第10讲 三角函数的性质与应用 讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦三角函数的性质与应用，通过思维导图系统梳理φ、ω、A对函数y=Asin(ωx+φ)图象的平移和伸缩影响，构建从图象变换到参数意义再到实际应用的学习支架，衔接前后知识脉络。 资料以典例分析为核心，分七类题型结合各地真题，通过筒车、摩天轮等实例培养数学眼光，变式训练发展数学思维，助力教师课中分层教学，课后练习帮助学生查漏补缺，提升用数学语言解决问题的能力。

高一年级数学2025年秋学期课程第10讲 三角函数的性质与应用 2025年 月 日 1、 思维导图 二、知识点梳理 1.φ(φ≠0)对函数y＝sin(x＋φ)，x∈R的图象的影响 如图所示，对于函数y＝sin(x＋φ)(φ≠0)的图象，可以看作是把y＝sin x的图象上所有的点向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时)平行移动|φ|个单位长度而得到的． 2.ω(ω＞0)对函数y＝sin(ωx＋φ)的图象的影响 如图所示，函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象，可以看作是把y＝sin(x＋φ)的图象上所有点的横坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的倍(纵坐标不变)而得到． 3.A(A＞0)对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响 如图所示，函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象，可以看作是把y＝sin(ωx＋φ)图象上所有点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0<A<1时)到原来的A倍(横坐标不变)而得到． 4.三角函数图象的变换 由函数y＝sin x的图象变换得到y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种方法 5.函数y＝Asin(ωx＋φ)，A＞0，ω＞0中参数的物理意义 6.利用三角函数模型解释自然现象 利用三角函数模型解决实际问题的一般步骤 第一步：阅读理解，审清题意． 读题要做到逐字逐句，读懂题中的文字，理解题目所反映的实际背景，在此基础上分析出已知什么、求什么，从中提炼出相应的数学问题． 第二步：收集、整理数据，建立数学模型． 根据收集到的数据找出变化规律，运用已掌握的三角函数知识、物理知识及相关知识建立关系式，将实际问题转化为一个与三角函数有关的数学问题，即建立三角函数模型，从而实现实际问题的数学化． 第三步：利用所学的三角函数知识对得到的三角函数模型予以解答． 第四步：将所得结论转译成实际问题的答案． (2)三角函数模型的建立程序 如图所示： 三、典例分析 类型一　平移变换 【例1】（24-25高一上·安徽宣城·期末）将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，则函数的图象的一个对称中心是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求图象变化前（后）的解析式 【分析】根据给定条件，求出函数的解析式，再利用正弦函数的对称性求解判断. 【详解】依题意，， 对于A，，则不是函数图象的对称中心，A不是； 对于B，，则不是函数图象的对称中心，B不是； 对于C，，则不是函数图象的对称中心，C不是； 对于D，，则是函数图象的对称中心，D是. 故选：D 【变1】（23-24高一下·湖北武汉·期末）已知函数（其中，，.）的部分图象如图所示，将函数图象上所有点向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求图象变化前（后）的解析式、由图象确定正（余）弦型函数解析式 【分析】利用周期公式结合函数图象求出和的值，即，再找一点坐标代入函数解析式即可求值，再根据平移变换求出即可. 【详解】由函数图象可知，即，解得， 函数的最大值为，则， 所以函数解析式为， 将点代入解析式得，则, 解得， 又因为，所以时，， 所以函数解析式为， 将函数图象上所有点向左平移个单位长度， 得到函数. 故选：A 【变2】（2025-2026高一下·山东聊城·期末）要得到函数的图象，只需将的图象（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】B 【知识点】描述正（余）弦型函数图象的变换过程 【分析】借助正弦型函数平移的特征计算即可得.. 【详解】由题意可得的图象向右平移个单位可得，故B正确. 故选：B. 总结　对平移变换应先观察函数名是否相同，若函数名不同则先化为同名函数．再观察x前系数，当x前系数不为1时，应提取系数确定平移的单位和方向，方向遵循左加右减，且从ωx→ωx＋φ的平移量为个单位长度． 【变3】将函数y＝2sin的图象向左平移m(m>0)个单位长度后，所得图象对应的函数为偶函数，则m的最小值为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　因为函数y＝2sin的图象向左平移m个单位长度，所得图象对应的函数为y＝2sin，所以＋m＝kπ＋，k∈Z，即m＝kπ＋，k∈Z.又m>0，所以m的最小值为，故选B. 类型二　伸缩变换 【例2】将函数y＝sin图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的5倍，可得到函数__________的图象． 答案　y＝sin 【变1】若将本例中“横坐标伸长为原来的5倍”改为“纵坐标伸长为原来的5倍”，其它条件不变，则可得到函数解析式为________． 答案　y＝5sin 总结　对于函数y＝sin x，若横坐标伸长为原来的ω(ω>1)倍，则得到函数y＝sin .若纵坐标伸长为原来的A(A>1)倍，则得到函数y＝Asin x，两者可理解为横向伸缩是反比例伸缩变换，纵向伸缩是正比例伸缩变换． 类型三　图象变换的综合应用 【例3】（25-26高一上·全国·单元测试）将函数的图象先向左平移个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则在上的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求图象变化前（后）的解析式 【分析】先由平移变换知识得到函数的图象，再由的取值范围和的单调性即可得到函数在所给区间上的单调性，从而得到最值. 【详解】函数的图象先向左平移个单位长度后得到函数的图象， 再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象， 当时，，因为在上单调递增， 则在上单调递增， 故. 故选：D 总结　(1)已知变换途径及变换后的函数解析式，求变换前函数图象的解析式，宜采用逆变换的方法． (2)已知函数f(x)图象的伸缩变换情况，求变换前后图象的解析式．要明确伸缩的方向及量，然后确定出A或ω即可． 【变1】（25-26高三上·河北保定·月考）把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求图象变化前（后）的解析式 【分析】根据题意，由的图象逆向变换即可得的解析式. 【详解】将图象上所有点向右平移个单位长度，得函数的图象， 再把函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变， 得，即. 故选：C 【变2】（25-26高一上·全国·课前预习）将函数图象上的所有点的横坐标扩大到原来的倍，纵坐标不变，再将得到的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则的一个对称中心为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求cosx（型）函数的对称轴及对称中心、求图象变化前（后）的解析式 【分析】先根据图象变换求出的解析式，根据对称性可得答案. 【详解】将函数图象上的所有点的横坐标扩大到原来的倍得到函数的图象， 再向右平移个单位长度得到的图象， 令，解得，结合选项可得当时，， 故选：C． 类型四　由图象求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式 【例4】（25-26高一上·云南楚雄·月考）函数在一个周期内的图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式 【分析】由函数图像求出，利用周期公式求出，将代入函数求出. 【详解】由函数图像可知，所以，又，所以， 将代入得到，因为，所以， 故，解得． 故选：C． 总结　若设所求解析式为y＝Asin(ωx＋φ)，则在观察函数图象的基础上，可按以下规律来确定A，ω，φ. (1)由函数图象上的最大值、最小值来确定|A|. (2)由函数图象与x轴的交点确定T，由T＝，确定ω. (3)确定函数y＝Asin(ωx＋φ)的初相φ的值的两种方法 ①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω已知)或代入图象与x轴的交点求解．(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上) ②五点对应法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点作为突破口．“五点”的ωx＋φ的值具体如下： “第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0； “第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ＝； “第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π； “第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ＝； “第五点”为ωx＋φ＝2π. 【变1】（2025·河南·一模）若函数的最小正周期为，函数，满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期、由正弦（型）函数的奇偶性求参数 【分析】根据正弦型函数的周期公式求出的值，可得出函数的解析式，根据正弦型函数的奇偶性可得出关于的等式，即可得出正数的最小值. 【详解】因为函数的最小正周期为，所以， 则函数. 因为函数满足，所以函数是奇函数， 则，解得， 而，因此最小可取. 故选：D. 【变2】 已知曲线y＝Asin(ωx＋φ)上最高点为(2，)，该最高点与相邻的最低点间的曲线与x轴交于点(6,0)． (1)求函数的解析式；(2)求函数在x∈[－6,0]上的值域． 解　(1)由题意可知A＝，＝6－2＝4， ∴T＝16，即＝16，∴ω＝， ∴y＝sin. 又图象过最高点(2，)，∴sin＝1， 故＋φ＝＋2kπ，k∈Z，∴φ＝＋2kπ，k∈Z， 由|φ|≤，得φ＝，∴y＝sin. (2)∵－6≤x≤0，∴－≤x＋≤， ∴－≤sin≤1. 即函数在x∈[－6,0]上的值域为[－，1]. 类型五　函数y＝Asin性质的应用 【例5】（25-26高一上·湖南衡阳·月考）已知的值域为为的一个零点，且对任意实数，都满足，且函数的周期为所有可能周期中的最大值，当符合条件的正数取最小值时，的值为（   ） A．2 B． C． D．5 【答案】D 【知识点】由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式） 【分析】根据值域求出，由对任意实数，都满足，且函数的周期为所有可能周期中的最大值，得到，解出，利用周期公式得到，由为的一个零点， 得到，从而得到或，利用符合条件的正数取最小值得到， 从而得到，计算所求即可. 【详解】，， ，值域为，，， ，， 设，则， ， 且函数的周期为所有可能周期中的最大值，， ，，，， 为的一个零点，， ，或， ，或， 或， 符合条件的正数取最小值，， ，， ，，， ， ，， . 故选：D. 总结　有关函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质的问题，要充分利用正弦曲线的性质，要特别注意整体代换思想． 【变1】（24-25高一下·黑龙江齐齐哈尔·月考）是函数的两个零点，若最小值为，将向右平移个单位长度后恰好过原点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求图象变化前（后）的解析式、利用正弦函数的对称性求参数 【分析】由题意可计算出周期，即可得，再利用平移后过零点计算可得，从而可结合得到的最大值. 【详解】由最小值为，则，则， 将向右平移个单位长度后恰好过原点， 则， 则，又，则的最大值为. 故选：A. 【变2】（25-26高一上·吉林·期中）已知函数． (1)求的最小正周期和对称中心： (2)求在区间内的单调递增区间； (3)当时，求的最大及最小值． 【答案】(1)最小正周期为；对称中心为 (2) (3)最大值为，最小值为. 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求sinx型三角函数的单调性、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求正弦（型）函数的最小正周期 【分析】（1）根据题意，利用正弦型函数最小正周期的计算公式，求得函数的最小正周期，令，进而得到函数的对称中心； （2）根据题意，求得，结合正弦函数的单调性，进而求得的单调递增区间； （3）根据题意，求得，结合正弦函数的性质，即可求得函数的最值. 【详解】（1）解：由函数，可得函数的最小正周期为， 令，解得， 所以函数的对称中心为. （2）解：由，可得， 令，可得；令，可得， 所以函数的单调递增区间为. （3）解：由，可得， 当时，即时，函数取得最小值，最小值为； 当时，即时，函数取得最大值，最大值为， 所以函数在上的最大值为，最小值为. 类型六　三角函数模型在物理中的应用 【例6】（24-25高一下·吉林长春·月考）电流强度随时间变化的关系式是，当时，电流强度为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角函数在物理学中的应用 【分析】根据给定的函数，代入求出函数值即可. 【详解】函数，当时，. 故选：A 【变1】（2025·陕西榆林·模拟预测）交流电的瞬时值随时间周期性变化，正负号表示电流方向的交替变化.电流强度（安）随时间（秒）变化的函数的图象如图所示，则当秒时，电流强度是（    ） A．安 B．5安 C．安 D．安 【答案】D 【知识点】三角函数在物理学中的应用、由图象确定正（余）弦型函数解析式 【分析】通过函数的图象求出，然后利用周期公式求出，将点代入表达式，即可求出的值，得到函数解析式，代入秒，即可求出电流强度. 【详解】由图象得，电流的最大值和最小值分别为10和，可得. 由周期得， 再将点代入，得， 所以. 因为，所以时， ，所以. 将代入得，. 故选：D. 总结　此类问题的解决关键是将图形语言转化为符号语言，其中，读图、识图、用图是数形结合的有效途径． 类型七　三角函数模型在生活中的应用 【例7】（24-25高一下·湖北武汉·期中）（多选）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用（图1），明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图2）．若一半径为2米的筒车水轮圆心距离水面1米（图3），已知水轮按逆时针转动，每分钟转动5圈，当水轮上点从水中浮现时（图3中点）开始计时，经过分钟后点距离水面的高度为米，下列结论正确的有（   ） A．关于的函数解析式为（） B．点第一次到达最高点需用时5秒 C．点再次接触水面需用时8秒 D．当点运动2秒时，距水面的高度为2米 【答案】CD 【知识点】由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、三角函数在生活中的应用 【分析】根据函数模型的定义与性质，求出和，写出函数解析式，再判断选项中的命题是否正确. 【详解】函数中，，所以， 时，，解得，所以， 所以，故A错误； 令时，得，则， 解得，所以的最小值为分钟，即用时秒， 所以点第一次到达最高点需用时秒，故B错误； 由题意知，点再次接触水面需用时分钟，即秒，故C正确； 当点运动2秒时，即时，，故D正确； 故选：CD 总结　解决三角函数的实际应用问题必须按照一般应用题的解题步骤执行：(1)认真审题，理清问题中的已知条件与所求结论；(2)建立三角函数模型，将实际问题数学化；(3)利用三角函数的有关知识解决关于三角函数的问题，求得数学模型的解；(4)根据实际问题的意义，得出实际问题的解；(5)将所得结论返回、转译成实际问题的答案． 【变1】（24-25高一上·浙江杭州·期末）某游乐场的摩天轮示意图如图，已知该摩天轮的半径为30米，轮上最低点与地面的距离为2米，沿逆时针方向匀速旋转，旋转一周所需时间为分钟.在圆周上均匀分布12个座舱，标号分别为（可视为点），在旋转过程中，座舱与地面的距离与时间的函数关系基本符合正弦函数模型，现从图示位置，即1号座舱（可视为点）位于圆周最右端时开始计时，旋转时间为分钟. (1)求1号座舱（点）与地面的距离与时间的函数关系的解析式（写出定义域）； (2)在前24分钟内，求1号座舱（点）与地面的距离为17米时的值. 【答案】(1) (2)或 【知识点】由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、三角函数在生活中的应用 【分析】（1）依题意设，即可得到，，再由周期求出，最后求出即可； （2）令，结合正弦函数的性质计算可得. 【详解】（1）设1号座舱与地面的距离与时间的函数关系的解析式为（， ）， 依题意可得，， ． 依题意，， 当时，，且位于递增区间，所以可取， ． （2）令，即，， ，， 或，解得或， 故或时，1号座舱与地面的距离为17米． 【变2】（24-25高一下·内蒙古包头·月考）为迎接大运会的到来，学校决定在半径为，圆心角为的扇形空地的内部修建一平行四边形观赛场地，如图所示，则观赛场地的面积最大值为 . 【答案】 【知识点】几何中的三角函数模型、三角函数在生活中的应用 【分析】如图，连接，设，可用的三角函数值表示，，即可得到四边形的面积，再根据三角函数的值域的求法即可求解． 【详解】如图所示： 连接，设，作，，垂足分别为． 根据平面几何知识可知，，，． 所以，． 故四边形的面积也为四边形的面积， 即有 ，其中． 所以当即时，． 故答案为：． 【变3】（24-25高一下·江苏·月考）如图，某侦察飞机沿水平直线匀速飞行．在A处观测地面目标，测得俯角．飞行后到达处，此时观测地面目标，测得俯角．又飞行一段时间后到达处，此时观测地面目标，测得俯角的余弦值为，则该侦察飞机由至的飞行时间为 ．    【答案】 【知识点】已知弦（切）求切（弦）、三角函数在生活中的应用 【分析】结合图形，利用解三角形的知识，以及三角函数的基本关系式，即可求解. 【详解】设飞机的飞行速度为，根据飞机的飞行图形， 测得俯角为，飞行后到达B处观测地面目标P，测得俯角， 所以为直角三角形，    过点作于点，则， 则， 设飞机由B至C的飞行时间为分钟，则， 由，可得， 则， 又由，解得. 故答案为：. 四、课后练习 1．（24-25高二下·云南楚雄·月考）将函数的图象上所有点向右平移个单位后得到的图象关于轴对称，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用正弦函数的对称性求参数、求图象变化前（后）的解析式 【分析】先得出平移后的解析式，再根据奇偶性得出，，最后根据范围即可. 【详解】将函数的图象上所有点向右平移个单位后得到的图象的解析式为 ， 因为的图象关于y轴对称， 所以，，解得，， 因为，所以. 故选：D. 2．（25-26高三上·河南新乡·期中）将函数的图象向左平移个单位长度后，所得图象与原图象重合，且的最小值为2，则曲线的对称中心的横坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求正弦（型）函数的最小正周期 【分析】根据给定条件，结合正弦函数的图象性质求出，进而求得答案. 【详解】将函数的图象向左平移个单位长度后，所得图象与原图象重合， 则是函数周期的正整数倍， 而的最小值为2，因此，解得， 函数，由，解得， 所以曲线的对称中心的横坐标为. 故选：C 3．（24-25高一下·广东广州·期末）如图，一个半径为3米的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心O距离水面的高度为1.5米.设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d（单位：米）（在水面下则d为负数），若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间t（单位：秒）之间的关系为（，，），则（   ） A． B． C．盛水筒出水后至少经过秒就可到达最低点 D．盛水筒P在转动一圈的过程中，P在水中的时间为秒 【答案】D 【知识点】解正弦不等式、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、三角函数在生活中的应用 【分析】根据给定条件，求出判断AB；求出点的位置判断C；解不等式判断D. 【详解】点到水面的距离与时间之间的关系为， 对于A，依题意，，则，A错误； 对于B，由时，得，即，而，则，B错误； 对于C，，令，得， 解得，则，解得， 即盛水筒出水后至少经过秒可到达最低点，C错误； 对于D，由，得，即， 则，解得， 所以盛水筒在转动一圈的过程中，在水中的时间为秒，D正确. 故选：D 4．（25-26高三上·天津河西·期中）已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B．将的图象向右平移个单位，再将所有点的横坐标变为原来2倍，得到的图象，则 C．的对称中心为 D．若，且，则 【答案】D 【知识点】求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、利用正弦函数的对称性求参数、由图象确定正（余）弦型函数解析式、求图象变化前（后）的解析式 【分析】根据函数图象确定相关参数，可求出函数解析式，判断A；利用正弦函数图象平移、伸缩变换可判断B；根据正弦函数的对称性可判断C；对于D，根据正弦函数图象的对称性结合已知图象得到，代入求值，即可判断. 【详解】已知函数. 由图知，，故， 又过点，且该点在函数增区间上， 故，则， 则，故A错误； 将的图象向右平移个单位，可得的图象，再将所有点的横坐标变为原来2倍，可得的图象，即，故B错误； 令，则，即对称中心为，故C错误； 因为，且，根据正弦函数图象的对称性结合已知图象，可知， 则，则，故D正确. 故选：D 5．（2025·陕西榆林·一模）（多选）已知函数（），满足，则关于函数的说法正确的有（   ） A． B．函数的对称中心为（） C．函数的单调递减区间为（） D．函数在上的最小值为 【答案】ACD 【知识点】求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求含sinx(型)函数的值域和最值、求sinx型三角函数的单调性、利用正弦函数的对称性求参数 【分析】根据三角函数的对称性求得，利用整体代入法求得的对称中心和单调区间，利用换元法求得最小值. 【详解】因为，且， 所以图象关于直线对称， 即（），解得（）， 又，所以，，A选项正确. 令（），所以图象的对称中心为（）， B选项错误. 令（），得（）， 所以函数的单调递减区间为（），C选项正确. 设，，因为，所以， 所以当时，函数取得最小值为， 即函数在上的最小值为, D选项正确. 故选：ACD 6．（25-26高三上·河南周口·月考）（多选）已知函数的部分图象如图所示，则（   ） A．函数的最小正周期为 B．点是函数图象的一个对称中心 C．直线是函数图象的一条对称轴 D．函数图象可以由函数的图象向右平移个单位长度得到 【答案】ABD 【知识点】求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求正弦（型）函数的最小正周期、由图象确定正（余）弦型函数解析式、求图象变化前（后）的解析式 【分析】由图象可求得，即可判断A；再由函数过点，可求得，根据三角函数的对称性可判断B，C；利用诱导公式得，根据图象的平移法则可判断D. 【详解】因为，即，所以，故A正确； 而，则， 又因为过点，则，即， 所以， 对于B，因为， 所以是函数图象的一个对称中心，故B正确； 对于C，， 所以直线不是函数图象的对称轴，故C错误； 对于D，， 所以函数图象可以由函数的图象向右平移个单位长度得到，故D正确． 故选：ABD． 7．（25-26高三上·广东深圳·开学考试）（多选）水车（如图1）是古代中国人民充分利用水力资源发展出来的一种机械，它对农业的发展有巨大贡献，使耕地受地形的制约大为减轻，实现丘陵地和山坡地的开发.图1中的水车外圆周上的每个盛水桶都作逆时针方向的匀速圆周运动，将水车抽象为一个以点O为圆心的圆，将水面抽象为一条直线（如图2所示），水车上的盛水桶A视为点A，则在转动过程中点A到水面的高度h（米）与转动时间t（秒）满足函数关系式（A＞0，＞0，），其部分图象如图3所示，则下列结论正确的是（   ） A．水车的外圆半径m B．点A运动一周所用的时间为1分钟 C．初始状态时直线OA与水面所成的角为 D．点A到水面的初始高度为2.5m 【答案】ABC 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式、三角函数在生活中的应用 【分析】从图象可以得到，，和最小正周期，确定函数解析式，再依次对选项一一判断，得到答案. 【详解】A选项，从图象可以看出，m，A正确； B选项，点A运动一周所用的时间为秒，即1分钟，B正确； C选项，由图象可知，，， ，故， 将代入可得，即， 又，故，解得， 故初始状态时直线OA与水面所成的角为，C正确； D选项，，令，得， 即点A到水面的初始高度为5m，D错误. 故选：ABC 8．（25-26高三上·湖南长沙·阶段练习）如图，摩天轮的半径为，摩天轮的中心点距地面的高度为，摩天轮做匀速转动，每36min转一圈，摩天轮上点的起始位置在最低点处.则在摩天轮转动的一圈内，点距离地面超过的时长为 分钟. 【答案】12 【知识点】三角函数在生活中的应用 【分析】根据正弦函数的实际应用，由题意列出运动轨迹的函数解析式，进而写出不等式，求出结果. 【详解】如图，以点在地面的投影点为坐标原点，所在直线为轴，与垂直的向右的方向为轴建立坐标系， 设时点距离地面的高度为，其中，， 由题意得，，，周期，所以， 所以，即， 可得，令，则， 所以， 令，即， 所以，，解得，， 令，则， 所以在摩天轮转动的一圈内，点距离地面超过70m的时长为. 故答案为：12. 9．（25-26高三上·湖南邵阳·期中）已知（，，），其图象经过点，若存在，使得为函数的最大值，为函数的最小值，且同时满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、由图象确定正（余）弦型函数解析式 【分析】由题意可得，可求得，利用函数图像经过，可求得，结合单调性可得，进而可求得的取值范围. 【详解】∵为函数的最大值，为函数的最小值，所以，， 又，所以必有，解得， 又函数图像经过，因此，结合，得出， 则，因为，当时，， 所以，得，，所以，解得． 当时，； 当时，令，因时，， 故从开始，各区间相互重叠，其并集为， 因此的取值范围是. 故答案为：. 10．（2025高三·全国·专题练习）如图所示，一个摩天轮半径为10米，轮子的底部在地面上2米处，如果此摩天轮每20秒转一圈，且当摩天轮上某人经过点处（点与摩天轮中心高度相同）时开始计时.    (1)求此人相对于地面的高度关于时间的函数关系式； (2)在摩天轮转动的一圈内，有多长时间此人相对于地面的高度不超过10米? 【答案】(1) (2)8.72秒 【知识点】由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、三角函数在生活中的应用 【分析】（1）求出摩天轮的转速，利用半径和直角三角形的角的正弦值，求出摩天轮上一点处的纵坐标关于时间的表达式，进而求得此人相对于地面的高度关于时间的函数关系式； （2）根据题意列出不等式，解出不等式即可. 【详解】（1）依题意，此摩天轮的转速为， 设摩天轮上某人在处，则在秒内转过的角为， 所以秒时，点的纵坐标为， 故在秒时此人相对于地面的高度为（米）. （2）令，则，， 且，解得， 故约有秒的时间此人相对于地面的高度不超过10米. 11．（2025·河南·模拟预测）已知函数的最小正周期为． (1)求的单调递减区间； (2)先将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，再将所得图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求sinx型三角函数的单调性、求图象变化前（后）的解析式 【分析】（1）首先根据周期公式求出的值，进而得到函数的表达式，再根据正弦函数的单调性求出的单调递减区间； （2）然后根据三角函数图象的伸缩和平移变换规则求出的表达式，最后通过求解不等式恒成立问题，确定实数m的取值范围． 【详解】（1）因为的最小正周期为， 所以，所以． 令，得， 故的单调递减区间为． （2）的横坐标变为原来的2倍得到， 再将所得图象向左平移个单位长度得到． 令 令，则， 因为，所以当时，取得最大值， 所以，解得或， 故实数的取值范围为． 12．（25-26高三上·广东·月考）已知函数为偶函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为. (1)求的解析式及单调递减区间； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求函数的值域. 【答案】(1)，单调递减区间为 (2) 【知识点】求cosx型三角函数的单调性、求cosx(型)函数的值域、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、求图象变化前（后）的解析式 【分析】（1）根据题设易得，进而求得，再根据正弦型函数的奇偶性可求得，即可求得的解析式，再根据余弦函数的性质求解即可； （2）先根据题意得到，再结合余弦函数的性质求解即可. 【详解】（1）因为函数图象的相邻两对称轴间的距离为， 所以函数的最小正周期，可得， 又由函数为偶函数，可得，解得， 因为，所以， 则， 令，解得， 故的单调递减区间为． （2）将函数的图象向右平移个单位长度， 可得的图象， 再把横坐标缩小为原来的，得到函数的图象， 当时，，则， 故， 即函数的值域为. 【要点回顾】 重难点1、y＝Asin(ωx＋φ)中φ，ω，A对图象的影响； 重难点2、y＝sin x与y＝Asin(ωx＋φ)图象间的变换关系. 【品格养成】 海纳百川有容乃大；壁立千仞无欲则刚。——林则徐 20 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一年级数学2025年秋学期课程第10讲 三角函数的性质与应用 2025年 月 日 1、 思维导图 二、知识点梳理 1.φ(φ≠0)对函数y＝sin(x＋φ)，x∈R的图象的影响 如图所示，对于函数y＝sin(x＋φ)(φ≠0)的图象，可以看作是把y＝sin x的图象上所有的点向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时)平行移动|φ|个单位长度而得到的． 2.ω(ω＞0)对函数y＝sin(ωx＋φ)的图象的影响 如图所示，函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象，可以看作是把y＝sin(x＋φ)的图象上所有点的横坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的倍(纵坐标不变)而得到． 3.A(A＞0)对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响 如图所示，函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象，可以看作是把y＝sin(ωx＋φ)图象上所有点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0<A<1时)到原来的A倍(横坐标不变)而得到． 4.三角函数图象的变换 由函数y＝sin x的图象变换得到y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种方法 5.