第5章 §5.3 第2课时 诱导公式(二)（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（人教A版）

本讲义聚焦高中数学诱导公式（二），核心讲解公式五、六的推导与应用。基于已学诱导公式一至四，通过单位圆对称性（关于y=x对称、关于y轴对称）探究新公式，构建“奇变偶不变，符号看象限”的完整记忆与应用支架。 资料以问题链引导探究，如通过单位圆对称点坐标关系推导公式，培养几何直观（数学眼光）。例题涵盖化简、求值、证明，结合跟踪训练提升推理能力（数学思维），课后分层练习助力查漏补缺，有效支持课堂教学与学生自主巩固。

第2课时　诱导公式(二) 学习目标　1.理解公式五、六的推导过程并熟记诱导公式，理解和掌握公式的内涵及结构特征.(重点)2.熟练掌握六组诱导公式的结构特征.(重点)3.会初步运用诱导公式求三角函数的值与进行简单三角函数式的化简.(难点) 导语 回顾前面的学习，我们利用单位圆定义了三角函数，并推出了一组神奇的公式，由单位圆可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数.这节课，我们将继续在单位圆中探寻三角函数的奥秘. 一、诱导公式五、六 问题1　回顾上节课我们推导公式二的过程. 提示　利用了单位圆的对称性，作了点P1关于原点对称的点. 问题2　如图，我们作了点P1关于直线y=x的对称点P2，你能发现这两点有什么关系吗？ 提示　如图，过点P1向x轴作垂线，垂足为A，过点P2向y轴作垂线，垂足为B，由图象的对称性可知，∠AOP1=∠BOP2=α，故以OP2为终边的角与角-α的终边相同，以OP2为终边的角γ可以表示为γ=2kπ+k∈Z)，在Rt△AOP1和Rt△BOP2中，OP1=OP2，故△AOP1≌△BOP2，即P1的横坐标与P2的纵坐标相同，P1的纵坐标与P2的横坐标相同，若点P1的坐标为(x，y)，则点P2的坐标为(y，x)，现在我们知道了两角的终边与单位圆的交点，根据三角函数的定义，于是我们可以得到sin α=y，cos α=x；cos=y，sin=x.大家自己动手，如果我们作P2关于y轴的对称点P3，此时它和P1，P2这两点有什么关系？ 知识梳理　 1.公式五 sin=cos α，  cos=sin α. 2.公式六 sin=cos α，  cos=-sin α. 注意点： (1)名称发生了变化，实现了正弦函数和余弦函数的相互转化. (2)运用公式时，把α“看成”锐角. (3)符号的变化要看把α“看成”锐角时所在的象限. 问题3　经过对诱导公式一~六的学习，你掌握记忆的技巧了吗？ 提示　其实，它们可以统一概括为α+k·k∈Z)的三角函数值，等于α的同名(k是偶数时)或异名(k是奇数时)三角函数值，前面加上一个将α看成锐角时原函数值的符号，简称为“奇变偶不变，符号看象限”. 二、化简求值 例1　已知f(α)=化简f(α). 解　由题意得f(α) = ==-cos α， 故f(α)=-cos α. 反思感悟　利用诱导公式化简、求值的策略 (1)已知角求值问题，关键是利用诱导公式把任意角的三角函数值转化成锐角的三角函数值求解，转化过程中注意口诀“奇变偶不变，符号看象限”的应用. (2)对式子进行化简或求值时，要注意要求的角与已知角之间的关系，并结合诱导公式进行转化，特别要注意角的范围. 跟踪训练1　已知cos α= 求的值. 解　 ==sin αtan α=sin α·. 三、给值(式)求值 例2　(1)已知cos 31°=m，则sin 239°tan 149°的值是(　　) A. B. C.- D.- 答案　B 解析　sin 239°tan 149°=sin(180°+59°)tan(180°-31°) =-sin 59°(-tan 31°) =-sin(90°-31°)(-tan 31°) =-cos 31°(-tan 31°)=sin 31° =. (2)已知sin且0<α<则sin等于(　　) A.- B. C.- D. 答案　B 解析　∵sin0<α< ∴--α< ∴cos ∴sin=sin=cos =. 延伸探究1　将本例(2)的条件改为sin求cos的值. 解　cos=cos =-sin=-. 延伸探究2　将本例(2)中“0<α<”改为“α是第三象限角”，求sin的值. 解　因为α是第三象限角，所以-α是第二象限角， 又sin 所以-α是第二象限角， 所以cos=- 所以sin=sin =-sin=-cos. 反思感悟　(1)诱导公式综合应用要“三看” 一看角：①化大为小；②看角与角间的联系，可通过相加、相减分析两角的关系. 二看函数名称：一般是弦切互化. 