第5章 §5.3 第1课时 诱导公式(一)（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（人教A版）

本讲义聚焦诱导公式二~四的推导与应用，基于单位圆中角的终边对称关系（关于原点、x轴、y轴对称）展开，承接公式一（终边相同角），构建“负化正、大化小、小化锐”的转化支架，实现任意角三角函数到锐角的求解。 资料以问题链驱动探究，通过单位圆对称点坐标推导公式，培养几何直观与抽象能力（数学眼光）。例题分层设计（给角求值、给值化简），强化推理与运算能力（数学思维），口诀与表格帮助精准表达规律（数学语言）。课中辅助教师引导推导，课后习题与总结助力学生巩固查漏。

第1课时　诱导公式(一) 学习目标　1.理解诱导公式二~四的推导过程并熟记诱导公式，理解和掌握公式的内涵和结构特征.(重点)2.会初步运用诱导公式求三角函数的值与进行简单三角函数式的化简.(难点) 导语 在前面的学习中，我们知道终边相同的角的同一三角函数值相等，即公式一，并且利用公式一可以把求绝对值较大的三角函数值转化为求0°~360°角的三角函数值，对于90°~360°角的三角函数值，我们能否进一步把它们转化到锐角范围内来求解，这是我们今天要学习的内容. 一、诱导公式二~四 问题1　请同学们写出公式一. 提示　sin(α+2kπ)=sin α，cos(α+2kπ)=cos α，tan(α+2kπ)=tan α，其中k∈Z. 问题2　观察下图，思考我们是如何定义三角函数的？ 提示　三角函数的定义核心是角的终边与单位圆的交点的坐标，终边相同的角的三角函数值相等.由图象可知，点P1与P2关于原点对称，点P1与P2两点的横坐标、纵坐标分别互为相反数，以OP2为终边的角β可以表示成β=(π+α)+2kπ，k∈Z. 问题3　知道了终边与单位圆的交点坐标，你能根据三角函数的定义探究角α与角π+α的三角函数值之间的关系吗？ 提示　设P1(x，y)，则P2(-x，-y)，根据三角函数的定义可知，y=sin α，x=cos α=tan α(x≠0)，sin(π+α)=-y，cos(π+α)=-x，tan(π+α)=.显然，我们可以根据相同的方法找出点P1关于x轴和y轴的对称点，大家试一试吧. 知识梳理 公式名称 终边关系 图示 公式内容 公式二 角π+α与角α的终边关于原点对称 sin(π+α)=-sin α， cos(π+α)=-cos α， tan(π+α)=tan α 公式三 角-α与角α的终边关于x轴对称 sin(-α)=-sin α， cos(-α)=cos α， tan(-α)=-tan α 公式四 角π-α与角α的终边关于y轴对称 sin(π-α)=sin α， cos(π-α)=-cos α， tan(π-α)=-tan α 注意点： (1)记忆口诀：函数名不变，符号看象限.“口诀”的正确理解：“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名；“符号”是指等号右边是正号还是负号；“看象限”是指假设α是锐角，要看原函数名在本公式中角的终边所在象限是取正值还是负值，如sin(π+α)，若α看成锐角，则π+α在第三象限，正弦函数在第三象限取负值，故sin(π+α)=-sin α. (2)诱导公式中角α可以是任意角，要注意正切函数中要求α≠+kπ，k∈Z. 二、给角求值 例1　(课本例1)利用公式求下列三角函数值： (1)cos 225°； (2)sin ； (3)sin； (4)tan(-2 040°). 解　(1)cos 225°=cos(180°+45°) =-cos 45°=-； (2)sin =sin =sin ； (3)sin =-sin =-； (4)tan(-2 040°)=-tan 2 040° =-tan (6×360°-120°) =tan 120°=tan(180°-60°) =-tan 60°=- 例1　利用公式求下列三角函数值： (1)cos(-480°)+sin 210°； (2)sin·cos·tan. 解　(1)原式=cos 480°+sin(180°+30°) =cos(360°+120°)-sin 30°=cos 120°- =cos(180°-60°)- =-cos 60°-=-=-1. (2)原式=sin·cos·tan =sin·cos·tan =sin·cos·tan =-sin·cos·tan =-=-. 反思感悟　利用诱导公式求任意角的三角函数值的步骤 (1)“负化正”——用公式一或三来转化. (2)“大化小”——用公式一将角化为0到2π间的角. (3)“小化锐”——用公式二或四将大于的角转化为锐角. (4)“锐求值”——得到锐角三角函数后求值. 跟踪训练1　sin+tan-cos=　　　.  答案　0 解析　原式=sin+tan-cos =sin+tan-cos =sin-tan+cos =-1+=0. 三、给值(式)求值 例2　已知cos则cos= 　　　　.  答案　- 解析　cos =cos =-cos=-. 延伸探究1　若本例中的条件不变，求cos的值. 解　cos=cos =cos =cos. 延伸探究2　若本例中的条件不变，求cos-sin2的值. 解　因为cos=cos =-cos=- sin2=sin2 =1-cos2=1- 所以cos-sin2=- =-. 反思感悟　解决条件求值问题的策略 (1)解决给值求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间角的差异及联系，用已知角表示待求角. (2)利用诱导公式将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化. 跟踪训练2　(1)已知sin(π+α)=且α是第四象限角，则cos(α-2π)的值是(　　) A.- B. C.± D. 答案　B 解析　由sin(π+α)=得sin α=- 因为cos(α-2π)=cos α，且α是第四象限角， 所以cos α=. (2)已知sin=-且θ∈则cos=　　　　.  答案　- 解析　cos=cos =-cos ∵θ∈∴θ- ∴cos>0， 即cos ∴cos=-. 四、利用公式进行化简 例3　化简：(1； (2. 解　(1)原式= ==1. (2)原式= ==-1. 反思感悟　三角函数式化简的常用方法 (1)利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角三角函数. (2)切化弦：一般需将表达式中的正切函数转化为正弦、余弦函数. (3)注意“1”的代换：1=sin2α+cos2α=tan. 跟踪训练3　若tan(5π+α)=m，则 的值为(　　) A. B. C.-1 D.1 答案　A 解析　因为tan(5π+α)=tan α=m， 所以原式=. 1.知识清单： (1)诱导公式二~四. (2)给角求值，给值(式)求值. 2.方法归纳：数形结合、公式法. 3.常见误区：符号的确定. 1.sin 2 025°等于(　　) A.sin 45° B.-sin 45° C.sin 35° D.-sin 35° 答案　B 解析　sin 2 025°=sin(5×360°+225°) =sin 225°=sin(180°+45°)=-sin 45°. 2.log2的值为(　　) A.-1 B.- C. D. 答案　B 解析　因为cos=cos =cos=cos 所以log2=log2=log2=-. 3.已知cos(53°-α)=则cos(127°+α)等于(　　) A.± B. C. D.- 答案　D 解析　由cos(53°-α)=得cos (127°+α)=cos[180°-(53°-α)]=-cos(53°-α)=-. 4.化简：·tan(π+α)=　　　　.  答案　-1 解析　原式=·tan α==-1. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共12分 1.cos 240°的值为(　　) A. B. C.- D.- 答案　C 解析　cos 240°=cos(180°+60°)=-cos 60°=-. 2.已知sin(-α)=-则sin(3π+α)的值为(　　) A. B.- C. D.- 答案　B 解析　∵sin(-α)=- 则sin α= ∴sin(3π+α)=-sin α=-. 3.若sin(π+α)=α∈则tan(π-α)等于(　　) A.- B.- C.- D. 答案　D 解析　∵sin(π+α)=-sin α= ∴sin α=- 又α∈∴cos α=. ∴tan α==-. ∴tan(π-α)=-tan α=. 4.已知点P(cos(3π+2)，sin(8π-2))，则点P在(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案　D 解析　由cos(3π+2)=-cos 2>0，sin(8π-2)=-sin 2<0， 可得点P(cos(3π+2)，sin(8π-2))在第四象限. 5.已知tan(5π+x)=-2，则的值为(　　) A.4 B.3 C.-3 D.-4 答案　B 解析　由tan(5π+x)=-2得tan x=-2， 所以=3. 6.设f(α)=则f 的值为(　　) A. B.- C. D.- 答案　D 解析　由题意得f(α)==-. 所以f=-=-=-. 7.(多选)已知角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点P则(　　 ) A.cos α= B.sin(π-α)=- C.cos(π+α)=- D.tan(π+α)= 答案　ACD 解析　因为角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点P 所以cos α=sin α=tan α=故A正确； 又sin(π-α)=sin α=cos(π+α)=-cos α=-tan(π+α)=tan α=故B错误，C，D正确. 8.(5分)已知sin(45°+α)=则sin(135°-α)=　　　　.  答案　 解析　sin(135°-α)=sin[180°-(45°+α)] =sin(45°+α)=. 9.(5分)比较大小：sin 570°　　　　cos 510°.  答案　> 解析　sin 570°=sin(360°+210°)=sin 210° =sin(180°+30°)=-sin 30°=- cos 510°=cos(360°+150°)=cos 150° =cos(180°-30°)=-cos 30°=- ∵->-∴sin 570°>cos 510°. 10.(10分)已知sin(α-π)=2cos(2π-α)，求值：. 解　因为sin(α-π)=2cos(2π-α)， 所以-sin α=2cos α，所以sin α=-2cos α. 所以原式==-. 11.若cos=-θ∈则sin的值为(　　) A. B.- C.- D. 答案　D 解析　因为θ∈所以-θ∈ 又因为cos=-所以sin 所以sin=sin =sin. 12.(多选)已知A=k∈Z)，则A的值是(　　) A.-1 B.-2 C.1 D.2 答案　BD 解析　当k为偶数时，A==2； 当k为奇数时，A==-2. 13.(5分)已知f(n)=sinn∈Z)，则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 025)=　　　　.  答案　 解析　由题意得f(1)=sinf(2)=sinf(3)=sin π=0，f(4)=sin=-f(5)=sin=-f(6)=sin 2π=0，f(7)=sin=sin=f(1)，f(8)=f(2)，…， 所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(6)=0， 所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 025)=f(1)+f(2)+f(3)+337×0=. 14.(13分)在△ABC中，若sin(2π-A)=-sin(π-B)cos A=-cos(π-B)，求△ABC的三个内角. 解　由已知条件，得sin A=sin Bcos A=cos B， 平方相加，得2cos2A=1，所以cos A=±. 又A∈(0，π)，所以A=. 当A=时，cos B=-<0， 所以B∈ 所以A，B均为钝角，不符合题意，舍去. 所以A=cos B= 所以B=所以C=. 综上所述，A=B=C=. 15.(15分)在平面直角坐标系中，角α以x轴的非负半轴为始边，它的终边与单位圆交于第四象限内的点P(x0，y0). (1)若x0=求sin2(π-α)-sin(π+α)cos(π-α)-2cos2(-α)的值；(6分) (2)若sin α+cos α=求tan α+的值及点P的坐标.(9分) 解　(1)因为角α的终边与单位圆交于第四象限内的点P(x0，y0)， 所以sin α=y0，cos α=x0，tan α==1，y0<0， 由x0=得y0=-=- sin2(π-α)-sin(π+α)cos(π-α)-2cos2(-α) =sin2α-sin αcos α-2cos2α. 方法一　sin2α-sin αcos α-2cos2α=-y0x0-2-2×. 方法二　tan α=-2， sin2α-sin αcos α-2cos2α = =. (2)方法一　tan α+ 因为sin α+cos α= ① 所以两边平方得1+2sin αcos α=即sin αcos α=- 所以tan α+=- 由角α的终边位于第四象限，得sin α<0，cos α>0， 所以sin α-cos α=-=-=- ② 由①②解得sin α=-cos α= 所以点P的坐标为. 方法二　由角α的终边位于第四象限，得sin α<0，cos α>0， 因为sin α+cos α= ① 且sin2α+cos2α=1， ② 所以由①②解得sin α=-cos α= 所以tan α+=-=- 点P的坐标为. 学科网（北京）股份有限公司 $