专题5.5 正切函数的图象与性质（13类必考点）讲义-2025-2026学年高一数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦正切函数的图象与性质核心知识点，系统梳理定义域、值域、周期性等性质及三点两线法作图方法，衔接三角函数基础与综合应用，构建从概念到解题策略的学习支架。 资料以13个分层考点设计为特色，涵盖基础到实际应用，如“圭表测量”实例引导学生用数学眼光观察现实。通过单调性求参等题目提升逻辑推理能力，课中辅助分层教学，课后助力学生查漏补缺。

专题5.5正切函数的图象与性质 【知识梳理】 1 【考点1：正切函数的定义域】 2 【考点2：正切函数的值域】 5 【考点3：画正切函数的图象】 6 【考点4：求正切函数的单调性】 9 【考点5：由正切函数的单调性求参】 9 【考点6：比较正切值的大小】 12 【考点7：解正切不等式】 14 【考点8：求正切型函数的最值】 16 【考点9：求正切型函数的奇偶性】 19 【考点10：由正切型函数的奇偶性求参】 21 【考点11：求正切函数的周期】 24 【考点12：求正切函数的对称中心】 27 【考点13：正切函数的实际应用】 28 【知识梳理】 1．正切函数的性质与图象 (1)正切函数的图象及性质 定义域 周期性 由诱导公式可知，正切函数是周期函数，周期是π. 奇偶性 由诱导公式可知，正切函数是奇函数. 图象 单调性 正切函数在每一个区间上都单调递增 值域 正切函数的值域是实数集R 对称中心 (2)三点两线法作正切曲线的简图 类比于正、余弦函数图象的五点法，我们可以采用三点两线法作正切函数的简图.“三点”是指点 (-,-1),(0,0),(,1);“两线”是指直线x=-和x=.在三点、两线确定的情况下,可以大致画出正切函数在区间(-,)上的简图. 2．三角函数的单调区间的求解方法 求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成y=Atan(ωx+φ)形式，再求y=Atan(ωx+φ)的单调区间，只需把ωx+φ看作一个整体代入y=tanx的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数. 3．已知三角函数的单调性求参数的解题思路 对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题，利用特值验证排除法求解更为简捷. 4．三角函数周期的一般求法 (1)公式法； (2)不能用公式求函数的周期时，可考虑用图象法或定义法求周期. 5．三角函数的对称轴、对称中心的求解策略 (1)对于可化为f(x)=Asin(ωx+φ)（或f(x)=Acos(ωx+φ)）形式的函数，如果求f(x)的对称轴，只需令 ωx+φ=kπ(k∈Z)（或令ωx+φ=kπ(k∈Z)），求x即可；如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx+φ=kπ(k∈Z)（或令ωx+φ=kπ(k∈Z)），求x即可. (2)对于可化为f(x)=Atan(ωx+φ)形式的函数，如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx+φ=(k∈Z)），求x即可. 【考点1：正切函数的定义域】 1．（25-26高一下·全国·课后作业）函数的定义域为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正切函数的定义域求解即可. 【详解】由有意义可得，，， 即，， 故函数的定义域为. 故选：D. 2．（2025高三·全国·专题练习）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由正切函数的定义域，令，，解不等式，即可求出结果. 【详解】由正切函数的定义域，令，，即，所以函数的定义域为. 故选:D． 3．（25-26高三上·四川绵阳·月考）的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】复合函数定义域问题，分解函数，分别求定义域再求交集. 【详解】令， 函数的定义域为：， 函数的定义域：，则，即， 所以的定义域为 故选：A 4．（25-26高一上·全国·课后作业）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用函数有意义可得，再结合正切函数及性质求解即得. 【详解】函数有意义，则，于是， 即，因此， 所以原函数的定义域为. 故选：A 5．（24-25高一下·云南楚雄·月考）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由二次根式有意义得，结合正切函数的性质可得结果. 【详解】由题意得，， ∴， ∴， ∴函数的定义域为. 故选：B. 【考点2：正切函数的值域】 1．（24-25高一下·四川南充·期中）函数的值域是 . 【答案】 【分析】利用在上的单调性求解即可. 【详解】令，， 在上单调递增，. 故答案为： 2．（25-26高一上·全国·课后作业）函数的值域是 . 【答案】 【分析】由题意，令，再根据正切函数的单调性，即可求出结果. 【详解】函数. ，令. 函数在上单调递增， ，即， ， 函数的值域为. 故答案为： 3．（25-26高一上·全国·单元测试）函数（且）的值域是 ． 【答案】 【分析】求出在的范围即可求解. 【详解】当时，，∴； 当时，，∴． 即当时，函数的值域是． 故答案为： 4．（25-26高一·全国·课后作业）函数y＝tan(＋)，x∈(0,)的值域是 ． 【答案】 【分析】根据,，求解的范围，结合正切函数的性质可得值域. 【详解】由得,从而， ,即, 所求函数的值域为. 故答案为：. 5．（24-25高一下·陕西汉中·月考）函数在上的值域为 ． 【答案】 【分析】根据题意求得，结合正切函数的性质，即可求解. 【详解】由，可得， 根据正切函数的性质，可得， 即函数在上的值域为. 故答案为：. 【考点3：画正切函数的图象】 1．（24-25高三下·河北·月考）函数与的图象在上的交点个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】根据题意，分别画出与的图象，结合图象，即可得到结果. 【详解】由题意作出与的图象：    结合图象可以得到在上两图象有5个交点， 故选：D. 2．（24-25高一下·上海·课后作业）作函数的图象. 【答案】答案见解析. 【分析】根据奇偶性可得答案. 【详解】先作出的图象， 因为，所以是偶函数， 图象关于轴对称，可作出的图象， 所以的图象如下所示：    3．（25-26高一·全国·课堂例题）画出函数在上的简图． 【答案】答案见解析 【分析】根据五点作图法画图即可. 【详解】令，，可得，， 又，所以直线是该函数图象的一条渐近线． 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． 描点，，，，画虚线，根据正切曲线的趋势，画出简图，如图所示．    4．（25-26高一·全国·课堂例题）观察正切函数曲线，写出满足下列条件的x的集合． (1)满足的集合． (2)满足的集合． (3)满足的集合． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】作出函数的部分图象，观察图象位于x轴上，x轴下方，x轴上方的部分，写出对应区间，问题得解. 【详解】（1）作正切函数的部分图象如下： 观察图象可知： 为函数图象的零点，即， 所以，的解集为； （2）当时，图象位于x轴下方，即， 所以，的解集为； （3）当时，图象位于x轴上方，即， 所以，的解集为 【考点4：求正切函数的单调性】 1．（24-25高一下·上海浦东新·期末）函数的单调区间为 ． 【答案】 【分析】利用求解即可. 【详解】由，解得， 所以函数的单调递增区间为，无单调递减区间. 故答案为：. 2．（24-25高一上·甘肃甘南·期末）求函数的定义域，并指出它的单调性及单调区间 【答案】答案见解析 【分析】由题，解不等式得定义域，再根据，利用整体代换法求解函数的单调递减区间即可. 【详解】解：要使函数有意义，应满足，解得 ∴函数定义域为. ∵， ∴，解得， ∴函数的单调递减区间为. 3．（24-25高一下·江西吉安·期中）已知函数. (1)求的定义域； (2)求的单调区间. 【答案】(1) (2)单调递减区间为，无单调递增区间 【分析】（1）根据正切函数的定义域列式求解即可； （2）根据正切函数的单调性列出不等式，求解即可得出答案. 【详解】（1）由于函数，要使有意义， 则，，解得， 故的定义域为； （2）因为，由， 得，所以函数的单调递减区间为，无单调递增区间. 4．（25-26高一·湖南·课后作业）求下列函数的定义域和单调区间： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)定义域,增区间，无减区间 (2)定义域,增区间，无减区间 (3)定义域,增区间，无减区间 【分析】（1）根据正切型函数定义域的求法，求得函数的定义域，利用整体代入法求得单调区间. （2）根据正切型函数定义域的求法，求得函数的定义域，利用整体代入法求得单调区间. （3）根据正切型函数定义域的求法，求得函数的定义域，利用整体代入法求得单调区间. 【详解】（1）由得， 所以的定义域为. 由得， 所以的单调递增区间为，无减区间. （2）由得， 所以的定义域为. 由得， 所以的单调递增区间为，无减区间. （3）由得， 所以的定义域为. 由得， 所以的单调递增区间为，无减区间. 5．（25-26高一上·四川南充·期末）已知函数. （1）求函数的定义域； （2）求函数的单调区间. 【答案】（1）（2）， 【解析】（1）求解，，得出解集即函数定义域； （2）由，，即可得到函数的单调增区间，没有减区间. 【详解】解：（1）函数的自变量应满足 ，， 即，. 所以，函数的定义域是 . （2）由，，解得 ，. 因此，函数的单调递增区间是，，没有减区间. 【点睛】此题考查求正切型函数的定义域和单调区间，考查通式通法，关键在于准确求解不等式的解集. 【考点5：由正切函数的单调性求参】 1．（25-26高一上·全国·课前预习）已知函数在单调递增，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据给定的区间，结合正切函数的单调区间来确定的取值范围即可. 【详解】当时，，又因为在上单调递增，结合正切函数的单调性得，解得， 的取值范围为． 故答案为：. 2．（25-26高三上·吉林长春·月考）已知函数在上单调递增，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由的范围，求出的范围，由正切函数的单调性可得，解方程即可得出答案. 【详解】因为，所以， 函数在上单调递增， 因为函数在上单调递增， 所以， 所以，即的最大值为. 故选：A 3．（25-26高三上·河北衡水·期中）已知函数在区间上单调递增，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，得到，结合正切函数的性质，求得，即可得到答案. 【详解】由函数，因为，可得， 又因为在上单调递增，可得， 解得， 因为，所以，可得，所以的最大值为． 故选：B． 4．（24-25高一下·四川成都·期末）若函数在区间上是增函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正切函数的单调增区间，结合题设条件建立不等式组，解之即得. 【详解】因在上是增函数，依题意该函数在区间上是增函数， 则有，解得，又因，故. 故选：C. 5．（2025·甘肃定西·模拟预测）若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由正切函数单调性、复合函数单调性可列不等式即可求解. 【详解】当时，，由在区间上单调递增， 得，解得. 故选：C. 【考点6：比较正切值的大小】 1．（25-26高一上·全国·课后作业）比较大小： . 【答案】> 【分析】利用诱导公式得到，，根据在内的单调性，比较出大小. 【详解】∵，. 又，在内单调递增， ∴， ∴. 故答案为：> 2．（24-25高一上·陕西西安·期末）若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用对数函数单调性和正切函数单调性即可比较大小. 【详解】∵对数函数在上单调递增，，即； 同理，对数函数在上单调递增，，即； ∵函数在上单调递增，且，，即. 综上，. 故选：C. 3．（24-25高一下·四川成都·期中）若锐角满足，则下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D．以上说法均不对 【答案】B 【分析】由题意根据三角函数的性质逐一分析即可. 【详解】锐角满足，又在上单调递增， 所以， 对于：在上单调递减，所以，故错误； 对于：在上单调递增，所以，故正确； 对于：，由不等式的性质可得，故错误. 故选：. 4．（24-25高一上·江苏泰州·期末）已知函数，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复合函数的单调性，先确定在上单调递增，因，故可得. 【详解】设，则在上单调递增， 可化为， 由对勾函数的性质可知： 当时，单调递增，当时，单调递减， 由得， 故在区间上单调递减，在上单调递增， ，， 因（因为）， 故，故， 故选：B 5．（多选）（24-25高一下·四川南充·月考）在锐角△ABC中，三个内角分别是，，，且，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】易得，，再根据正切函数的单调性即可得解. 【详解】由题意可知，，， 则， 因为函数在上单调递增， 所以，， 所以， 故AC正确，BD错误. 故选：AC. 【考点7：解正切不等式】 1．（25-26高一上·全国·课后作业）不等式，的解集为 . 【答案】 【分析】作出函数的图象，数形结合可得. 【详解】根据题意，作出函数的图象，如图所示，由，可得， 所以不等式的解集为. 故答案为： 2．（24-25高一下·广东·月考）利用三角函数图象，求出中的取值范围（    ） A．， B．， C． D．， 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用正切函数的图象与性质求解不等式. 【详解】由正切函数图象知，在内，满足不等式的取值范围是， 所以在整个定义域内满足不等式的取值范围是，. 故选：D 3．（24-25高一上·全国·课后作业）观察正切曲线，写出满足下列条件的x的取值范围. (1)； (2). 【答案】(1)（） (2)（） 【分析】利用正切函数曲线，通过数形结合及正切函数的周期性来解不等式. 【详解】（1）观察正切曲线， 在区间内，可知，此时满足的x的取值范围是， 又正切函数的最小正周期为，所以满足的x的取值范围是（）. （2）观察正切曲线， 在区间内，可知，. 此时满足的x的取值范围是， 又正切函数的最小正周期为，所以满足的x的取值范围是（）. 4．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数的图象过点． (1)求的单调递增区间； (2)求不等式的解集． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据图象过点，结合，可得，再利用正切型函数的单调性代入求解即可； （2）根据正切型函数的单调性解不等式即可. 【详解】（1）∵的图象过点， ∴，∵，∴，∴． 