第5章 周末练16 范围：§5.6～§5.7（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（人教A版）

**基本信息** 聚焦三角函数图象变换与性质，通过基础到综合的梯度设计，系统覆盖解析式求解、图象变换、性质分析及实际建模，强化数学抽象与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |图象变换|单选1,3,5,7|考查平移、伸缩变换规律|从函数平移法则到伸缩变换，构建“变换-解析式”对应关系| |性质应用|单选2,4,8,9|判断周期、对称中心、单调性|结合整体代换法，建立“解析式-性质”推导链条| |解析式求解|解答题13|由图象求A,ω,φ|通过最值定A、周期定ω、特殊点定φ，形成完整求解逻辑| |实际建模|单选6,解答题14|面积最值、缆车高度问题|运用三角函数模型解决实际问题，体现数学建模思想|

周末练16　范围：§5.6~§5.7 [分值：90分] 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.将函数f(x)=sin的图象向左平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，则g(x)的解析式为(　　) A.g(x)=cos 2x B.g(x)=-cos 2x C.g(x)=sin 2x D.g(x)=sin 答案　A 解析　将函数f(x)=sin的图象向左平移个单位长度后，所得函数图象对应的解析式为g(x)=sin=sin=cos 2x. 2.函数f(x)=2cos2(ωx+φ)+b，ω>0的部分图象如图所示，则以下说法正确的是(　　) A.ω=b=1 B.ω=b=-1 C.ω=π，b=1 D.ω=π，b=-1 答案　B 解析　因为f(x)=2cos2(ωx+φ)+b=cos(2ωx+2φ)+b+1. 由函数图象可知b+1=0，即b=-1； 又=1，所以T=2， 又T=⇒ω=. 3.将函数f(x)=sin xcos x+cos2x的图象向右平移个单位长度，可得函数g(x)的图象，则g(x)的一个对称中心为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　f(x)=sin xcos x+cos2x=sin 2x+cos 2x+=sin 因为f(x)的图象向右平移个单位长度，可得函数g(x)的图象， 所以g(x)=sin=sin=sin 因为y=sin x的对称中心为(kπ，0)(k∈Z)， 所以当2x+=kπ(k∈Z)，即x=k∈Z)时，g(x)= 即函数g(x)的对称中心为k∈Z)， 当k=1时，对称中心为. 4.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示，则下列结论错误的是(　　) A.函数的解析式可以为f(x)=2sin B.函数的图象关于直线x=对称 C.函数f(x)在上单调递减 D.函数的图象关于点对称 答案　C 解析　由题意得，A=2，T=4=π， 所以ω=2，故f(x)=2sin(2x+φ)， 因为2×+φ=+2kπ，k∈Z， 又|φ|< 所以φ=f(x)=2sin故A正确； 因为2×此时f(x)取得最小值，故B正确； 当-≤x≤-时，-π≤2x+≤0，此时f(x)不单调，故C错误； 因为f=2sin 0=0，故D正确. 5.若把函数y=sin的图象向左平移m(m>0)个单位长度后，得到y=cos的图象，则m的最小值为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　函数y=sin的图象向左平移m(m>0)个单位长度后为函数y=sin=sin=cos的图象， 所以m++2kπ，k∈Z，则m=+4kπ，k∈Z， 又m>0，所以m的最小值为. 6.以正方形的边长为底，向外作4个腰长为2的等腰三角形，得到一个新的图形，则该图形面积的最大值为(　　) A.4+4 B.8+4 C.8+8 D.8+8 答案 　C 解析　如图，四边形ABCD是正方形，△ABE，△BCF，△CDG，△DAH是等腰三角形，它们的底边为正方形相应的边，腰长均为2， 设等腰△ABE的底角∠ABE=θ， 0<θ<则有等腰△ABE底边上的高为2sin θ，底边AB=4cos θ， 于是得图形面积S=AB2+4S△ABE=16cos2θ+4××4cos θ·2sin θ =8+8sin 2θ+8cos 2θ=8+8 因为0<θ<即<2θ+则当2θ+即θ=时，sin取最大值1，则Smax=8+8.所以该图形面积的最大值为8+8. 二、多项选择题(每小题6分，共18分) 7.要得到y=sin(2x+1)的图象，只需把y=sin x的图象(　　) A.向左平移1个单位长度，再把所得图象上每一点的横坐标缩短为原来的 B.向右平移1个单位长度，再把所得图象上每一点的横坐标缩短为原来的 C.把y=sin x图象上每一点的横坐标缩短为原来的再向左平移个单位长度 D.把y=sin x图象上每一点的横坐标缩短为原来的再向左平移1个单位长度 答案　AC 解析　y=sin x的图象向左平移1个单位长度得到y=sin的图象，再把所得图象上每一点的横坐标缩短为原来的得到y=sin(2x+1)的图象，故A正确，B错误； 把y=sin x图象上每一点的横坐标缩短为原来的得到y=sin 2x的图象，再向左平移个单位长度得到y=sin 2=sin(2x+1)的图象，故C正确，D错误. 8.已知函数f(x)=-1，给出的下列四个选项中，正确的是(　　) A.函数f(x)的最小正周期是π B.函数f(x)在区间上单调递减 C.函数f(x)的图象关于点对称 D.函数f(x)的图象可由函数y=sin 2x的图象向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度得到 答案　ABD 解析　由T==π，可得函数f(x)的最小正周期是π，故A正确； 由2kπ+≤2x+≤2kπ+k∈Z)得kπ+≤x≤kπ+k∈Z). 令k=0得≤x≤所以函数f(x)在区间上单调递减，故B正确； 因为sin 0=0， 所以函数f(x)的图象关于点对称，故C错误； 将函数y=sin 2x的图象向左平移个单位长度， 可得y=sin 2的图象， 再向下平移1个单位长度，得y=-1的图象，即为函数f(x)的图象，故D正确. 9.★★气候变化是人类面临的全球性问题，随着各国二氧化碳的排放，温室气体猛增，对生命系统形成威胁.我国积极参与全球气候治理，加速全社会绿色低碳转型，力争2030年前实现碳达峰，2060年前实现碳中和的目标.某校高一数学研究性学习小组研究的课题是“碳排放与气候变化问题”，研究小组观察记录某天从6时到14时的温度变化，其变化曲线近似满足函数f(x)=Asin(ωx+φ)+b(A>0，ω>0，0<φ<π)，如图，则(　　) A.φ= B.函数f(x)的最小正周期为16π C.∀x∈R，f(x)+f(x+8)=40 D.若g(x)=f(x+m)是偶函数，则|m|的最小值为2 答案　ACD 解析　依题意得A>0，ω>0，0<φ<π， 根据图象可知 所以f(x)=10sin(ωx+φ)+20， 根据图象可知=14-6=8，T=16，ω=故B选项错误； 所以f(x)=10sin+20， f=10sin+20=10，sin=-1， 又0<φ<π，则+φ< 所以+φ=⇒φ=故A选项正确； 则f(x)=10sin+20， f=10sin+20= 10sin+20=-10sin+20， 所以f(x)+f(x+8)=40，故C选项正确； g(x)=f(x+m)=10sin+20=10sin+20是偶函数， 则m+=kπ+k∈Z，m=8k-2，k∈Z，所以当k=0时，|m|取得最小值为2，故D选项正确. 三、填空题(每小题5分，共15分) 10.函数y=3sin的频率是　　　　　 . 答案　 解析　由题意可知，函数y=3sin的频率f=. 11.将函数f(x)=2sin的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称中心的坐标是　　　　. 答案　 解析　f=2sin 令sin=0， 得3x-=kπ，k∈Z， 因此x=k∈Z， 令k=0，x1=令k=-1，x2=- 从而|x2|<|x1|，进而x2距离y轴更近， 所以所求对称中心的坐标为. 12.将函数f(x)=sin ωx(ω>0)的图象向右平移个单位长度得到函数y=g(x)的图象，若函数g(x)在区间上单调递增，则实数ω的取值范围是　　　　. 答案　 解析　将函数f(x)=sin ωx(ω>0)的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)=sin ω的图象， 因为0≤x≤所以-ω≤ωω， 因为函数g(x)在区间上单调递增， 所以解得 因为ω>0，所以0<ω≤. 四、解答题(共27分) 13.(13分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示. (1)求函数f(x)的解析式，并写出函数f(x)的单调递增区间；(5分) (2)将函数f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变)，再将所得函数图象上的所有点向左平移m个单位长度，得到函数g(x)的图象.若函数g(x)的图象关于直线x=对称，求函数g(x)在区间上的值域.(8分) 解　(1)由图象可知A=2， T=2×=4π， 所以ω=所以f(x)=2sin 由题图可知最低点的坐标为 所以f=2sin=-2， 所以+φ=-+2kπ，k∈Z， 所以φ=-+2kπ，k∈Z， 因为|φ|<π，所以φ=- 所以f(x)=2sin 由-+2kπ≤x-+2kπ，k∈Z， 可得+4kπ≤x≤+4kπ，k∈Z. 所以函数f(x)的单调递增区间为k∈Z. (2)由题意知，函数 g(x)=2sin =2sin 因为g(x)的图象关于直线x=对称， 所以2×+2m=+kπ，k∈Z， 即m=k∈Z， 因为0<m<所以m= 所以g(x)=2sin. 当x∈时，2x- 可得sin 所以2sin∈[-1，2]，即函数g(x)的值域为[-1，2]. 14.(14分)如图是一个缆车示意图，该缆车半径为4.8 m，圆上最低点与地面距离为0.8 m，60 s转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ角到OB，设B点与地面间的距离为h m. (1)求h与θ之间的函数解析式；(6分) (2)设从OA开始转动，经过t s后到达OB，求h与t之间的函数关系式，并求缆车离地面8 m时用的最少时间是多少？(8分) 解　(1)以圆心O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 则以Ox为始边，OB为终边的角为θ-故点B的坐标为 ∴h=5.6+4.8sin. (2)缆车转动的角速度是 rad/s，故t s转过的弧度数为t， ∴h=5.6+4.8sint∈[0，+∞). 当h=8时， 由h=5.6+4.8sin=8， 得sin解得t-+2kπ，k∈Z或t-+2kπ，k∈Z， ∴t=20+60k，k∈Z或t=40+60k，k∈Z， ∴缆车离地面8 m时用的最少时间是20 s. 学科网（北京）股份有限公司 $