数的一个对称中心是，则 ． 7．（24-25高一下·北京西城·期中）已知函数的图象关于直线对称，则当的最小正周期取得最大值时，距离原点最近的对称中心为 . 8．（24-25高一下·辽宁·期末）已知函数的图象关于直线对称，则的值为 . 类型六、y＝Asin(ωx＋φ)的图像变换 函数y＝sin x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)的图象的步骤 注：每一个变换总是对变量而言的，即图像变换要看“变量”发生多大变化，而不是“角”变化多少. 1．（25-26高一·全国·假期作业）已知函数的图象为C，为得到函数的图象，只需把C上的所有点（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 2．把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·黑龙江大庆·期末）已知函数的最小正周期是，将的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若为偶函数，则正实数的最小值是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·四川泸州·期末）（多选题）将函数的图象向左平移个单位长度得到的图象，则下列说法正确的是（   ） A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称 C．在上有最大值 D．在上单调递增 5．（24-25高一下·内蒙古包头·期末）（多选题）要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．先向右平移个单位长度，再将所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变） B．先向左平移个单位长度，再将所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变） C．所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度 D．所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度 6．（24-25高一下·浙江杭州·期中）将函数的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是 . 类型七、根据图像求解析式 确定y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A＞0，ω＞0)的解析式的步骤 (1)求A，B，确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，B＝． (2)求ω，确定函数的周期T，则ω＝． (3)求φ，常用方法为代入法，即把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入． 1．（24-25高一下·江苏盐城·期中）（多选题）若函数在一个周期内的图象如图所示，则（   ）    A．的最小正周期为3π B．的增区间是 C．是奇函数 D．将的图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到的图象 2．（24-25高一下·湖南衡阳·期末）（多选题）已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C． D．把函数的图象平移个单位后关于y轴对称，则的最小值为 3．（24-25高一下·四川成都·期末）（多选题）已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．是函数的对称中心 D．是函数的一条对称轴 4．（25-26高一上·全国·单元测试）（多选题）已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A．的最小正周期为 B． C．将的图象向左平移个单位长度得到的图象关于直线对称 D．将的图象上所有点的横坐标扩大2倍（纵坐标不变），得到的图象对应的函数在区间上单调递增 5．（24-25高一下·山西吕梁·期末）（多选题）已知函数的部分图象如图所示，则（   ）    A． B．的最小正周期为 C．将函数的图象向左平移个单位长度后得到曲线，则曲线的一个对称中心为 D．的图象与直线和线段围成的图形面积为 类型八、y＝Asin(ωx＋φ)与零点相结合 1．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数，则在上的零点有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个 2．（24-25高一下·河南南阳·期末）函数在上的零点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2024高一上·江苏南京·专题练习）已知函数，若方程在区间上有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是 ． 4．已知函数的图象经过点，且在轴右侧的第一个零点为，当时，曲线与的交点有 个， 5．（25-26高一上·全国·课后作业）若函数的部分图象如图所示，将的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，得到函数的图象，若在上恰有3个零点，则的取值范围为 ．    类型九、y＝Asin(ωx＋φ)实际应用 一、函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)中，A，ω，φ的物理意义 1、简谐运动的振幅就是A. 2、简谐运动的周期T＝. 3、简谐运动的频率f＝＝. 4、ωx＋φ称为相位． 5、x＝0时的相位φ称为初相． 二、解三角函数应用问题的基本步骤 1．（24-25高一下·江西·月考）由于潮汐，某港口一天24h的海水水位（单位：m）随时间（单位：）的变化近似满足关系式，若一天中最高水位为14m，最低水位为6m，则该港口一天内水位不小于8m的时长为（   ） A．12h B．14h C．16h D．18h 2．（23-24高一下·内蒙古包头·期末）已知摩天轮的半径为60m，其中心距离地面70m，摩天轮做匀速转动，每30min转一圈，摩天轮上点P的起始位置在最低点处．则在时刻t（min）时，点P离地面的高度h为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·山东枣庄·期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今仍在农业生产中发挥作用，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理．一半径为2m的筒车水轮如图，水轮圆心O距离水面1m，已知水轮每30s逆时针匀速转动一圈，如果当水轮上的点P从水中浮现时（图中点）开始计时，则下列结论错误的是（ ） A．点P再次进入水中用时20s B．当水轮转动25s时，点P处于最低点 C．当水轮转动28.75s时，点P距离水面 D．点P第三次到达距水面时用时42.5s 4．（24-25高一上·陕西榆林·期末）已知某地区某天的温度（单位：）随时间（单位：）的变化近似满足函数关系，且这天的最大温差为，则 ；若温度不低于需要开空调降温，则这天需要降温的时长为 h． 1．（24-25高一下·四川成都·期末）已知，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·安徽蚌埠·期末）下列函数中，最小正周期为的偶函数是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·江苏徐州·期中）下列函数的最小正周期为的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·湖南株洲·期末）若函数的图像的两个对称中心的最短距离为，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．（2025高一·全国·专题练习）如果函数的图象关于点中心对称（），那么函数的一条对称轴是（    ）． A． B． C． D． 6．（24-25高一下·内蒙古包头·月考）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．若的最小正周期是，则 B．当时，的对称中心为 C．当时， D．若在区间上单调递增，则 7．（23-24高一下·辽宁葫芦岛·期末）已知函数，若将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象.若函数为奇函数，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一下·安徽·月考）受潮汐影响，某港口一天的水深（单位：）与时刻的部分记录如下表： 时刻 水深 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 若该天从与的关系可近似的用函数来表示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．时的水深约为 D．一天中水深低于的时间为4小时 9．（24-25高一上·内蒙古鄂尔多斯·期末）当时，函数的零点个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 10．（25-26高一上·全国·课后作业）（多选题）将函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，则下列说法正确的是（   ） A．函数的图象关于点对称 B．函数的最小正周期是 C．函数在上单调递增 D．函数在上的最大值是1 11．（24-25高一下·四川成都·期末）（多选题）函数向左平移个单位，再把横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数，若是周期为的奇函数，则可以是（    ） A． B． C． D． 12．（24-25高一下·辽宁朝阳·月考）（多选题）函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B．的图象关于直线对称 C．若方程在上有且只有6个根，则 D．的图象向左平移个单位长度后得到函数 13．（25-26高一上·江西宜春·期中）（多选题）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．的图象关于点对称 B．的图象关于直线对称 C．在上为增函数 D．把的图象向右平移个单位长度，得到一个奇函数的图象 14．（24-25高一下·湖北武汉·期末）（多选题）已知函数的部分图象如图所示，将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．函数为奇函数 D．函数在区间上单调递减 15．（24-25高一下·湖北恩施·期中）写出函数的图象的一个对称中心 ．（任写一个即可） 16．（23-24高一上·重庆·期末）已知函数，当时，关于的方程有两个实数根，则实数的取值范围为 . 17．（23-24高一上·山东济南·期末）已知函数的图象关于直线对称，则的值为 ． 18．（23-24高一下·上海·期末）设函数在上恰有两个零点，则 . 19．（24-25高一下·云南·月考）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保.明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图1）.假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.如图2，将筒车抽象为一个半径为的圆，设筒车按逆时针方向每旋转一周用时120秒，当时，盛水筒位于点，经过秒后运动到点，点的纵坐标满足，则当筒车旋转90秒时，盛水筒对应的点的纵坐标为 . 20．（24-25高一下·四川成都·月考）已知函数图象的相邻两对称轴间的距离为，且为奇函数.，记函数在上的零点从小到大依次为，则的值为 . 21．（2025高一上·湖北随州·专题练习）已知函数，的最小正周期为． (1)求函数的单调递减区间； (2)求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时的值； (3)求不等式的解集． 22．（24-25高一上·福建莆田·期末）如图，是函数（，，）图象的一部分 (1)求函数的解析式； (2)函数在区间上有且仅有两个零点，求实数的取值范围； (3)若关于x的方程在上有解，求实数a的取值范围. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $