第5章 5.2.1 三角函数的概念（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（人教A版）

本讲义聚焦任意角的三角函数概念这一核心知识点，通过初中锐角三角函数（直角三角形中边的比值）自然过渡到高中单位圆定义，再扩展到终边上任意点的三角函数值计算，衔接三角函数值符号判断及诱导公式一，构建完整的知识学习支架。 资料以问题链引导学生从具体角的终边位置抽象出函数定义，培养数学眼光的抽象能力与几何直观。通过分类讨论终边上点的坐标（如例2中m的正负）发展数学思维的推理能力，结合单位圆模型与“一全正，二正弦”等符号口诀强化数学语言的模型意识。课中助力教师引导探究，课后通过课时对点练与知识清单帮助学生巩固提升，查漏补缺。

5.2.1　三角函数的概念 学习目标　1.借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数的定义.(重点)2.掌握利用诱导公式一求给定角的三角函数值并能确定函数值的符号. 导语 初中我们已经学习过锐角三角函数，我们是如何定义锐角三角函数的？ 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，则 正弦：sin A= 余弦：cos A= 正切：tan A= 锐角A的正弦、余弦和正切叫做∠A的三角函数. 一、三角函数的概念 问题1　我们先研究单位圆☉O上的点P，以A为起点按逆时针方向旋转，建立一个数学模型，刻画点P的位置变化情况.根据研究函数的经验，我们需要借助什么样的数学工具呢？又该如何设计呢？ 提示　我们利用直角坐标系来研究这个问题. 如图，以单位圆的圆心O为原点， 以射线OA为x轴的非负半轴，建立直角坐标系，点A的坐标为(1，0)，点P的坐标为(x，y).射线OA从x轴的非负半轴开始，绕点O按逆时针方向旋转角α，终止位置为OP. 问题2　当α=时，点P的坐标是什么？当α=时，点P的坐标又是什么？它们是唯一确定的吗？ 提示　当α=时，点P的坐标是；当α=时，点P的坐标分别是(0，1)和它们都是唯一确定的. 问题3　一般地，任意给定一个角α∈R，它的终边OP与单位圆交点P的坐标是唯一确定的吗？ 提示　对于交点P的坐标，无论是横坐标x还是纵坐标y，都是唯一确定的. 所以点P的横坐标x和纵坐标y都是角α的函数. 知识梳理　任意角的三角函数的定义 条件 如图，设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y) 定义 正弦 把点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记作sin α，即y=sin α 余弦 把点P的横坐标x叫做α的余弦函数，记作cos α，即x=cos α 正切 把点P的纵坐标与横坐标的比值叫做α的正切，记作tan α，即=tan α(x≠0) 三角函数 将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为： 正弦函数y=sin x，x∈R 余弦函数y=cos x，x∈R 正切函数y=tan x，x∈ 注意点： (1)三角函数值是比值，是一个实数. (2)三角函数值的大小只与角的大小有关. 例1　(1)(课本例1)求的正弦、余弦和正切值. 解　在直角坐标系中，作∠AOB=(如图).易知∠AOB的终边与单位圆的交点坐标为所以， sin 例1　(1)求的正弦、余弦和正切值. 解　在直角坐标系中，作∠AOB=如图).易知∠AOB的终边与单位圆的交点坐标为所以sin cos =-tan =-. (2)如果角α的终边在直线y=x上，求sin α+cos α的值. 解　结合图形(图略)，容易发现直线y=x与单位圆的交点有两个，分别为 当交点为时，sin α=cos α=sin α+cos α=； 当交点为时，sin α=-cos α=-sin α+cos α=-. 反思感悟　利用三角函数的定义求一个角的三角函数值 (1)若已知角，则只需确定出该角的终边与单位圆的交点坐标，即可求出各三角函数值. (2)若已知角α终边上一点P(x，y)(x≠0)是单位圆上一点，则sin α=y，cos α=x，tan α=. 跟踪训练1　已知点P是角α的终边与单位圆的交点，则cos α等于(　　) A.- B. C.- D.- 答案　B 解析　因为点P是角α的终边与单位圆的交点，所以cos α=. 二、已知终边上任意一点求三角函数值 问题4　设α是一个任意角，它的终边上任意一点P(x，y)(不与原点O重合)，点P与原点的距离为r=那么如何求角α的三角函数值呢？ 提示　设角α的终边与单位圆交于点P0(x0，y0)， 分别过点P，P0作x轴的垂线PM，PM0，垂足分别为M，M0，则 P0M0=|y0|，PM=|y|，OM0=|x0|，OM=|x|， 又∵△OMP∽△OM0P0，∴ 即 又∵y0与y同号，∴⇒y0= 又∵sin α=y0，∴sin α=y0= 同理，cos α=x0= tan α=. 知识梳理　 已知角α终边上一点P(x，y)(x≠0)，则点P到原点的距离为r=sin α=cos α=tan α=.角α的三角函数值不会随P点位置的改变而改变. 注意点： (1)三角函数是一个函数，符合函数的定义，是由角的集合(弧度数)到一个比值的集合的函数； (2)三角函数值实质是一个比值，因此分母不能为零，所以正切函数的定义域就是使分母不为零的角的集合. 例2　已知角α的终边上一点P的坐标是(5m，12m)，其中m≠0，求sin α，cos α，tan α的值. 解　令x=5m，y=12m， 则r==13|m|， ①当m>0时，r=13m， 则sin α=cos α=tan α=； ②当m<0时，r=-13m， 则sin α==-=-cos α==-=-tan α=. 反思感悟　(1)若点的坐标或角的三角函数值中含有字母，则需要注意字母是否需要分类讨论. (2)终边在已知直线(射线)上，可以在直线(射线)上取两个(一个)点，再利用定义求解. (3)若已知角α终边上一点P(x，y)(x≠0)，则先求r=再求sin α=cos α=tan α=. 跟踪训练2　已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边在直线3x-y=0上，则角α的余弦值为　　　　.  答案　± 解析　∵角α的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边在直线3x-y=0上， ∴角α的终边在第一象限或第三象限， 当角α的终边在第一象限时，可取角α的终边上的点(1，3)，∴cos α=； 当角α的终边在第三象限时，可取角α的终边上的点(-1，-3)，∴cos α==-综上，角α的余弦值为±. 三、正弦、余弦、正切函数值在各个象限内的符号 问题5　根据三角函数的定义，大家猜测一下三角函数值在各个象限内的符号. 提示　三角函数值的符号是根据三角函数的定义和各象限内的坐标符号推导出的.根据三角函数的定义可知正弦的符号取决于纵坐标y的符号，余弦的符号取决于横坐标x的符号，正切的符号是由纵坐标y和横坐标x的符号共同决定的，同号为正，异号为负. 知识梳理 正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号 (1)图示： (2)口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦. 例3　(1)若sin αtan α<0，且<0，则角α是(　　) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 答案　C 解析　由sin αtan α<0可知sin α，tan α异号，从而α是第二或第三象限角. 由<0可知cos α，tan α异号，从而α是第三或第四象限角. 综上可知，α是第三象限角. (2)(多选)下列选项中，符号为负的是(　　) A.sin(-100°) B.cos(-220°) C.tan 10 D.cos π 答案　ABD 解析　-100°是第三象限角，故sin(-100°)<0；-220°是第二象限角，故cos(-220°)<0； 10∈是第三象限角，故tan 10>0； cos π=-1<0. 反思感悟　判断三角函数值符号的两个步骤 (1)定象限：确定角α所在的象限. (2)定符号：利用三角函数值的符号规律，即“一全正，二正弦，三正切，四余弦”来判断. 跟踪训练3　已知点P(sin α，cos α)在第三象限，则角α的终边在(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案　C 解析　∵点P(sin α，cos α)在第三象限， ∴∴α为第三象限角. 四、公式一 问题6　终边相同的角的三角函数值有何关系？ 提示　由三角函数的定义，可以知道，终边相同的角的同一三角函数的值相等. 知识梳理　 终边相同的角的同一三角函数的值相等. 即sin(α+k·2π)=sin α，cos(α+k·2π)=cos α，tan(α+k·2π)=tan α，其中k∈Z.  例4　计算下列各式的值： (1)sin(-1 395°)cos 1 110°+cos(-1 020°)sin 750°； (2)sin+costan 4π. 解　(1)原式=sin(-4×360°+45°)cos(3×360°+30°)+cos(-3×360°+60°)sin(2×360°+30°) =sin 45°cos 30°+cos 60°sin 30° =. (2)原式=sin+costan(4π+0)=sin+cos×0=. 反思感悟　利用诱导公式一进行化简求值的步骤 (1)定形：将已知的任意角写成α+2kπ(k∈Z)的形式，其中α∈[0，2π). (2)转化：根据诱导公式一，转化为求角α的某个三角函数值. (3)求值：若角为特殊角，可直接求出该角的三角函数值. 跟踪训练4　计算下列各式的值： (1)tan 405°-sin 450°+cos 750°； (2)sin+tan. 解　(1)原式=tan(360°+45°)-sin(360°+90°)+cos(2×360°+30°) =tan 45°-sin 90°+cos 30° =1-1+. (2)原式=sin+tan =sin+tan+1. 1.知识清单： (1)三角函数的定义及求法. (2)三角函数值在各象限内的符号. (3)诱导公式一. 2.方法归纳：由特殊到一般、转化与化归、分类讨论. 3.常见误区：三角函数值的大小只与角的大小有关，与终边上的点无关；正切函数的定义域为 1.已知sin α=cos α=-则角α的终边与单位圆的交点坐标是(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　设交点坐标为P(x，y)， 则y=sin α=x=cos α=- 故点P. 2.已知角α的终边经过点(-5，12)，则cos α等于(　　) A. B. C.- D.- 答案　C 解析　设点P(-5，12)， 则OP==13， 故cos α==-. 3.已知θ∈R，则“tan θ>0”是“点(sin θ，cos θ)在第一象限内”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案　B 解析　若tan θ>0，则θ在第一或第三象限， 则sin θ>0，cos θ>0或sin θ<0，cos θ<0，则点(sin θ，cos θ)在第一或第三象限， 若点(sin θ，cos θ)在第一象限， 则sin θ>0，cos θ>0，则tan θ>0. 故“tan θ>0”是“点(sin θ，cos θ)在第一象限内”的必要不充分条件. 4.计算：sin+cos+tan=　　　　.  答案　2 解析　原式=sin+cos+tan=sin+cos+tan =+1=2. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共18分 1.点A(x，y)是60°角的终边与单位圆的交点，则的值为(　　) A. B.- C. D.- 答案　A 解析　由三角函数定义知=tan 60°=. 2.已知角α的终边与单位圆的交点为P则sin α-cos α等于(　　) A.- B. C. D.- 答案　A 解析　由三角函数的定义得cos α=- sin α=- 因此sin α-cos α=-. 3.sin(-1 395°)cos 30°等于(　　) A. B. C.- D.- 答案　A 解析　sin(-1 395°)cos 30°=sin(-1 395°+4×360°)cos 30°=sin 45°cos 30°=. 4.已知点P(m，1)是角α终边上的一点，且sin α=则m的值为(　　) A.2 B.-2 C.-2或2 D.-2或2 答案　D 解析　由三角函数定义可得sin α=解得m=±2 所以m的值为-2或2. 5.已知sin θcos θ<0，且|cos θ|=cos θ，则角θ是(　　) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 答案　D 解析　∵sin θcos θ<0，∴sin θ，cos θ一正一负， 又|cos θ|=cos θ，∴cos θ≥0， 综上，sin θ<0，cos θ>0，即θ为第四象限角. 6.(多选)确定下列三角函数值的符号，下列选项正确的是(　　) A.cos 250°<0 B.sin>0 C.tan(-672°)>0 D.tan <0 答案　ACD 解析　对于A，250°是第三象限角，所以cos 250°<0，故A正确； 对于B，-为第四象限角，所以sin<0，故B错误； 对于C，-672°为第一象限角，所以tan>0，故C正确； 对于D为第四象限角，所以tan <0，故D正确. 7.(多选)已知点P(m，-2m)(m≠0)是角α终边上一点，则(　　) A.tan α=-2 B.cos α= C.sin αcos α<0 D.sin αcos α>0 答案　AC 解析　因为点P是角α终边上一点， 则r=|m|， 于是得tan α==-2，A正确； cos α=当m>0时，cos α=当m<0时，cos α=-B不正确； 又sin α=则sin αcos α==-<0，C正确，D不正确. 8.(5分)角θ的终边经过点P(4，y)，且sin θ=-则y=　　　　.  答案　-3 解析　角θ的终边经过点P 且sin θ=- 解得y=-3. 9.(5分)-300°角的终边与单位圆交于点P(m，n)，则m+n=　　　　.  答案　 解析　由三角函数的定义知m=cos(-300°) =cos(-360°+60°)=cos 60°=. n=sin(-300°)=sin(-360°+60°)=sin 60°=. ∴m+n=. 10.(10分)化简下列各式： (1)sin+cos+cos(-5π)+tan；(5分) (2)a2sin 810°-b2cos 900°+2abtan 1 125°.(5分) 解　(1)原式=sin+cos+cos π+1 =-1+0-1+1=-1. (2)原式=a2sin 90°-b2cos 180°+2abtan 45° =a2+b2+2ab=(a+b)2. 11.在平面直角坐标系中，若角θ的终边经过点P则cos θ等于(　　) A. B.- C. D.- 答案　D 解析　sin =sin=sincos=cos=cos 所以角θ的终边经过点P即P(-1，1)，所以cos θ=-. 12.已知角α的终边在直线y=-3x上，则10sin α+的值为(　　) A.-6 B.6 C.0 D.-3 答案　C 解析　由题知cos α≠0， 设角α的终边上一点为P(a，-3a)(a≠0)，则点P到原点的距离为r=|a|. 当a>0时，r=a，sin α==-cos α= 所以10sin α+=-3+3=0； 当a<0时，r=-a，sin α=cos α==- 所以10sin α+=3-3=0. 综上，10sin α+=0. 13.(5分)已知角α=2kπ-k∈Z)，若角θ与角α的终边相同，则y=的值为　　　　.  答案　-1 解析　由α=2kπ-k∈Z)，得角α的终边在第四象限，又角θ与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sin θ<0，cos θ>0，tan θ<0.所以y=-1+1-1=-1. 14.(10分)若角α的终边上有一点P(m，-4)，m∈R. (1)若m=2，求sin α，cos α和tan α的值；(4分) (2)若cos α=求m的值，并计算sin(α-6π)+m·tan.(6分) 解　(1)由已知角α的终边上有一点P(2，-4)， 又点P到原点的距离为=2 所以sin α==-cos α= tan α==-2. (2)因为已知角α的终边上有一点P(m，-4)， 所以点P到原点的距离为 所以cos α=由已知知m>0， 所以m=3， 所以sin α==- 所以sin(α-6π)+m·tan=sin α+m·tan =-+3=. 15.(多选)若α是第二象限角，则下列结论不一定成立的是(　　) A.sin >0 B.cos >0 C.tan >0 D.sin cos α<0 答案　ABD 解析　α是第二象限角，有cos α<0，由+2kπ<α<π+2kπ(k∈Z)，有+kπ<+kπ(k∈Z)， 当k为偶数时为第一象限角，sin >0，cos >0，tan >0； 当k为奇数时为第三象限角，sin <0，cos <0，tan >0，则选项A，B，D不一定成立. 16.(12分)设α是锐角，利用单位圆证明下列不等式： (1)sin α+cos α>1；(6分) (2)sin α<α<tan α.(6分) 证明　(1)在单位圆中，A(1，0)，∠AOP=α，∠AOP的终边交单位圆于点P，作PM⊥x轴于点M，如图所示. 令P(x，y)(x>0，y>0)，由三角函数定义得sin α=y=PM，cos α=x=OM， 在Rt△OPM中，PM+OM>OP=1， 所以sin α+cos α>1. (2)过点A作单位圆的切线交直线OP于点T，显然劣弧AP长l=α×1=α， 显然sin α=y=PM，tan α=AT， △AOP的面积S1=OA·PM=sin α， 扇形AOP的面积S2=l·OA=α， △AOT的面积S3=OA·AT=tan α， 由图形得S1<S2<S3，即sin α<α<tan α， 所以sin α<α<tan α. 学科网（北京）股份有限公司 $