2026-2027学年人教A版高一数学必修1第5章《正弦函数、余弦函数的性质》教学设计

该高中数学教学设计聚焦正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性，通过回顾函数性质研究通用思路，结合正弦函数图像引导学生观察重复特征，搭建从图像直观到性质探究的学习支架，衔接已学的三角函数图像知识。 以数形结合为主线，从图像观察到抽象定义，通过小组合作探究余弦函数周期性培养推理能力，利用诱导公式证明奇偶性强化严谨表达，评价量表多维度反馈。帮助学生提升数学抽象与直观想象素养，为教师提供清晰教学流程与评价工具。

《正弦函数、余弦函数的性质》教学设计一、课题：正弦函数、余弦函数的性质（1） 二、教学内容分析 《正弦函数、余弦函数的性质——周期性与奇偶性》是人教 A 版必修一第五章第四节第二小节的内容.本节课主要内容是研究正弦函数与余弦函数的周期性与奇偶性的性质.在此之前，我们已经学习了正弦函数与余弦函数的图像，故本节课可以通过作图、观察、诱导公式等方法来研究性质.从知识结构上看，本次课的内容函数概念的拓展和深化，也是高考常考考点之一，有着十分重要的作用；从核心素养上看，本节课的内容能够帮助学生培养数学抽象与直观想象的素养，灵活运用数与形结合. 三、学情分析 学生已系统学习函数的基本性质（如定义域、值域、单调性）以及三角函数的定义、诱导公式和单位圆相关知识.在前一节“5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象 ”中，学生掌握了利用单位圆绘制三角函数图象的方法，并初步感知其周期性特征.同时，学生已熟悉“五点法 ”作图，能够绘制一个周期内的正弦、余弦曲线. 高一学生具备初步的数形结合与逻辑推理能力，能通过图象观察函数的增减性、对称性等特征.但在将几何直观转化为严谨代数证明方面仍存在困难，尤其是在利用诱导公式或函数关系进行性质推导时，缺乏主动运用数学语言表达的意识. 四、教学目标 1.理解周期性定义，能准确表述周期函数的定义，明确“ 最小正周期 ”的概念；能直接说出y =sinx、y =cosx 的最小正周期均为 2π , 并能结合定义简单验证，能判断简单函数的周期,培养学生数学抽象能力. 2.能根据函数奇偶性的定义,结合诱导公式二证明结合y = sinx、y = cosx的奇偶性；能从图象角度解释奇偶性——正弦曲线关于原点对称，余弦曲线关于x轴对称，实现“代数定义 ”与“几何特征 ”的互应. 3.掌握“性质应用 ”的思路，面对三角函数求值问题，能优先判断是否通过“周期性 ”化小角、 “奇偶性 ”化负角，形成解题的“优先策略 ”,提高学生逻辑推理素养. 五、教学重点、难点 教学重点：正弦函数、余弦函数的性质（周期性、奇偶性）. 教学难点：周期函数、最小正周期的意义. 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 六、评价设计 1.诊断性评价：通过课堂导入环节的提问（如回顾函数性质研究思路、观察正弦函数图象特征），判断学生对旧知（函数性质研究方法、三角函数图象）的掌握程度，明确后续教学侧重点. 2.过程性评价：在新知探究、例题讲解、小组讨论等环节，观察学生的参与度（是否主动发言、动手作图）、思维表现（能否准确分析周期定义、奇偶性证明思路），实时调整教学节奏与难度；通过课堂练习的即时反馈，了解学生对周期性、奇偶性应用的掌握情况. 3.表现性评价：布置课堂小组任务（如合作推导余弦函数周期、设计奇偶性验证方案），根据小组成果的完整性、逻辑性，评价学生的合作能力与知识应用能力，对学生进行课堂表现量化评价. 学生课堂表现评价量表 评价维度 评价内容 自我评价 组内评价 教师评价 参与态度 积极参与探究 A B C A B C A B C 与小组同学交流讨论思路 A B C A B C A B C 观察图象研究性质 A B C A B C A B C 任务能力 探究目标明确 A B C A B C A B C 抽象概念、辨析内涵 A B C A B C A B C 推导形式多样化 A B C A B C A B C 素养养成 发现问题、解决问题的能力提升 A B C A B C A B C 清晰表达推导思路 A B C A B C A B C 归纳求解程序 A B C A B C A B C 第 2 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 七、教学过程任务设计 环节名称 教师任务 学生任务 设计意图 时 间 复习回顾提出问题 任务一 教师提出问题 1. 展示函数性质研究的通用思路：“绘制函数图象 — 观察图象、发现性质 —证明性质 ”.类比已学函数的性质，你认为本节课可以研究正弦函数、余弦函数的哪些性质？ 2. 教师呈现正弦函数完整图象（包含多个周期），引导学生观察：从图象上看，正弦函数有哪些重复出现的特征？ 1. 回忆函数性质，观察正弦函数图象，小组讨论后发言，指出图象在x 轴方向上重复出现的特征. 1. 通过回顾通用研究思路，为本节课学习搭建方法框架，帮助学生建立知识联系. 2. 借助图象直观性，让学生初步感知正弦函数的周期性特征. 5分钟 任务二 教师引导学生抽象概念 1. 针对学生观察到的 “ 图象重复 ” 现象，提问：如何用数学语言描述正弦函数的这一特征，引导学生从函数值角度思考，引出“对于任意 x，是否存在非零常数 T，使得 sin (x+T)=sinx 恒成立 ”. 2. 给出周期函数定义： 对于函数 y =f (x)，如果存在一个非零常数T，使得当 x 取定义域内的每一个值时， f (x+T)=f (x) 都成立，那么就把函数 y =f (x)叫做周期函数，非零常数 T 叫做这个函数的周期. 教师给出学生以下式子 1. 思考教师问题，尝试用函数值关系描述“ 图象重复 ”，在教师引导下理解周期函数定义的核心要素. 2. 举例说明正弦函数的周期，通过图象观察，分析“最小正周期为“2π ”的合理性，完成验证过程. 1.从直观图象到抽象定义，逐步引导学生理解周期函数的概念，突破 “周 期 ”“最小正周期 ” 的理解难点. 2. 通过类比探究余弦函数周期性，培养学生的逻辑推理能力与知识迁移能力，体现 20分钟 第 3 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 抽象概念内涵辨析 让学生再次理解好概念. 3. 进一步提问：在正弦函数的所有周期（如 2π、4π、-2π 等）中，是否存在最小的正数？这个最小正数是什么？ 引导学生结合图象与诱导公式验证，得出 “正弦函数最小正周期为 2π ”. 4. 布置任务：“类比正弦函数，探究余弦函数是否为周期函数，若为周期函数，找出其周期与最小正周期 ”，巡视指导，对学生困惑（如余弦函数周期验证方法）进行解答. 5.呈现正弦函数、余弦函数图象 教师提问：观察两个函数的图象，它们关于原点或 y 轴是否具有对称性？这种对称性对应的函数性质是什么？ 引导学生回忆奇偶性定义. 6.教师提出任务：结合诱导公式二（sin (-x)=-sinx，cos (-x)=cosx），证明正弦函数是奇函数、余弦函数是偶函数. 3.小组合作，探究余弦函数的周期性，得出结论，并派代表展示探究过程. 4. 独 立 完成证明过程：先验证正弦函数、余弦函数的定义域（R）关于原点对称，再利用诱导公式分别证明得出奇偶性结论. “ 以学生为主体 ” 的教学理念. 3.借助图象对称性直观感知奇偶性，再通过代数证明严谨验证，实现 “数形结 合 ” 的教学目标，培养学生的直观想象与逻辑推理素养. 4.通过证明过程的点评，规范学生的数学语言表达，强化对奇偶性定义的理解. 例题讲解 任务三 教师引导学生完成例题 例 1 利用周期函数的定义求下列函数的最小正周期. 1. 跟随教师思路，理解例题 1 中复合三角函数周期的求解方法，掌握推导过程；理解例题 2 中奇偶 1. 通过例题讲解，帮助学生掌握周期性、奇偶性的具体应用方法，形成解题的 “优先策略 ”（如利用 10分钟 第 4 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 教师强调 “结合基本三角函数周期求复合函数周期 ”的思路. 例 2 判断下列函数的奇偶性. 性判断的关键步骤. 2. 针对教师讲解的典型错误，反思自身解题过程，修正错误思路，总结解题技巧. 周期性化小角、奇偶性化负角）. 2. 课堂练习及时巩固所学知识，通过错误分析，强化学生对知识细节的把握，提高解题准确性。 小结提升形成结构 任务四 教师提问学生回顾本节课内容 1.本节课我们学习了正弦函数、余弦函数的哪些性质？如何理解周期函数、最小正周期的概念？判断函数奇偶性的步骤是什么？ 2.根据学生回答，梳理知识框架（周期性定义—正余弦函数周期— 奇偶性定义—正余弦函数奇偶性—性质应用）. 1.回忆本节课知识点，积极回答教师问题，在教师引导下构建完整的知识框架，明确各知识点之间的逻辑关系. 1.课堂小结帮助学生梳理知识脉络，形成系统的知识体系，强化对核心概念与方法的记忆. 5分钟 八、板书设计 5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质（1） 1.周期函数 f (x+T)=f (x) 2.最小正周期 T=2π 3.sin (-x)=-sinx，cos (-x)=cosx 第 5 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 九、作业设计 （一）复习巩固 1.下列函数中，哪些是奇函数？哪些是偶函数？ (教科书第203 页练习第 3 题) (1)y=2sin x; (2)y=1-cos x; (3)y=x+sin x; (4)y=-sin xcos x. 2.函数fxx ∈ R)是以 3 为最小正周期的周期函数，且当x ∈ 0,2时， f(x = x — 22 . 求f4 ，f 的值. (教科书第 203 页练习第 4 题) (二)综合应用 1.求下列函数的周期：（教科书第 213 页习题 5.4 第 2、3 题） 2.下列函数中，哪些是奇函数？哪些是偶函数？哪些既不是奇函数，也不是偶函数？ 十、教学反思和改进 本节课遵循“数形结合 ”思路，以图象为切入点，从直观感知（图象重复、对称）到抽象定义（周期函数、奇偶性），再到性质应用（周期计算、奇偶性判断），层层递进。但部分学生在“周期函数定义 ”的理解上仍存在困难，尤其是对“任意 x ”这一核心要素的把握不够准确，在判断“y=sinx（x∈[0,2π]）是否为周期函数 ”时，容易忽略定义域的限制，出现错误判断. 另外，在奇偶性证明中，少数学生仍会遗漏 “定义域对称性验证 ” 这一步骤，反映出对奇偶性定义的本质理解不够深刻，数学严谨性有待加强. 针对“周期函数定义 ”理解难点，后续教学中可增加“反例辨析 ”环节，如设计“判断 y=sinx（x∈[0,2π]）、y=sinx（x∈R）是否为周期函数 ” 的对比题目，通过分析定义域对周期性的影响，强化“任意 x ”的核心要素，帮助学生深化理解. 最后，调整课堂时间分配，适当延长课堂练习与反馈时间，对“ 复合三角函数周期计算 ”等重点内容，增加小组讨论环节，让学生通过合作推导公式（如 y=sinωx 的周期），理解公式的由来，避免机械记忆；同时，增加即时反馈频次，对学生练习中的典型错误及时讲解，减少知识漏洞. 第 6 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $