微专题 三角函数零点问题6种题型（专项训练）数学人教A版2019必修第一册

微专题 三角函数零点问题 题型1 求三角函数零点的个数 1、对于正弦函数，当 为正弦函数的对称中心，也是其零点。 2、对于，当 为余弦函数的对称中心，也是其零点。 3、对于, 当 为正切函数的对称中心，但是才是其零点。 1．（25-26高三上·江苏宿迁·月考）函数在区间内的零点个数为 【答案】3 【分析】由直接求出函数零点，然后结合区间即可得解. 【详解】由得， 令，解得，即， 所以函数在区间内有3个零点. 故答案为：3 2．（2025高三·全国·专题练习）若函数的图象在区间内恰有两个最高点和一个最低点． (1)求的最小值； (2)当取最小时，若函数的图象与的图象关于轴对称，求函数在区间的零点个数． 【答案】(1)10 (2)2 【分析】（1）因为函数的图象在区间内恰有两个最高点和一个最低点，由此可列出关于的不等式即可求解； （2）根据题意求得，然后由整体代入法求得零点表达式，结合区间即可求解零点个数. 【详解】（1）当时，， 因为函数的图象在区间内恰有两个最高点和一个最低点， 所以，解得， 因为，故的最小值为10． （2）由（1）可得的最小值为10，则， 因为函数的图象与的图象关于轴对称，所以． 令，解得， 通过赋值可得当时，对应的在区间内，其余均不符合题意，故函数在区间的零点个数为2． 3．（25-26高二上·湖南·期中）函数在上的零点个数为 ． 【答案】4 【分析】列方程得到的零点，然后确定零点个数即可. 【详解】令，得， 所以， 由，可得的取值可以是0，1，2，3，故零点个数为4． 故答案为：4. 4．（25-26高二上·湖南邵阳·期中）函数在上的零点个数为 . 【答案】4 【分析】令求出，再赋值可得. 【详解】令， 则， 所以令可得. 故答案为：4. 题型2 含三角函数的复合型求零点个数 复合函数的零点个数与求方程的根的个数的方法一致。函数有零点方程有实数根函数的图像与轴有交点。 1、 若通过将其中的三角函数换元把方程变成能直接解的形式，则可以直接解方程，但是要注意的是三角函数换元后，它的取值范围问题。 2、 若方程比较复杂，则可以考虑能否通过画图，利用图像的交点个数来判断根的个数。 1．（2025·广东·一模）设函数，则在上的零点个数是 ． 【答案】3 【分析】利用诱导公式倍角公式和差公式化简，再利用三角函数求值即可得出． 【详解】由题意得 ， 令，则， 所以，即． 令，则，满足条件； 令，则，满足条件；令，则，满足条件； 令，则，不满足条件，则在上的零点个数是3． 故答案为：3． 2．（2025高三·全国·专题练习）函数的零点个数为 ． 【答案】3 【分析】设，，分别画出两图像，交点即为原函数零点 【详解】令，得， 设，，所以， 通过五点作图法（五点为）作出函数的大致图象， 再通过两点法（两点为）作出单调函数的大致图象， 如图所示．因为， 所以通过图象可判断它们有3个交点． 故答案为：3 3．（25-26高三上·江苏苏州·期中）已知函数最小正周期为，当时，则函数的零点个数为 ． 【答案】4 【分析】根据题意，转化为与图象的交点个数，作出函数与的图象，结合图象，即可求解. 【详解】令，可得， 所以函数的零点个数等价于与图象的交点个数， 因为函数最小正周期为，当时，， 则，画出函数与的图象， 如图所示，由图象可得，函数的零点个数为. 故答案为：. 4．（24-25高一下·四川遂宁·期末）函数，则在内零点个数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】根据余弦和差公式化简，然后利用三角函数解方程即可. 【详解】 ， 即或，又， 所以或， 故在内零点个数为6. 故选：B. 5．（2025·陕西安康·模拟预测）函数在上的零点个数为（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【分析】先求出零点满足，再结合特殊值及角的范围求解零点个数. 【详解】函数零点满足 所以或舍， 在上的值为， 所以函数在上的零点个数为6个. 故选：C. 题型3 根据零点个数求参数（不是） 1、 给出的已知函数在动区间上零点个数问题，可以先画出函数图像，找到关键零点的位置，讨论给定的区间内零点与参数的关系。 2、 若函数是动函数（已知，只上下左右移动），区间是定区间，则先确定区间内能容纳的零点个数，再去讨论函数位置。 1．（25-26高三上·江西赣州·期中）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数.若函数在区间上恰有2个零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用二倍角余弦公式及图象平移得，再由余弦型函数的周期性及区间上零点的个数列不等式求参数范围. 【详解】由题意， 函数向右平移个单位长度，得， 当，则， 由题意，在区间上恰好有2个解， 因此，即. 故选：D 2．（25-26高三上·安徽·期中）若函数在区间上有且仅有3个零点，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】由，求出时的零点即可得解. 【详解】由，得， 若，则，，，，…， 则，，，，…， 第三个零点为，所以的最小值为. 故答案为：. 3．（25-26高三上·重庆·月考）已知将向左平移个单位得到函数的图象，若函数在区间上恰有4个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用三角恒等变换得，利用图像的变换得，由得，进而得，解出即可. 【详解】由题意有：， 所以， 由有， 又函数在区间上恰有4个零点， 所以，解得，即， 故选：B. 4．（2025·广西来宾·模拟预测）若函数在上有奇数个不同的零点，则实数m的值为 . 【答案】0或 【分析】从奇数个不同的零点入手，先研究的对称性.由得到关于直线对称. 因为区间是半开半闭区间，所以或者，即可解. 【详解】 所以，所以曲线关于直线对称. 又， 因为区间是半开半闭区间，函数在上有奇数个不同的零点，或， 即或， 进而：m的值为0或. 故答案为：0或. 题型4 根据零点个数求 根据三角函数或在区间内零点的个数问题求： 1、 根据有没有零点或零点个数，判断在几个周期以内。 2、 根据零点个数确定的范围 根据上述两点可以计算出的取值范围，的范围会跟值有关，再根据是整数，可以确定的最值 1．（25-26高三上·天津蓟州·期中）已知函数．若恒成立，且在区间内至少存在两个零点，则的最小值为（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】B 【分析】利用辅助角公式化简，设函数的最小正周期为，则，结合周期公式求出的取值，再由的范围求出的范围，结合零点的特征求出的范围，即求出的最小值. 【详解】因为， 设函数的最小正周期为，由可得， 所以，解得； 当时，， 因为在区间内至少存在两个零点， 所以，即； 所以当时取最小值，综上，的最小值为. 故选：B. 2．（2025高三·全国·专题练习）已知函数在区间上恰有两个零点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】令，则在区间上恰有两个实数根，结合正弦函数的图象与性质可得. 【详解】由得， 令，则． 令，则在区间上恰有两个实数根． 结合正弦函数的图象（如图）与性质，可得，解得． 故答案为：. 3．（24-25高一下·陕西咸阳·期末）已知函数在区间上恰好有3个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用余弦函数的图像性质列出关于的不等式，进而求得的取值范围. 【详解】当时，， 由题意函数在区间上恰好有3个零点， 则根据余弦函数的图象与性质知，结合解得， 即的取值范围是. 故选：C 4．（25-26高三上·山东德州·期中）已知函数．若在区间内没有零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先化简函数解析式，接着由题设结合正弦函数零点性质先求出和，再求出符合代入即可分析求解. 【详解】由题函数 ， 当，则， 因为在区间内没有零点， 所以即， 且，解得， 令得或0， 则当时，有；当时，有； 综上，满足题意的实数的取值范围是. 故选：D 5．（25-26高三上·广东·月考）若对任意实数，函数在上最少有三个不同的零点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设的最小正周期为，可得，结合最小正周期可求得的最小值. 【详解】设的最小正周期为，则. 因为，所以，解得，所以的最小值为. 故选：B. 题型5 求零点差 对给定范围内的两个相邻的零点（通常为三角函数图像与直线的交点），这两个零点会关于三角函数的某个对称轴对称。即，再根据三角恒等变换可以求的正余弦值。 1．（湖南省教育战略合作学校2025-2026学年高三上学期第二次联考数学试题）已知函数在上恰有两个不同的零点，则的值可能为（   ） A．0 B． C． D．1 【答案】C 【分析】由题意，将函数在上恰有两个不同的零点转化为函数与在上恰有两个不同的交点，考查函数的单调性和端点、极值，作出函数的图象，推得，进而得到，求得，结合余弦函数的单调性求得的取值范围即可. 【详解】由，可得， 因在上恰有两个不同的零点， 即函数与在上恰有两个不同的交点， 而函数在上单调递增，在上单调递减， 且，， 作出两函数的图象，可得.    由图可知，， 可得，故. 故选：C． 2．（25-26高三上·河北邢台·月考）已知函数在上仅有两个零点，且，则 ． 【答案】 【分析】由题意可得为函数，的图象与直线的交点的横坐标，根据函数图像可得，代入结合诱导公式和的取值范围求出即可得解. 【详解】令，得， 则为函数，的图象与直线的交点的横坐标， 的图象如图所示， 易得，，， 所以， 则， 所以，易得， 因为，所以， 所以， 又，所以， 故答案为： 3．