第5章 周末练15 范围：§5.5（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（人教A版）

**基本信息** 聚焦三角函数§5.5专项，通过选择、填空、解答题系统考查和差角公式、二倍角公式及函数性质，注重逻辑推理与数学运算核心素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |公式应用|单选1-3、多选7|二倍角公式符号判断、和差角公式化简求值|从三角函数定义出发，推导和差角公式，延伸至二倍角公式应用| |角的变换|单选4-5、填空11|已知三角函数值求角、角的拆分与范围确定|通过角的拆分（如β=α-(α-β)）构建已知角与未知角关系，强化逻辑推理| |函数性质|单选6、多选9、解答14|三角函数方程根的个数、复合函数单调性与值域|结合辅助角公式转化函数形式，分析周期性、单调性，体现数学建模思想|

周末练15　范围：§5.5 [分值：90分] 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.若α为第四象限角，则(　　) A.cos 2α>0 B.cos 2α<0 C.sin 2α>0 D.sin 2α<0 答案　D 解析　∵α为第四象限角， ∴sin α<0，cos α>0， 故sin 2α=2sin αcos α<0. 2.已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P则sin(π-2α)等于(　　) A.- B.- C. D. 答案　A 解析　由题知sin α=cos α=- ∴sin 2α=2sin αcos α=2×=- ∴sin=sin 2α=-. 3.已知a=b=c=sin 22°cos 24°+cos 22°sin 24°，则a，b，c的大小关系为(　　) A.b>a>c B.c>b>a C.c>a>b D.b>c>a 答案　B 解析　a=cos 1°sin 45°-sin 1°cos 45°=sin 44°， b= =cos 45°=sin 45°， c=sin 22°cos 24°+cos 22°sin 24°=sin 46°， 因为y=sin x在上单调递增，所以sin 46°>sin 45°>sin 44°，所以c>b>a. 4.已知cos α=cos(α-β)=且0<β<α<那么β等于(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　∵cos α=0<α< ∴sin α=. ∵0<β<α<cos(α-β)= ∴0<α-β< ∴sin(α-β)= ∴cos β=cos[α-(α-β)] =cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β) =. ∴β=. 5.已知sin(x-y)==2，则sin(x+y)等于(　　) A. B. C. D.1 答案　C 解析　由=2， 得sin xcos y=2cos xsin y， 由sin(x-y)=sin xcos y-cos xsin y= 得2cos xsin y-cos xsin y= ∴cos xsin y= 可得sin xcos y=2cos xsin y= ∴sin(x+y)=sin xcos y+cos xsin y=. 6.方程sin=sin x-sin在[0，2π]内根的个数为(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 答案　D 解析　由题意， sin x-cos x=sin x- 所以sin x+cos x， 即sin 可得x++2kπ，k∈Z或x++2kπ，k∈Z， 解得x=2kπ，k∈Z或x=+2kπ，k∈Z， 又因为x∈[0，2π]，所以x=0或或2π. 二、多项选择题(每小题6分，共18分) 7.下列各式中，值为的是(　　) A.2sin 75°cos 75° B.1-2sin275° C.sin275°+cos275° D. 答案　AD 解析　2sin 75°cos 75°=sin 150°=sin 30°=A正确；1-2sin275°=cos 150°=-cos 30°=-B错误；sin275°+cos275°=1，C错误；=-=-tan 150°=tan 30°=D正确. 8.已知tan α=3tan β，α，β∈则下列说法正确的是(　　) A.若α=则tan(α+β)=2 B.若α=2β，则α+β= C.tan(α-β)的最大值为 D. 答案　ABD 解析　对于A，若α=则tan α=1，tan β=tan α= ∴tan(α+β)==2，故A正确； 对于B，若α=2β，则tan α=tan 2β==3tan β， 由β∈得，tan β>0，故=3，解得tan β= ∴β=α=故α+β=故B正确； 对于C，tan(α-β)= 当且仅当tan β=时，等号成立，故C错误； 对于D，由tan α=3tan β得即sin αcos β=3sin βcos α， ∴故D正确. 9.★★音叉发出的纯音振动的数学模型是函数y=Asin ωx，其中x表示时间，y表示纯音振动时音叉的位移.我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音.若一个复合音振动的数学模型是函数f(x)=sin x+则(　　) A.2π是f(x)的一个周期 B.f(x)在区间[0，2π]上有2个零点 C.f(x)的最大值为 D.f(x)在区间上单调递增 答案　AB 解析　依题意，f(x)=sin x+cos 2x=-sin2x+sin x+ 对于A，f=-sin2(x+2π)+sin(x+2π)+=-sin2x+sin x+=f(x)，故2π是f(x)的一个周期，A正确； 对于B，由f(x)=0，得-sin2x+sin x+=0，而-1≤sin x≤1，解得sin x=∈(-1，0)，而x∈ 因此，存在x1∈x2∈使得f(x1)=f(x2)=0，即f(x)在区间上有2个零点，B正确； f(x)=-当且仅当sin x=时取“=”，C不正确； 令u=sin x，则u=sin x在上单调递增，而y=上单调递减，则函数f(x)在上单调递减，D不正确. 三、填空题(每小题5分，共15分) 10.已知sin则cos=　　　　. 答案　 解析　cos=1-2sin2=1-2×. 11.已知角α是第一象限角，cos则sin α=　　　　　. 答案　 解析　角α是第一象限角，α+的终边在x轴上方， 则sin 则sin α=sin =sin-cos =. 12.设函数f(x)=sin x+cos x(x∈R)，则函数y=f(x)f上的最大值为　　　　. 答案　1+ 解析　由题意，得f(x)=sin x+cos x =则y=f(x)f =sin x=2sinsin x =2sin x· =sin2x+sin xcos x =sin 2x =sin 2x-cos 2x+=sin 由x∈可得2x-所以当2x-即x=时，函数取最大值1+. 四、解答题(共27分) 13.(13分)已知0<α<<β<π，cos. (1)求sin 2β的值；(5分) (2)求cos的值.(8分) 解　(1)sin 2β=cos 2 =2cos2-1=-. (2)因为0<α<<β<π，所以<α+β< 又因为sin(α+β)=>0，所以<α+β<π， 所以cos(α+β)=-=- 因为<β<π，所以<β- 所以sin 所以cos=cos =cos+sin =-. 14.(14分)已知函数f(x)=2cos2x+2sin xcos x. (1)求f(x)的单调递增区间；(5分) (2)若f(x)在区间上的值域为[0，3]，求m的取值范围.(9分) 解　(1)f(x)=2cos2x+2sin xcos x =cos 2x+sin 2x+1 =2sin+1， 由2kπ-≤2x+≤2kπ+k∈Z)， 得kπ-≤x≤kπ+k∈Z)， 所以f(x)的单调递增区间是k∈Z). (2)由(1)知f(x)=2sin+1. 由x∈ 知2x+. 要使得f(x)在区间上的值域为[0，3]， 即y=sin在区间上的值域为. 故≤2m+即≤m≤. 所以m的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $