第5章 §5.7 三角函数的应用（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（人教A版）

本讲义聚焦三角函数模型的构建与应用这一核心知识点，系统梳理从振幅、周期、频率等参数的物理意义，到在简谐运动、温度变化、摩天轮高度等物理与生活问题中的建模过程，搭建从概念到实际应用的学习支架。 该资料通过发电机电流、温度曲线等真实案例，引导学生用数学眼光观察周期性现象，借助“五点法”作图、参数求解等过程训练数学思维，通过构建函数模型解决实际问题提升数学语言表达能力。课中辅助教师高效授课，课后学生可通过例题解析和跟踪训练巩固知识，查漏补缺。

学习目标　1.通过构建三角函数模型，尝试解决物理中的简单问题.(难点)2.通过构建三角函数模型解决生活中一些简单的问题.(重点) 导语 现实世界中，许多事物的运动、变化呈现出一定的周期性，例如，地球的自转引起的昼夜交替变化和公转引起的四季交替变化；海水在月球和太阳引力下发生的涨落现象；做简谐运动的物体的位移变化等等，这种周期性可以用三角函数来描述，并可利用三角函数的图象和性质来解决相应的实际问题，今天，我们就一起来探究如何构建三角函数模型解决实际问题. 一、三角函数在物理中的应用 1.在物理学中，把物体受到的力(总是指向平衡位置)正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”.在适当的直角坐标下，简谐运动可以用函数y=Asin(ωx+φ)，x∈[0，+∞)表示，其中A>0，ω>0. 2.参数的物理意义： (1)A就是这个简谐运动的振幅，它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离； (2)简谐运动的周期是T=它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间； (3)简谐运动的频率是f=它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数； (4)ωx+φ称为相位；x=0时的相位φ称为初相. 注意点： 如果A<0或ω<0，应先利用诱导公式把函数进行标准化，把A和ω的符号化为正数以后再确定相位和初相.比如y=-sin应先变成y=sin=sin. 例1　如图，一台发电机产生的电流是正弦式电流，即电压U(单位：V)和时间t(单位：s)满足U=311sin(ωt+φ).在一个周期内，电压的绝对值超过的时间为　　　　. 答案　 s 解析　由已知得T=0.02， 所以ω==100π，φ=0， 所以U=311sin 100πt. 在区间[0，0.02]内， 令311sin 100πt=得100πt=或100πt= 可得t1=t2=； 同理令311sin 100πt=- 可得t3=t4=. 综上，电压的绝对值超过的时间为2×s). 反思感悟　处理物理学问题的策略 (1)常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等，其共同的特点是具有周期性. (2)明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题. 跟踪训练1　已知弹簧上挂着的小球上下振动时，小球离开平衡位置的位移s(单位：cm)随时间t(单位：s)的变化规律为s=4sint∈[0，+∞).用“五点法”作出这个函数的简图，并回答下列问题： (1)小球在开始振动(t=0)时的位移是多少？ (2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？ (3)经过多长时间小球往复振动一次？ 解　列表如下： 2t+ 0 π 2π t - s 0 4 0 -4 0 描点、连线，图象如图所示. (1)将t=0代入s=4sin 得s=4sin=2所以小球在开始振动时的位移是2 cm. (2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4 cm和-4 cm. (3)因为振动的周期是π，所以小球往复振动一次所用的时间是π s. 二、三角函数在生活中的应用 例2　(课本例1)如图，某地一天从6~14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin(ωx+φ)+b. (1)求这一天6~14时的最大温差； (2)写出这段曲线的函数解析式. 解　(1)由图可知，这段时间的最大温差是20 ℃. (2)由图可以看出，从6~14时的图象是函数 y=Asin(ωx+φ)+b ① 的半个周期的图象，所以A=(30+10)=20. 因为. 将A=10，b=20，ω=. 综上，所求解析式为y=10sin+20，x∈[6，14]. 例2　摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.如图，某摩天轮最高点距离地面高度为130米，转盘直径为120米，开启后按逆时针方向匀速旋转，每30分钟转一圈.已知游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，设游客距离地面的高度h(单位：米)关于进舱时间t(单位：分钟)的函数解析式为h(t)=Asin(ωt+φ)+b(其中A>0，ω>0，φ∈(-π，π)). (1)求h(t)； (2)在摩天轮转动的一圈内，有多长时间游客距离地面的高度不小于100米？ 解　(1)由题意知，T=30， ∴ω= 有解得 由t=0时，h(0)=60sin φ+70=10， 解得sin φ=-1， 又φ∈(-π，π)，∴φ=- ∴h(t)=60sin+70. (2)由(1)知，h(t)=60sin+70， 令h(t)≥100， 则sin. 故+2kπ≤t-+2kπ，k∈Z， 解得10+30k≤t≤20+30k，k∈Z， 又0≤t≤30，∴10≤t≤20， ∴在摩天轮转动的一圈内，有20-10=10(分钟)游客距离地面的高度不小于100米. 反思感悟　解三角函数应用问题的基本步骤 跟踪训练2　某地区的一种特产水果最早一批在每年11月上市，上市初期产量较低，因此价格居高且逐渐上涨，中期产量增大时价格逐渐下跌，后期又由于供应量不足价格上涨，其销售价格f(x)(单位：元/千克)随着月份x的变化满足函数f(x)=Asin+B(x∈[1，10]，x∈N*，其中1表示十一月份，2表示十二月份，…)，经调查统计，一月份该水果的销售价格为10元/千克，五月份该水果的销售价格为6元/千克. (1)求函数f(x)的解析式； (2)若该水果价格小于7元/千克时，果农就会联合批发商积极拓宽外销渠道，则每年哪几个月份需要采取外销策略？ 解　(1)由题意可得 解得 所以f(x)=2sin+8(x∈[1，10]，x∈N*). (2)令f(x)=2sin+8<7，即sin<- 则2kπ+x-<2kπ+k∈Z，解得8k+<x<8k+k∈Z， 因为x∈[1，10]，x∈N*，则<x<x∈N*，故x可取6，7，8， 因此每年4月、5月、6月这三个月需要采取外销策略. 三、三角函数“拟合”模型的应用 例3　已知某海滨浴场的浪高y(m)是时间t(时)(0≤t≤24)的函数，记作y=f(t).下表是某日各时刻的浪高数据.经长期观测，y=f(t)可近似地看成是函数y=Acos ωt+b. t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5 (1)根据以上数据，求出该函数的周期T、振幅A及函数解析式； (2)依据规定，当浪高高于1 m时才对冲浪爱好者开放，试依据(1)的结论，判断一天内8：00至20：00之间有多长时间可供冲浪者进行运动. 解　(1)由表中数据可知T=12，f(t)的最大值为1.5，最小值为0.5，所以ω= A=b==1， 所以f(t)=t+1(0≤t≤24). (2)由(1)可知f(t)=t+1， 由t+1>1，得cost>0， 所以2kπ-t<2kπ+k∈Z， 所以12k-3<t<12k+3，k∈Z， 因为8≤t≤20，所以当k=1时，得9<t<15， 所以一天内从上午9点至下午3点共有6个小时可以冲浪. 反思感悟　处理曲线拟合与预测问题时，通常需要以下几个步骤 (1)根据原始数据绘出散点图. (2)通过观察散点图，画出与其“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线. (3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数解析式. (4)利用函数解析式，根据条件对所给问题进行预测和控制，以便为决策和管理提供依据. 跟踪训练3　下表中给出了在24小时期间人的体温的变化情况(从夜间零点开始计时)： 时间(时) 0 2 4 6 8 10 12 温度(℃) 36.8 36.7 36.6 36.7 36.8 37 37.2 时间(时) 14 16 18 20 22 24 温度(℃) 37.3 37.4 37.3 37.2 37 36.8 (1)作出这些数据的散点图； (2)选用一个三角函数来近似描述这些数据. 解　(1)散点图如图所示. (2)设t时的体温y=Asin(ωt+φ)+c， 由表知ymax=37.4，ymin=36.6， 则c==37，A==0.4， ω=. 由0.4sin+37=37.4， 得sin=1，即+φ=2kπ+k∈Z， 则φ=2kπ-k∈Z，取φ=- 故可用三角函数y=0.4sin+37来近似描述这些数据. 1.知识清单： (1)三角函数在物理中的应用. (2)三角函数在生活中的应用. (3)三角函数“拟合”模型的应用. 2.方法归纳：数学建模、数形结合. 3.常见误区：选择三角函数模型时，最后结果忘记回归实际问题. 1.函数y=的周期、振幅、初相分别是(　　) A.3 B.6 C.3π，3，- D.6π，3 答案　B 2.如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin+k.据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为(　　) A.5 B.6 C.8 D.10 答案　C 解析　根据图象得函数的最小值为2， 有-3+k=2，k=5，则最大值为3+k=8. 3.某兴趣小组以某闰年春分为起始时间(已知春分时太阳直射点在赤道上)，测量了一整年内太阳直射点纬度，并通过正弦型函数来模拟该闰年太阳直射点的变化.已知太阳直射点移至最北端时纬度约为北纬23.44°，用x代表天数，y代表太阳直射点纬度，太阳直射北半球时取正值，直射南半球时取负值，则该年太阳直射点的变化近似满足下列哪个函数(　　) A.y=23.44sin x B.y=23.44sin x C.y=46.88sin x D.y=46.88sin x 答案　B 解析　由题意设y=Asin ωx(A>0，ω>0)，又T=366，则ω= 因为太阳直射点移至最北端时纬度约为北纬23.44°， 所以A=23.44， 则近似满足函数y=23.44sin x. 4.如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的位移s(单位：cm)和时间t(单位：s)的函数关系为s=2cos那么单摆摆动的频率为　　　，第二次到达平衡位置O所需要的时间为　　　　s. 答案　 解析　单摆摆动的频率f=. 当t=时，s=0，故第一次到达平衡位置O所需要的时间为 s. 所以第二次到达平衡位置O所需要的时间为T=s). 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共18分 1.函数s=Asin(ωt+φ)(A>0，ω>0)表示一个振动量，振幅是2，频率是初相是则这个函数为(　　) A.s=2sint≥0) B.s=t≥0) C.s=2sint≥0) D.s=t≥0) 答案　C 2.音叉是呈“Y”形的钢质或铝合金发声器(如图1)，各种音叉可因其质量和叉臂长短、粗细不同而在振动时发出不同频率的纯音.敲击某个音叉时，在一定时间内，音叉上点P离开平衡位置的位移y与时间t的函数关系为y=sin ωt，t∈[0，+∞).图2是该函数在一个周期内的图象，根据图中数据可确定ω的值为(　　) A.200 B.400 C.200π D.400π 答案　D 解析　由图象可得，T=4×即则ω=400π. 3.在两个弹簧上各挂一个质量分别为m1和m2的小球，它们做上下自由振动.已知它们在时间t(s)时离开平衡位置的位移s1(cm)和s2(cm)分别由下列两式确定：s1=5sins2=5cos.则在时间t=时，s1与s2的大小关系是(　　) A.s1>s2 B.s1<s2 C.s1=s2 D.不能确定 答案　C 解析　当t=时，s1=5sin=-5， s2=5cos=-5，则s1=s2. 4.商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，五一节假日某商场的人流量满足函数F(t)=50+4sin t≥0)，则在下列哪个时间段内人流量是增加的(　　) A.[0，5] B.[5，10] C.[10，15] D.[15，20] 答案　C 解析　由2kπ-≤2kπ+k∈Z， 知函数F(t)的单调递增区间为[4kπ-π，4kπ+π]，k∈Z. 当k=1时，t∈[3π，5π]，且[10，15]⊆[3π，5π]. 故F(t)在[10，15]时间段内人流量是增加的. 5.如图所示是一个主体高为1.5 m的螺旋形旋转滑梯.某游客从该滑梯顶端出发一直滑到底部，把其运动轨迹投影到滑梯的轴截面上，得到的曲线对应的函数解析式为y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)(x，y的单位：m)，若该游客整个运动过程中相位的变化量为，则ω的值为(　　) A. B. C.2π D. 答案　D 解析　由旋转滑梯高为1.5 m知，投影到轴截面上后，游客对应在横轴上移动的距离是1.5 m， 当x=0时，初相为φ，且游客一直滑到底部，则最后的相位为1.5ω+φ， 故整个运动过程中，相位的变化量为1.5ω+φ-φ=， 所以ω=. 6.为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针位置P(x，y).若初始位置为P0当秒针从P0(此时t=0)开始时，点P的纵坐标y与时间t的函数解析式为(　　) A.y=sint∈[0，+∞) B.y=sint∈[0，+∞) C.y=sint∈[0，+∞) D.y=sint∈[0，+∞) 答案　C 解析　由题意可得T=60且秒针按顺时针旋转，即T==60，所以|ω|=即ω=-.结合初始位置P0可知C正确. 7.(多选)单摆运动是一种简谐运动，摆球的运动情况可以用三角函数表达为y=Asin(ωx+φ)，A>0，ω>0，|φ|<其中x表示时间(单位：s)，y表示位移(单位：cm)，A表示振幅表示频率，φ表示初相.如图甲，某个小球做单摆运动，规定摆球向右偏移的位移为正，竖直方向为平衡位置.图乙表示该小球在0~3 s时运动的位移随时间变化的情况.根据秒表记录，当x=时，小球第一次到平衡位置；当x=时，小球的位移第一次到反向最大值.下列选项中正确的是(　　) A.频率为 B.初相φ= C.振幅A=10 D.当x=时，小球第三次回到平衡位置 答案　ACD 解析　A选项，设最小正周期为T，由题意得⇒T=2⇒ω=π，频率为故A正确； B选项，当x=时，小球第一次到平衡位置，即x=是函数单调递减区间上的零点，且|φ|<所以sin=0⇒φ=故B错误； C选项，根据图中的信息知点(3，-5)在图象上，所以Asin=-5⇒A=10，故C正确； D选项，当x=时，小球第一次到达平衡位置，当x=+2=时，小球第三次到达平衡位置，故D正确. 8.(5分)如图是两个齿轮旋转的示意图，被动轮随着主动轮的旋转而旋转，而且被动轮与主动轮有相反的旋转方向.A，B两点分别位于该齿轮的主动轮与被动轮上，初始位置如图①所示，A，B两点到两齿轮中心O1，O2所在直线的距离随时间的变化满足如图②所示的函数图象，已知主动轮转动一圈的时间小于被动轮转动一圈的时间，则A，B两点再次同时回到初始位置所经过的时间为　　　　s. 答案　4 解析　设主动轮、被动轮的周期分别为T1，T2，则T1=1 sT2=1 s， 故T1= s，T2=2 s，所以3T1=2T2=4 s，故需要经过4 s，A，B再次同时回到起点. 9.(5分)如图表示相对于平均海平面的某海湾的水面高度h(单位：米)在某天0~24时的变化情况，则水面高度h关于时间t的函数关系式为　　　　　　　　　　. 答案　h=-6sint(0≤t≤24) 解析　设h=Asin(ωt+φ)，其中A>0，ω>0，由图象知A=6，T=12， ∴=12，即ω=. 点(6，0)为五点法作图中的第一点， 故×6+φ=0，得φ=-π， ∴h=6sin=-6sint(0≤t≤24). 10.(10分)一根细线的一端固定，另一端悬挂一个小球，当小球来回摆动时，离开平衡位置的位移s(单位：cm)与时间t(单位：s)的函数关系是s=6sin. (1)画出它在一个周期内的图象；(4分) (2)回答以下问题： ①小球开始摆动(即t=0)时，离开平衡位置的距离是多少？(2分) ②小球摆动时，离开平衡位置的最大距离是多少？(2分) ③小球来回摆动一次需要多少时间？(2分) 解　(1)周期T==1(s). 列表： 2πt+ π 2π 2π+ t 0 1 6sin 3 6 0 -6 0 3 描点、连线，画图如图所示.(答案不唯一) (2)①小球开始摆动(即t=0)时，离开平衡位置的距离为3 cm. ②小球摆动时，离开平衡位置的最大距离是6 cm. ③小球来回摆动一次需要1 s(即周期). 11.在一个圆形波浪实验水池的中心有三个振动源，假如不计其他因素，在t秒内，它们引发的水面波动可分别由函数y1=sin t，y2=sin和y3=sin描述，如果两个振动源同时启动，则水面波动由两个函数的和表示，在某一时刻使这三个振动源同时开始工作，那么，原本平静的水面将呈现的状态是(　　) A.仍保持平静 B.不断波动 C.周期性保持平静 D.周期性保持波动 答案　A 解析　∵sin t+sin+sin =sin t+sin t·cos+cos t·sin+sin t·cos+cos t·sin =sin t-sin t+cos t-sin t-cos t=0， ∴三个振动源同时开始工作时，水面仍保持平静. 12.(多选)如图是某市夏季某一天的温度变化曲线，若该曲线近似地满足函数y=Asin(ωx+φ)+B(ω>0，0<φ<π)，则下列说法正确的是(　　) A.该函数的最小正周期是16 B.该函数图象的一条对称轴是直线x=14 C.该函数的解析式是y=10sin+20(0≤x≤24) D.这一天的函数关系式也适用于第二天 答案　AB 解析　由题意以及函数的图象可知，A+B=30，-A+B=10， ∴A=10，B=20. ∵=14-6，∴T=16，故A正确； ∵T=∴ω= ∴y=10sin+20. ∵图象经过点(14，30)， ∴30=10sin+20， ∴sin=1， 又0<φ<π， ∴φ= ∴y=10sin+20(0≤x≤24)，故B正确，C错误； 这一天的函数关系式只适用于当天，第二天这个关系式不一定适用，故D错误. 13.(5分)国际油价在某一时间内呈现出正弦波动规律：P=Asin+60(A>0，ω>0)(单位：美元)，现采集到下列信息：最高油价为80美元，当t=150(单位：天)时达到最低油价，则ω的最小值为　　　. 答案　 解析　由题意得A=20.当t=150时达到最低油价，即sin=-1，此时150ωπ+=2kπ-k∈Z，因为ω>0，所以令k=1，得150ωπ+=2π-解得ω=.故ω的最小值为. 14.(10分)已知某地一天4~16时的温度变化曲线近似满足函数y=10sin+20，x∈[4，16]. (1)求该地这一段时间内温度的最大温差；(4分) (2)若有一种细菌在15 ℃到25 ℃之间可以生存，那么在这段时间内，该细菌最多能生存多长时间？(6分) 解　(1)因为x∈[4，16]， 所以x- 所以当x- 即x=14时函数取最大值，此时最高温度为30 ℃， 当x-=- 即x=6时函数取最小值，此时最低温度为10 ℃， 所以最大温差为30 ℃-10 ℃=20(℃). (2)令10sin+20=15， 得sin=- 又x∈[4，16]，所以x=. 令10sin+20=25， 得sin 又x∈[4，16]，所以x=. 又当x∈时x- 所以该函数在上单调递增. 故该细菌能存活的最长时间为小时). 15.(多选)如图，一个水轮的半径为6 m，水轮轴心O距离水面的高度为3 m，已知水轮按逆时针匀速转动，每分钟转动5圈，当水轮上的一点P从水中浮现时(图中点P0)开始计时，记f(t)(单位：m.在水面下，则f(t)为负数)为点P距离水面的高度关于时间t(单位：s)的函数，则下列结论正确的是(　　) A.f(3)=9 B.f(1)=f(7) C.若f(t)≥6，则2+12k≤t≤5+12k(k∈N) D.无论t为何值，f(t)+f(t+4)+f(t+8)是定值 答案　BD 解析　如图，以水轮所在平面为坐标平面，以水轮的轴心O为坐标原点，x轴和y轴分别平行和垂直于水面建立平面直角坐标系，依题意得，OP在t(s)内所转过的弧度数为t， 则∠POx=t- 则点P的纵坐标为y=6sin 所以点P距离水面的高度关于时间t(s)的函数为 f(t)=6sin+3. 则f(3)=6sin+3=3+3，选项A错误； 因为f(1)=6sin+3=3， f(7)=6sin+3=3， 所以f(1)=f(7)，选项B正确； 由f(t)≥6，得sin即+2kπ≤t-+2kπ，k∈N，解得2+12k≤t≤6+12k(k∈N)，选项C错误； 由f(t)+f(t+4)+f(t+8)=6sin+3 +6sin+3+6sin+3， 展开整理得f(t)+f(t+4)+f(t+8)=9为定值，选项D正确. 16.(12分)在自然条件下，对某种细菌在一天内存活的时间进行了一年的统计与测量，得到10次测量结果(时间近似到0.1小时)，结果如表所示： 日期 1月 1日 2月 28日 3月 21日 4月 27日 5月 6日 6月 21日 8月 13日 9月 20日 10月 25日 12月 21日 日期位置序号x 1 59 80 117 126 172 225 263 298 355 存活时间y/小时 5.6 10.2 12.4 16.4 17.3 19.4 16.4 12.4 8.5 5.4 (1)试选用一个形如y=Asin(ωx+φ)+t(A>0，ω>0)的函数来近似描述一年(按365天计)中该细菌一天内存活的时间y与日期位置序号x之间的函数解析式；(6分) (2)用(1)中的结果估计该种细菌一年中大约有多少天的存活时间大于15.9小时.(6分) 解　(1)细菌的存活时间与日期位置序号x之间的函数解析式满足y=Asin(ωx+φ)+t，由表可知函数的最大值为19.4，最小值为5.4， ∴2A=19.4-5.4=14，故A=7. 2t=19.4+5.4=24.8，故t=12.4. 又T=365，∴ω=. 当x=172时+φ= ∴φ=- ∴y=7sin+12.4(1≤x≤365，x∈N). (2)由y>15.9得sin ∴x-结合1≤x≤365，x∈N， 可得112≤x≤232，x∈N. ∴这种细菌一年中大约有121天的存活时间大于15.9小时. 学科网（北京）股份有限公司 $