第5章 §5.6 第2课时 函数y=Asin(ωx+φ)的性质（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（人教A版）

本讲义聚焦函数y=Asin(ωx+φ)的性质，涵盖由图象求解析式、实际问题解决及综合应用。承接上节图象变换学习，形成从图象到性质的递进支架，为三角函数综合应用奠定基础。 资料以摩天轮、气温变化等实例构建模型，培养用数学眼光观察现实世界的能力。通过综合问题融合三角恒等变换发展数学思维，课中例题与跟踪训练助力教师教学，课后对点练帮助学生查漏补缺。

第2课时　函数y=Asin(ωx+φ)的性质 学习目标　1.会通过函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求函数y=Asin(ωx+φ)的解析式.(重点)2.结合三角恒等变换中的有关公式，研究三角函数y=Asin(ωx+φ)的综合性问题.(重点)3.构建三角函数模型，解决实际问题. 导语 上一节我们学习了y=sin x与y=Asin(ωx+φ)图象间的变换关系，并会用“五点法”画出函数y=Asin(ωx+φ)的图象.今天我们进一步学习y=Asin(ωx+φ)的性质. 一、已知图象求函数y=Asin(ωx+φ)的解析式 例1　如图是函数y=Asin(ωx+φ)的图象的一部分，求此函数的解析式. 解　方法一　由图象知A=3，T==π， ∴ω==2，∴y=3sin(2x+φ). ∵点在函数图象上， ∴-×2+φ=0+2kπ，k∈Z， ∴φ=+2kπ，k∈Z， 又|φ|<∴φ=∴y=3sin. 方法二　由图象知A=3. ∵图象过点 由“五点法”得k∈Z， 解得 ∴y=3sin. 反思感悟　确定y=Asin(ωx+φ)+B(A>0，ω>0)的解析式的步骤 (1)求A，B，确定函数的最大值M和最小值m，则A=B=； (2)求ω，确定函数的周期T，则ω=； (3)求φ，常用方法有以下两种： ①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入； ②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口. 跟踪训练1　已知函数y=sin的部分图象如图所示，则(　　) A.ω=1，φ= B.ω=1，φ=- C.ω=2，φ= D.ω=2，φ=- 答案　D 解析　依题意得T==4×=π， 所以ω=2. 又sin=sin=1， 所以+φ=+2kπ，k∈Z， 所以φ=-+2kπ，k∈Z， 由|φ|<得φ=-. 二、利用函数y=Asin(ωx+φ)解决实际问题 例2　(课本例2)摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.如图，某摩天轮最高点距离地面高度为120 m，转盘直径为110 m，设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30 min. (1)游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动t min后距离地面的高度为H m，求在转动一周的过程中，H关于t的函数解析式； (2)求游客甲在开始转动5 min后距离地面的高度； (3)若甲、乙两人分别坐在两个相邻的座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差h(单位：m)关于t的函数解析式，并求高度差的最大值(精确到0.1). 解　如图所示，设座舱距离地面最近的位置为点P，以轴心O为原点，与地面平行的直线为x轴建立直角坐标系. (1)设t=0 min时，游客甲位于点P(0，-55)，以OP为终边的角为- 根据摩天轮转一周大约需要30 min，可知座舱转动的角速度约为 rad/min, 由题意可得+65，0≤t≤30. (2)当t=5时，H=55sin+65=37.5. 所以，游客甲在开始转动5 min后距离地面的高度约为37.5 m. (3)如图所示，甲、乙两人的位置分别用点A，B表示，则∠AOB= 经过t min后甲距离地面的高度为H1= 点B相对于点A始终落后 此时乙距离地面的高度为H2=+65. 则甲、乙距离地面的高度差 h=|H1-H2|=55 =55， 利用sin θ+sin φ=2sin ，可得 h=110，0≤t≤30. 当≈7.2. 所以，甲、乙两人距离地面的高度差的最大值约为7.2 m. 例2　建设生态文明，是关系人民福祉，关乎民族未来的长远大计.某市通宵营业的大型商场，为响应节能减排的号召，在气温超过28 ℃时，才开放中央空调降温，否则关闭中央空调.如图是该市夏季一天的气温y(单位：℃)随时间t(0≤t≤24，单位：h)的大致变化曲线，该曲线近似地满足函数关系y=Asin(ωt+φ)+b(A>0，ω>0，|φ|<π). (1)求函数y=f(t)的解析式； (2)请根据(1)的结论，判断该商场的中央空调应在本天内何时开启？何时关闭？ 解　(1)由题图知，T=2(14-2)=24， 所以T==24，解得ω=. 由图知，b==24，A==8， 所以f(t)=8sin+24. 将点(2，16)代入函数解析式得， 8sin+24=16， 得+φ=2kπ-k∈Z)， 即φ=2kπ-k∈Z)， 又因为|φ|<π，得φ=-. 所以f(t)=8sin+24(0≤t≤24). (2)依题意，令8sin+24>28， 可得sin 所以2kπ+t-<2kπ+k∈Z)， 解得24k+10<t<24k+18(k∈Z)， 令k=0，得10<t<18， 故中央空调应在上午10时开启，下午18时关闭. 反思感悟　解决三角函数的实际应用问题必须按照一般应用题的解题步骤执行 (1)认真审题，理清问题中的已知条件与所求结论. (2)建立三角函数模型，将实际问题数学化. (3)利用三角函数的有关知识解决关于三角函数的问题，求得数学模型的解. (4)根据实际问题的意义，得出实际问题的解. (5)将所得结论返回、转译成实际问题的答案. 跟踪训练2　一半径为2米的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面1米，已知水轮以60秒每圈的速度逆时针匀速转动，如果当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计时，则点P距离水面的高度h(米)与时间t(秒)的一个函数解析式为(注：在水面下，则h为负数)(　　) A.h=2sin+1(t≥0) B.h=2sin+1(t≥0) C.h=2sin+1(t≥0) D.h=2sin+1(t≥0) 答案　A 解析　设点P距离水面的高度h(米)与时间t(秒)的一个函数解析式为 h=Asin(ωt+φ)+B. 由可得由T==60，可得ω= 由t=0时h=0，可得2sin φ+1=0， 则sin φ=-又|φ|< 则φ=- 则点P距离水面的高度h(米)与时间t(秒)的一个函数解析式为h=2sin+1(t≥0). 三、函数y=Asin(ωx+φ)的综合问题 函数y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的有关性质 y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0) 定义域 R 值域 [-A，A] 周期性 T= 对称性 对称中心k∈Z) 对称轴x=k∈Z) 奇偶性 当φ=kπ(k∈Z)时是奇函数； 当φ=kπ+k∈Z)时是偶函数 单调性 通过整体代换可求出其单调区间 注意点： (1)两条相邻对称轴之间间隔为个周期. (2)函数在对称轴处取得最大值或最小值. 例3　已知函数f(x)=sin-4sin2ωx+2(ω>0)，其图象与x轴的两个相邻交点的距离为. (1)求函数f(x)的解析式； (2)若将f(x)的图象向左平移m个单位长度得到的函数g(x)的图象恰好经过点求当m取得最小值时，g(x)在上的单调区间. 解　(1)f(x)=sin-4sin2ωx+2 =sin 2ωx-cos 2ωx-4×+2 =sin 2ωx+cos 2ωx = ∵∴T=π，∴T==π，解得ω=1， ∴f(x)=. (2)将f(x)的图象向左平移m(m>0)个单位长度得到g(x)的图象， ∴g(x)= ∵函数g(x)的图象经过点 ∴=0， 即sin=0， ∴2m-=kπ，k∈Z，∴m=k∈Z， ∵m>0，∴当k=0时，m取得最小值 此时，g(x)=. 令-≤x≤则≤2x+ 当≤2x+≤2x+ 即-≤x≤-≤x≤时，函数g(x)单调递增； 当≤2x+即-≤x≤时，函数g(x)单调递减， ∴g(x)在上的单调递增区间为；单调递减区间为. 反思感悟　对于综合性问题，需要掌握之前所学知识，熟悉诱导公式、两角和差的正弦余弦公式、二倍角公式等，熟悉三角函数的性质，函数图象的特点. 跟踪训练3　已知函数f(x)=sin ωxcos ωx+cos2ωx-ω>0)的两条相邻对称轴之间的距离为. (1)求ω的值； (2)将函数f(x)的图象向左平移个单位长度，再将所得函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=g(x)的图象，若函数y=g(x)-k在区间上存在零点，求实数k的取值范围. 解　(1)f(x)=sin ωx·cos ωx+cos2ωx- =sin 2ωx+ =sin 2ωx+cos 2ωx=sin 因为函数图象上两条相邻对称轴之间的距离为. 所以函数y=f(x)的最小正周期T=π， 所以T==π，解得ω=1. (2)由(1)得f(x)=sin将函数y=f(x)的图象向左平移个单位长度后， 得到y=sin=cos 2x的图象， 再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y=cos x的图象， 故g(x)=cos x，因为x∈ 当x=时，函数g(x)取得最小值g=-； 当x=0时，函数g(x)取得最大值g(0)=1， 故g(x)∈. 因为函数y=g(x)-k在区间上存在零点，所以k=g(x)有解， 所以实数k的取值范围为. 1.知识清单： (1)由图象求函数y=Asin(ωx+φ)的解析式. (2)构造三角函数模型解决实际问题. (3)三角函数的综合应用. 2.方法归纳：特殊点法、数形结合法. 3.常见误区：易忽视实际问题中自变量的取值范围. 1.若函数y=sin(ωx+φ)(ω>0)的部分图象如图所示，则ω等于(　　) A.5 B.4 C.3 D.2 答案　B 解析　由题图可知x0+-x0=∴T= ∴∴ω=4. 2.若函数f(x)=3sin(ωx+φ)对任意x都有f=f则f 等于(　　) A.3或0 B.-3或0 C.0 D.-3或3 答案　D 解析　由f =f得，直线x=是函数图象的对称轴，所以f =±3. 3.函数f(x)=Asin(ωx+φ) 的部分图象如图所示，则将y=f(x)的图象向右平移个单位长度后，得到的图象的解析式为(　　) A.y=sin 2x B.y=cos 2x C.y=sin D.y=sin 答案　D 解析　由图象得A=1，T=2=π， ∴ω==2，∴f(x)=sin(2x+φ). ∵点在函数y=f(x)的图象上， ∴sin=1，∴+φ=2kπ+k∈Z， ∴φ=2kπ+k∈Z， 又|φ|<∴φ= ∴f(x)=sin. 将y=f(x)的图象向右平移个单位长度后，得到的图象对应的解析式为y=sin=sin. 4.某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y=Acosx-6)+B(x=1，2，…，12)来表示.已知6月份的平均气温为30 ℃，12月份的平均气温为20 ℃，则10月份的平均气温为　　　　℃. 答案　22.5 解析　由函数y=Acosx-6)+B， 因为6月份的平均气温为30 ℃，12月份的平均气温为20 ℃， 可得解得 所以函数y=5cosx-6)+25， 令x=10，可得y=5cos10-6)+25=22.5， 故10月份的平均气温为22.5 ℃. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共18分 1.某港口在一天24小时内的潮水的高度近似满足关系式f(t)=2sin其中f(t)的单位为m，t的单位是h，则12点时潮水的高度为(　　) A.2 m B. m C. m D.1 m 答案　D 解析　当t=12时，f(12)=2sin=2sin=1，即12点时潮水的高度是1 m. 2.将函数y=sin的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍，再向右平移个单位长度，得到的函数的一个对称中心是(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　将函数y=sin的图象按照条件变换后得到y=sin 2x的图象.令2x=kπ(k∈Z)，则x=k∈Z)，当k=1时，x=则所得函数的一个对称中心是. 3.将函数f(x)=sinω>0)的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，且函数g(x)是偶函数，则ω的最小值是(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　由题意g(x)=f=sinω>0)是偶函数， 所以-ω=+kπ，k∈Z，解得ω=--2k，k∈Z， 又ω>0，所以当且仅当k=-1时，ωmin=. 4.若将f(x)=sin+1的图象向左平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，则g(x)在上的最小值为(　　) A.+1 B. C.+1 D.2 答案　C 解析　由题意得g(x)=f=sin+1， 因为x∈所以2x+ 所以g(x)min=+1. 5.函数f(x)=2sin(ωx+φ)的部分图象如图所示，AB则f(x)的解析式为(　　) A.f(x)=2sin B.f(x)=2sin C.f(x)=-2sin D.f(x)=-2sin 答案　B 解析　由题意可知f(x)的周期T满足=2，得T=4， 即=4，得ω= 所以f(x)=2sin 因为点B是f(x)图象上的一个点， 所以f=2sin=2， sin=1， 则+φ=+2kπ，k∈Z，φ=+2kπ，k∈Z， 又0<φ< 所以φ= 所以f(x)=2sin. 6.(2024·北京)设函数f(x)=sin ωx(ω>0).已知f(x1)=-1，f(x2)=1，且|x1-x2|的最小值为则ω等于(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 答案　B 解析　因为f(x)=sin ωx∈[-1，1]， 且f(x1)=-1，f(x2)=1，|x1-x2|min= 所以f(x)的最小正周期T=2×=π， 所以ω==2. 7.(多选)函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示，下列说法正确的是(　　) A.f(x)的最小正周期是2π B.f(x)的图象关于直线x=-对称 C.f(x)在上单调递减 D.该函数的图象可由y=2cos x的图象向左平移个单位长度得到 答案　AC 解析　观察图象可得函数f(x)=Asin的最小值为-2，故A=2. 设函数f(x)的最小正周期为T，由图象知T=则T=2π，故ω=1，故A正确； 由f=-2可得-2=2sin又|φ|< 所以φ= 所以f(x)=2sin 因为-≠kπ+故B错误； 由2kπ+≤x+≤2kπ+k∈Z，可得2kπ+≤x≤2kπ+k∈Z， 所以f(x)的单调递减区间为k∈Z)， 取k=-1知，函数f(x)在上单调递减， 故C正确； 将y=2cos x的图象向左平移个单位长度后得到y=2cos=2sin=2sin的图象，故D错误. 8.(5分)若f(x)=cos是奇函数，则φ=　　　　. 答案　 解析　由题意可知+φ=+kπ，k∈Z， 即φ=+kπ，k∈Z. 又|φ|<故当k=0时，φ=. 9.(5分)函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A，ω，φ为常数，A>0，ω>0)的部分图象如图所示，则f(0)=　　　　. 答案　 解析　由图象可得A=周期为4×=π，所以ω=2，将代入得2×+φ=2kπ+k∈Z，即φ=2kπ+k∈Z，所以f(0)=sin φ=. 10.(10分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)+b的部分图象如图所示. (1)求出函数f(x)的解析式；(5分) (2)若将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，再把所有点的横坐标变为原来的纵坐标不变)，得到函数y=g(x)的图象，求出函数y=g(x)的单调递增区间及对称中心.(5分) 解　(1)由图象得 解得=2π，∴T=4π，∴ω= 由f =6，得+φ=2kπ+k∈Z， 即φ=+2kπ，k∈Z， 又|φ|<∴φ= 综上，f(x)=4sin+2. (2)根据题意可得g(x)=4sin+2， 由2kπ-≤2x+≤2kπ+k∈Z，得函数g(x)的单调递增区间为k∈Z. 令2x+=kπ，k∈Z，得x=k∈Z， ∴函数g(x)的对称中心为k∈Z. 11.将函数f(x)=2cos的图象向左平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，则曲线y=g(x)与直线y=的所有交点中，相邻交点距离的最小值为(　　) A. B. C. D.π 答案　A 解析　函数f(x)=2cos的图象向左平移个单位长度， 得到函数g(x)的图象，则g(x)=2cos=2cos 令2cos即cos 则2x-=2k1π+k1∈Z，或2x-=2k2π-k2∈Z， 即x=k1π+k1∈Z，或x=k2π，k2∈Z， 可得x=……或x=…0，π，2π，…， 故相邻交点距离的最小值为. 12.(多选)将函数f(x)=sin x-cos x的图象上各点的横坐标缩短到原来的得到函数g(x)的图象，则下列说法正确的是(　　) A.函数g(x)的最小正周期为π B.函数g(x)的图象关于直线x=k∈Z对称 C.函数g(x)在区间上单调递增 D.若x∈则g(x)的值域为 答案　ABC 解析　f(x)=sin x-cos x=2sin则将其图象上各点的横坐标缩短到原来的可得g(x)=2sin的图象， 对于A，g(x)的最小正周期为=π，所以A正确； 对于B，由2x-+kπ，k∈Z，得x=k∈Z，所以函数g(x)的图象关于直线x=k∈Z对称，所以B正确； 对于C，当x∈时，2x-因为y=sin x在上单调递增，所以g(x)在区间上单调递增，所以C正确； 对于D，由x∈得2x-所以sin所以2sin则g(x)的值域为所以D错误. 13.(5分)如图，A，B和C，D分别为函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0，-π<φ<0)图象上的两个最高点、两个最低点，若四边形ABCD的面积为2π，AD与x轴的交点坐标为则f=　　　　　　. 答案　- 解析　因为四边形ABCD的面积为2π，且AB=T=T为f(x)的最小正周期)， CD=2T=梯形ABCD的高为2，所以×2=2π，解得ω=3， 即f(x)=sin(3x+φ). 由题意得f(x)的图象过点 即3×+φ=2kπ(k∈Z)， 即φ=2kπ+k∈Z). 又-π<φ<0，所以φ=- 故f(x)=sin. 故f=sin=sin =-. 14.(10分)风力发电的原理是利用风力带动风机叶片旋转，当风吹向叶片时驱动风轮转动，风能转化成动能，进而来推动发电机发电.如图，风机由一座塔和三个叶片组成，每两个叶片之间的夹角均为现有一座风机，叶片旋转轴离地面100米，叶片长40米.叶片按照逆时针方向匀速转动，并且每5 s旋转一圈.风机叶片端点P从离地面最低位置开始，转动t s后离地面的距离为h米，在转动一周的过程中，h关于t的函数解析式为h(t)=Asin(ωt+φ)+B(A>0，ω>0，|φ|<π). (1)求函数h(t)的解析式；(4分) (2)当风机叶片端点P从离地面最低位置开始，在转动一周的过程中，求点P离地面的高度不低于80米的时长.(6分) 解　(1)由题意，得风机的角速度ω= rad/s，当t=0时，h=60. 解得 ∴h(t)=40sin+100. (2)令h(t)≥80，0≤t≤5， 则h(t)=40sin+100≥80， 即cost≤ ∴t≤ 解得≤t≤ ∴. ∴当风机叶片端点P从离地面最低位置开始， 在转动一周的过程中，点P离地面的高度不低于80米的时长为 s. 15.(多选)函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)的部分图象如图中实线所示，图中圆C与f(x)的图象交于M，N两点，且M在y轴上，则下列说法中正确的是(　　) A.函数f(x)在上单调递减 B.函数f(x)的最小正周期是π C.函数f(x)的图象向左平移个单位长度后关于直线x=对称 D.若圆C的半径为则函数f(x)的解析式为f(x)= 答案　BCD 解析　由图知点C的横坐标为 所以f(x)的最小正周期T=2=π，故B正确； 所以ω==2，又f =0，0<φ<π， 由“五点法”可得2×+φ=0， 所以φ= 因此f(x)=Asin 由x∈ 可得2x+ 所以函数f(x)在上不单调，故A错误； 函数f(x)的图象向左平移个单位长度后，得到函数y=Asin=Acos 2x的图象，由2x=kπ，k∈Z，得x=k∈Z， 故所得函数图象关于直线x=对称，故C正确； 若圆C的半径为 则A= 所以A= 函数f(x)的解析式为f(x)=故D正确. 16.(12分)某商场零食区改造，如图，原零食区是区域ODBC，改造时可利用部分为扇形区域OAD，已知∠OCB=∠COA=OC=10米，BC=10米，区域OBC为三角形，区域OAB是以OA为半径的扇形，且∠AOD=. (1)若需在区域OABC外轮廓地面上贴广告带，求广告带的总长度；(5分) (2)在区域OAD中，设置矩形区域HGIF作为促销展示区，求促销展示区的面积S的最大值.(7分) 解　(1)因为OC=10BC=10，∠OCB= 所以∠BOC=OB==20， 则OA=20，∠BOA= 的长度为l=×20= 所以广告带的总长度为OA+OC+BC+l=30+10米). (2)如图，连接OF.设∠FOA=θ. 因为OF=20，所以FI=GH=20sin θ，OI=20cos θ， 因为∠AOD= 所以OG==20sin θ， 所以GI=OI-OG=20cos θ-20sin θ， 所以S=GI·FI=(20cos θ-20sin θ)·20sin θ =400sin θcos θ-400sin2θ =200[sin 2θ-1-cos 2θ)] =200 因为θ∈ 所以2θ+ 当2θ+即θ=时，S取得最大值. 所以S≤200×(2-)=400-200 所以促销展示区的面积S的最大值为(400-200)平方米. 学科网（北京）股份有限公司 $