三看式子结构：通过分析式子，选择合适的方法，如分式可对分子分母同乘一个式子变形，平方和差、立方和差公式. (2)常见的互余的角：-α与+α+α与-α等，常见的互补的角：+α与-α+α与-α+α与-α等. 跟踪训练2　(1)已知cos求sin的值. 解　∵α+ ∴sin=sin=cos =. (2)已知cos求下列各式的值： ①sin；②sin. 解　①sin=sin =cos. ②sin=sin =-sin=-cos=-. 四、利用诱导公式证明恒等式 例3　求证：. 证明　∵右边= = = = = =左边，∴原等式成立. 反思感悟　三角恒等式的证明策略 对于三角恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一、变更论证的方法.常用定义法、化弦法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法. 跟踪训练3　求证： +. 证明　∵左边= = ==右边， ∴原等式成立. 1.知识清单： (1)诱导公式五、六. (2)利用诱导公式进行化简、求值与证明. (3)诱导公式的综合应用. 2.方法归纳：公式法、角的构造. 3.常见误区：函数符号的变化，角与角之间的联系与构造. 1.已知角α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(-1，2)，则等于(　　) A. B.1 C. D.- 答案　A 解析　由题意知，sin α=cos α=- 原式= =. 2.已知sin则cos等于(　　) A. B.- C. D.- 答案　D 解析　∵sin=-sin =-sin=-cos ∴cos=-. 3.计算：sin211°+sin279°=　　　　. 答案　1 解析　因为sin 79°=sin(90°-11°)=cos 11°， 所以原式=sin211°+cos211°=1. 4.在△ABC中=3sin(π-A)，cos A=-cos(π-B)，则△ABC为　　　　三角形.(填“直角”“锐角”或“钝角”)  答案　直角 解析　在△ABC中，由=3sin(π-A)，得cos A=3sin A，即tan A= 又A∈(0，π)，∴A= 又cos A=-cos(π-B)， ∴cos B，即cos B= 又B∈(0，π)，∴B= ∴C=π- ∴△ABC为直角三角形. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共12分 1.sin 75°+cos 195°的值为(　　) A.-1 B.0 C. D.1 答案　B 解析　sin 75°+cos 195°=sin(90°-15°)+cos(180°+15°)=cos 15°-cos 15°=0. 2.已知角θ的终边过点(-3，4)，则cos(π-θ)等于(　　) A.- B. C.- D. 答案　D 解析　因为角θ的终边过点(-3，4)， 所以cos θ=-所以cos(π-θ)=-cos θ=. 3.若sin则cos等于(　　) A.- B. C.- D. 答案　B 解析　因为 所以-α= 所以cos=cos =sin. 4.已知角α为钝角，且角θ(0<θ<2π)终边上有一点P(-sin α，cos α)，则角θ等于(　　) A.π+α B.+α C.2π-α D.-α 答案　B 解析　点P(-sin α，cos α)， 由诱导公式可化为P 由三角函数的定义知，θ=+α+2kπ，k∈Z， 又因为α为钝角，0<θ<2π， 所以θ=+α. 5.在△ABC中，若cos(A+B)>0，sin C=则tan C等于(　　) A. B.- C.± D. 答案　B 解析　由cos(A+B)>0知， cos(π-C)=-cos C>0， 即cos C<0，又sin C= 所以cos C=-=- 故tan C==-. 6.“α-β=”是“cos α+sin β=0”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案　A 解析　由α-β=得α=β+则cos α+sin β=cos+sin β=-sin β+sin β=0.取α=β=-π，满足cos α+sin β=0，但不满足α-β= 则由α-β=可得cos α+sin β=0，由cos α+sin β=0得不到α-β= 故“α-β=”是“cos α+sin β=0”的充分不必要条件. 7.(多选)已知下列等式的左、右两边都有意义，则能够恒成立的是(　　) A.tan=tan B.sin=cos C.tan2αsin2α=tan2α-sin2α D.sin4α-cos4α=2sin2α-1 答案　BCD 解析　对于A，tan=tan =-tan故A错误； 对于B，sin=sin =cos故B正确； 对于C，tan2αsin2α=sin2α=·sin2α =sin2α=-sin2α=tan2α-sin2α，故C正确； 对于D，sin4α-cos4α=(sin2α+cos2α)(sin2α-cos2α)=sin2α-cos2α=sin2α-(1-sin2α)=2sin2α-1，故D正确. 8.(5分)在平面直角坐标系xOy中，角α以Ox为始边，终边与单位圆☉O交于点P，且cos α=-.点P在该单位圆上按逆时针方向做圆周运动到达点Q.若经过的圆弧的长为则点Q的纵坐标为　　　　. 答案　- 解析　设点Q的坐标为(x，y)，由题意可知以OQ为终边的角为α+ 则 因为y=sin=cos α=- 所以点Q的纵坐标为-. 9.(5分)若函数f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β)，其中a，b，α，β都是非零实数，且满足f(2 024)=2，则f(2 025)=　　　　. 答案　-2 解析　∵f(2 024)=asin(2 024π+α)+bcos(2 024π+β)=asin α+bcos β=2， ∴f(2 025)=asin(2 025π+α)+bcos(2 025π+β) =-asin α-bcos β=-(asin α+bcos β)=-2. 10.(11分)已知f(α)=. (1)化简f(α)；(3分) (2)若f(α)=2，求sin2α-3sin αcos α的值；(3分) (3)若f=3，求sin的值.(5分) 解　(1)f(α)= ==tan α. (2)由f(α)=2得tan α=2， 故sin2α-3sin αcos α==-. (3)由f=3得tan=3， 故sin=3cos 又sin2+cos2=1， 故cos2又tan=3>0， 当为第一象限角时，cos 当为第三象限角时，cos=- 因为sin=-cos=-cos 故当为第一象限角时，sin=- 当为第三象限角时，sin. 11.黄金三角形有两种，一种是顶角为36°的等腰三角形，另一种是顶角为108°的等腰三角形，例如，正五角星可以看成是由一个正五边形剪去五个顶角为108°的黄金三角形后得到的图形，如图所示，在黄金三角形ABC中根据这些信息，可得cos 144°等于(　　) A. B.- C.- D.- 答案　C 解析　∵∠ABC=108°， ∴∠BAC=×(180°-108°)=36°， ∵cos 36°= ∴cos 144°=-cos 36°=-. 12.(多选)已知f(α)=则下列说法正确的是(　　) A.f(α)=-sin αcos α B.f的值大于零 C.若tan α=2，则f(α)= D.若f(α)=α∈(0，π)，则sin α-cos α= 答案　AD 解析　f(α)==-sin αcos α，故A正确； f=-sin cos =-=-<0，故B错误； f(α)=-sin αcos α==-故C错误； 若f(α)=-sin αcos α= 则(sin α-cos α)2=sin2α+cos2α-2sin αcos α=1-2sin αcos α=1+×2=即sin α-cos α=± ∵α∈(0，π)，∴sin α>0， 而-sin αcos α=>0，∴cos α<0， 则sin α-cos α=故D正确. 13.(5分)在平面直角坐标系中，已知点A在单位圆上且位于第三象限，点A的纵坐标为-若点A沿单位圆逆时针运动到点B，所经过的弧长为则点B的坐标为　　　　. 答案　 解析　设点A是角α的终边与单位圆的交点， 因为点A在单位圆上且位于第三象限，点A的纵坐标为- 所以sin α=- cos α=-=- 因为点A沿单位圆逆时针运动到点B，所经过的弧长为 所以∠AOB= 所以点B的横坐标为cos=-sin α= 纵坐标为sin=cos α=- 即点B的坐标为. 14.(13分)在△ABC中. (1)求证：cos2+cos2=1；(6分) (2)若costan(C-π)<0，求证：△ABC为钝角三角形.(7分) 证明　(1)△ABC中，A+B=π-C， ∴ ∴cos=cos=sin ∴cos2+cos2=sin2+cos2=1. (2)△ABC中，costan(C-π)<0， ∴-sin A·(-cos B)·tan C<0， 即sin Acos Btan C<0. 又A，B，C∈(0，π)， ∴sin A>0， ∴cos Btan C<0， 即cos B<0或tan C<0， ∴B为钝角或C为钝角， ∴△ABC为钝角三角形. 15.(14分)证明：=1，k∈Z. 证明　当k为偶数时，设k=2m(m∈Z)，则 原式= = =1. 当k为奇数时，设k=2m+1(m∈Z)，则 原式= ==1， 故原式=1. 学科网（北京）股份有限公司 $