第5章 5.4.2 第1课时 周期性与奇偶性（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（人教A版）

本讲义聚焦正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性，基于三角函数图象，系统梳理周期函数概念、最小正周期及正弦余弦函数的周期，结合奇偶性定义及图象对称性展开，为后续性质学习搭建基础支架。 通过“月亮圆缺”情境导入培养数学眼光，采用定义法、公式法、图象法探究周期，结合诱导公式判断奇偶性发展数学思维，分层例题与跟踪训练助力学生用数学语言表达，课中辅助教师高效授课，课后帮助学生巩固知识、弥补薄弱点。

5.4.2　正弦函数、余弦函数的性质 第1课时　周期性与奇偶性 学习目标　1.理解周期函数的概念，能熟练地求出简单三角函数的周期.(重点)2.会根据之前所学结合函数的图象研究三角函数的奇偶性，能正确判断一些三角函数的变式的奇偶性.(难点) 导语 同学们，在生活中，大家知道月亮圆了又缺，缺了又圆，这一周而复始的自然现象，有诗为证：“昨夜圆非今夜圆，却疑圆处减婵娟.一年十二度圆缺，能得几多时少年”，从诗中，我们能领悟到光阴无情、岁月短暂的道理，告诫人们要珍惜时光，努力学习.我们知道，从角到角的三角函数值都有周而复始的现象，你知道这一现象反映的是函数的什么性质吗？有了前面的三角函数的图象，今天我们来一起探究三角函数的一些性质. 一、正弦函数、余弦函数的周期 问题1　正弦函数、余弦函数的图象有什么特点？ 提示　能够发现正弦函数、余弦函数的图象具有“周而复始”的变化规律.我们可以从两个方面来验证这种特点：①函数的图象，回顾正弦函数、余弦函数的图象的画法，我们是先画出[0，2π]上的函数图象，然后每次向左(右)平移2π个单位长度得到整个定义域上的函数图象.②诱导公式一，sin(α+2kπ)=sin α，cos(α+2kπ)=cos α，对任意的k∈Z都成立. 知识梳理　 1.周期函数 条件 ①设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T ②使得对每一个x∈D都有x+T∈D，且f(x+T)=f(x) 结论 函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期 2.最小正周期 条件 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数 结论 这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期 3.正弦函数、余弦函数的周期性 函数 y=sin x y=cos x 周期 2kπ(k∈Z且k≠0) 2kπ(k∈Z且k≠0) 最小正周期 2π 2π 注意点： (1)关键词“每一个x”体现了对定义域中每一个值都得成立. (2)周期函数的周期不唯一，任何T的非零整数倍都是函数的周期. (3)三角函数的周期是函数的整体性质，我们在研究函数时，只需研究一个周期上的图象和性质即可. (4)若不加特殊说明，一般求三角函数的周期的问题，求的是函数的最小正周期. 例1　(课本例2)求下列函数的周期： (1)y=3sin x，x∈R； (2)y=cos 2x，x∈R； (3)y=2sin，x∈R. 解　(1)∀x∈R，有3sin(x+2π)=3sin x. 由周期函数的定义可知，原函数的周期为2π. (2)令z=2x，由x∈R得z∈R，且y=cos z的周期为2π，即cos(z+2π)=cos z， 于是cos(2x+2π)=cos 2x， 所以cos 2(x+π)=cos 2x，x∈R. 由周期函数的定义可知，原函数的周期为π. (3)令z=，由x∈R得z∈R，且y=2sin z的周期为2π，即2sin(z+2π)=2sin z， 于是2sin. 所以2sin. 由周期函数的定义可知，原函数的周期为4π. 例1　求下列三角函数的周期： (1)y=7sin x，x∈R； (2)y=sin 2x，x∈R； (3)y=sinx∈R； (4)y=|cos x|，x∈R. 解　(1)因为7sin(x+2π)=7sin x，由周期函数的定义知，y=7sin x的周期为2π. (2)因为sin 2(x+π)=sin(2x+2π)=sin 2x，由周期函数的定义知，y=sin 2x的周期为π. (3)因为sin =sin=sin由周期函数的定义知，y=sin的周期为6π. (4)y=|cos x|的图象如图(实线部分)所示. 由图象可知，y=|cos x|的周期为π. 反思感悟　求三角函数周期的方法 (1)定义法：利用周期函数的定义求解. (2)公式法：对形如y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω≠0)的函数，T=. (3)图象法：画出函数图象，通过图象直接观察即可. 跟踪训练1　求下列三角函数的最小正周期： (1)y=|sin x|； (2)y=cos πx； (3)y=3sin； (4)y=2cos. 解　(1)由f(x)=|sin x|，f(x+π)=|sin(x+π)|=|sin x|=f(x)， 得y=|sin x|的最小正周期为π(或通过图象判断). (2)由y=cos πx，得T==2. (3)由y=3sin得T==4π. (4)由y=2cos得T==π. 二、正弦函数、余弦函数的奇偶性 问题2　继续回顾正弦函数、余弦函数的图象，你还能发现什么特点？ 提示　正弦函数的图象关于原点对称，余弦函数的图象关于y轴对称. 知识梳理　 正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数. 例2　判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)=sin； (2)f(x)=|sin x|+cos x； (3)f(x)=x2cos. 解　(1)f(x)=sin=-cosx，x∈R. 因为∀x∈R，都有-x∈R， 又f(-x)=-cos=-cosx=f(x)， 所以函数f(x)=sin是偶函数. (2)函数f(x)=|sin x|+cos x的定义域为R， 因为∀x∈R，都有-x∈R， 又f(-x)=|sin(-x)|+cos(-x)=|sin x|+cos x=f(x)， 所以函数f(x)=|sin x|+cos x是偶函数. (3)f(x)=x2cos=-x2sin x，x∈R， 因为∀x∈R，都有-x∈R， 又f(-x)=-(-x)2sin(-x)=x2sin x=-f(x)， 所以函数f(x)=x2cos为奇函数. 反思感悟　判断函数奇偶性的方法 (1)判断函数奇偶性应把握好的两个方面： 一看函数的定义域是否关于原点对称； 二看f(x)与f(-x)的关系. (2)对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断. 提醒：研究函数性质应遵循“定义域优先”的原则. 跟踪训练2　判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)=sin xcos x； (2)f(x)=； (3)f(x)=. 解　(1)函数的定义域为R，关于原点对称. ∵f(-x)=sin(-x)cos(-x) =-sin xcos x=-f(x)， ∴f(x)=sin xcos x为奇函数. (2)由得cos x=1， ∴函数的定义域为{x|x=2kπ，k∈Z}，定义域关于原点对称. 当cos x=1时，f(-x)=0，f(x)=±f(-x). ∴f(x)=既是奇函数又是偶函数. (3)∵1+sin x≠0，∴sin x≠-1， ∴x∈R且x≠2kπ-k∈Z. ∵定义域不关于原点对称， ∴该函数是非奇非偶函数. 三、三角函数周期性、奇偶性的应用 问题3　知道一个函数具有周期性和奇偶性，对研究它的图象和性质有什么帮助？ 提示　通过研究一个周期内的函数图象和性质，可推导出整个函数具有的性质. 例3　(1)已知函数y=2sin是偶函数，则θ的值为(　　) A.0 B. C. D. 答案　B 解析　因为函数y=2sin为偶函数，所以θ+=kπ+k∈Z)，即θ=+kπ(k∈Z).又θ∈所以θ=代入检验，得到y=2sin=2cos x，显然符合题意.故θ=. (2)定义在R上的函数f(x)既是偶函数，又是周期函数，若f(x)的最小正周期为π，且当x∈时，f(x)=sin x，则f 等于(　　) A.- B. C.- D. 答案　D 解析　f=f =f=f  =f=f=sin. 延伸探究1　在本例(2)条件中，把“偶函数”变成“奇函数”，其他不变，则f 的值为　　　　. 答案　- 解析　f=f=f=f =f=-f=-sin=-. 延伸探究2　若本例(2)中条件变为定义在R上的函数f(x)既是偶函数，又是周期函数，f =-f(x)，f =1，则f的值为　　　　. 答案　1 解析　∵f=-f(x)， ∴f(x+π)=-f=-[-f(x)]=f(x)，∴T=π， ∴f=f=f=f =1. 反思感悟　三角函数周期性与奇偶性的解题策略 (1)探求三角函数的周期，常用方法是公式法，即将函数化为y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω>0)的形式，再利用公式求解. (2)对y=Asin(ωx+φ)(其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω>0)， 当φ=kπ(k∈Z)时，是奇函数； 当φ=+kπ(k∈Z)时，是偶函数. 对y=Acos(ωx+φ)(其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω>0)， 当φ=kπ(k∈Z)时，是偶函数； 当φ=+kπ(k∈Z)时，是奇函数. φ为其他值时，均为非奇非偶函数. 跟踪训练3　已知奇函数f(x)满足f =f(x)，当x∈时，f(x)=cos x，则f 的值为　　　　　　　. 答案　- 解析　∵f =f(x)， ∴T= 又f(x)为奇函数， ∴f =f =f =-f =-=-cos =-. 1.知识清单： (1)周期函数的概念，三角函数的周期. (2)三角函数的奇偶性. (3)三角函数周期性、奇偶性的应用. 2.方法归纳：定义法、公式法、数形结合法. 3.常见误区：函数y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω≠0)的周期为T=. 1.函数f(x)=sin(-x)是(　　) A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数 答案　A 解析　由于x∈R， 且f(-x)=sin x=-sin(-x)=-f(x)， 所以f(x)为奇函数. 2.下列函数中，周期为的是(　　) A.y=sin B.y=sin 2x C.y=cos D.y=cos(-4x) 答案　D 解析　y=cos(-4x)=cos 4x. T=. 3.已知f(x)为奇函数，且周期为若f =-1，则f =　　　　. 答案　1 解析　∵T=又f(x)为奇函数， ∴f =f =f  =-f =-(-1)=1. 4.已知函数f(x)=是奇函数，当φ∈时， φ=　　　　　. 答案　 解析　因为函数f(x)=是奇函数， 所以+φ=kπ+k∈Z)，即φ=kπ+k∈Z)， 又因为φ∈ 所以令k=0，φ=. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共12分 1.函数f(x)=x∈R的最小正周期为(　　) A. B.π C.2π D.4π 答案　D 解析　由题意得T==4π. 2.函数y=4sin(2x-π)的图象关于(　　) A.x轴对称 B.原点对称 C.y轴对称 D.直线x=对称 答案　B 解析　因为y=4sin(2x-π)=-4sin 2x是奇函数，所以其图象关于原点对称. 3.已知函数f(x)=sinω>0)的最小正周期为π，则f 等于(　　) A.1 B. C.-1 D.- 答案　A 解析　∵函数f(x)=sinω>0)的最小正周期为π， ∴周期T==π，解得ω=2， 即f(x)=sin ∴f =sin=sin =sin=1. 4.函数f(x)=xsin x的部分图象是(　　) 答案　A 解析　∵f(-x)=-xsin(-x)=xsin x=f(x)， ∴函数是偶函数，排除B，D；当x取趋近于0的正数时，f(x)>0，排除C，故选A. 5.已知函数f(x)=cos x是偶函数，则实数a等于(　　) A.1 B.-1 C.2 D.-2 答案　B 解析　∵f(x)为偶函数， ∴f(-x)=f(x)恒成立， 即cos(-x)=cos x恒成立， 整理得(a+1)=0恒成立， 故a+1=0，∴a=-1. 6.(多选)下列函数中最小正周期为π，且为偶函数的是(　　) A.y=|cos x| B.y=sin 6x C.y=sin D.y=cos 答案　AC 解析　A中，由y=|cos x|的图象知，y=|cos x|是周期为π的偶函数，所以A正确； B中，函数为奇函数，所以B不正确； C中，y=sin=cos 2x，T=π，所以C正确； D中，函数y=cosT=4π，所以D不正确. 7.(多选)已知y=2sin(4x+φ)+B为偶函数，则φ和B的可能取值分别为(　　) A.0 B.-2 C.0 D.π，-2 答案　ABC 解析　因为y=2sin(4x+φ)+B为偶函数， 所以2sin(-4x+φ)+B=2sin(4x+φ)+B， 则-4x+φ+4x+φ=π+2kπ，k∈Z， 所以φ=+kπ，k∈Z，B为任意实数， 故A，B，C选项符合题意. 8.(5分)已知函数f(x)对于任意x∈R满足条件f(x+3)=且f(3)=则f(2 025)=　　　　. 答案　 解析　由题意得f(x+6)==f(x)， ∴6为f(x)的周期， ∴f(2 025)=f(6×337+3)=f(3)=. 9.(5分)请写出一个同时满足性质①②的非常数函数f(x)=　　　　　　　. ①f(-x)-f(x)=0；②f(x+π)-f(x)=0. 答案　cos 2x(答案不唯一) 解析　由f(-x)-f(x)=0可知f(-x)=f(x)，即f(x)为偶函数； 由f(x+π)-f(x)=0可得f(x+π)=f(x)，即π为f(x)的周期， 因此可得f(x)是以π为周期的偶函数，所以f(x)=cos 2x(答案不唯一). 10.(10分)判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)=2cos；(6分) (2)f(x)=cos x-x3sin x.(4分) 解　(1)f(x)的定义域为R，关于原点对称， ∵f(x)=2cos=2cos =-2sinx， ∴f(-x)=-2sin=2sinx=-f(x). ∴f(x)为奇函数. (2)f(x)的定义域为R，关于原点对称， ∵f(-x)=cos(-x)-(-x)3sin(-x) =cos x-x3sin x=f(x)， ∴f(x)为偶函数. 11.如果函数f(x)=cosω>0)的相邻两个零点之间的距离为则ω的值为(　　) A.3 B.6 C.12 D.24 答案　B 解析　因为函数f(x)=cosω>0)的相邻两个零点之间的距离为 所以T=2× 由解得ω=6. 12.已知f(x)=sin x+x3+1，若f(-a)=m，则f(a)等于(　　) A.-m B.1-m C.2-m D.m-1 答案　C 解析　设g(x)=sin x+x3，显然它的定义域为R，关于原点对称， 且g(-x)=sin(-x)+(-x)3=-(sin x+x3)=-g(x)， 所以g(x)为奇函数， f(-a)=g(-a)+1=m，则g(-a)=-g(a)=m-1， 所以g(a)=1-m，f(a)=g(a)+1=1-m+1=2-m. 13.(5分)已知f(x)是以π为周期的偶函数，且当x∈时，f(x)=1-sin x，则当x∈时， f(x)=　　　　. 答案　1-sin x 解析　当x∈时，3π-x∈ 因为当x∈时，f(x)=1-sin x， 所以f(3π-x)=1-sin(3π-x)=1-sin x. 又f(x)是以π为周期的偶函数，所以f(3π-x)=f(-x)=f(x)， 所以f(x)的解析式为f(x)=1-sin x，x∈. 14.(11分)已知函数f(x)=sinω>0)的最小正周期为π，g(x)=f(x+φ). (1)求ω的值；(4分) (2)若g(x)是奇函数，求φ的值.(7分) 解　(1)因为函数f(x)的最小正周期为T=π，且ω>0， 所以由T==π，得ω=2. (2)由(1)知f(x)=sin 因为g(x)=f(x+φ)， 所以g(x)=sin =sin. 又因为g(x)是奇函数， 所以2φ+=kπ，k∈Z， 即 φ=k∈Z， 又因为|φ|<所以k=0，即φ=-. 15.(5分)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(1)=且对于任意x∈R都有f(x+3)=-f(x)成立，则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 024)+f(2 025)=　　　　. 答案　1 解析　由题意得f(x+6)=-f(x+3)=f(x)， ∴f(x)是以6为周期的函数， 又f(x)为定义在R上的奇函数，则f(0)=0， f(2)=-f(-1)=f(1)=f(3)=-f(0)=0， f(4)=-f(1)=-f(5)=-f(2)=-f(6)=f(0)=0. ∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=0. ∴f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 024)+f(2 025)=337×[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)]+f(2 023)+f(2 024)+f(2 025) =337×0+f(1)+f(2)+f(3)=1. 16.(12分)已知函数y=sin x+|sin x|. (1)画出该函数图象的简图；(4分) (2)这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期；(4分) (3)判断函数y=sin x+|sin x|的奇偶性.(4分) 解　(1)y=sin x+|sin x|= k∈Z. 函数图象如图所示. (2)由图象知该函数是周期函数，其图象每隔2π重复一次，故函数的最小正周期是2π. (3)因为函数图象既不关于原点对称，也不关于y轴对称， 所以函数y=sin x+|sin x|是非奇非偶函数. 学科网（北京）股份有限公司 $