第3章 周末练9 章末检测试卷(三)（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（人教A版）

**基本信息** 聚焦函数概念与性质的章末检测，通过阶梯式题型覆盖函数定义、定义域、单调性、奇偶性等核心考点，强化概念辨析与综合应用能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|单选1-3、多选9|函数定义判断、定义域求解、同一函数辨析|从函数定义出发，通过定义域与对应关系构建概念理解| |性质应用|单选4-8、多选10-11、填空13-14|幂函数单调性、分段函数奇偶性、抽象函数推理|以单调性和奇偶性为核心，结合符号意识与推理能力分析函数行为| |综合拓展|解答15-19|函数解析式求法、实际应用建模、二次函数值域|从基础计算到实际问题，培养数学应用意识与创新意识|

周末练9　章末检测试卷(三) [时间：120分钟 分值：150分] 一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分) 1.下列各式不能表示变量y与x具有函数关系的是(　　) A.y=x-1 B.y= C.x2=4y D.y2=x2 答案　D 解析　D中，当x=1时，y=±1，不符合函数的定义. 2.下列四组函数中，表示同一个函数的一组是(　　) A.f(x)=|x|，g(x)= B.f(x)=g(x)=()2 C.f(x)=g(x)=x D.f(x)=()2，g(x)= 答案　A 解析　对于A选项，f(x)和g(x)的定义域均为R，且g(x)==|x|=f(x)，所以A选项符合题意； 对于B选项，f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为{x|x≥0}，所以B选项不符合题意； 对于C选项，f(x)的定义域为{x|x≠1}，g(x)的定义域为R，所以C选项不符合题意； 对于D选项，f(x)的定义域为{x|x≤0}，g(x)的定义域为R，所以D选项不符合题意. 3.若函数y=f(3x-1)的定义域是[1，3]，则y=f(x)的定义域是(　　) A.[1，3] B.[2，4] C.[2，8] D.[3，9] 答案　C 解析　因为函数y=f(3x-1)的定义域是[1，3]， 所以1≤x≤3，2≤3x-1≤8， 则函数y=f(x)的定义域是[2，8]. 4.幂函数f(x)=(m2-m-1)在区间(0，+∞)上单调递增，且a+b>0，则f(a)+f(b)的值(　　) A.恒大于0 B.恒小于0 C.等于0 D.无法判断 答案　A 解析　幂函数f(x)=(m2-m-1)在区间(0，+∞)上单调递增， ∴解得m=2， ∴f(x)=x5，∴f(x)在R上为奇函数， 由a+b>0，得a>-b， ∵f(x)在R上为增函数， ∴f(a)>f(-b)=-f(b)， ∴f(a)+f(b)>0恒成立. 5.设f(x)=若f(m)=f(m+1)，则f 等于(　　) A.12 B.16 C.2 D.6 答案　D 解析　依题意，函数f(x)在(0，1)上单调递增，在[1，+∞)上单调递增，由f(m)=f(m+1)，且m<m+1，知0<m<1，则m+1>1，故=2(m+1-1)，解得m=所以f =f(4)=6. 6.已知定义在[a-1，2a]上的偶函数f(x)，且当x∈[0，2a]时，f(x)单调递减，则关于x的不等式f(x-1)>f(2x-3a)的解集是(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　由题意得a-1+2a=0，a=则f(x)的定义域为因为当x∈时，f(x)单调递减，且f(x)是偶函数，因此不等式f(x-1)>f(2x-3a)可转化为f(|x-1|)>f(|2x-1|)，所以|x-1|<|2x-1|≤即(x-1)2<(2x-1)2≤解得<x≤. 7.若函数f(x)=是R上的减函数，则a的取值范围是(　　) A.[-3，-1] B.(-∞，-1] C.[-1，0) D.[-2，0) 答案　A 解析　因为函数f(x)是R上的减函数， 所以有解得-3≤a≤-1. 8.