72.两角差的正弦公式直接应用（基础）专项训练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

高中数学三角函数特色专项训练 72.两角差的正弦公式（）直接应用（基础）（全国通用）（原卷版） 一、专题知识目录 1. 核心概念与定义（跨章节整合） 2. 性质辨析与易错点（综合多类函数） 3. 题型分类与例题精析（细分题型+综合考法） 4. 举一反三强化训练（每题对应一类综合考向） 5. 专题分层测试卷（基础达标卷、能力提升卷） 二、核心概念与定义 1.1 基础概念（跨章节整合） 1. 【概念1】两角差的正弦公式 ￮ 定义表述：任意两个角与的差的正弦值，等于的正弦值乘以的余弦值，减去的余弦值乘以的正弦值。 ￮ 数学符号/表达式：（简记为） ￮ 关键特征： - 公式左右两边均为三角函数的乘积差形式，角的顺序不可颠倒； - 公式对任意角都成立，无定义域限制。 ￮ 跨章节关联：可与同角三角函数基本关系、诱导公式结合，用于三角函数的求值、化简与证明，是两角和差公式体系的基础。 2. 【概念2】特殊角的三角函数值 ￮ 定义表述：等角度的正弦、余弦值为固定常数，是运用两角差正弦公式进行计算的基础。 ￮ 数学符号/表达式： ￮ 关键特征： - 特殊角的三角函数值为有理数或最简二次根式，便于精准计算； - 非特殊角可拆分为两个特殊角的差，再用公式计算。 ￮ 跨章节关联：是三角函数求值类问题的核心工具，广泛应用于两角和差、二倍角等公式的运算中。 1.2 性质辨析与易错点（综合辨析） 性质/结论 正确表述 常见易错点 跨函数辨析举例 公式的结构特征 ，右边是“正余减余正” 混淆公式结构，误写为；颠倒角的顺序，误写为 对比两角和的正弦公式，注意符号差异 非特殊角拆角原则 拆分后的两个角需为特殊角，且角的范围需符合三角函数值的符号要求 拆角不合理，如将拆为时忽略角的大小；拆分后未验证三角函数值符号 对比（诱导公式）与（和角公式）的拆角思路 公式的逆用与变形 可逆用公式进行因式分解： 只会正向套用公式，不会逆用公式化简复杂三角函数式 对比二次函数的因式分解与配方法，逆用公式相当于“提取公因式”的变形技巧 含参数角的公式应用 对含参数的角，公式仍成立，需注意参数对角度范围的影响 忽略参数的取值范围，导致三角函数值符号判断错误 对比一次函数中参数对单调性的影响，参数均会改变函数/公式的应用结果 三、题型分类与例题精析 题型1：直接套用公式求特殊角差的三角函数值 题型特征：所求角可直接表示为两个特殊角的差，已知两个特殊角的三角函数值，直接代入公式计算。 解题步骤： 1. 拆角：将目标角写成的形式，其中为特殊角； 2. 代值：确定的具体值； 3. 计算：代入公式，化简得到结果。 例题1 计算的值。 举一反三1-1 计算的值。 举一反三1-2 计算的值。 举一反三1-3 计算的值（提示：）。 题型2：已知等值，求的值 题型特征：已知两个任意角的正弦或余弦值，部分三角函数值需结合同角三角函数基本关系求解，再代入公式计算。 解题步骤： 1. 补值：根据同角三角函数基本关系，求出缺失的或的值，注意角的范围对符号的影响； 2. 代公式：将已知和求出的三角函数值代入公式； 3. 化简：计算并化简得到最终结果。 例题2 已知，；，，求的值。 举一反三2-1 已知，；，，求的值。 举一反三2-2 已知，改为；，，求的值。 举一反三2-3 已知，，且均为锐角，求的可能值。 题型3：逆用公式化简三角函数式 题型特征：给定的三角函数式符合“”的结构，逆用公式将其化简为的形式。 解题步骤： 1. 匹配结构：观察式子是否符合； 2. 逆用公式：直接写成的形式； 3. 化简求值：若给定角的范围，进一步计算化简后的式子的值。 例题3 化简：。 举一反三3-1 化简：。 举一反三3-2 化简：，并求当时的值。 举一反三3-3 化简：。 四、专题分层测试卷 （一）基础达标卷（5题） 1. 单选题 计算的值为（） A. B. C. D. 2. 多选题 下列式子化简结果正确的有（） A. B. C. D. 3. 填空题 已知，，，，则 。 4. 解答题 (1) 计算的值。 (2) 化简：。 （二）能力提升卷（5题） 1. 单选题 已知，，，，则的值为（） A. B. C. D. 2. 多选题 已知均为锐角，且，则下列说法正确的有（） A. B. C. D. 3. 填空题 化简的结果为。 4. 解答题 (1) 已知，，，，求的值。 (2) 已知，，且，求的值。 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学三角函数特色专项训练 72.两角差的正弦公式（）直接应用（基础）（全国通用）（解析版） 一、专题知识目录 1. 核心概念与定义（跨章节整合） 2. 性质辨析与易错点（综合多类函数） 3. 题型分类与例题精析（细分题型+综合考法） 4. 举一反三强化训练（每题对应一类综合考向） 5. 专题分层测试卷（基础达标卷、能力提升卷） 二、核心概念与定义 1.1 基础概念（跨章节整合） 1. 【概念1】两角差的正弦公式 ￮ 定义表述：任意两个角与的差的正弦值，等于的正弦值乘以的余弦值，减去的余弦值乘以的正弦值。 ￮ 数学符号/表达式：（简记为） ￮ 关键特征： - 公式左右两边均为三角函数的乘积差形式，角的顺序不可颠倒； - 公式对任意角都成立，无定义域限制。 ￮ 跨章节关联：可与同角三角函数基本关系、诱导公式结合，用于三角函数的求值、化简与证明，是两角和差公式体系的基础。 2. 【概念2】特殊角的三角函数值 ￮ 定义表述：等角度的正弦、余弦值为固定常数，是运用两角差正弦公式进行计算的基础。 ￮ 数学符号/表达式： ￮ 关键特征： - 特殊角的三角函数值为有理数或最简二次根式，便于精准计算； - 非特殊角可拆分为两个特殊角的差，再用公式计算。 ￮ 跨章节关联：是三角函数求值类问题的核心工具，广泛应用于两角和差、二倍角等公式的运算中。 1.2 性质辨析与易错点（综合辨析） 性质/结论 正确表述 常见易错点 跨函数辨析举例 公式的结构特征 ，右边是“正余减余正” 混淆公式结构，误写为；颠倒角的顺序，误写为 对比两角和的正弦公式，注意符号差异 非特殊角拆角原则 拆分后的两个角需为特殊角，且角的范围需符合三角函数值的符号要求 拆角不合理，如将拆为时忽略角的大小；拆分后未验证三角函数值符号 对比（诱导公式）与（和角公式）的拆角思路 公式的逆用与变形 可逆用公式进行因式分解： 只会正向套用公式，不会逆用公式化简复杂三角函数式 对比二次函数的因式分解与配方法，逆用公式相当于“提取公因式”的变形技巧 含参数角的公式应用 对含参数的角，公式仍成立，需注意参数对角度范围的影响 忽略参数的取值范围，导致三角函数值符号判断错误 对比一次函数中参数对单调性的影响，参数均会改变函数/公式的应用结果 三、题型分类与例题精析 题型1：直接套用公式求特殊角差的三角函数值 题型特征：所求角可直接表示为两个特殊角的差，已知两个特殊角的三角函数值，直接代入公式计算。 解题步骤： 1. 拆角：将目标角写成的形式，其中为特殊角； 2. 代值：确定的具体值； 3. 计算：代入公式，化简得到结果。 例题1 计算的值。 解析： 1. 拆角：，令，； 2. 代值：，，，； 3. 计算：根据公式 答案： 举一反三1-1 计算的值。 解析： 1. 拆角：，令，； 2. 代值：，，，； 3. 计算： 答案： 举一反三1-2 计算的值。 解析： 1. 利用诱导公式：； 2. 拆角：，选择，令，； 3. 代值：，，，； 4. 计算： 5. 最终结果： 答案： 举一反三1-3 计算的值（提示：）。 解析： 1. 拆角：，令，； 2. 代值：，，，； 3. 计算： 答案： 题型2：已知等值，求的值 题型特征：已知两个任意角的正弦或余弦值，部分三角函数值需结合同角三角函数基本关系求解，再代入公式计算。 解题步骤： 1. 补值：根据同角三角函数基本关系，求出缺失的或的值，注意角的范围对符号的影响； 2. 代公式：将已知和求出的三角函数值代入公式； 3. 化简：计算并化简得到最终结果。 例题2 已知，；，，求的值。 解析： 1. 补值： · 对，； · 对，； 2. 代公式：根据公式 3. 化简： 答案： 举一反三2-1 已知，；，，求的值。 解析： 1. 补值： · ，； · ，； 2. 代公式： 答案： 举一反三2-2 已知，改为；，，求的值。 解析： 1. 补值： · ，； · ，； 2. 代公式： 答案： 举一反三2-3 已知，，且均为锐角，求的可能值。 解析： 1. 确定的可能值： · 锐角，； · 锐角，； 2. 分情况计算： · 当，时，； （注：若考虑，但为锐角，故仅一种情况） 补充：若题目未限定锐角，还可能为，还可能为等，需分情况讨论。 答案： 题型3：逆用公式化简三角函数式 题型特征：给定的三角函数式符合“”的结构，逆用公式将其化简为的形式。 解题步骤： 1. 匹配结构：观察式子是否符合； 2. 逆用公式：直接写成的形式； 3. 化简求值：若给定角的范围，进一步计算化简后的式子的值。 例题3 化简：。 解析： 1. 匹配结构：式子符合，其中，； 2. 逆用公式：根据，原式。 答案： 举一反三3-1 化简：。 解析： 匹配结构，令，，逆用公式得： 原式 答案： 举一反三3-2 化简：，并求当时的值。 解析： 1. 逆用公式：原式； 2. 代入求值：当时，。 答案：化简结果为，值为 举一反三3-3 化简：。 解析： 令，，逆用公式得： 原式 答案： 四、专题分层测试卷 （一）基础达标卷（5题） 1. 单选题 计算的值为（） A. B. C. D. 解析：，或，也可拆为，代入公式计算得。 答案：B 2. 多选题 下列式子化简结果正确的有（） A. B. C. D. 解析： A选项逆用，正确；B选项展开，正确；C选项和角公式计算正确；D选项，正确。 答案：ABCD 3. 填空题 已知，，，，则 。 解析：先求，，代入公式得（原答案有误，修正为）。 答案： 4. 解答题 (1) 计算的值。 解析：，代入公式得： 答案： (2) 化简：。 解析：逆用公式，令，，原式。 答案： （二）能力提升卷（5题） 1. 单选题 已知，，，，则的值为（） A. B. C. D. 解析：先求，，由，得。 答案：A 2. 多选题 已知均为锐角，且，则下列说法正确的有（） A. B. C. D. 解析：A选项由同角关系得，正确；B选项由变形得，正确；C选项锐角，，正确；D选项，正确。 答案：ABCD 3. 填空题 化简的结果为。 解析：逆用公式，原式。 4. 解答题 (1) 已知，，，，求的值。 解析：先求，，代入公式得： 答案： (2) 已知，，且，求的值。 解析：由，得。 答案： ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $