5.5.2 简单的三角恒等变换讲义-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第五章 三角函数 5.5.2 简单的三角恒等变换 利用公式进行简单的恒等变换 探究一：利用公式进行简单的恒等变换 例1.试以 教师：（1）有什么关系？ （2）怎样运用倍角公式解决？ 解：在倍角公式代替，以代替，即得，所以①. 在倍角公式中，以代替，以代替，即得，所以②. 将①②两个等式左右两边分别相除，得③. 教师：引导学生观察①②③式，归纳总结如下： （1）用单角的三角函数表示它们的一半即是半角的三角函数； （2）由左式的“二次式”转化为右式的“一次式”（即用此式可达到“降次”的目的）. 教师：思考，代数变换与三角变换有什么不同？ 学生：思考. 引导学生通过这两种变换认识到：不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会存在所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，所以进行三角恒等变换时，常常要先寻找式子所包含的各个角之间的联系，并以此为依据选择适当的公式，这是三角恒等变换的一个重要特点，代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换. 半角公式： 探究二：积化和差公式与和差化积公式 1.积化和差公式 2.和差化积公式 （二）课堂练习 1.已知,则( ) A. B. C. D. 答案：B 解析：, . 故选B. 2.( ) A. B. C. D. 答案：B 解析：原式 .故选B. 3.若，则的值为( ) A. B. C. D.-2 答案：A 解析：由，可知，故，所以. 故选A. 4.已知，则等于( ) A. B. C. D. 答案：D 解析：，，.故选D. （三）小结作业 小结： 本节课我们主要学习了哪些内容? 本节主要学习了怎样推导半角公式、积化和差、和差化积公式，以及如何利用已有的十一个公式进行简单的恒等变换，在解题过程中，应注意对三角函数式的结构进行分析，根据结构特点选择合适公式，进行公式变形，还要思考一题多解、一题多变，并体会其中的一些数学 思想，如换元、方程思想，逆用公式等. 四、板书设计 第1课时 利用公式进行简单的恒等变换. 1.半角公式的推导 回忆两角和与差的三角函数公式、倍角公式. 教师：两角和与差的正弦公式如何表示？ 学生： 教师：你还能说出两角和与差的其他三角函数公式吗？ 学生：思考回答. （二）探究一：函数的性质及应用 对形如（a,b不同时为0）的式子引入辅助角，变形为的形式. 教师：怎样将转化为的形式呢？ 教师： 因为 从而可令，则有 因此，我们有如下结论： 其中. 教师：类似的，是否可以将其写成余弦的形式呢？ 学生：可以将其写成余弦的差角形式，即 其中. 例：求下列函数的周期，最大值和最小值. （1） （2） 教师：利用三角恒等变换，把函数式变成的形式，再求相应的周期和最值. 学生：独立完成. （二）课堂练习 1.函数的一个单调递增区间是( ) A. B. C. D. 答案：D 解析：，令，解得，令，可得，即是函数的一个单调递增区间.故选D. 2.函数图像的一条对称轴为（ ） A. B. C. D. 答案：D 解析：,由,得,即函数的对称轴为,当时,对称轴为,故选D. 3.已知函数为偶函数,则___________. 答案： 解析：由辅助角公式,得,其中.因为为偶函数,所以,所以,所以. 4.的值__________. 答案：1 解析：根据三角函数的求值,先化简然后求解得到结论。因为 = =   = = 故答案为1. 四、板书设计 第2课时 函数的性质及应用 1.辅助角公式 ，其中. ，其中. 学科网（北京）股份有限公司 $$