第5章 5.1.2 弧度制（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（人教A版）

本讲义聚焦高中数学弧度制核心知识点，从单位制类比引入概念，通过弧长与半径比值定义1弧度，建立角度与弧度互化关系，延伸至扇形弧长和面积公式，构建从概念到转化再到应用的学习支架。 资料以问题驱动引导学生用数学眼光观察角的度量，结合例题与跟踪训练培养数学思维中的推理运算能力，扇形公式推导与实际问题体现数学语言应用。课中助力教师授课，课后分层练习帮助学生查漏补缺，强化知识掌握。

5.1.2　弧度制 学习目标　1.了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的相互转化.(重点)2.掌握弧度制下的扇形的弧长和面积公式.(难点) 导语 度量长度可以用米、英尺等不同的单位制，度量质量可以用千克、磅等不同的单位制.不同的单位制能给解决问题带来方便.角的度量是否也能用不同的单位制呢？能否像度量长度那样，用十进制的实数来度量角的大小呢？ 一、弧度制的概念 问题1　在初中学过的角度中，1度的角是如何规定的？在给定半径的圆中，当弧长一定时，圆心角确定吗？ 提示　1度的角等于周角的.圆心角是确定的. 问题2　射线OA绕端点O旋转到OB形成角α，在旋转过程中，射线OA上的一点P(不同于点O)的轨迹是一条圆弧，这条圆弧对应于圆心角α.设α=n°，OP=r，点P所形成的圆弧PP1的长为l，由l=可知，弧长l与半径r的比值为=n·.若在射线OA上任取一点Q(不同于点O)，OQ=r1，在旋转过程中，点Q所形成的圆弧QQ1的长为l1，则弧长l1与半径r1的比值和弧长l与半径r的比值有何关系？ 提示　因为l1=所以=n·.故. 知识梳理　 1.弧度制 我们规定：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示，读作弧度. 2.弧度数的计算 在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角为α rad，那么. 3.一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0. 注意点： 一定大小的圆心角α所对应的弧长和半径的比值是唯一确定的，与半径大小无关. 例1　下列命题中，假命题是(　　) A.“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位 B.1°的角是周角的1 rad的角是周角的 C.1 rad的角比1°的角要大 D.用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关 答案　D 解析　根据1度、1弧度的定义可知只有D为假命题. 反思感悟　(1)圆心角α与所对应的弧长和半径的比值是唯一确定的. (2)任意角的弧度数与实数是一一对应的关系. 跟踪训练1　下列各命题中，真命题是(　　) A.1弧度就是1°的圆心角所对的弧 B.1弧度是长度等于半径的弧 C.1弧度是1°的弧与1°的角之和 D.1弧度是长度等于半径的圆弧所对的圆心角的大小 答案　D 解析　根据弧度制和角度制的规定可知A，B，C均错误，D正确. 二、角度制与弧度制的相互转化 问题3　根据公式|α|=你能得出圆周角的弧度数吗？ 提示　因为半径为r的圆的周长为l=2πr，故圆周角的弧度数α=2π，而圆周角的角度数是360°，于是我们有了弧度与角度的换算关系. 知识梳理　 1.角度与弧度的互化 角度化弧度 弧度化角度 360°=2π rad 2π rad=360° 180°=π rad π rad=180° 1°= rad≈0.017 45 rad 1 rad=°≈57.30°=57°18' 度数×=弧度数 弧度数×=度数 2.一些特殊角的度数与弧度数的对应关系 度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° 弧度 0 π 2π 注意点： (1)弧度单位rad可以省略. (2)在同一个题目中，弧度与角度不能混用. 例2　把下列角度化成弧度，弧度化成角度： (1)37°30'；(2)-216°；(3)2；(4)-. 解　(1)37°30'=37.5°=°=. (2)-216°=-216×=-. (3)2=2×°=°. (4)-=-°=-396°. 反思感悟　角度与弧度换算技巧 在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式π rad=180°是关键，由它可以得到：度数×=弧度数，弧度数×°=度数. 跟踪训练2　将下列角度与弧度进行互化： (1；(2)-；(3)10°；(4)-855°. 解　(1°=15 330°. (2)-=-°=-105°. (3)10°=10×. (4)-855°=-855×=-. 三、利用弧度表示角 例3　将-1 125°写成α+2kπ(k∈Z)的形式，其中0≤α<2π，并判断它是第几象限角？ 解　-1 125°=-1 125×=-=-8π+ 其中<2π，所以角是第四象限角， 所以-1 125°角是第四象限角. 反思感悟　用弧度制表示终边相同的角的两个关注点 (1)用弧度制表示终边相同的角α+2kπ(k∈Z)时，其中2kπ是π的偶数倍，而不是整数倍. (2)注意角度制与弧度制不能混用. 跟踪训练3　(1)用弧度制表示与150°角终边相同的角的集合为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　150°=150×故与150°角终边相同的角的集合为. (2)终边落在图中阴影部分(包含边界)的角的集合为(用弧度制表示)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　.  答案　 解析　结合图象，设终边落在阴影部分(包含边界)的角是α，满足条件的角的集合是 . 四、弧度制下的扇形的弧长与面积公式 问题4　角度制中，半径为R，圆心角为n°的扇形的弧长和面积公式是什么？n°换算成弧度是多少弧度？记相应的弧度数为α，你能写出弧度制下扇形的弧长和面积公式吗？ 提示　角度制下，半径为R，圆心角为n°的扇形的弧长公式为l=面积公式为S=.n°= rad，弧度制下，扇形的弧长公式为l=αR，面积公式为S=αR2. 知识梳理 扇形的弧长与面积公式(R是扇形所在圆的半径，n°为扇形的圆心角的度数，α表示扇形的圆心角的弧度数) 公式 度量制 弧长公式 扇形面积公式 角度制 l= S= 弧度制 l=αR (0<α<2π) S=αR2=lR (0<α<2π) 例4　已知扇形的周长为10 cm，面积为4 cm2，求扇形圆心角的弧度数. 解　设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l cm，半径为R cm， 依题意有 整理得R2-5R+4=0，解得R=1或R=4. 当R=1时，l=8，此时，θ=8>2π，舍去. 当R=4时，l=2，此时，θ=. 综上可知，扇形圆心角的弧度数为. 延伸探究　已知一扇形的周长为4，当它的半径与圆心角取何值时，扇形的面积最大？最大值是多少？ 解　设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l，半径为r，面积为S， 则l+2r=4， 所以l=4-2r 所以S=lr=×(4-2r)×r=-r2+2r=-(r-1)2+1， 所以当r=1时，S最大，且Smax=1， 此时，θ==2. 故当r=1，θ=2时，扇形的面积最大，最大值为1. 反思感悟　扇形的弧长和面积的求解策略 (1)记公式：面积公式：S=lR=αR2，弧长公式：l=αR(其中l是扇形的弧长，R是扇形的半径，α是扇形圆心角的弧度数，0<α<2π). (2)找关键：涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的计算问题，关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形的面积公式直接求解或列方程(组)求解. 跟踪训练4　已知某扇形的半径r=2 cm，周长C=cm. (1)求该扇形的面积； (2)求在区间(0，3π)上与该扇形的圆心角α终边相同的角. 解　(1)设扇形的弧长为l，因为r=2 cm，由题意，扇形的周长C=2r+l=2×2+l=4+ 所以l=所以扇形的面积为lr=×2= (cm2). (2)由(1)可知，圆心角α=故与α终边相同的角的集合为S= S中符合0<β<3π的元素β有+0×2π=+1×2π= 故在区间(0，3π)上与该扇形的圆心角α终边相同的角为. 1.知识清单： (1)弧度制的概念. (2)角度制与弧度制的相互转化. (3)特殊角的度数与弧度数的对应关系. (4)弧度制下的扇形的弧长与面积公式. 2.方法归纳：由特殊到一般、数学运算. 3.常见误区：弧度与角度混用. 1.下列说法正确的是(　　) A.1弧度的圆心角所对的弧长等于半径 B.大圆中1弧度的圆心角比小圆中1弧度的圆心角大 C.所有圆心角为1弧度的角所对的弧长都相等 D.用弧度表示的角都是正角 答案　A 解析　对于A，根据弧度的定义知，1弧度的圆心角所对的弧长等于半径，故A正确；对于B，大圆中1弧度的圆心角与小圆中1弧度的圆心角相等，故B错误；对于C，只有在同圆或等圆中，1弧度的圆心角所对的弧长是相等的，故C错误；对于D，用弧度表示的角也可以是负角或零角，故D错误. 2.时针经过一小时，转过了(　　) A. rad B.- rad C. rad D.- rad 答案　B 解析　时针经过一小时，转过了-30°， -30°=- rad. 3.下列与角-的终边相同的角的表达式中正确的是(　　) A.2kπ+k∈Z) B.k·360°-k∈Z) C.k·360°-210°(k∈Z) D.kπ+k∈Z) 答案　C 解析　与角-的终边相同的角的表达式为2kπ-k∈Z)或k·360°-210°(k∈Z). 4.已知一个扇形的弧长等于其所在圆半径的2倍，则该扇形圆心角的弧度数为　　　　，若该扇形的半径为1，则该扇形的面积为　　　　.  答案　2　1 解析　根据弧度制的定义，可知该扇形圆心角α的弧度数为2，由扇形的面积公式得S=·α·r2=×2×12=1. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共6分 1.下列说法中，错误的是(　　) A.半圆所对的圆心角是π rad B.周角的大小等于2π C.每个弧度制的角，都有唯一的角度制的角与之对应 D.长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1 弧度 答案　D 解析　根据弧度的定义及角度与弧度的换算知A，B，C均正确，D错误. 2.若α=-3 rad，则它是(　　) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 答案　C 解析　因为-π<-3<-所以-3 rad是第三象限角. 3.用弧度制表示与-330°角终边相同的角的集合为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　因为-330°=-330×=- -+2π= 所以与-330°角终边相同的角为 α=+2kπ，k∈Z. 4.已知圆心角为36°的扇形的弧长为则该扇形的面积为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　因为36°=所以该扇形的半径为r==4， 因此该扇形的面积为S=×4=. 5.集合中的角所表示的范围(阴影部分)是(　　) 答案　C 解析　当k为偶数时，集合对应的区域为第一象限内直线y=x的左上部分(包含边界)；当k为奇数时，集合对应的区域为第三象限内直线y=x的右下部分(包含边界). 6.下列各角中，终边相同的角是(　　) A.和240° B.-和314° C.- D.3和3° 答案　C 解析　对于A选项，240°=不符合题意； 对于B选项，-=-36°，314°-(-36°)=350°，不符合题意； 对于C选项=4π，符合题意； 对于D选项，3≈3×57.3°=171.9°，不符合题意. 7.(多选)下列表示中正确的是(　　) A.终边在x轴上的角的集合是{α|α=kπ，k∈Z} B.终边在第二象限的角的集合为 C.终边在坐标轴上的角的集合是 D.终边在直线y=x上的角的集合是 答案　ABC 解析　A，B显然正确； 对于C，终边在x轴上的角的集合为{α|α=kπ，k∈Z}，终边在y轴上的角的集合为其并集为故C正确； 对于D，终边在y=x上的角的集合为其并集为故D不正确. 8.(5分)角度202°30'化成弧度为　　　　，弧度-化成角度为　　　　.  答案　　-570° 解析　202°30'=202.5°=π=； -=-°=-570°. 9.(5分)现有一把折扇，打开后所在扇形的周长为8分米，面积是4平方分米，则折扇所在扇形的圆心角为　　　弧度.  答案　2 解析　设扇形的圆心角为α，半径为r， 则解得 10.(10分)已知角α=1 200°. (1)将α改写成β+2kπ(k∈Z，0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限角；(4分) (2)在区间[-4π，0]上找出与角α终边相同的角.(6分) 解　(1)因为α=1 200°=1 200×=3×2π+所以角α与的终边相同， 又<π，所以角α是第二象限角. (2)因为与角α终边相同的角(含角α在内)为2kπ+k∈Z， 所以由-4π≤2kπ+≤0，得-≤k≤-. 因为k∈Z，所以k=-2或k=-1. 当k=-2时，2×(-2)π+=-； 当k=-1时，2×(-1)π+=- 故在区间[-4π，0]上，与角α终边相同的角是--. 11.古代文人墨客与丹青手都善于在纸扇上题字题画，题字题画的扇面多为扇环形.已知某纸扇的扇面如图所示，其中外弧长与内弧长之和为89 cm，连接外弧与内弧的两端的线段长均为18 cm，且该扇环的圆心角的弧度数为2.5，则该扇环的外弧长为(　　) A.63 cm B.65 cm C.67 cm D.69 cm 答案　C 解析　设该扇环内弧的半径为r cm， 则外弧的半径为(r+18) cm，圆心角α=2.5， 所以αr+α(r+18)=89， 即2.5r+2.5(r+18)=89，解得r=8.8， 所以该扇环的外弧长 l=2.5(r+18)=2.5(8.8+18)=67(cm). 12.如图所示的复古时钟显示的时刻为10：10，将时针与分针视为两条线段，则该时刻的时针与分针所夹的钝角为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　表有12个刻度，相邻两个刻度所对的圆心角为 当时针指向10，分针指向2时，时针与分针的夹角为4×； 但当分针指向2时，时针由10向11移动了 故该时刻的时针与分针所夹的钝角为. 13.(5分)终边落在如图所示阴影部分内(不包括边界)的角θ的集合为　　　　(用弧度制表示).  答案　 解析　由题意可知，30°=210°=则终边在直线AB上的角为α=kπ+k∈Z.又终边在y轴上的角为β=kπ+k∈Z，故终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为. 14.(12分)莱洛(Reuleaux)三角形是定宽曲线所能构成的面积最小的图形，它是由德国机械学家莱洛首先发现的，故而得名.如图所示，它是分别以正三角形ABC的顶点为圆心，以正三角形边长为半径作三段圆弧组成的一条封闭曲线，若AB=2，求： (1)莱洛三角形的周长；(5分) (2)莱洛三角形的面积.(7分) 解　(1)因为AB=2，由于△ABC为正三角形， 所以以A为圆心的扇形的弧长是×2= 所以莱洛三角形的周长为3×=2π. (2)因为AB=2，由于△ABC为正三角形， 所以以A为圆心的扇形的面积是×2= 又△ABC的面积是×22= 所以莱洛三角形的面积为3个扇形的面积减去2个正三角形的面积， 即×3-2=2π-2. 15.(5分)《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作.其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式：弧田面积=弦×矢+矢2).弧田(如图)由圆弧和其所对的弦围成，公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.现有圆心角为半径为4 m的弧田，按照上述经验公式计算所得的弧田面积约是　　　　m2.(精确到1 m2)  答案　9 解析　=120°，根据题意得， 弦=2×4sin=4m)， 矢=4-4cos=2(m)， 因此，弧田面积=弦×矢+矢2) =×(4×2+22)=4+2≈9(m2). 16.(12分)如图，有一个扇环形花圃ABCD，外圆弧的半径是内圆弧半径的两倍，周长为定值2l，圆心角为α(0<α<π). (1)当α为多少弧度时，扇环面积最大，并求出最大面积；(6分) (2)当α=2时，求弧BC的中点E到弦BC的距离.(6分) 解　(1)设内圆弧半径为r， 则AB=CD=OA=OD=r， 所以=rα=2rα， 所以rα+2rα+2r=2l， 则r= 所以S扇环=S扇形OBC-S扇形OAD =×2rα×2r-×rα×r=αr2 = 当且仅当9α=即α=时，S扇环取得最大值. (2)连接OE交BC于F， 则由垂径定理得OE⊥BC， ∠BOE=∠BOC=1， 由(1)知，r= 所以OF=cos 1， 所以EF=OE-OF=2r-cos 1=1-cos 1). 学科网（北京）股份有限公司 $