令，得， 即． ∴函数的单调递增区间为． （2）由（1）知，．由， 得，即． ∴不等式的解集为. 5．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)记，求． 【答案】(1)递增区间为，无递减区间； (2)． 【分析】（1）借助正切函数的单调区间列出不等式并求解即得. （2）求出函数在上的值域，由正切函数单调性解不等式，再求出并集. 【详解】（1）令，解得， 所以函数在单调递增区间为，无递减区间． （2）由（1）得，函数在区间内单调递增，则， 即，因此， 由，得， 由，得，解得， 因此， 所以． 【考点8：求正切型函数的最值】 1．（24-25高一下·上海·期中）关于函数的最大值和最小值，表述正确的选项为（    ） A．最大值是，最小值是 B．最大值是，最小值是 C．最大值是，最小值是 D．没有最大值，最小值是 【答案】B 【分析】根据正切函数的单调性求解. 【详解】因为单调递增，所以. 故选：B. 2．（24-25高一下·上海·期中）函数，的最大值为 . 【答案】 【分析】首先判断函数的单调性，由单调性求出函数的最大值. 【详解】当时，所以在上单调递增， 所以当时取得最大值，即. 故答案为： 3．（24-25高一下·上海浦东新·期中）函数，的最大值与最小值之和为 . 【答案】 【分析】换元法求函数值域，首先令，根据得，进而结合二次函数的图象与性质即可求解. 【详解】令，，， 则，因为对称轴为， 所以，在上单调递减，在上单调递增， 所以，当时，，当时，， 函数的最大值与最小值之和为. 故答案为：. 4．（24-25高一下·上海·期中）函数的值域 【答案】 【分析】首先确定定义域，根据二倍角公式将整理为，从而根据定义域可知，进而得到函数值域. 【详解】定义域为： 当时， 值域为 本题正确结果： 【点睛】本题考查正切函数值域的求解问题，忽略原函数的定义域是本题的易错点. 5．（2025高一·全国·专题练习）已知，求函数的最小值． 【答案】4 【分析】利用正余弦齐次式法变形函数，再换元并借助二次函数求出最小值. 【详解】当时，，设，则， 则，当且仅当时等号成立． 所以的最小值为4. 【考点9：求正切型函数的奇偶性】 1．（25-26高三上·北京·月考）下列函数中，定义域为的奇函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据常见函数的定义域及奇偶性判断各选项即可. 【详解】对于A，函数的定义域为，为偶函数； 对于B，函数的定义域为，为奇函数； 对于C，函数的定义域为，为非奇非偶函数； 对于D，函数的定义域为， 因为为奇函数，所以函数为奇函数. 故选：D. 2．（24-25高一下·江苏扬州·开学考试）下列各组函数，既是奇函数，又在区间上单调递增的为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据正弦函数、余弦函数和正切函数的性质分析判断即可. 【详解】因为，在上为奇函数，在上为偶函数， 所以排除AC， 因为，在上单调递增，在上单调递减， 所以B符合题意，D不合题意， 故选：B 3．（25-26高一上·全国·课后作业）函数（    ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．是非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数 【答案】B 【分析】先判断的定义域是否对称，再利用函数奇偶性的定义判断即可. 【详解】的定义域为，定义域对称， 因为， 所以是偶函数. 故选：B. 4．（2025高一·全国·专题练习）判断下列函数的奇偶性： (1)； (2). 【答案】(1)既不是偶函数，也不是奇函数 (2)奇函数 【分析】(1)求函数的定义域，可得定义域不关于原点对称，由此判断函数既不是偶函数，也不是奇函数，(2)求函数的定义域，确定定义域关于原点对称，再通过比较与的关系判断函数的奇偶性. 【详解】（1）由得的定义域为且， 由于的定义域不关于原点对称，所以函数既不是偶函数，也不是奇函数； （2）由题知函数的定义域为且，定义域关于原点对称， 又，所以函数是奇函数. 5．（25-26高一·上海·课堂例题）判断下列函数的奇偶性，并说明理由： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)奇函数，理由见解析 (2)偶函数，理由见解析 (3)奇函数，理由见解析 (4)偶函数，理由见解析 【分析】根据函数奇偶性以及正切函数的知识求得正确答案. 【详解】（1）是奇函数，理由如下： 设，由解得， 所以的定义域为， ， 所以是奇函数. （2）是偶函数，理由如下： 设，则的定义域是， ， 所以是偶函数. （3）是奇函数，理由如下： 设，则定义域是， ， 所以是奇函数. （4）是偶函数，理由如下： 设，则的定义域是， ， 所以是偶函数. 【考点10：由正切型函数的奇偶性求参】 1．（2025·广西玉林·三模）函数，若，则 ． 【答案】3 【分析】 根据题意可得，结合计算即可求解. 【详解】 由题得， ∴， 所以． 故答案为：3. 2．（24-25高一下·上海浦东新·期中）函数，若，则的值为 【答案】0 【分析】由，可得，然后再求出 【详解】因为，且， 所以，得， 所以， 故答案为：0 3．（2025·江苏南通·模拟预测）已知函数的最大值为M，最小值为m，则的值为（    ） A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【分析】依题意可得，令，，即可得到是奇函数，根据奇函数的性质计算可得； 【详解】解:，令，，于是 ，所以是奇函数，从而的最大值G与最小值g的和为0，而. 故选：B 4．（25-26高三上·湖北武汉·月考）将函数的图象向左平移个单位长度后，所得的图象关于原点对称，则的最小值为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数图象的平移变换，可得，结合题意可知该函数为奇函数，利用奇函数的性质列式，化简求值，即得答案. 【详解】将函数的图象向左平移个单位长度后， 所得的图象对应的函数为， 由题意知的图象关于原点对称，即函数为奇函数， 故， 即， 故， 即， 因为，故当时，m取最小值. 另解：由题意知的图象关于原点对称， 故，即， 因为，故当时，m取最小值， 故选：A 5．（25-26高一上·全国·单元测试）已知. (1)求不等式的解集； (2)若是奇函数，则应满足什么条件？并求出满足时的值. 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）根据正切函数的性质，利用整体代入法可得，即可求解； （2）.若是奇函数，则，可解得.令，解得，且，所以，代入即可求得满足题意的值. 【详解】（1）因为，所以， 得，即. 所以不等式的解集为. （2）. 若是奇函数，则，解得. 令，解得，且，所以. 故. 【考点11：求正切函数的周期】 1．（2025·山东聊城·模拟预测）函数的最小正周期为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，利用正切函数的性质，即可求解. 【详解】由函数，根据正切函数的性质，可得的最小正周期为. 故选：A. 2．（25-26高三上·云南昆明·月考）函数 的最小正周期是（    ） A．2π B．π C． D． 【答案】C 【分析】对于正切函数，其最小正周期公式为. 【详解】由题意可得. 故选：C 3．（25-26高三上·云南昆明·期中）若函数的最小正周期为，则的单调区间为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据周期求出，整体代换求单调区间. 【详解】由已知可得，解得，所以函数， 由，解得， 所以的单调区间为， 故选：B. 4．（25-26高三上·辽宁·月考）若函数的最小正周期为，则（    ） A．8 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】根据正切型函数的周期公式即可求解. 【详解】由题意可得的最小正周期，则，解得． 故选：C. 5．（25-26高三上·福建福州·开学考试）若函数的图象与直线的相邻两个交点的距离为，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】依题意可得的最小正周期，即可求出． 【详解】因为函数的图象与直线的两个相邻交点之间的距离为， 所以的最小正周期，又，所以． 故选：C． 【考点12：求正切函数的对称中心】 1．（2025高三·全国·专题练习）若点是函数的图像的一个对称中心，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】整体代入法计算，.求解，给赋值可得结果. 【详解】正切函数的对称中心为，,所以有，因此. 又因为，所以最小值为时，. 故选：B． 2．（25-26高三上·云南曲靖·月考）若函数的图象的一个对称中心的横坐标为1，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正切型函数的性质，结合题意，可得的表达式，赋值即可得答案. 【详解】由函数的性质知， 其图象的对称中心的横坐标满足， 因为点是函数图象的一个对称中心， 所以， 又，故当时，， 所以的最小值为， 故选：C． 3．（25-26高三上·江苏·月考）已知点是函数的图象的一个对称中心，则的值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正切函数对称中心的通式，结合函数内部的线性变换和平移量，求出对称中心的横、纵坐标表达式，再通过取整参数验证选项是否符合通式。 【详解】正切函数的对称中心为， 令，则原函数化为， 当时，，此时，故对称中心的纵坐标， 横坐标满足：，，， 于是：， 当时，. 故选：A 4．（多选）（25-26高一上·陕西西安·月考）（多选）已知函数，下列说法正确的是（   ） A．函数的最小正周期为 B．函数的定义域为 C．函数图象的对称中心为， D．函数的单调递增区间为， 【答案】ABD 【分析】由正切函数定义域，周期，单调区间，对称性结合题意可得答案. 【详解】对于A，的最小正周期满足：，故A正确； 对于B，定义域满足， 则定义域为：，故B正确； 对于C，对称中心的横坐标满足：，则对称中心为： ，其中，故C错误； 对于D， 单调递增区间满足： ， 其中，则单调递增区间为，.故D正确. 故选：ABD 5．（24-25高二下·云南曲靖·期末）已知函数在区间上有定义，且其图象在区间上至少有两个对称中心，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用整体代换法可求得，结合题意可求出及，又在区间上至少有两个对称中心则可得在区间上至少有两解，从而可求解. 【详解】当，， 若函数（）在区间上有定义， 则，解得， 函数的对称中心满足，，整理得，， 其图象在区间上至少有两个对称中心，则在区间上至少有两解， 整理得至少存在两个值使，， 故至少有两个取值，所以， 综上，的取值范围为. 故答案为:. 【考点13：正切函数的实际应用】 1．（多选）（24-25高一下·河北衡水·期末）中国最早的天文观测仪器叫“圭表”，最早装置圭表的观测台是西周初年在阳城建立的周公测景（影）台．“圭”就是放在地面上的土堆，“表”就是直立于圭的杆子，太阳光照射在“表”上，便在“圭”上成影，到了汉代，使用圭表有了规范．规定“表”为八尺长（1尺＝10寸）．用圭表测量太阳照射在竹竿上的影长，可以判断季节的变化．也能用于丈量土地，同一日内，南北两地的日影长短倘使差一寸，它们的距离就相差一千里，所谓“影差一寸，地差千里”，记“表”的顶部为A．太阳光线通过顶部A投影到“圭”上的点为B，已知甲、乙两地之间的距离约为20千里．若同一日内，甲地中直线AB与地面所成的角为，且，则甲地日影长是乙地日影长的（    ）    A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据题意求出甲地的日影长，从而可求出乙地的日影长，进而可求出甲地日影长与乙地日影长的比. 【详解】依题意，甲地的日影长为寸， 因为甲、乙两地之间的距离约为20千里，所以乙地的日影长为寸或寸， 因为，，所以甲地日影长是乙地日影长的或． 故选：AC． 2．（24-25高三下·海南·月考）海南中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BC⊥DG，垂足为C，tan∠ODC=，，EF=12cm，DE=2cm，A到直线DE和EF的距离均为7cm，圆孔半径为2cm，则图中阴影部分的面积为 cm2． 【答案】 【分析】利用求出圆弧所在圆的半径，结合扇形的面积公式求出扇形的面积，求出直角的面积，阴影部分的面积可通过两者的面积之和减去半个单位圆的面积求得. 【详解】设，由题意，，所以. 因为，所以. 因为，所以. 因为与圆弧相切于点，所以，即为等腰直角三角形. 在直角中，，. 因，所以，解得. 等腰直角的面积为， 扇形的面积， 所以阴影部分的面积为. 故答案为：. 3．（2025高一·全国·专题练习）兴趣小组要测量电视塔的高度H（单位：m）.如图所示，竖直放置的标杆的高度，仰角，.该小组已测得一组，的值，算出了，，请据此算出H的值. 【答案】124m. 【解析】在中可得，在中可得，，再根据即可得到． 【详解】解：，同理：，． ，故得， 得：． 因此电视塔的高度H是124m. 【点睛】本题主要考查解三角形的知识，属于基础题． 第 1 页 共 14 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.5正切函数的图象与性质 【知识梳理】 1 【考点1：正切函数的定义域】 2 【考点2：正切函数的值域】 3 【考点3：画正切函数的图象】 4 【考点4：求正切函数的单调性】 5 【考点5：由正切函数的单调性求参】 5 【考点6：比较正切值的大小】 6 【考点7：解正切不等式】 7 【考点8：求正切型函数的最值】 7 【考点9：求正切型函数的奇偶性】 9 【考点10：由正切型函数的奇偶性求参】 9 【考点11：求正切函数的周期】 10 【考点12：求正切函数的对称中心】 11 【考点13：正切函数的实际应用】 11 【知识梳理】 1．正切函数的性质与图象 (1)正切函数的图象及性质 定义域 周期性 由诱导公式可知，正切函数是周期函数，周期是π. 奇偶性 由诱导公式可知，正切函数是奇函数. 图象 单调性 正切函数在每一个区间上都单调递增 值域 正切函数的值域是实数集R 对称中心 (2)三点两线法作正切曲线的简图 类比于正、余弦函数图象的五点法，我们可以采用三点两线法作正切函数的简图.“三点”是指点 (-,-1),(0,0),(,1);“两线”是指直线x=-和x=.在三点、两线确定的情况下,可以大致画出正切函数在区间(-,)上的简图. 2．三角函数的单调区间的求解方法 求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成y=Atan(ωx+φ)形式，再求y=Atan(ωx+φ)的单调区间，只需把ωx+φ看作一个整体代入y=tanx的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数. 3．已知三角函数的单调性求参数的解题思路 对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题，利用特值验证排除法求解更为简捷. 4．三角函数周期的一般求法 (1)公式法； (2)不能用公式求函数的周期时，可考虑用图象法或定义法求周期. 5．三角函数的对称轴、对称中心的求解策略 (1)对于可化为f(x)=Asin(ωx+φ)（或f(x)=Acos(ωx+φ)）形式的函数，如果求f(x)的对称轴，只需令 ωx+φ=kπ(k∈Z)（或令ωx+φ=kπ(k∈Z)），求x即可；如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx+φ=kπ(k∈Z)（或令ωx+φ=kπ(k∈Z)），求x即可. (2)对于可化为f(x)=Atan(ωx+φ)形式的函数，如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx+φ=(k∈Z)），求x即可. 【考点1：正切函数的定义域】 1．（25-26高一下·全国·课后作业）函数的定义域为（　　） A． B． C． D． 2．（2025高三·全国·专题练习）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·四川绵阳·月考）的定义域为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·全国·课后作业）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·云南楚雄·月考）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【考点2：正切函数的值域】 1．（24-25高一下·四川南充·期中）函数的值域是 . 2．（25-26高一上·全国·课后作业）函数的值域是 . 3．（25-26高一上·全国·单元测试）函数（且）的值域是 ． 4．（25-26高一·全国·课后作业）函数y＝tan(＋)，x∈(0,)的值域是 ． 5．（24-25高一下·陕西汉中·月考）函数在上的值域为 ． 【考点3：画正切函数的图象】 1．（24-25高三下·河北·月考）函数与的图象在上的交点个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（24-25高一下·上海·课后作业）作函数的图象. 3．（25-26高一·全国·课堂例题）画出函数在上的简图． 4．（25-26高一·全国·课堂例题）观察正切函数曲线，写出满足下列条件的x的集合． (1)满足的集合． (2)满足的集合． (3)满足的集合． 【考点4：求正切函数的单调性】 1．（24-25高一下·上海浦东新·期末）函数的单调区间为 ． 2．（24-25高一上·甘肃甘南·期末）求函数的定义域，并指出它的单调性及单调区间 3．（24-25高一下·江西吉安·期中）已知函数. (1)求的定义域； (2)求的单调区间. 4．（25-26高一·湖南·课后作业）求下列函数的定义域和单调区间： (1)； (2)； (3)． 5．（25-26高一上·四川南充·期末）已知函数. （1）求函数的定义域； （2）求函数的单调区间. 【考点5：由正切函数的单调性求参】 1．（25-26高一上·全国·课前预习）已知函数在单调递增，则的取值范围为 ． 2．（25-26高三上·吉林长春·月考）已知函数在上单调递增，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·河北衡水·期中）已知函数在区间上单调递增，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·四川成都·期末）若函数在区间上是增函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·甘肃定西·模拟预测）若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【考点6：比较正切值的大小】 1．（25-26高一上·全国·课后作业）比较大小： . 2．（24-25高一上·陕西西安·期末）若，，，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·四川成都·期中）若锐角满足，则下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D．以上说法均不对 4．（24-25高一上·江苏泰州·期末）已知函数，若，，，则（   ） A． B． C． D． 5．（多选）（24-25高一下·四川南充·月考）在锐角△ABC中，三个内角分别是，，，且，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【考点7：解正切不等式】 1．（25-26高一上·全国·课后作业）不等式，的解集为 . 2．（24-25高一下·广东·月考）利用三角函数图象，求出中的取值范围（    ） A．， B．， C． D．， 3．（24-25高一上·全国·课后作业）观察正切曲线，写出满足下列条件的x的取值范围. (1)； (2). 4．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数的图象过点． (1)求的单调递增区间； (2)求不等式的解集． 5．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)记，求． 【考点8：求正切型函数的最值】 1．（24-25高一下·上海·期中）关于函数的最大值和最小值，表述正确的选项为（    ） A．最大值是，最小值是 B．最大值是，最小值是 C．最大值是，最小值是 D．没有最大值，最小值是 2．（24-25高一下·上海·期中）函数，的最大值为 . 3．（24-25高一下·上海浦东新·期中）函数，的最大值与最小值之和为 . 4．（24-25高一下·上海·期中）函数的值域 5．（2025高一·全国·专题练习）已知，求函数的最小值． 【考点9：求正切型函数的奇偶性】 1．（25-26高三上·北京·月考）下列函数中，定义域为的奇函数是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·江苏扬州·开学考试）下列各组函数，既是奇函数，又在区间上单调递增的为（    ） A．， B．， C．， D．， 3．（25-26高一上·全国·课后作业）函数（    ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．是非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数 4．（2025高一·全国·专题练习）判断下列函数的奇偶性： (1)； (2). 5．（25-26高一·上海·课堂例题）判断下列函数的奇偶性，并说明理由： (1)； (2)； (3)； (4)． 【考点10：由正切型函数的奇偶性求参】 1．（2025·广西玉林·三模）函数，若，则 ． 2．（24-25高一下·上海浦东新·期中）函数，若，则的值为 3．（2025·江苏南通·模拟预测）已知函数的最大值为M，最小值为m，则的值为（    ） A．0 B．2 C．4 D．6 4．（25-26高三上·湖北武汉·月考）将函数的图象向左平移个单位长度后，所得的图象关于原点对称，则的最小值为（  ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·全国·单元测试）已知. (1)求不等式的解集； (2)若是奇函数，则应满足什么条件？并求出满足时的值. 【考点11：求正切函数的周期】 1．（2025·山东聊城·模拟预测）函数的最小正周期为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·云南昆明·月考）函数 的最小正周期是（    ） A．2π B．π C． D． 3．（25-26高三上·云南昆明·期中）若函数的最小正周期为，则的单调区间为（   ） A．， B．， C．， D．， 4．（25-26高三上·辽宁·月考）若函数的最小正周期为，则（    ） A．8 B．2 C． D． 5．（25-26高三上·福建福州·开学考试）若函数的图象与直线的相邻两个交点的距离为，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【考点12：求正切函数的对称中心】 1．（2025高三·全国·专题练习）若点是函数的图像的一个对称中心，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·云南曲靖·月考）若函数的图象的一个对称中心的横坐标为1，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·江苏·月考）已知点是函数的图象的一个对称中心，则的值可以是（   ） A． B． C． D． 4．（多选）（25-26高一上·陕西西安·月考）（多选）已知函数，下列说法正确的是（   ） A．函数的最小正周期为 B．函数的定义域为 C．函数图象的对称中心为， D．函数的单调递增区间为， 5．（24-25高二下·云南曲靖·期末）已知函数在区间上有定义，且其图象在区间上至少有两个对称中心，则的取值范围为 . 【考点13：正切函数的实际应用】 1．（多选）（24-25高一下·河北衡水·期末）中国最早的天文观测仪器叫“圭表”，最早装置圭表的观测台是西周初年在阳城建立的周公测景（影）台．“圭”就是放在地面上的土堆，“表”就是直立于圭的杆子，太阳光照射在“表”上，便在“圭”上成影，到了汉代，使用圭表有了规范．规定“表”为八尺长（1尺＝10寸）．用圭表测量太阳照射在竹竿上的影长，可以判断季节的变化．也能用于丈量土地，同一日内，南北两地的日影长短倘使差一寸，它们的距离就相差一千里，所谓“影差一寸，地差千里”，记“表”的顶部为A．太阳光线通过顶部A投影到“圭”上的点为B，已知甲、乙两地之间的距离约为20千里．若同一日内，甲地中直线AB与地面所成的角为，且，则甲地日影长是乙地日影长的（    ）    A． B． C． D． 2．（24-25高三下·海南·月考）海南中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BC⊥DG，垂足为C，tan∠ODC=，，EF=12cm，DE=2cm，A到直线DE和EF的距离均为7cm，圆孔半径为2cm，则图中阴影部分的面积为 cm2． 3．（2025高一·全国·专题练习）兴趣小组要测量电视塔的高度H（单位：m）.如图所示，竖直放置的标杆的高度，仰角，.该小组已测得一组，的值，算出了，，请据此算出H的值. 第 1 页 共 14 页 学科网（北京）股份有限公司 $