第5章 5.5.1 第1课时 两角差的余弦公式（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（人教A版）

本讲义聚焦高中数学“两角差的余弦公式”核心知识点，从诱导公式特殊角与任意角差的余弦入手，通过单位圆上点的坐标、两点间距离公式推导公式，构建从公式推导到给角求值、给值求值、给值求角的完整学习支架。 该资料以问题链引导学生观察单位圆对称性（数学眼光），逻辑推导公式培养推理能力（数学思维），例题中角的拆分训练数学表达（数学语言）。课中助力教师引导探究，课后通过分层练习帮助学生巩固，查漏补缺。

5.5.1　两角和与差的正弦、余弦和正切公式 第1课时　两角差的余弦公式 学习目标　1.熟悉两角差的余弦公式的推导过程.(重点)2.掌握两角差的余弦公式的应用.(难点) 导语 观察诱导公式cos=sin α，cos(π-α)=-cos α，我们发现：它们都是特殊角k∈Z)与任意角α的差的余弦，变换后的结果都与这个任意角α的正弦或余弦有关，那么大家有没有想过把特殊角k∈Z)变成任意角β时，cos(α-β)的展开式会与哪些值有关呢？ 一、两角差的余弦公式 问题1　已知角α的终边与单位圆的交点为P，请写出点P的坐标. 提示　P(cos α，sin α). 问题2　如图所示，设单位圆与x轴的正半轴相交于点A(1，0)，以x轴非负半轴为始边作角α，β，α-β，它们的终边分别与单位圆相交于点P1，A1，P.P1，A1，P点的坐标如何表示？AP与A1P1有什么关系？ 提示　A(1，0)，P(cos(α-β)，sin(α-β))，A1(cos β，sin β)，P1(cos α，sin α).连接AP，A1P1，根据圆的旋转对称性，容易发现AP=A1P1. 问题3　由AP=A1P1，利用初中所学两点间的距离公式能得到什么结论？ 提示　由AP=A1P1，根据两点间的距离公式，得 [cos(α-β)-1]2+sin2(α-β)=(cos α-cos β)2+(sin α-sin β)2， 化简得cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β， 当α=2kπ+β(k∈Z)时，容易证明上式仍然成立. 知识梳理　两角差的余弦公式 cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β，其中α，β为任意角，简记作C(α-β). 注意点： (1)该公式对任意角都能成立. (2)公式的结构，左端为两角差的余弦，右端为这两角的同名三角函数值积的和. (3)公式的逆用仍然成立. 例1　(1)cos 15°的值是(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　cos 15°=cos(45°-30°)=cos 45°cos 30°+sin 45°sin 30°=. (2)求下列各式的值： ①cos+cos； ②cos 105°+sin 105°. 解　①原式=cos+cos =cos+sin =cos=cos. ②原式=cos 60°cos 105°+sin 60°sin 105° =cos(60°-105°)=cos(-45°)=. 反思感悟　两角差的余弦公式常见题型及解法 (1)两特殊角之差的余弦值，利用两角差的余弦公式直接展开求解. (2)含有常数的式子，先将系数转化为特殊角的三角函数值，再利用两角差的余弦公式求解. (3)求非特殊角的三角函数值，把非特殊角转化为两个特殊角的差，然后利用两角差的余弦公式求解. 跟踪训练1　求下列各式的值： (1)cos(θ+21°)cos(θ-24°)+sin(θ+21°)sin(θ-24°)； (2)-sin 167°·sin 223°+sin 257°·sin 313°. 解　(1)原式=cos[θ+21°-(θ-24°)] =cos 45°=. (2)原式=-sin(180°-13°)sin(180°+43°)+sin(180°+77°)sin(360°-47°) =sin 13°sin 43°+sin 77°sin 47° =sin 13°sin 43°+cos 13°cos 43° =cos(13°-43°)=cos(-30°)=. 二、给值求值 例2　(1)(课本例2)已知sin α=，β是第三象限角，求cos(α-β)的值. 解　由sin α=，得 cos α=- =-. 又由cos β=-，β是第三象限角，得 sin β=- =-. 所以cos(α-β)=cos αcosβ+sin αsin β =. 例2　(1)已知cos α=α∈则cos的值为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　因为α∈所以sin α=- 所以cos=cos αcos+sin αsin =. (2)若cos(α+β)=sin(α-β)=且<α+β<2<α-β<π，求cos 2β的值. 解　因为cos(α+β)=且<α+β<2π， 所以sin(α+β)=-. 因为sin(α-β)=且<α-β<π， 所以cos(α-β)=-. 所以cos 2β=cos[(α+β)-(α-β)] =cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β) ==-1. 反思感悟　给值求值的解题策略 (1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角. (2)由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换.常见角的变换有： ①α=(α+β)-β； ②β=； ③2α=(α+β)+(α-β)； ④2β=(α+β)-(α-β). 跟踪训练2　已知α，β∈且sin α= cos(α+β)=-求cos β的值. 解　因为α，β∈ 所以0<α+β<π， 由cos(α+β)=-得sin(α+β)= 又sin α=所以cos α= 所以cos β=cos[(α+β)-α] =cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α =. 三、给值求角 例3　已知cos α=cos(α-β)=且0<β<α<求β的值. 解　由cos α=0<α<得 sin α=. 由0<β<α<得0<α-β<. 又∵cos(α-β)= ∴sin(α-β)= =. ∵β=α-(α-β)， ∴cos β=cos[α-(α-β)] =cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β) =. ∵0<β<∴β=. 反思感悟　已知三角函数值求角的解题步骤 (1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围. (2)求所求角的某种三角函数值.为防止增解最好选取在范围内单调的三角函数. (3)结合三角函数值及角的范围求角. 提醒：由三角函数值求角时，易忽视角的范围，而得到错误答案. 跟踪训练3　已知α，β均为锐角，且cos α=cos β=求α-β的值. 解　∵α，β均为锐角， ∴sin α=sin β=. ∴cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β =. 又sin α<sin β，∴0<α<β< ∴-<α-β<0. 故α-β=-. 1.知识清单： (1)两角差的余弦公式的推导. (2)给角求值、给值求值、给值求角. 2.方法归纳：构造法. 3.常见误区：求角时忽视角的范围. 1.cos 20°等于(　　) A.cos 30°cos 10°-sin 30°sin 10° B.cos 30°cos 10°+sin 30°sin 10° C.sin 30°cos 10°-sin 10°cos 30° D.sin 30°cos 10°+sin 10°cos 30° 答案　B 解析　cos 20°=cos(30°-10°)=cos 30°cos 10°+sin 30°sin 10°. 2.已知sin(α+60°)=30°<α<120°，则cos α等于(　　) A. B.- C. D.- 答案　A 解析　∵30°<α<120°，∴90°<α+60°<180°， 又sin(α+60°)=∴cos(α+60°)=- ∴cos α=cos[(α+60°)-60°] =cos(α+60°)cos 60°+sin(α+60°)sin 60° =-. 3.若cos 5xcos(-2x)-sin(-5x)sin 2x=0，且x∈则x=　　　　　　. 答案　 解析　依题意得，cos 5xcos 2x+sin 5xsin 2x=0， 则cos(5x-2x)=cos 3x=0， ∴3x=+kπ，k∈Z， 则x=k∈Z. 又x∈∴x=或x=. 4.在△ABC中，sin A=cos B=-则cos(A-B)=　　　　　　. 答案　- 解析　因为cos B=-且0<B<π， 所以<B<π， 所以sin B=且0<A< 所以cos A= 所以cos(A-B)=cos Acos B+sin Asin B ==-. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共12分 1.sin 20°cos 10°+sin 10°sin 70°的值是(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　sin 20°cos 10°+sin 10°sin 70°=cos 70°cos 10°+sin 70°sin 10°=cos(70°-10°)=cos 60°=. 2.已知sin α=α∈则cos等于(　　) A. B. C.- D.- 答案　B 解析　由题意可知cos α==cos αcos+sin αsin . 3.满足cos αcos β=-sin αsin β的一组α，β的值是(　　) A.α=β= B.α=β= C.α=β= D.α=β= 答案　B 解析　由已知得cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=经验证可知B选项正确. 4.已知α，β∈且满足sin α=cos β=则α+β的值为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　由α，β∈则α+β∈(0，π)， cos α= sin β= 则cos(α+β)=cos[α-(-β)] =cos αcos(-β)+sin αsin(-β) =cos αcos β-sin αsin β = 故α+β=. 5.(多选)若sin x+cos x=cos(x+φ)，则φ的一个可能值是(　　) A.- B.- C. D. 答案　AC 解析　对比公式特征知，cos=cos(x+φ)， 所以φ=-+2kπ，k∈Z，故φ=-都合适. 6.在平面直角坐标系中，角α与角β均以x轴的非负半轴为始边，它们的终边关于x轴对称.若cos α=-则cos(α-β)等于(　　) A. B.- C.1 D. 答案　B 解析　角α与角β均以x轴的非负半轴为始边，它们的终边关于x轴对称， 则cos α=cos β=-sin α=-sin β， 且sin2α=1-cos2α= sin αsin β=-sin2α=- 故cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β==-. 7.(多选)已知sin α=sin(α-β)=-α，β均为锐角，则(　　) A.cos(α-β)=- B.cos(α-β)= C.cos α= D.β= 答案　BCD 解析　因为α，β均为锐角，所以0<α<0<β<所以-<α-β< 又sin(α-β)=-所以cos(α-β)=故A错误，B正确； 又sin α=所以cos α=故C正确； 因为cos β=cos[α-(α-β)]=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β) =所以β=故D正确. 8.(5分)已知函数f(x)=cos x+sin x，则函数f(x)的最小正周期为　　　. 答案　2π 解析　f(x)=cos x+sin x=cos cos x+sinsin x=cos 故f(x)的最小正周期T=2π. 9.(5分)=　　　　. 答案　 解析　原式= = ==cos 15° =cos(60°-45°)=. 10.(10分)如图，在平面直角坐标系中，以x轴非负半轴为始边作锐角α和钝角β，其终边分别与单位圆交于A，B两点. (1)如果A，B两点的纵坐标分别为求cos α和sin β的值；(5分) (2)在(1)的条件下，求cos(β-α)的值.(5分) 解　(1)∵OA=1，OB=1，且点A，B的纵坐标分别为 ∴sin α=sin β= 又∵α为锐角， ∴cos α=. (2)∵β为钝角， ∴由(1)知cos β=-=- ∴cos(β-α)=cos βcos α+sin βsin α =-. 11.已知sinα∈则cos等于(　　) A. B.- C. D.- 答案　A 解析　由α∈得α+ 因为sin 所以α+ 则cos=- cos=cos=cos·cos+sin=-. 12.已知sin α-sin β=1-cos α-cos β=则cos(α-β)的值为(　　) A. B. C. D.1 答案　B 解析　因为sin α-sin β=1- 所以sin2α-2sin αsin β+sin2β=. ① 又因为cos α-cos β= 所以cos2α-2cos αcos β+cos2β=. ② 由①+②得，2cos(α-β)= 所以cos(α-β)=. 13.(5分)在△ABC中，若tan A(sin C-sin B)=cos B-cos C，且B≠C，则A=　　　　　　　. 答案　 解析　 ∵tan A(sin C-sin B)=cos B-cos C， ∴ ∴sin Asin C-sin Asin B=cos Acos B-cos Acos C， 即cos Acos C+sin Asin C=cos Acos B+sin Asin B， ∴cos(A-C)=cos(A-B). ∵A，B，C∈(0，π)， ∴-π<A-C<π，-π<A-B<π， 又B≠C， ∴A-C=-(A-B)，即2A=B+C， ∴2A=π-A，即A=. 14.(11分)已知cos(α-β)=-cos(α+β)=且α-β∈α+β∈求β的值. 解　由α-β∈且cos(α-β)=- 得sin(α-β)= 由α+β∈且cos(α+β)= 得sin(α+β)=- cos 2β=cos[(α+β)-(α-β)]=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β)==-1， 又∵α+β∈α-β∈ ∴2β∈∴2β=π，∴β=. 15.(5分)设f(x)=则f(1°)+f(2°)+…+f(59°)=　　　　　　. 答案　 解析　由f(x)= 得f(x)+f(60°-x)= = = ∴f(1°)+f(2°)+…+f(59°)=29+f(30°)=29. 16.(12分)已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点. (1)求 的值；(5分) (2)已知-<β<0，且sin β=-求cos(α-β)的值.(7分) 解　由题意知tan α=2. (1)原式= =tan α=2. (2)因为α是第一象限角，且终边过点 所以sin α=cos α= 因为-<β<0，且sin β=- 所以cos β= 所以cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β =. 学科网（北京）股份有限公司 $