(2024·新课标全国Ⅰ)已知函数f(x)的定义域为R，f(x)>f(x-1)+f(x-2)，且当x<3时，f(x)=x，则下列结论中一定正确的是(　　) A.f(10)>100 B.f(20)>1 000 C.f(10)<1 000 D.f(20)<10 000 答案　B 解析　因为当x<3时，f(x)=x， 所以f(1)=1，f(2)=2， 又因为f(x)>f(x-1)+f(x-2)， 则f(3)>f(2)+f(1)=3， f(4)>f(3)+f(2)>5， f(5)>f(4)+f(3)>8， f(6)>f(5)+f(4)>13， f(7)>f(6)+f(5)>21， f(8)>f(7)+f(6)>34， f(9)>f(8)+f(7)>55， f(10)>f(9)+f(8)>89， f(11)>f(10)+f(9)>144， f(12)>f(11)+f(10)>233， f(13)>f(12)+f(11)>377， f(14)>f(13)+f(12)>610， f(15)>f(14)+f(13)>987， f(16)>f(15)+f(14)>1 597>1 000， f(17)>f(16)+f(15)>2 584， f(18)>f(17)+f(16)>4 181， f(19)>f(18)+f(17)>6 765， f(20)>f(19)+f(18)>10 946>10 000>1 000， 则B正确，D错误； 且无证据表明A，C一定正确. 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.下列函数中，既是偶函数又在(0，+∞)上单调递增的函数是(　　) A.y=x B.y=|x|+1 C.y= D.y=- 答案　BC 解析　对于A，y=x是奇函数，故不符合题意； 对于B，y=|x|+1是偶函数，在(0，+∞)上单调递增，符合题意； 对于C，y=是偶函数，在(0，+∞)上单调递增，符合题意； 对于D，y=-是奇函数，不符合题意. 10.如果幂函数f(x)=mxα的图象过点则下列说法正确的是(　　) A.m=1且α=-2 B.f(x)是偶函数 C.f(x)是减函数 D.f(x)的值域为(0，+∞) 答案　ABD 解析　∵f(x)为幂函数，∴m=1，又f(x)的图象过点 ∴2α=解得α=-2，A正确； ∵f(x)=x-2= ∴f(x)的定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)， ∵f(-x)==f(x)， ∴f(x)为偶函数，B正确； ∵α=-2<0，∴当x∈(0，+∞)时，f(x)单调递减，由偶函数的性质知，f(x)在(-∞，0)上单调递增，C错误； ∵x2>0，∴>0，即f(x)的值域为(0，+∞)，D正确. 11.已知函数f(x)的定义域为R，f(xy)=y2f(x)+x2f(y)，则(　　) A.f(0)=0 B.f(1)=0 C.f(x)是奇函数 D.f(x)是偶函数 答案　ABD 解析　因为函数f(x)的定义域为R， f(xy)=y2f(x)+x2f(y)， 令x=y=0，则f(0)=0，故A正确； 令x=y=1，则f(1)=f(1)+f(1)，即f(1)=0，故B正确； 令x=y=-1， 则f(1)=f(-1)+f(-1)，即f(-1)=0， 令y=-1， 则f(-x)=f(x)+x2f(-1)=f(x)， 即f(x)为偶函数，故C错误，D正确. 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12.若函数f(x)满足f =x，则f(x)的解析式为　　　　　　　　. 答案　f(x)=(x≠1) 解析　令=t，则x=t≠1， ∴f(t)=t≠1，∴f(x)=(x≠1). 13.已知函数f(x)是R上的奇函数，函数f(x)在(0，+∞)上单调递减，f(-5)=0，则不等式(x-3)f(x)>0的解集是　　　　. 答案　(-5，0)∪(3，5) 解析　根据题意，得函数f(x)是R上的奇函数，且f(-5)=0，则f(5)=-f(-5)=0， 又函数f(x)在(0，+∞)上单调递减， 则在区间(0，5)上，f(x)>0，在区间(5，+∞)上，f(x)<0， 又函数为奇函数，则在区间(-5，0)上，f(x)<0，在区间(-∞，-5)上，f(x)>0， 不等式(x-3)f(x)>0⇒ 则-5<x<0或3<x<5， 即不等式的解集为(-5，0)∪(3，5). 14.已知函数f(x)=对于任意两个不相等的实数x1，x2∈R，都有不等式<0成立，则实数a取值范围为　　　　　　. 答案　[-7， -5] 解析　因为对于任意两个不相等的实数x1，x2∈R，都有不等式<0成立， 所以函数y=f(x)在R上为减函数， 又因为当x≤a时，f(x)=|x2+4x-5|=|(x+5)(x-1)|， 作出y=|x2+4x-5|的图象，如图所示. 由此可得函数在(-∞，-5)和(-2，1)上单调递减， 又因为当x>a时，f(x)=ax-33，且函数在R上为减函数， 所以 解得-7≤a≤-5. 四、解答题(本题共5小题，共77分) 15.(13分)(1)求函数f(x)=的定义域，并计算f(f(0))的值；(6分) (2)画出函数g(x)=1+(-2<x≤2)的图象，并写出函数g(x)的值域.(7分) 解　(1)由题意可得⇒x>-1且x≠2，所以函数的定义域为(-1，2)∪(2，+∞)； f(0)==3， 所以f(f(0))=f(3)==1-=-. (2)当0≤x≤2时，g(x)=1+=1； 当-2<x<0时，g(x)=1+=1-x； 所以g(x)= 由此画出g(x)的图象如图所示. 由图象知，g(x)的值域为[1，3). 16.(15分)某商场经销一批进价为每件30元的商品，在市场试销中发现，此商品的销售单价x(元)与日销售量y(件)之间有如表所示的关系(其中30≤x≤50，且x∈N*)： x 30 40 45 50 y 60 30 15 0 (1)在所给的坐标图纸中，根据表中提供的数据，描出实数对(x，y)的对应点，并确定y与x的一个函数关系式；(9分) (2)设经营此商品的日销售利润为P元，根据上述关系，写出P关于x的函数关系式，并指出销售单价为多少元时，才能获得最大日销售利润.(6分) 解　(1)由题表作出(30，60)，(40，30)，(45，15)，(50，0)的对应点，它们分布在一条直线上. 设它们所在直线为y=kx+b(k≠0)， 则解得 所以y=-3x+150(30≤x≤50，且x∈N*)， 经检验(30，60)，(40，30)也在此直线上， 所以所求函数解析式为y=-3x+150(30≤x≤50，且x∈N*). (2)依题意得， P=y(x-30)=(-3x+150)(x-30) =-3(x-40)2+300(30≤x≤50，且x∈N*). 所以当x=40时，P有最大值300，即销售单价为40元时，才能获得最大日销售利润. 17.(15分)已知奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)+g(x)=3x2++5. (1)求f(x)的解析式；(6分) (2)判断f(x)在区间(0，2)上的单调性，并用单调性的定义证明你的判断.(9分) 解　(1)已知 f(x)+g(x)=3x2++5，将-x代入上式可得f(-x)+g(-x)=3x2++5， 由于f(-x)=-f(x)，g(-x)=g(x)，所以-f(x)+g(x)=3x2++5， 解方程组得f(x)=. (2)f(x)在区间(0，2)上单调递减，证明如下： 由(1)得f(x)==x+ 对任意x1，x2∈(0，2)，且x1<x2， 则f(x1)-f(x2)=x1+-x2-=(x1-x2)+ 由x1，x2∈(0，2)，得0<x1x2<4，x1x2-4<0，又由x1<x2，得x1-x2<0， 于是>0， 即f(x1)>f(x2)， 所以f(x)=x+在区间(0，2)上单调递减. 18.(17分)已知幂函数y=f(x)的图象过点(2). (1)求出函数y=f(x)的解析式，判断并证明y=f(x)在[0，+∞)上的单调性；(9分) (2)函数g(x)是R上的偶函数，当x≥0时，g(x)=f(x)，求满足g(1-m)≤的实数m的取值范围.(8分) 解　(1)根据题意，设幂函数的解析式为y=f(x)=xα， 将(2)代入解析式中得=2α， 解得α=所以所求幂函数的解析式为f(x)=. 幂函数f(x)=在[0，+∞)上是增函数. 证明：任取x1，x2∈[0，+∞)，且x1<x2， 则f(x1)-f(x2)= = 因为0≤x1<x2，则>0，x1-x2<0， 所以f(x1)-f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，所以幂函数f(x)=在[0，+∞)上是增函数. (2)当x≥0时，g(x)=f(x)， 而幂函数f(x)=在[0，+∞)上是增函数， 所以当x≥0时，g(x)=在[0，+∞)上单调递增. 又因为函数g(x)是R上的偶函数， 所以g(x)在(-∞，0]上单调递减. 由g(1-m)≤g(5)=可得|1-m|≤5， 即-4≤m≤6，所以满足g(1-m)≤的实数m的取值范围为[-4，6]. 19.(17分)已知函数f(x)=-x2+mx-m. (1)若函数f(x)的最大值为0，求实数m的值；(4分) (2)若函数f(x)在[-1，0]上单调递减，求实数m的取值范围；(3分) (3)是否存在实数m，使得f(x)在[2，3]上的值域恰好是[2，3]？若存在，求出实数m的值；若不存在，说明理由.(10分) 解　(1)f(x)=--m+则最大值为-m+=0， 即m2-4m=0， 解得m=0或m=4. (2)函数f(x)图象的对称轴是直线x=要使f(x)在[-1，0]上单调递减，应满足≤-1，解得m≤-2. (3)①当≤2，即m≤4时，f(x)在[2，3]上单调递减. 若存在实数m，使f(x)在[2，3]上的值域是[2，3]，则此时m无解. ②当≥3，即m≥6时，f(x)在[2，3]上单调递增，则 解得m=6. ③当2<<3，即4<m<6时，f(x)在上单调递增，在上单调递减，所以f(x)在x=处取得最大值，则f=-+m·-m=3，解得m=-2或m=6，不符合题意，舍去. 综上可得，存在实数m=6，使得f(x)在[2，3]上的值域恰好是[2，3]. 学科网（北京）股份有限公司 $