第5章 §5.6 第1课时 函数y=Asin(ωx+φ)的图象（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（人教A版）

本讲义聚焦函数y=A sin(ωx+φ)的图象这一核心知识点，从正弦函数y=sin x出发，逐步探究φ对平移变换、ω对伸缩变换、A对振幅变换的影响，构建图象间的变换关系，并通过“五点法”实现作图，形成完整的知识学习支架。 该资料以观光缆车实例导入，用数学眼光发现现实问题中的函数关系，通过问题链驱动探究不同参数对图象的影响，如延伸探究对比先平移后伸缩与先伸缩后平移的差异，培养数学思维。课中例题与跟踪训练辅助教师突破重难点，课后课时对点练帮助学生巩固知识，查漏补缺，提升应用能力。

第1课时　函数y=Asin(ωx+φ)的图象 学习目标　1.理解y=Asin(ωx+φ)中φ，ω，A对图象的影响.2.掌握y=sin x与y=Asin(ωx+φ)图象间的变换关系，并能正确地指出其变换步骤.(重点)3.会用“五点法”画函数y=Asin(ωx+φ)的图象.(难点) 导语如图是观光缆车的示意图，设缆车转轮半径长为A，角速度为ω rad/s.点P0表示座椅的初始位置.此时∠xOP0=φ.当转轮转动t s后，点P0到达点P的位置，于是，以Ox为始边，OP为终边的角为ωt+φ，由正弦函数的定义，得点P的纵坐标y与时间t的函数关系为y=Asin(ωt+φ). 这种函数我们称为正弦型函数，那么正弦型函数的图象与正弦曲线有何关系呢？ 一、φ对y=sin(x+φ)图象的影响 问题1　观察y=sin x和y=sin的函数图象，你有什么发现？ 提示　y=sin的图象可以看作是把正弦函数y=sin x的图象上所有的点向右平移个单位长度而得到的. 知识梳理 φ对函数y=sin(x+φ)，x∈R图象的影响 例1　函数y=sin的图象可以看作是由y=sin x的图象经过怎样的变换而得到的？ 解　函数y=sin的图象可以看作是把曲线y=sin x上的所有点向右平移个单位长度而得到的. 延伸探究1　函数y=sin x的图象可以看作是由y=sin的图象经过怎样的变换而得到的？ 解　函数y=sin x的图象可以看作是由y=sin上的所有点向左平移个单位长度而得到的. 延伸探究2　函数y=sin的图象可以看作是由y=sin(-x)的图象经过怎样的变换而得到的？ 解　因为y=sin=sin故是由y=sin(-x)的图象向右平移个单位长度得到的. 延伸探究3　求函数y=sin 2x向右平移个单位长度后的函数解析式. 解　函数y=sin 2x向右平移个单位长度可得 y=sin 2即y=sin. 延伸探究4　由函数y=sin的图象经过怎么样的变换，可以得到y=cos x的图象？ 解　因为y=sin=cos=cos=cos故只需将函数y=sin的图象向左平移个单位长度即可得到y=cos x的图象. 反思感悟　对于平移变换应先观察函数名是否相同，若函数名不同，则先化为同名函数，再观察x的系数，当x的系数不为1时，应提取系数确定平移的单位和方向，方向遵循左加右减，且从ωx→ωx+φ的平移量为个单位长度. 二、ω(ω>0)对y=sin(ωx+φ)图象的影响 问题2　作出函数y=sin x与y=sinx的图象并说明两者之间有什么关系？ 提示　由图象我们可以看到，从y=sin x到y=sinx，函数周期从2π变成了4π，即函数的图象拉长了，y=sinx的图象可以看作是把正弦曲线y=sin x上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)而得到的. 问题3　借助多媒体，在同一坐标系下画出y=sin和y=sin的函数图象如图所示，结合问题2，你能得到什么？ 提示　y=sin的图象可以看作是把y=sin的图象上所有点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变)而得到的. 知识梳理 ω(ω>0)对函数y=sin(ωx+φ)图象的影响 例2　为了得到y=sinx∈R的图象，只需把y=sin的图象上所有点的(　　) A.横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变 B.横坐标缩短到原来的纵坐标不变 C.纵坐标伸长到原来的4倍，横坐标不变 D.纵坐标缩短到原来的横坐标不变 答案　B 解析　ω=4>1，因此只需把y=sin的图象上所有点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变. 反思感悟　在研究 ω(ω>0)对y=sin(ωx+φ)图象的影响时，由y=sin(x+φ)图象上所有点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)，即可得到y=sin(ωx+φ)的图象. 跟踪训练1　为了得到y=cos x，x∈R的图象，只需把余弦曲线y=cos x上所有点的(　　) A.横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变 B.横坐标缩短到原来的纵坐标不变 C.纵坐标伸长到原来的4倍，横坐标不变 D.纵坐标缩短到原来的横坐标不变 答案　A 解析　把y=cos x图象上所有点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，即可得到y=cos x，x∈R的图象. 三、A(A>0)对y=Asin(ωx+φ)图象的影响 问题4　借助多媒体，在同一坐标系下画出y=sin和y=3sin的图象，如图所示，你能发现什么？ 提示　可以发现对于同一x值，y=3sin的图象上的点的纵坐标总是等于y=sin的图象上对应点的纵坐标的3倍. 知识梳理 A(A>0)对函数y=Asin(ωx+φ)图象的影响 例3　函数y=sin图象上所有点的横坐标保持不变，将纵坐标　　　　(填“伸长”或“缩短”)为原来的　　　　倍，将会得到函数y=3sin的图象. 答案　伸长　3 解析　A=3>1，故函数y=sin图象上所有点的横坐标保持不变，将纵坐标伸长为原来的3倍即可得到函数y=3sin的图象. 反思感悟　在研究A(A>0)对y=Asin(ωx+φ)图象的影响时，由y=sin(ωx+φ)图象上所有点的纵坐标变成原来的A倍(横坐标不变)即可得到y=Asin(ωx+φ)的图象. 跟踪训练2　为了得到函数y=cos x的图象，只需把余弦曲线y=cos x上所有点的(　　) A.横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变 B.横坐标缩短到原来的纵坐标不变 C.纵坐标伸长到原来的4倍，横坐标不变 D.纵坐标缩短到原来的横坐标不变 答案　D 解析　将y=cos x图象上所有点的纵坐标缩短到原来的横坐标不变，即可得到y=cos x的图象. 四、y=sin x与y=Asin(ωx+φ)图象间的变换关系 问题5　函数y=sin x可以通过怎样的图象变换过程得到函数y=2sin的图象呢？ 提示　有两种变换方式： (1)y=sin xy=siny=siny=2sin； (2)y=sin xy=sin 2xy=siny=2sin. 平移变换与伸缩变换没有先后顺序，但是两种变换下的平移的单位长度不一致. 知识梳理　 由函数y=sin x的图象得到y=sin(ωx+φ)(ω>0)的图象的两种途径可以通过图形表示，如图. 注意点： (1)两种变换仅影响平移的单位长度，其余参数不受影响. (2)若相应变换的函数名称不同，要先用诱导公式转化为同名的三角函数，再进行平移或伸缩. 例4　由y=3sin x的图象变换得到y=3sin的图象主要有两种方式：先平移后伸缩和先伸缩后平移，前者需向左平移　　个单位长度，后者需向左平移　　　　个单位长度.(答案不唯一，写出一个符合条件的即可)  答案　答案不唯一) 解析　y=3sin x的图象y=3sin的图象y=3sin的图象. y=3sin x的图象y=3sinx的图象y=3sin=3sin的图象. 反思感悟　先平移后伸缩和先伸缩后平移，平移的量是不同的，在应用中一定要区分清楚，以免混淆而导致错误.弄清平移对象是减少错误的关键. 跟踪训练3　(多选)下列四种变换方式中能将函数y=cos x的图象变为函数y=cos的图象的是(　　) A.向右平移个单位长度，再将每个点的横坐标缩短为原来的纵坐标不变 B.向左平移个单位长度，再将每个点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变 C.将每个点的横坐标缩短为原来的纵坐标不变)，再向右平移个单位长度 D.将每个点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移个单位长度 答案　AC 解析　y=cos=cos 将函数y=cos x的图象向右平移个单位长度，得到y=cos的图象， 再将每个点的横坐标缩短为原来的纵坐标不变，得到y=cos的图象，故A正确； 将函数y=cos x的图象向左平移个单位长度，得到y=cos的图象， 再将每个点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到y=cos的图象，故B错误； 将函数y=cos x的图象上每个点的横坐标缩短为原来的纵坐标不变，得到y=cos 2x的图象， 再向右平移个单位长度，得到y=cos的图象，故C正确； 将函数y=cos x的图象上每个点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到y=cosx的图象， 再向左平移个单位长度，得到y=cos的图象，故D错误. 五、“五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)的图象 问题6　用“五点法”作函数y=sin x的图象时，找哪五个关键点？ 提示　(0，0)π，0)2π，0). 例5　(课本例1)画出函数y=2sin的简图. 解　先画出函数y=sin x的图象；再把正弦曲线向右平移的图象，如图所示. 下面用“五点法”画函数y=2sin内的图象. 令X=3x-，则x=.列表，描点画图. X 0 π 2π x y 0 2 0 -2 0 例5　用“五点法”画函数y=2sin在一个周期内的简图. 解　令X=3x+则x=列表如下： X 0 π 2π x - y 0 2 0 -2 0 描点连线，画图如下. 延伸探究5　本例中把“一个周期内”改为“”，又如何作图？ 解　因为x∈所以3x+ 列表如下： 3x+ π 2π x 0 y 1 2 0 -2 0 1 描点连线，画图如下. 反思感悟　“五点法”作图的实质 (1)利用“五点法”作函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象，实质是利用函数的三个零点，两个最值点画出函数在一个周期内的图象. (2)用“五点法”作函数f(x)=Asin(ωx+φ)图象的步骤. 第一步：列表. ωx+φ 0 π 2π x - f(x) 0 A 0 -A 0 第二步：在同一平面直角坐标系中描出各点. 第三步：用光滑曲线连接这些点，形成图象. (3)在画指定区间上的函数图象时，先由x的第一个取值确定ωx+φ整体取的第一个值，然后再确定ωx+φ整体后面的取值. 1.知识清单： (1)平移变换. (2)伸缩变换. (3)图象的画法. 2.方法归纳：五点法、数形结合法. 3.常见误区：忽视先平移和先伸缩作图时平移的量不一样. 1.为了得到函数y=2sin的图象，只需把函数y=2sin x的图象(　　) A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度 C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度 答案　C 解析　y=2sin x的图象向左平移个单位长度，可得到y=2sin的图象. 2.将函数y=sin x图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标伸长为原来的3倍，所得函数图象的解析式为(　　) A.y=3sin 2x B.y=2sin 3x C.y=3sinx D.y=x 答案　C 解析　将函数y=sin x图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，得到y=sinx的图象，纵坐标伸长为原来的3倍，得到y=3sinx的图象. 3.把函数y=sin x(x∈R)的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，然后把所得图象上所有点的纵坐标扩大到原来的2倍(横坐标不变)，得到的图象所表示的函数是(　　) A.y=2sinx∈R B.y=2sinx∈R C.y=2sinx∈R D.y=x∈R 答案　B 解析　将y=sin x图象上的所有的点向左平移个单位长度得到y=sin的图象.再将所得图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y=sin的图象，把所得图象上所有点的纵坐标扩大到原来的2倍(横坐标不变)，得到的图象所表示的函数是y=2sin. 4.利用“五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)(A>0)的图象时，其五点的坐标分别为则A=　　　　，周期T=　　　　. 答案　　π 解析　由题知A=T==π. 课时对点练 [分值：85分] 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共12分 1.将函数y=sin图象上各点的横坐标进行怎样的变换，可以得到y=sin的图象(　　) A.伸长到原来的2倍 B.伸长到原来的 C.缩短到原来的 D.缩短到原来的2倍 答案　A 2.将函数y=2sin的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为(　　) A.y=2sin B.y=2sin C.y=2sin D.y=2sin 答案　D 解析　函数y=2sin的最小正周期为π，所以将函数y=2sin的图象向右平移个单位长度后，得到函数y=2sin=2sin的图象. 3.要得到函数y=3sin的图象，只需将y=3sin 2x的图象(　　) A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度 C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度 答案　A 解析　y=3sin=3sin 2故要得到函数y=3sin的图象， 只需将y=3sin 2x的图象向左平移个单位长度. 4.将函数f(x)=sin x图象上各点的横坐标变为原来的纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，则函数g(x)的解析式为(　　) A.g(x)=sin B.g(x)=sin C.g(x)=sin D.g(x)=sin 答案　D 解析　将f(x)=sin x图象上各点的横坐标变为原来的纵坐标不变，得到y=sin 2x的图象，再向左平移个单位长度后得到g(x)=sin 2=sin的图象. 5.将函数y=sin 2x的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数是(　　) A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数 答案　A 解析　y=sin 2x的图象y=sin 2=sin=-sin(π-2x) =-sin 2x的图象. 因为-sin(-2x)=sin 2x，且x∈R， 所以所得图象对应的函数是奇函数. 6.(多选)要得到y=3cos的图象，需要将函数y=3cos的图象(　　) A.向右平移个单位长度 B.向左平移个单位长度 C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度 答案　AC 解析　对于A，将函数y=3cos的图象向右平移个单位长度， 得到y=3cos=3cos的图象，故A正确； 对于B，将函数y=3cos的图象向左平移个单位长度， 得到y=3cos=3cos =3cos 2x的图象，故B错误； 对于C，将函数y=3cos的图象向左平移个单位长度， 得到y=3cos=3cos=3cos =3cos的图象，故C正确； 对于D，将函数y=3cos的图象向右平移个单位长度， 得到y=3cos=3cos 2x的图象，故D错误. 7.(多选)已知曲线C1：y=cos x，C2：y=sin则下面结论正确的是(　　) A.把曲线C1向左平移个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变)，得到曲线C2 B.把曲线C1向左平移个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到曲线C2 C.把曲线C1上各点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变)，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2 D.把曲线C1上各点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变)，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2 答案　AD 解析　y=sin=sin=cos所以将曲线C1：y=cos x向左平移个单位长度，得到y=cos的图象，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变)，得到曲线C2：y=cos； 或将曲线C1：y=cos x上各点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变)，得到y=cos 2x的图象，再把得到的曲线向左平移个单位长度， 得到曲线C2：y=cos 2=cos. 8.(5分)若将函数y=sin 4x的图象向左平移个单位长度，得到函数y=sin(4x+φ)(0<φ<π)的图象，则φ的值为　　　　. 答案　 解析　将函数y=sin 4x的图象向左平移个单位长度， 所得图象对应的函数解析式为y=sin 4=sin 所以φ的值为. 9.(5分)把函数y=f(x)的图象上每一点的纵坐标扩大到原来的4倍，横坐标扩大到原来的2倍，然后把所得的图象沿x轴向左平移个单位长度，这样得到的曲线和y=2sin x的图象相同，则函数y=f(x)的解析式为　　　　　　　　. 答案　f(x)=-cos 2x 解析　把y=2sin x的图象向右平移个单位长度，可得y=2sin的图象，然后把所得图象上各点的横坐标缩小为原来的纵坐标不变，可得y=2sin的图象，再将所得图象上各点的纵坐标缩小为原来的横坐标不变，可得y==-cos 2x的图象，所以f(x)的解析式为f(x)=-cos 2x. 10.(10分)已知函数f(x)=cos在给定坐标系中作出函数f(x)在[0，π]上的图象. 解　列表如下： 2x- - 0 π x 0 π f(x) 1 0 -1 0 描点连线，图象如图. 11.把函数y=cos 2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移1个单位长度，最后向下平移1个单位长度，得到的图象是(　　) 答案　A 解析　由题意，y=cos 2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的解析式为y=cos x+1；再向左平移1个单位长度，所得图象的解析式为y=cos(x+1)+1；最后向下平移1个单位长度，所得图象的解析式为y=cos(x+1)，显然点在此函数图象上. 12.(5分)将函数y=sin的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标保持不变，再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数y=f(x)的图象，则f =　　　　. 答案　0 解析　函数y=sin的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍得到图象的解析式为y=sin再向右平移个单位长度得到图象的解析式为y=sin=sin 2x，即f(x)=sin 2x，则f =sin π=0. 13.(13分)已知函数f(x)=sin. (1)请用“五点法”画出函数f(x)在一个周期的闭区间上的简图；(4分) (2)求函数f(x)的单调递增区间；(5分) (3)试问f(x)是由g(x)=sin x经过怎样的变换得到？(4分) 解　(1)列表如下： 2x- 0 π 2π x f(x) 0 1 0 -1 0 描点连线，图象如图所示. (2)令-+2kπ≤2x-+2kπ，k∈Z， 解得-+kπ≤x≤+kπ，k∈Z， 所以函数f(x)的单调递增区间是k∈Z. (3)先将g(x)的图象向右平移个单位长度，再将所得函数图象的横坐标缩短为原来的纵坐标不变，即可得到f(x)的图象. 14.已知函数f(x)=sin x，函数g(x)的图象可以由函数f(x)的图象先向右平移个单位长度，再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的ω>0)得到.若函数g(x)在上恰有5个零点，则ω的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　将函数f(x)=sin x的图象向右平移个单位长度，得到y=sin的图象， 再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的ω>0)，得到g(x)=sin的图象. 若函数g(x)在(0，π)上恰有5个零点， 则ωx-所以4π<ωπ-≤5π，得<ω≤. 故ω的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $