第5章 周末练14 范围：§5.3～§5.4（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（人教A版）

**基本信息** 聚焦三角函数与三角恒等变换，通过多解法渗透逻辑推理，以分层题型构建从概念到应用的知识链。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|3题（1-3）|集合交集运算、诱导公式转化、函数奇偶性判断|从三角函数定义到性质初步应用| |性质应用|5题（4-8）|正切单调性比较、图像周期求解、多解法判断单调区间|性质（周期/单调/对称）与图像的关联推导| |综合拓展|4题（9-14）|换元法求值域、分类讨论参数、实际情境建模|三角恒等变换与函数思想的综合迁移|

周末练14　范围：§5.3~§5.4 [分值：90分] 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.已知集合A=B={α|0<α<π}，且A∩B=C，则C等于(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　∵A=B={α|0<α<π}， ∴A∩B=即C=. 2.已知sin且α为第三象限角，则tan α等于(　　) A.- B. C. D. 答案　D 解析　因为sin=-cos α=所以cos α=-又因为α为第三象限角， 所以sin α=-=- 则tan α=. 3.已知函数f(x)=1+sin 2x，则f是(　　) A.最小正周期为π的奇函数 B.最小正周期为π的偶函数 C.最小正周期为的奇函数 D.最小正周期为的偶函数 答案　B 解析　∵f(x)=1+sin 2x， ∴f=1+ =1+=1-cos 2x， ∴T==π， ∴f 是最小正周期为π的偶函数. 4.tan 48°，tan(-22°)，tan 114°的大小关系为(　　) A.tan 114°>tan 48°>tan(-22°) B.tan(-22°)>tan 114°>tan 48° C.tan(-22°)>tan 48°>tan 114° D.tan 48°>tan(-22°)>tan 114° 答案　D 解析　tan 114°=tan(180°-66°)=tan(-66°)， 因为当-90°<x<90°时，函数y=tan x单调递增，且-90°<-66°<-22°<48°<90°， 所以tan(-66°)<tan(-22°)<tan 48°， 即tan 48°>tan(-22°)>tan 114°. 5.已知函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递增区间为(　　) A.k∈Z B.k∈Z C.k∈Z D.k∈Z 答案　D 解析　由f(x)的图象可知周期为T=2×=2， ∴ω==π，由图象可知，点A将A代入f(x)中得 cos=-1，即+φ=π+2kπ，k∈Z，即φ=+2kπ，k∈Z，故f(x)=cos的单调递增区间满足-π+2kπ<πx+<2kπ，k∈Z，解得-+2k<x<-+2k，k∈Z. 6.(2021·新高考全国Ⅰ)下列区间中，函数f(x)=7sin的单调递增区间是(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　方法一　(常规求法)令-+2kπ≤x-+2kπ，k∈Z，得-+2kπ≤x≤+2kπ，k∈Z.取k=0，则-≤x≤.因为所以区间是函数f(x)的单调递增区间. 方法二　(判断单调性法)当0<x<时，-<x-所以f(x)在上单调递增，故A正确；当<x<π时<x-所以f(x)在上不单调，故B不正确；当π<x<时<x-所以f(x)在上单调递减，故C不正确；当<x<2π时<x-所以f(x)在上不单调，故D不正确. 方法三　(特殊值法)因为<π，但f =7sin=7，f=7sin<7，所以区间不是函数f(x)的单调递增区间，排除B；因为π<但f=7sin π=0，f =7sin=-<0，所以区间不是函数f(x)的单调递增区间，排除C；因为<2π，但f=7sin=-7sin>-7，f=7sin=-7，所以区间不是函数f(x)的单调递增区间，排除D. 二、多项选择题(每小题6分，共18分) 7.已知sin(π+α)=-则下列计算正确的是(　　) A.sin(5π-α)= B.sin C.cos=- D.tan 答案　AC 解析　依题意，sin(π+α)=-sin α=-sin α= 所以cos α=±=± 所以sin(5π-α)=sin α=故A正确； sin=cos α=±故B错误； cos=-sin α=-故C正确； tan=±故D错误. 8.已知函数f(x)=tan-1，则下列说法错误的是(　　) A.f(x)的最小正周期为π B.f(x)的定义域为 C.f(x)的图象关于点对称 D.f(x)在上单调递增 答案　ABC 解析　对于A，由正切函数性质知，f(x)的最小正周期为T=A错误； 对于B，由2x++kπ(k∈Z)得x≠k∈Z)，∴f(x)的定义域为B错误； 对于C，令2x+k∈Z)，解得x=-k∈Z)，又f(x)=tan-1，∴f(x)的图象关于点对称，C错误； 对于D，当x∈时，2x+此时f(x)单调递增，D正确. 9.★★科学研究已经证实：人的智力、情绪和体力分别以33天、28天和23天为周期，均可按y=sin ωx(ω>0)进行变化.记智力曲线为I，情绪曲线为E，体力曲线为P，则(　　) A.第35天时情绪曲线E处于最高点 B.第33天到第42天时，智力曲线I与情绪曲线E不相交 C.第46天到第50天时，体力曲线P处于上升期 D.情绪曲线E与体力曲线P都关于点(322，0)对称 答案　ACD 解析　设人的智力曲线、情绪曲线和体力曲线分别用f(x)=sin ω1x，g(x)=sin ω2x，h(x)=sin ω3x表示， 所以 ω1=ω2=ω3= 故f(x)=sinx，g(x)=sinx，h(x)=sinx， 第35天时，g(35)=sin=sin=sin=1，故E处于最高点，故A正确； 设F(x)=f(x)-g(x)=sinx-sinx， 因为F(33)=sin 2π-sin=-sin<0，F(42)=sin-sin 3π=sin>0， 故由函数零点存在定理可得存在x0∈(33，42)，使得F(x0)=0，故此时智力曲线I与情绪曲线E相交，故B错误； 因为x∈(46，50)，所以x∈ 因为所以根据正弦函数的性质可得此时h(x)=sinx单调递增，故处于上升期，故C正确； 因为g(322)=sin=sin 23π=0，h(322)=sin=sin 28π=0， 所以情绪曲线E与体力曲线P都关于点(322，0)对称，故D正确. 三、填空题(每小题5分，共15分) 10.已知函数f(x)=ax3+bsin x+3，若f(m)=1，则f(-m)=　　　　. 答案　5 解析　设g(x)=f(x)-3=ax3+bsin x， 则g(-x)=a(-x)3+bsin(-x)=-ax3-bsin x=-g(x)，即函数g(x)是奇函数， f(x)=g(x)+3，则f(m)+f(-m)=g(m)+3+g(-m)+3=6，而f(m)=1， 所以f(-m)=5. 11.函数f(x)=sin+cos的对称中心为　　　　. 答案　k∈Z 解析　f(x)=sin+cos =sin+sin=2sin. 由x+=kπ，k∈Z，得x=kπ-k∈Z， 所以f(x)的对称中心是k∈Z. 12.函数y=的值域为　　　　. 答案　 解析　方法一　y= =1+. 因为-1≤sin x<1，所以0<1-sin x≤2. 所以当sin x=-1时，ymin=1+. 所以函数的值域为. 方法二　由y=得ysin x-y=sin x-2，即sin x=y-2，显然y≠1. 故sin x=. 因为-1≤sin x<1， 所以 解得y≥所以函数的值域为. 四、解答题(共27分) 13.(13分) 已知f(α)=. (1)化简f(α)；(3分) (2)若f(α)=且<α<求cos α-sin α的值；(5分) (3)若α=-求f(α)的值.(5分) 解　(1)f(α)==sin αcos α. (2)由f(α)=sin αcos α=可得(cos α-sin α)2=cos2α-2sin αcos α+sin2α=1-2sin αcos α=1-2×.又∵<α< ∴cos α<sin α，即cos α-sin α<0， ∴cos α-sin α=-. (3)∵α=-=-4×2π+ ∴f =cos·sin =cos ·sin =cos·sin =cos =-. 14.★★(14分)已知函数f(x)=sin2x+acos x-a-x∈R. (1)当a=1时，求函数f(x)的最小值；(3分) (2)若f(x)的最大值为1，求实数a的值；(5分) (3)对于任意x∈不等式f(x)≥恒成立，求实数a的取值范围.(6分) 解　(1)当a=1时，f(x)=sin2x+cos x-2 =-cos2x+cos x-1=- 因为-1≤cos x≤1， 所以当cos x=-1时，函数取得最小值，最小值为-=-3. (2)因为f(x)=sin2x+acos x-a- =-cos2x+acos x- =- 当-1≤≤1，即-2≤a≤2时， 则当cos x=时，函数的最大值为=1， 解得a=1+>2(舍去)或a=1-； 当>1，即a>2时， 则当cos x=1时，函数取得最大值， 即1=-1+a-解得a=5； 当<-1，即a<-2时， 则当cos x=-1时，函数取得最大值， 即1=-1-a-解得a=-舍去). 综上，实数a的值为1-或5. (3)因为f(x)=-cos2x+acos x- 令t=cos x，由x∈得t∈ 设h(t)=-t2+at- 因为对任意x∈f(x)≥恒成立， 所以h(t)=-t2+at-在t∈上恒成立， 即a≥t+在t∈上恒成立， 设g(t)=t+ 由对勾函数的性质易知函数g(t)在上单调递减， 所以g(t)≤g所以a≥ 故实数a的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $