第5章 5.5.2 第1课时 简单的三角恒等变换(一)（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（人教A版）

本讲义聚焦高中数学“简单的三角恒等变换（第1课时）”，核心知识点包括半角公式的推导与应用、积化和差及和差化积公式、三角函数式的化简与证明。通过复习二倍角公式引入半角公式，再结合和差角公式转化得到积化和差与和差化积，构建从基础公式到综合应用的学习支架。 该资料以问题驱动公式推导，如通过二倍角公式变形引导学生自主得出半角公式，培养数学眼光中的抽象能力与创新意识。例题设计多种解法，如例2用三种方法求值，发展数学思维的推理与运算能力。配套跟踪训练和课时对点练，课中辅助教师分层教学，课后帮助学生巩固知识、查漏补缺，提升用数学语言表达和解决问题的能力。

5.5.2　简单的三角恒等变换 第1课时　简单的三角恒等变换(一) 学习目标　1.通过二倍角公式的变形公式推导出半角的正弦、余弦、正切公式.2.了解半角公式的结构形式，并能利用半角公式解决简单的求值问题.(重点)3.掌握两角和、差的正、余弦公式，通过积化和差、和差化积进行简单的化简、求值、证明.(难点) 导语 同学们，前面我们学习了三角函数中的很多公式，有同角的三角函数的基本关系、诱导公式、两角和、差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦、正切公式，它们都属于三角变换.本节将综合运用和(差)角公式、倍角公式进行更加丰富的三角恒等变换. 一、半角公式 问题1　余弦的二倍角展开有几种形式？请写出. 提示　三种形式：cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α. 问题2　我们将二倍角的余弦公式中的“2α”换成“α”，你会得到什么式子？ 提示　cos α=cos2-sin2 =2cos2-1 =1-2sin2. 知识梳理　半角公式 sin=± cos=± tan=±. 注意点： (1)半角公式中的±号不能去掉，若没有给出决定符号的条件，则在根号前保留±两个符号；若给出α的具体范围时，则先求所在的范围，然后根据所在的范围选用符号. (2)涉及半角公式的正切值时，常用tan其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题. 例1　已知|cos θ|=且<θ<3π，求sintan的值. 解　∵|cos θ|=<θ<3π， ∴cos θ=-. ∴sin=-=- cos=-=- ∴tan=2. 延伸探究　若条件变为“θ为第二象限角，tan θ=-且sin<cos”，如何求解？ 解　∵θ为第二象限角，且sin<cos ∴为第三象限角，故sin <0，cos<0. ∵tan θ=-∴cos θ=-. ∴sin=-=- cos=-=- ∴tan=2. 反思感悟　利用半角公式求值的思路 (1)看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解. (2)明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围. (3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tan其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角公式的正、余弦值时，常先利用sin2cos2计算. (4)下结论：结合(2)求值. 二、和差化积、积化和差 1.积化和差 sin αcos β=sin(α+β)+sin(α-β)]； cos αsin β=sin(α+β)-sin(α-β)]； cos αcos β=cos(α+β)+cos(α-β)]； sin αsin β=-cos(α+β)-cos(α-β)]. 2.和差化积 sin θ+sin φ=2sin； sin θ-sin φ=2cos； cos θ+cos φ=2cos； cos θ-cos φ=-2sin. 例2　求sin220°+cos250°+sin 20°cos 50°的值. 解　方法一　sin220°+cos250°+sin 20°cos 50° =1-cos 40°)+1+cos 100°)+sin 70°+sin(-30°)] =cos 100°-cos 40°+sin 70°) =-2sin 70°sin 30°+sin 70°) =-sin 70°+sin 70°) =. 方法二　sin220°+cos250°+sin 20°cos 50° =1-cos 40°)+cos 50°(cos 50°+sin 20°) =1-cos 40°)+cos 50°(sin 40°+sin 20°) =1-cos 40°)+cos 50°·2sin 30°cos 10° =1-cos 40°)+cos 50°cos 10° =1-cos 40°)+cos 60°+cos 40°) =. 方法三　令A=sin220°+cos250°+sin 20°cos 50°， B=cos220°+sin250°+cos 20°sin 50°. 则A+B=2+sin 70°， A-B=-cos 40°+cos 100°+sin(-30°) =-sin 70°- 两式相加得2A=即A= 故sin220°+cos250°+sin 20°cos 50°=. 反思感悟　积化和差、和差化积的转换用到了换元的方法，如把α+β看作θ，α-β看作φ，从而把包含α，β的三角函数式转化为θ，φ的三角函数式.或者把sin αcos β看作x，cos αsin β看作y，把等式看作x，y的方程，则原问题转化为解方程(组)求x，它们都体现了化归思想. 跟踪训练1　求下列各式的值： (1)cos 29°cos 31°-cos 2°； (2)cos+cos-2sin. 解　(1)cos 29°cos 31°-cos 2° =cos(29°+31°)+cos(29°-31°)]-cos 2° =cos 60°+cos(-2°)-cos 2° =. (2)cos+cos-2sin =2cos ·cos =2cos = =0. 三、三角函数式的化简、证明 例3　(1)化简：π<α<2π). 解　原式= = =. 又∵π<α<2π，∴<π， ∴cos<0， ∴原式==cos α. (2)求证：. 证明　方法一　左边= ==右边， 所以原等式成立. 方法二　左边= = =右边， 所以原等式成立. 反思感悟　(1)化简问题中的“三变” ①变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的关系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式. ②变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切. ③变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径，如升幂、降幂、配方、开方等. (2)三角恒等式证明的思路 通过观察分析等式两端的结构，从两端角的差异、三角函数名称及结构的差异入手，寻求证明途径，左右归一，或者消除等式两端的差异，达到形式上的统一. 跟踪训练2　化简：2. 解　原式=2 =2 =2|sin 4+cos 4|+2|cos 4|. 由于π<4< ∴sin 4<0，cos 4<0，sin 4+cos 4<0， ∴原式=-2(sin 4+cos 4)-2cos 4 =-2sin 4-4cos 4. 1.知识清单： (1)半角公式. (2)积化和差、和差化积. (3)三角函数式的化简、证明. 2.方法归纳：转化与化归. 3.常见误区：半角公式符号的判断. 1.已知cos α=-<α<π，则sin等于(　　) A.- B. C.- D. 答案　D 解析　由<α<π可知故sin. 2.已知cos θ=--180°<θ<-90°，则cos等于(　　) A.- B. C.- D. 答案　B 解析　由-180°<θ<-90°可知-90°<<-45°，故cos . 3.化简的结果是(　　) A.-cos 1 B.cos 1 C.cos 1 D.-cos 1 答案　C 解析　原式=因为0<1<故原式=cos 1. 4.化简：=　　　　. 答案　tan 解析　原式==tan. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共12分 1.已知sin α=cos α=则tan等于(　　) A.2- B.2+ C.-2 D.±-2) 答案　C 解析　方法一　因为sin α=cos α= 所以tan-2. 方法二　因为sin α=>0，cos α=>0， 所以α的终边落在第一象限的终边落在第一或第三象限，所以tan>0， 故tan-2. 2.设a=cos 6°-sin 6°，b=2sin 13°cos 13°，c=则有(　　) A.c<b<a B.a<b<c C.a<c<b D.b<c<a 答案　C 解析　a=sin 30°cos 6°-cos 30°sin 6°=sin(30°-6°)=sin 24°，b=2sin 13°·cos 13°=sin 26°，c=sin 25°，∵y=sin x在0°≤x≤90°时单调递增，∴a<c<b. 3.若θ∈sin 2θ=则sin θ等于(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　∵θ∈∴2θ∈ ∴cos 2θ=-sin θ=. 4.sin 20°·cos 70°+sin 10°·sin 50°的值为(　　) A.- B. C. D.- 答案　B 解析　sin 20°·cos 70°+sin 10°·sin 50° = + =sin 90°-sin 50°)+cos 40°-cos 60°) =sin 50°+cos 40° =sin 50°+sin 50°=. 5.设-3π<α<-化简的结果是(　　) A.sin+cos B.-cos-sin C.cos-sin D.sin-cos 答案　D 解析　∵-3π<α<- ∴-<-. ∴sin>0，cos<0， = = =sin-cos. 6.设直角三角形中两锐角分别为A和B，则cos Acos B的取值范围是(　　) A. B.(0，1) C. D. 答案　A 解析　直角三角形中两锐角分别为A和B，则A+B=则cos Acos B=cos(A-B)+cos(A+B)]=cos(A-B)，再结合A-B∈可得cos(A-B)∈(0，1]， ∴cos(A-B)∈. 7.(多选)已知sin α=-180°<α<270°，则下列选项正确的是(　　) A.sin 2α=- B.sin C.cos=- D.tan=-2 答案　BCD 解析　因为sin α=-180°<α<270°， 所以cos α=- 所以sin 2α=2sin αcos α=2×故A错误； 因为90°<<135°， 所以sin cos =-=-=- tan=-2，故B，C，D均正确. 8.(5分)在△ABC中，sin则tan=　　　　. 答案　2- 解析　因为在△ABC中，sin 所以cos A=且A为锐角， 所以tan=2-. 9.(5分)计算：tan 20°+4sin 20°=　　　　. 答案　 解析　原式=+4sin 20° = = =. 10.(10分)化简：+ . 解　因为π<α<所以 所以cos<0，sin>0， 所以原式= = =- =-cos . 11.已知α∈(0，π)，且=-则tan 等于(　　) A.- B. C. D. 答案　D 解析　由题意可得=-故tan α=-3， 即=-3，又故tan 负值舍去). 12.(多选)已知cos(α+β)=-cos 2α=-其中α，β为锐角，下列判断正确的是(　　) A.sin 2α= B.cos(α-β)= C.cos αcos β= D.tan αtan β= 答案　AC 解析　因为cos(α+β)=-cos 2α=-其中α，β为锐角，所以sin(α+β)=sin 2α=故A正确；cos(α-β)=cos[2α-(α+β)]=cos 2αcos(α+β)+sin 2αsin(α+β)=故B错误；cos αcos β=cos(α+β)+cos(α-β)]=故C正确； sin αsin β=cos(α-β)-cos(α+β)]=所以tan αtan β=故D错误. 13.(5分)已知tan θ=θ∈则等于　　　　　　　. 答案　 解析　=2cos 因为tan θ=所以θ∈ 解得 又cos 所以2cos . 14.(11分)证明： =. 证明　左边= = =. 右边= 所以左边=右边，即等式成立. 15.(5分)已知sin α+sin β=cos α+cos β=则tan(α+β)的值为　　　　. 答案　 解析　由sin α+sin β=cos α+cos β=得， 2sin2cos 两式相除得，tan则 tan(α+β)=. 16.(12分)在锐角△ABC中，求证：tan tan +tan tan +tan tan =1. 证明　在锐角△ABC中，有A+B+C=π，则 则tan =tan 又tan 则左边=tan +tan tan =tan tan +tan tan =tan +tan tan =1-tan tan +tan tan =1=右边.故原式成立. 学科网（北京）股份有限公司 $