（25-26高三上·河南·期中）若是函数的两个零点，则的最大值为 ，的最小值为 ． 【答案】 2 【分析】利用降幂公式与辅助角公式进行化简，然后找到最大值与周期进行求解. 【详解】因为， 所以的最大值为2， ，相邻两零点间距离为，即的最小值为 故答案为：2； 4．（2025高三下·全国·专题练习）若函数的两个零点分别为和，则 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用辅助角公式化简，再利用函数零点的意义及正弦函数的性质求得，进而求出，最后利用二倍角的余弦公式求值即可. 【详解】由辅助角公式得函数， 其中锐角由确定，由， 得，而， 因此，即，则， 即，于是， 所以. 故答案为： 5．（24-25高一下·四川自贡·期末）函数，若在有两个零点，，则 ． 【答案】/ 【分析】首先将原函数化简成正弦型函数的形式，根据正弦函数的性质可知关于对称，得到之间的关系式，然后将所求式子进行化简，利用二倍角的余弦公式即可求出结果. 【详解】， 因为在上有两个零点， 所以，即. 令，则， 根据正弦函数的性质可知，关于对称， 所以，即. 所以， 所以. 因为，所以， 所以. 故答案为：. 题型6 求零点和 对给三角函数的零点（通常为三角函数图像与直线或者别的图像的交点），找到这些零点的对称点，然后根据这个对称来求和。 1．（2025·陕西西安·模拟预测）函数，，若有两个零点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用函数零点的定义，结合余弦函数的性质求出，再逐项计算判断即得. 【详解】由，得，而，则，， ，因此，解得， 由，得或，于是， 对于A，，A错误； 对于B，，B错误； 对于C，，C错误； 对于D，，D正确. 故选：D 2．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数，若函数在上的零点为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】判断其奇偶性，再结合函数图形即可判断. 【详解】要求函数在上的零点，可转化为求和图象的交点， 易知函数为奇函数，故的图象关于原点对称， 则函数在上的图象关于原点对称， 故函数在上的零点也关于原点对称，其和为0， 所以在上的零点和即为上的零点和， 令，得，， 在同一坐标系中作出和的图象， 如图可知在内的零点只有，故零点之和为.    故选：B 3．（2025高三上·河南鹤壁·专题练习）函数的所有零点之和为 【答案】12 【分析】函数的零点转化为图象的交点来解决，在同一坐标系下画出和的函数图象，根据函数图象的对称性以及交点个数可得答案. 【详解】由可得，设，， 则函数的零点个数等价于与的交点个数.作出两函数的图象如下. 因，即函数关于直线对称， 对于，由，解得， 即函数也关于对称. 即两函数的图象均关于直线对称. 又因的最小正周期为 ， 且当时， ， 而对于，，且在上单调递增， 所以当时，两函数图象无交点，由图知，两函数在上有4个交点； 再由图象对称性可知，两函数的图象共有个交点，且关于直线对称， 故的个零点之和为． 故答案为：12. 4．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数，若函数在上的零点为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】判断其奇偶性，再结合函数图形即可判断. 【详解】要求函数在上的零点，可转化为求和图象的交点， 易知函数为奇函数，故的图象关于原点对称， 则函数在上的图象关于原点对称， 故函数在上的零点也关于原点对称，其和为0， 所以在上的零点和即为上的零点和， 令，得，， 在同一坐标系中作出和的图象， 如图可知在内的零点只有，故零点之和为.    故选：B 5．（24-25高一下·浙江金华·期末）已知函数，则在区间上的所有零点之和为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由二倍角余弦公式结合求解一元二次方程得到上的零点，再求和即可. 【详解】， 由，得或，即或或，， 所以函数在区间的零点是 ，它们的和为， 故选：D. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题 三角函数零点问题 题型1 求三角函数零点的个数 1、对于正弦函数，当 为正弦函数的对称中心，也是其零点。 2、对于，当 为余弦函数的对称中心，也是其零点。 3、对于, 当 为正切函数的对称中心，但是才是其零点。 1．（25-26高三上·江苏宿迁·月考）函数在区间内的零点个数为 2．（2025高三·全国·专题练习）若函数的图象在区间内恰有两个最高点和一个最低点． (1)求的最小值； (2)当取最小时，若函数的图象与的图象关于轴对称，求函数在区间的零点个数． 3．（25-26高二上·湖南·期中）函数在上的零点个数为 ． 4．（25-26高二上·湖南邵阳·期中）函数在上的零点个数为 . 题型2 含三角函数的复合型求零点个数 复合函数的零点个数与求方程的根的个数的方法一致。函数有零点方程有实数根函数的图像与轴有交点。 1、 若通过将其中的三角函数换元把方程变成能直接解的形式，则可以直接解方程，但是要注意的是三角函数换元后，它的取值范围问题。 2、 若方程比较复杂，则可以考虑能否通过画图，利用图像的交点个数来判断根的个数。 1．（2025·广东·一模）设函数，则在上的零点个数是 ． 2．（2025高三·全国·专题练习）函数的零点个数为 ． 3．（25-26高三上·江苏苏州·期中）已知函数最小正周期为，当时，则函数的零点个数为 ． 4．（24-25高一下·四川遂宁·期末）函数，则在内零点个数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 5．（2025·陕西安康·模拟预测）函数在上的零点个数为（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 题型3 根据零点个数求参数（不是） 1、 给出的已知函数在动区间上零点个数问题，可以先画出函数图像，找到关键零点的位置，讨论给定的区间内零点与参数的关系。 2、 若函数是动函数（已知，只上下左右移动），区间是定区间，则先确定区间内能容纳的零点个数，再去讨论函数位置。 1．（25-26高三上·江西赣州·期中）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数.若函数在区间上恰有2个零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·安徽·期中）若函数在区间上有且仅有3个零点，则的最小值为 ． 3．（25-26高三上·重庆·月考）已知将向左平移个单位得到函数的图象，若函数在区间上恰有4个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·广西来宾·模拟预测）若函数在上有奇数个不同的零点，则实数m的值为 . 题型4 根据零点个数求 根据三角函数或在区间内零点的个数问题求： 1、 根据有没有零点或零点个数，判断在几个周期以内。 2、 根据零点个数确定的范围 根据上述两点可以计算出的取值范围，的范围会跟值有关，再根据是整数，可以确定的最值 1．（25-26高三上·天津蓟州·期中）已知函数．若恒成立，且在区间内至少存在两个零点，则的最小值为（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 2．（2025高三·全国·专题练习）已知函数在区间上恰有两个零点，则的取值范围是 ． 3．（24-25高一下·陕西咸阳·期末）已知函数在区间上恰好有3个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·山东德州·期中）已知函数．若在区间内没有零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·广东·月考）若对任意实数，函数在上最少有三个不同的零点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型5 求零点差 对给定范围内的两个相邻的零点（通常为三角函数图像与直线的交点），这两个零点会关于三角函数的某个对称轴对称。即，再根据三角恒等变换可以求的正余弦值。 1．（湖南省教育战略合作学校2025-2026学年高三上学期第二次联考数学试题）已知函数在上恰有两个不同的零点，则的值可能为（   ） A．0 B． C． D．1 2．（25-26高三上·河北邢台·月考）已知函数在上仅有两个零点，且，则 ． 3．（25-26高三上·河南·期中）若是函数的两个零点，则的最大值为 ，的最小值为 ． 4．（2025高三下·全国·专题练习）若函数的两个零点分别为和，则 . 5．（24-25高一下·四川自贡·期末）函数，若在有两个零点，，则 ． 题型6 求零点和 对给三角函数的零点（通常为三角函数图像与直线或者别的图像的交点），找到这些零点的对称点，然后根据这个对称来求和。 1．（2025·陕西西安·模拟预测）函数，，若有两个零点，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数，若函数在上的零点为，则（    ） A． B． C． D． 3．（2025高三上·河南鹤壁·专题练习）函数的所有零点之和为 4．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数，若函数在上的零点为，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·浙江金华·期末）已知函数，则在区间上的所有零点之和为（ ） A． B． C． D． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $