第5章 5.1.1 任意角（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（人教A版）

本讲义聚焦“任意角”核心知识点，系统梳理从初中0°~360°角定义扩展到任意角（正角、负角、零角）的概念，进而构建象限角、终边相同角的集合表示及区域角的应用脉络，通过问题引导、知识梳理、例题解析与跟踪训练搭建学习支架。 该资料以钟表校准、体操动作等生活实例引入，培养学生用数学眼光观察现实世界，通过分类讨论象限角、集合表示终边相同角发展数学思维与语言，课中助力教师分层引导，课后课时对点练帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

5.1.1　任意角 学习目标　1.了解任意角的概念，区分正角、负角与零角.2.了解象限角的概念，理解并掌握终边相同的角的概念，能写出终边相同的角所组成的集合.3.利用象限角和终边相同的角的概念解决简单的问题. 导语 同学们，钟表是帮助我们掌握时间的好帮手，生活中我们经常听到时钟慢了5分钟，或时钟快了30分钟，应该如何校准？再比如在体操、花样游泳、跳水等项目中，我们也常常听到“前空翻转体540度”“后空翻转体720度”等这样的解说，这些问题中的角不仅有超出0°~360°范围的角，而且旋转的方向也不相同.为了准确地描述这些问题，我们需要扩大角的范围. 一、任意角的概念 问题1　在初中是如何定义角的？角的范围是多少？ 提示　角可以看作从同一顶点出发的两条射线所成的图形，角的范围是0°~360°. 知识梳理　 1.角的概念及其表示 角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形.如图， (1)始边：射线的起始位置OA； 终边：射线的终止位置OB； 顶点：射线的端点O. (2)记法：图中的角可记为“角α”或“∠α”或“∠AOB”. 2.任意角：我们把角的概念推广到了任意角，包括正角、负角和零角. 名称 定义 图示 正角 一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角 负角 一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角 零角 一条射线没有做任何旋转形成的角 3.角的相等 如果角α和角β的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称α=β. 4.角的加法 设α，β是任意两个角，我们规定，把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是α+β. 5.相反角：把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角，角α的相反角记为-α，α-β=α+(-β). 例1　若手表时针走过4小时，则时针转过的角度为(　　) A.120° B.-120° C.-60° D.60° 答案　B 解析　由于时针是顺时针旋转，故时针转过的角度为负数， 即为-×360°=-120°. 反思感悟　正确理解锐角、直角、钝角、平角、周角等概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小.逆时针旋转形成一个正角，顺时针旋转形成一个负角.正角与负角是表示具有相反意义的旋转量，它的正负规定纯属习惯，就好像正数和负数的规定一样. 跟踪训练1　如图(1)，∠AOC=　　　　；如图(2)，∠AOC=　　　　.  答案　110°　-70° 二、象限角 问题2　现在，我们把角的概念推广到了任意角，如何更形象地表示一个角？ 提示　我们通常在直角坐标系内讨论角，为了方便，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角. 注意点： (1)锐角是第一象限角，第一象限角未必是锐角；钝角是第二象限角，第二象限角未必是钝角；直角的终边在坐标轴上，它不属于任何象限. (2)每一个象限都有正角和负角. (3)无法比较两个象限角的大小. 例2　(多选)下列四个角中，属于第二象限角的是(　　) A.160° B.480° C.-960° D.1 530° 答案　ABC 解析　在平面直角坐标系中分别画出各个角(图略)， 角的终边落在第几象限，此角就是第几象限角，作图可知160°，480°，-960°的终边在第二象限. 反思感悟　正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念的关系，需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可. 跟踪训练2　(多选)下列叙述不正确的是(　　) A.三角形的内角是第一象限角或第二象限角 B.钝角是第二象限角 C.第二象限角比第一象限角大 D.小于180°的角是钝角、直角或锐角 答案　ACD 解析　直角不属于任何一个象限，故A不正确；钝角是大于90°小于180°的角，是第二象限角，故B正确；120°是第二象限角，390°是第一象限角，120°<390°，故C不正确；零角和负角也小于180°，故D不正确. 三、终边相同的角 问题3　给定一个角，它的终边是否唯一？若两个角的终边相同，那么这两个角相等吗？ 提示　给定一个角，它的终边唯一；两个角终边相同，这两个角不一定相等，比如30°角的终边和390°角的终边相同，它们正好相差了360°. 知识梳理　终边相同的角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S={β|β=α+k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和. 例3　(1)(课本例1)在0°~360°范围内，找出与-950°12'角终边相同的角，并判定它是第几象限角. 解　-950°12'=129°48'-3×360°，所以在0°~360°范围内，与-950°12'角终边相同的角是129°48'，它是第二象限角. (2)(课本例3)写出终边在直线y=x上的角的集合S.S中满足不等式-360°≤β<720°的元素β有哪些？ 解　如图，在直角坐标系中画出直线y=x，可以发现它与x轴的夹角是45°，在0°~360°范围内，终边在直线y=x上的角有两个：45°，225°.因此，终边在直线y=x上的角的集合 S={β|β=45°+k·360°，k∈Z}∪{β|β=225°+k·360°，k∈Z} ={β|β=45°+n·180°，n∈Z}. S中适合不等式-360°≤β<720°的元素β有 45°-2×180°=-315°， 45°-1×180°=-135°， 45°+0×180°=45°， 45°+1×180°=225°， 45°+2×180°=405°， 45°+3×180°=585°. 例3　(1)已知α=-1 845°，在与角α终边相同的角中，求满足下列条件的角. ①最小的正角； ②最大的负角； ③-360°~720°之间的角. 解　方法一　因为-1 845°=-45°+(-5)×360°， 即-1 845°角与-45°角的终边相同， 所以与角α终边相同的角的集合是 {β|β=-45°+k·360°，k∈Z}， ①最小的正角为315°. ②最大的负角为-45°. ③-360°~720°之间的角分别是-45°，315°，675°. 方法二　设与角α 终边相同的角为β， 则{β|β=-1 845°+k·360°，k∈Z}， ①令β>0，即-1 845°+k·360°>0，得k的最小值为6， 所以β=315°， 即最小的正角为315°. ②最大的负角为-45°. ③-360°~720°之间的角分别是-45°，315°，675°. (2)写出终边在直线y=-x上的角的集合. 解　终边在y=-x(x<0)上的角的集合是S1={α|α=120°+k1·360°，k1∈Z}； 终边在y=-x(x≥0)上的角的集合是S2={α|α=300°+k2·360°，k2∈Z}. 因此，终边在直线y=-x上的角的集合是S=S1∪S2={α|α=120°+k1·360°，k1∈Z}∪{α|α=300°+k2·360°，k2∈Z}， 即S={α|α=120°+2k1·180°，k1∈Z}∪{α|α=120°+(2k2+1)·180°，k2∈Z}={α|α=120°+n·180°，n∈Z}. 故终边在直线y=-x上的角的集合是S={α|α=120°+n·180°，n∈Z}. 延伸探究　完成下表. 终边落在x轴非负半轴上 {α|α=k·360°，k∈Z} 终边落在x轴非正半轴上 {α|α=180°+k·360°，k∈Z} 终边落在y轴非负半轴上 {α|α=90°+k·360°，k∈Z} 终边落在y轴非正半轴上 {α|α=270°+k·360°，k∈Z} 终边落在x轴上 {α|α=k·180°，k∈Z} 终边落在y轴上 {α|α=90°+k·180°，k∈Z} 终边落在坐标轴上 {α|α=k·90°，k∈Z} 反思感悟　终边相同的角的表示 (1)与角α终边相同的角都可以表示成α+k·360°(k∈Z)的形式. (2)终边相同的角相差360°的整数倍. (3)终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍. 跟踪训练3　若角2α与240°角的终边相同，则角α可以表示为(　　) A.120°+k·360°，k∈Z B.120°+k·180°，k∈Z C.240°+k·360°，k∈Z D.240°+k·180°，k∈Z 答案　B 解析　因为角2α与240°角的终边相同， 所以2α=240°+k·360°，k∈Z， 所以α=120°+k·180°，k∈Z. 四、区域角及其表示 例4　已知角α的终边在图中阴影部分内，试指出角α的取值范围. 解　终边在30°角的终边所在直线上的角的集合为S1={α|α=30°+k·180°，k∈Z}，终边在180°-75°=105°角的终边所在直线上的角的集合为S2={α|α=105°+k·180°，k∈Z}，因此，终边在图中阴影部分内的角α的取值范围为{α|30°+k·180°≤α<105°+k·180°，k∈Z}. 反思感悟　(1)表示区域角的三个步骤 ①先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界. ②按由小到大分别标出起始和终止边界对应的-360°~360°范围内的角α和β，写出最简集合{x|α<x<β}，其中β-α<360°. ③起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区域角的集合. (2)实线包括边界，虚线不包括边界. 跟踪训练4　如图所示. (1)分别写出终边落在射线OA，OB上的角的集合； (2)写出终边落在阴影部分(包含边界)的角的集合. 解　(1)终边落在射线OA上的角的集合为{α|α=210°+k·360°，k∈Z}，终边落在射线OB上的角的集合为{α|α=300°+k·360°，k∈Z}. (2)终边落在阴影部分(包含边界)的角的集合是 {α|210°+k·360°≤α≤300°+k·360°，k∈Z}. 1.知识清单： (1)任意角的概念. (2)终边相同的角的表示. (3)象限角、区域角的表示. 2.方法归纳：数形结合、分类讨论. 3.常见误区：锐角与小于90°角的区别，终边相同的角的表示中漏掉k∈Z. 1.2 025°角是(　　) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 答案　C 解析　因为2 025°=5×360°+225°，所以2 025°角的终边与225°角的终边相同，为第三象限角. 2.与-460°角终边相同的角可以表示成(　　) A.460°+k·360°，k∈Z B.100°+k·360°，k∈Z C.260°+k·360°，k∈Z D.-260°+k·360°，k∈Z 答案　C 解析　因为-460°=260°+(-2)×360°，所以与-460°角终边相同的角可以表示成260°+k·360°，k∈Z. 3.图中从OA旋转到OB时所成的角度α是　　　　.  答案　390° 解析　题图中的角是正角，α=390°. 4.已知角α的终边在图中阴影表示的范围内(不包含边界)，那么角α的集合是　　　　　　　　　　　　　　　　.  答案　{α|45°+k·360°<α<150°+k·360°，k∈Z} 解析　观察图形可知，角α的集合是 {α|45°+k·360°<α<150°+k·360°，k∈Z}. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共45分；多选题每小题6分，共6分 1.每周一的早晨，我们都会在学校的操场上举行升国旗仪式，一般需要10分钟.这10分钟的时间，钟表的分针走过的角度是(　　) A.30° B.-30° C.60° D.-60° 答案　D 解析　∵分针是顺时针走的，∴形成的角度是负角， 又分针走过了10分钟， ∴走过的角度大小为×360°=60°， 综上，分针走过的角度是-60°. 2.“α是第一象限角”是“α是锐角”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案　B 解析　若α是锐角，则α是第一象限角， 但当α是第一象限角时，α不一定是锐角，如α=400°， 故“α是第一象限角”是“α是锐角”的必要不充分条件. 3.如果角α的终边上有一点P(0，-3)，那么α(　　) A.是第三象限角 B.是第四象限角 C.是第三或第四象限角 D.不是象限角 答案　D 解析　点P(0，-3)在y轴负半轴上，故α的终边为y轴的非正半轴，所以α不是象限角. 4.下列角的终边位于第四象限的是(　　) A.420° B.860° C.1 060° D.1 260° 答案　C 解析　方法一　因为420°=60°+360°，所以420°角是第一象限角； 因为860°=140°+2×360°，所以860°角是第二象限角；因为1 060°=340°+2×360°，所以1 060°角是第四象限角； 因为1 260°=180°+3×360°，所以1 260°角的终边位于x轴的非正半轴上. 方法二　在平面直角坐标系中分别画出各个角(图略)，角的终边落在第几象限，此角就是第几象限角，作图可知1 060°角的终边在第四象限. 5.已知集合A=B=则A∩B等于(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　由-180°<k·90°-36°<180°(k∈Z)得-144°<k·90°<216°(k∈Z)，所以-<k< (k∈Z)，所以k=-1，0，1，2， 所以A∩B={-126°，-36°，54°，144°}. 6.将角α的终边绕坐标原点O逆时针旋转60°后与130°角的终边重合，则与角α终边相同的角的集合为(　　) A.{β|β=k×180°+90°，k∈Z} B.{β|β=k×360°+90°，k∈Z} C.{β|β=k×180°+150°，k∈Z} D.{β|β=k×360°+70°，k∈Z} 答案　D 解析　由题意，知α+60°=k×360°+130°，k∈Z， 解得α=k×360°+70°，k∈Z， 所以与角α终边相同的角的集合为{β|β=k×360°+70°，k∈Z}. 7.(多选)下列角的终边与37°角的终边在同一直线上的是(　　) A.1 837° B.143° C.-323° D.-863° 答案　ACD 解析　与37°角的终边在同一直线上的角可表示为37°+k·180°，k∈Z. 当k=10时，37°+1 800°=1 837°；当k=-2时，37°-360°=-323°；当k=-5时，37°-900°=-863°. 8.(5分)如图，射线OA绕顶点O逆时针旋转45°到OB位置，并在此基础上顺时针旋转120°到达OC位置，则∠AOC=　　　　 .  答案　-75° 解析　由角的定义可得∠AOC=45°+(-120°)=-75°. 9.(5分)如图所示，终边落在阴影部分(包括边界)的角α的集合是　　　　　　　　.  答案　{α|-50°+k·360°≤α≤40°+k·360°，k∈Z} 解析　因为终边落在射线OA上的角的集合是{α|α=-50°+k·360°，k∈Z}， 终边落在射线OB上的角的集合为{α|α=40°+k·360°，k∈Z}. 所以终边落在阴影部分(包括边界)的角α的集合是{α|-50°+k·360°≤α≤40°+k·360°，k∈Z}. 10.(10分)已知α=-2 000°. (1)把α写成β+k·360°，k∈Z，0°≤β<360°的形式，并指出它是第几象限角；(5分) (2)求θ，使θ与α的终边相同，且-720°≤θ<0°.(5分) 解　(1)α=-2 000°=160°-6×360°，它是第二象限角. (2)由(1)及题意，令θ=160°+k·360°，k∈Z，故 当k=-1时，θ=-200°； 当k=-2时，θ=-560°. 综上，θ=-200°或θ=-560°. 11.若α是第四象限角，则180°-α是(　　) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 答案　C 解析　方法一　可以给α赋一特殊值-60°， 则180°-α=240°，故180°-α是第三象限角. 方法二　∵α是第四象限角， ∴-90°+k·360°<α<k·360°，k∈Z， ∴180°-k·360°<180°-α<270°-k·360°，k∈Z， ∴180°-α是第三象限角. 12.中央电视台每天晚上的“焦点访谈”是时事、政治性较强的一个节目，其播出时间是在晚上看电视节目人数最多的“黄金时间”，即晚上7点与8点之间的一个时刻开始播出，这一时刻是时针与分针重合的时刻，以高度显示“聚焦”之意，比喻时事、政治的“焦点”，则这个时刻大约是(　　) A.7点36分 B.7点38分 C.7点39分 D.7点40分 答案　B 解析　设7点t分(0<t<60)时针OA与分针OB重合， 在7点时，时针OC与分针OD所夹的角为210°， 时针每分钟转0.5°，分针每分钟转6°， 则分针从OD到达OB需旋转6°t，时针从OC到达OA需旋转0.5°t， 于是6°t=0.5°t+210°，解得t=≈38(分). 13.(5分)若α为△ABC的一个内角，且4α与120°的终边相同，则α=　　　　.  答案　120°或30° 解析　∵4α=120°+k·360°，k∈Z， ∴α=30°+k·90°，k∈Z， 又∵0°<α<180°， ∴当k=1时，α=120°； 当k=0时，α=30°. 14.(12分)在平面直角坐标系中，用阴影表示下列集合： (1){α|30°+k·360°≤α≤60°+k·360°，k∈Z}；(6分) (2){α|30°+k·180°≤α≤60°+k·180°，k∈Z}.(6分) 解　(1) 根据任意角的定义，画出集合{α|30°+k·360°≤α≤60°+k·360°，k∈Z}对应的区域，如图1中阴影部分(含边界)所示. 图1　　　　　　　　　图2 (2)根据任意角的定义，画出集合{α|30°+k·180°≤α≤60°+k·180°，k∈Z}对应的区域，如图2中阴影部分(含边界)所示. 15.角α与角β的终边关于y轴对称，则α与β的关系为(　　) A.α+β=k·360°，k∈Z B.α+β=180°+k·360°，k∈Z C.α-β=180°+k·360°，k∈Z D.α-β=k·360°，k∈Z 答案　B 解析　因为角α与角β的终边关于y轴对称，所以β=180°-α+k·360°，k∈Z， 即α+β=180°+k·360°，k∈Z. 16.(12分)若α是第二象限角，试分别确定2α的终边所在位置. 解　∵α是第二象限角， ∴90°+k·360°<α<180°+k·360°(k∈Z). ∴180°+2k·360°<2α<360°+2k·360°(k∈Z)， ∴2α的终边位于第三或第四象限，或在y轴的非正半轴上. 方法一　∵45°+k·180°<<90°+k·180°(k∈Z)， 当k=2n(n∈Z)时，45°+n·360°<<90°+n·360°(n∈Z)； 当k=2n+1(n∈Z)时，225°+n·360°<<270°+n·360°(n∈Z)， ∴的终边位于第一或第三象限. ∵30°+k·120°<<60°+k·120°(k∈Z)， 当k=3n(n∈Z)时，30°+n·360°<<60°+n·360°(n∈Z)； 当k=3n+1(n∈Z)时，150°+n·360°<<180°+n·360°(n∈Z)； 当k=3n+2(n∈Z)时，270°+n·360°<<300°+n·360°(n∈Z)， ∴的终边位于第一、第二或第四象限. 方法二　将坐标系的每个象限二等分，得到8个区域.自x轴正向按逆时针方向把每个区域依次标上Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，如图所示. ∵α是第二象限角，与角α所在象限标号一致的区域，即为的终边所在的象限， ∴的终边位于第一或第三象限. 将坐标系的每个象限三等分，得到12个区域.自x轴正向按逆时针方向把每个区域依次标上Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，如图所示. ∵α是第二象限角，与角α所在象限标号一致的区域，即为的终边所在的象限， ∴的终边位于第一、第二或第四象限. 学科网（北京）股份有限公司 $