第5章 5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（人教A版）

本讲义聚焦正弦函数、余弦函数的图象，系统讲解“平移法”绘制曲线过程、“五点法”作图（关键五点坐标）及图象间平移关系，承接前期三角函数“数”的研究，转向“形”的直观分析，为后续性质探究搭建数形结合学习支架。 以华罗庚“数形结合”诗为导语强化数学眼光的几何直观，通过问题链引导作图步骤，结合“五点法”画y=1+sinx等实例培养数学思维的推理能力。课中例题助教师突破重难点，课后对点练含选择解答题，帮助学生查漏补缺，提升用数学语言表达图象应用的能力。

5.4.1　正弦函数、余弦函数的图象 学习目标　1.了解“平移法”绘制正弦曲线、余弦曲线的过程，会用“五点(画图)法”画给定区间上的正弦函数、余弦函数的图象.(重点)2.掌握正弦函数与余弦函数图象间的关系以及图象的变换，能通过函数图象解决简单的问题.(难点) 导语 同学们，我国著名数学家华罗庚教授写过这样一首诗：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞.数缺形时少直觉，形少数时难入微.数形结合百般好，隔离分家万事休；切莫忘，几何代数统一体，永远联系，莫分离.”诗中充分肯定了数形结合这一重要的数学思想方法，前面我们主要从“数”的角度研究了三角函数的一些问题，这节课我们将从“形”上来研究三角函数. 一、正弦函数、余弦函数图象的初步认识 问题1　结合所学，研究函数的一般步骤是什么？ 提示　先确定函数的定义域，然后画出函数图象，通过图象研究函数的值域、单调性、最值、对称性、奇偶性等函数的性质. 问题2　绘制函数图象，首先要准确绘制其上一点，对于正弦函数，在[0，2π]上任取一个值x0，如何借助单位圆确定正弦函数值sin x0，并画出点T(x0，sin x0)？ 提示　如图，在[0，2π]上任取一个值x0，根据正弦函数的定义可知y0=sin x0，此时弧AB的长度为x0，结合每一个角的弧度数与实数的一一对应关系，可得点T(x0，sin x0). 问题3　我们已经学会绘制函数图象上的点，接下来，如何画函数y=sin x，x∈[0，2π]的图象？你能想到什么方法？ 提示　如图，借助单位圆，在x轴上把[0，2π]12等分，它们所对应的角的终边与单位圆的交点将圆周12等分，就可画出自变量取这些值时对应的函数图象上的点，当然，把圆周等分的份数越多，将这些点用光滑的曲线连接起来，得到的正弦函数图象越精确(通过信息技术展示)，然后根据终边相同的同名三角函数值相等，把上述图象沿着x轴向左和向右连续的平行移动，每次移动的距离为2π，就得到函数y=sin x，x∈R的图象. 知识梳理　 1.正弦函数的图象叫做正弦曲线. 函数 y=sin x，x∈R 图象 2.余弦函数的图象叫做余弦曲线. 函数 y=cos x，x∈R 图象 例1　(多选)下列叙述正确的有(　　) A.y=sin x，x∈[0，2π]的图象关于点P(π，0)成中心对称 B.y=cos x，x∈[0，2π]的图象关于直线x=π成轴对称 C.正弦、余弦函数的图象不超过直线y=1和y=-1所夹的范围 D.正弦函数y=sin x(x∈R)的图象关于x轴对称 答案　ABC 解析　分别画出函数y=sin x，x∈[0，2π]和y=cos x，x∈[0，2π]的图象(略)，由图象观察可知A，B，C均正确. 反思感悟　解决正弦、余弦函数图象的注意点 对于正弦、余弦函数的图象问题，要画出正确的正弦曲线、余弦曲线，掌握两者的形状相同，只是在坐标系中的位置不同，可以通过相互平移得到. 跟踪训练1　(多选)下列关于正弦函数、余弦函数的图象的描述，不正确的是(　　) A.都可由[0，2π]内的图象向上、向下无限延展得到 B.都是对称图形 C.都与x轴有无数个交点 D.y=cos x的图象与y=sin x图象的形状和位置都不一样 答案　AD 解析　由正弦、余弦函数的图象知，A，D不正确. 二、“五点(画图)法”画函数的图象 问题4　如何画函数y=sin x，x∈[0，2π]的简图？ 提示　根据前面的探究，我们发现，只需抓住函数图象上的几个关键点，然后用圆滑的曲线连接即可.今后在精确度要求不高时，常常先找出五个关键点(0，0)π，0)2π，0). 知识梳理　“五点(画图)法” 函数 y=sin x y=cos x 图象画法 五点法 五点法 关键五点 (0，0)(π，0)，(2π，0) (0，1)(π，-1)(2π，1) 例2　(课本例1)画出下列函数的简图： (1)y=1+sin x，x∈[0，2π]； (2)y=-cos x，x∈[0，2π]. 解　(1)按五个关键点列表： x 0 π 2π sin x 0 1 0 -1 0 1+sin x 1 2 1 0 1 描点并将它们用光滑的曲线连接起来(如图)： (2)按五个关键点列表： x 0 π 2π cos x 1 0 -1 0 1 -cos x -1 0 1 0 -1 描点并将它们用光滑的曲线连接起来(如图)： 例2　用“五点法”作下列函数的图象： (1)y=1-2sin x，x∈[0，2π]； (2)y=cos x+x∈[-π，π]. 解　(1)列表： x 0 π 2π sin x 0 1 0 -1 0 1-2sin x 1 -1 1 3 1 描点连线，画图如下. (2)列表： x -π - 0 π cos x -1 0 1 0 -1 cos x+ - - 描点连线，画图如下. 反思感悟　作形如y=asin x+b(或y=acos x+b)，x∈[0，2π]的图象的三个步骤 跟踪训练2　用“五点法”在同一直角坐标系中画出函数y=-sin x，y=2-cos x在[-π，π]上的图象. 解　列表： x -π - 0 π -sin x 0 1 0 -1 0 2-cos x 3 2 1 2 3 描点连线，画图如下. 三、正弦函数、余弦函数图象的应用 例3　不等式2sin x-1≥0，x∈[0，2π]的解集为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　因为2sin x-1≥0，所以sin x≥. 在同一平面直角坐标系下，作出函数y=sin x，x∈[0，2π]以及直线y=的图象，如图， 由函数的图象知，sin=sin. 所以根据图象可知，sin x≥的解集为. 延伸探究1　在本例中把“x∈[0，2π]”改为“x∈R”，求不等式2sin x-1≥0的解集. 解　在x∈[0，2π]上的解集为. 所以当x∈R时，不等式的解集为 . 延伸探究2　试求关于x的不等式<sin x≤x∈R的解集. 解　在同一坐标系下作出正弦函数y=sin x在[0，2π]上的图象和直线y=和y=的图象，如图所示. 由图可知，在[0，2π]上， 当<x≤≤x<时， 不等式<sin x≤成立， 所以原不等式的解集为 . 反思感悟　利用三角函数图象解三角不等式sin x>a(cos x>a)的步骤 (1)作出相应的正弦函数(余弦函数)在[0，2π]上的图象. (2)确定在[0，2π]上sin x=a(cos x=a)的x值. (3)写出不等式在区间[0，2π]上的解集. (4)根据诱导公式一写出定义域内的解集. 跟踪训练3　当x∈(0，2π)时，曲线y=2+cos x与直线y=x的交点个数为(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 答案　A 解析　作出函数y=2+cos x和y=x的图象，记f(x)=2+cos x，g(x)=x， 函数f(x)=2+cos x在[0，π]上单调递减，在[π，2π]上单调递增，f(π)=1<g(π)= f(0)=3>g(0)=0，f(2π)=3>g(2π)= 结合图象知在(0，2π)上有两个交点. 1.知识清单： (1)正弦函数、余弦函数图象的初步认识. (2)“五点(画图)法”作图. (3)正弦函数、余弦函数图象的应用. 2.方法归纳：数形结合法. 3.常见误区：五点的选取；正弦函数的图象和余弦函数的图象可相互平移得到. 1.下列对y=cos x的图象描述错误的是(　　) A.在上的图象形状相同，只是位置不同 B.介于直线y=1与直线y=-1之间 C.关于x轴对称 D.与y轴仅有一个交点 答案　C 解析　对于A，由余弦曲线的作法可知，y=cos x，x∈与y=cos x，x∈的图象形状相同，只是位置不同，A正确； 对于B，由余弦函数的图象知其图象介于直线y=1与直线y=-1之间，B正确； 由余弦函数的图象可得C错误，D正确. 2.用“五点法”画函数y=1+sin x的图象时，首先应描出的五点的横坐标是(　　) A.0 B.02π C.0，π，2π，3π，4π D.0 答案　B 解析　所描出的五点的横坐标与函数y=sin x的五点的横坐标相同，即02π. 3.在[0，2π]内，不等式sin x<-的解集是(　　) A.(0，π) B. C. D. 答案　C 解析　画出函数y=sin x，x∈[0，2π]的简图，如图所示. 当sin x=-时，x=或x= 则不等式sin x<-在[0，2π]上的解集是. 4.函数y=cos x+4，x∈[0，2π]的图象与直线y=4的交点的坐标为　　　　　　　　　　. 答案　 解析　由解得cos x=0， 当x∈[0，2π]时，x= ∴交点坐标为. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共6分 1.在同一平面直角坐标系内，函数y=sin x，x∈[0，2π]与y=sin x，x∈[2π，4π]的图象(　　) A.重合 B.形状相同，位置不同 C.关于y轴对称 D.形状不同，位置不同 答案　B 解析　根据正弦曲线的作法可知函数y=sin x，x∈[0，2π]与y=sin x，x∈[2π，4π]的图象只是位置不同，但形状相同. 2.利用“五点法”画y=sin x-1，x∈[0，2π]的图象时，第三个点的坐标为(　　) A.(0，-1) B. C.(π，-1) D. 答案　C 3.函数y=-cos x(x≥0)的图象中与y轴最近的最高点的坐标为(　　) A. B.(π，1) C.(0，1) D.(2π，1) 答案　B 解析　用五点法作出函数y=-cos x，x≥0的图象如图所示.由图知，所求最高点的坐标为(π，1). 4.函数y=sin(-x)，x∈[0，2π]的简图是(　　) 答案　B 解析　y=sin(-x)=-sin x与y=sin x关于x轴对称. 5.若点在余弦曲线f(x)=cos x上，则n的值为(　　) A. B.± C.± D.1 答案　B 解析　由于点在余弦曲线f(x)=cos x上， 所以|n|=cos 即n=±. 6.在[0，2π]上，函数y=的定义域是(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　依题意得2sin x-≥0，即sin x≥.作出y=sin x在[0，2π]上的图象及直线y=如图所示.由图象可知，满足sin x≥的x的取值范围是. 7.(多选)下列在(0，2π)上的区间能使cos x>sin x成立的是(　　) A. B. C. D. 答案　AC 解析　在同一平面直角坐标系中，画出正、余弦函数的图象，如图，在(0，2π)上，当cos x=sin x时，x=或x=结合图象可知满足cos x>sin x的区间是. 8.(5分)函数y=2sin(π-x)，x∈的图象与直线y=1的交点坐标为　　　　　. 答案　 解析　函数y=2sin(π-x)=2sin x， 由2sin x=1，得sin x=当x∈时，x=所以交点坐标为. 9.(5分)不等式-≤cos x≤的解集是　　　　　　　　　　　　　　　　　. 答案　 解析　在上，直线y=-y=与函数y=cos x的图象的交点的横坐标分别为--所以满足不等式-≤cos x≤的解集为. 10.(10分)利用“五点法”作函数y=2-3sin x，x∈[-2π，2π]的图象. 解　列表： x -2π - -π - 0 π 2π sin x 0 1 0 -1 0 1 0 -1 0 2-3sin x 2 -1 2 5 2 -1 2 5 2 描点连线，画图如下. 11.已知f(x)是定义在(0，3)上的函数，f(x)的图象如图所示，那么不等式f(x)·cos x<0的解集是(　　) A.(0，1)∪(2，3) B. C.(0，1)∪ D.(0，1)∪(1，3) 答案　C 解析　当0<x<1时，f(x)<0，由f(x)·cos x<0可得cos x>0，解得0<x<1；当x=1时，f(x)=0，不符合题意； 当1<x<3时，f(x)>0，由f(x)·cos x<0可得cos x<0，解得<x<3. 因此，不等式f(x)·cos x<0的解集为(0，1)∪. 12.若函数f(x)=1+4sin x-t在区间上有2个零点，则t的取值范围为(　　) A.(-3，5) B.(3，5) C.(-3，1)∪(3，5) D.[-3，1]∪[3，5] 答案　C 解析　令f(x)=0，可得sin x= 则函数y=sin x与y=在区间上的图象有两个交点， 作出函数y=sin x与y=在区间上的图象，如图所示. 则<1或-1<<0， 解得3<t<5或-3<t<1. 13.(5分)函数y=2cos x，x∈[0，2π]的图象和直线y=2围成的一个封闭的平面图形的面积是　　　　. 答案　4π 解析　如图所示，将函数的图象在x轴下方的部分补到x轴的上方，可得一个矩形， 其面积为2π×2=4π. 14.(12分)已知函数f(x)= (1)作出该函数的图象；(4分) (2)若f(x)=求x的值；(4分) (3)若a∈R，讨论方程f(x)=a的解的个数.(4分) 解　(1)函数f(x)的图象如下： (2)当-π≤x<0时，f(x)=cos x= 解得x=-； 当0≤x≤π时，f(x)=sin x= 解得x=或x=. 综上，x=-. (3)方程f(x)=a的解的个数等价于函数y=f(x)的图象与直线y=a的交点个数， 则由(1)中函数图象可得， 当a>1或a<-1时，解的个数为0； 当-1≤a<0或a=1时，解的个数为1； 当0≤a<1时，解的个数为3. 15.(5分)已知函数f(x)=ex+x，g(x)=ln x+x，h(x)=sin x+x的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为　　　　.(用“<”连接)  答案　a<c<b 解析　函数f(x)=ex+x，g(x)=ln x+x，h(x)=sin x+x的零点转化为y=ex，y=ln x，y=sin x与y=-x的图象的交点的横坐标， 在同一平面直角坐标系中画出y=ex，y=ln x，y=sin x与y=-x的图象如图所示， 由图象可知a<0，b>0，c=0， 所以a<c<b. 16.(12分)求方程sin x+2|sin x|-|log2x|=0的解的个数. 解　由方程sin x+2|sin x|-|log2x|=0， 得sin x+2|sin x|=|log2x|. 令f(x)=sin x+2|sin x| =k∈Z， g(x)=|log2x|， 在同一平面直角坐标系中，作出f(x)=sin x+2|sin x|和g(x)=|log2x|的图象，如图所示，易知f(x)与g(x)的图象有四个交点，故原方程有四个解. 学科网（北京）股份有限公司 $