函数y＝Asin(ωx＋φ)，A＞0，ω＞0中参数的物理意义 6.利用三角函数模型解释自然现象 利用三角函数模型解决实际问题的一般步骤 第一步：阅读理解，审清题意． 读题要做到逐字逐句，读懂题中的文字，理解题目所反映的实际背景，在此基础上分析出已知什么、求什么，从中提炼出相应的数学问题． 第二步：收集、整理数据，建立数学模型． 根据收集到的数据找出变化规律，运用已掌握的三角函数知识、物理知识及相关知识建立关系式，将实际问题转化为一个与三角函数有关的数学问题，即建立三角函数模型，从而实现实际问题的数学化． 第三步：利用所学的三角函数知识对得到的三角函数模型予以解答． 第四步：将所得结论转译成实际问题的答案． (2)三角函数模型的建立程序 如图所示： 三、典例分析 类型一　平移变换 【例1】（24-25高一上·安徽宣城·期末）将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，则函数的图象的一个对称中心是（   ） A． B． C． D． 【变1】（23-24高一下·湖北武汉·期末）已知函数（其中，，.）的部分图象如图所示，将函数图象上所有点向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（   ） A． B． C． D． 【变2】（2025-2026高一下·山东聊城·期末）要得到函数的图象，只需将的图象（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 【变3】将函数y＝2sin的图象向左平移m(m>0)个单位长度后，所得图象对应的函数为偶函数，则m的最小值为(　　) A. B. C. D. 类型二　伸缩变换 【例2】将函数y＝sin图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的5倍，可得到函数__________的图象． 【变1】若将本例中“横坐标伸长为原来的5倍”改为“纵坐标伸长为原来的5倍”，其它条件不变，则可得到函数解析式为________． 类型三　图象变换的综合应用 【例3】（25-26高一上·全国·单元测试）将函数的图象先向左平移个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则在上的最大值为（   ） A． B． C． D． 【变1】（25-26高三上·河北保定·月考）把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 【变2】（25-26高一上·全国·课前预习）将函数图象上的所有点的横坐标扩大到原来的倍，纵坐标不变，再将得到的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则的一个对称中心为（   ） A． B． C． D． 类型四　由图象求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式 【例4】（25-26高一上·云南楚雄·月考）函数在一个周期内的图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【变1】（2025·河南·一模）若函数的最小正周期为，函数，满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变2】已知曲线y＝Asin(ωx＋φ)上最高点为(2，)，该最高点与相邻的最低点间的曲线与x轴交于点(6,0)． (1)求函数的解析式；(2)求函数在x∈[－6,0]上的值域． 类型五　函数y＝Asin性质的应用 【例5】（25-26高一上·湖南衡阳·月考）已知的值域为为的一个零点，且对任意实数，都满足，且函数的周期为所有可能周期中的最大值，当符合条件的正数取最小值时，的值为（   ） A．2 B． C． D．5 【变1】（24-25高一下·黑龙江齐齐哈尔·月考）是函数的两个零点，若最小值为，将向右平移个单位长度后恰好过原点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【变2】（25-26高一上·吉林·期中）已知函数． (1)求的最小正周期和对称中心：(2)求在区间内的单调递增区间；(3)当时，求的最大及最小值． 类型六　三角函数模型在物理中的应用 【例6】（24-25高一下·吉林长春·月考）电流强度随时间变化的关系式是，当时，电流强度为（   ） A． B． C． D． 【变1】（2025·陕西榆林·模拟预测）交流电的瞬时值随时间周期性变化，正负号表示电流方向的交替变化.电流强度（安）随时间（秒）变化的函数的图象如图所示，则当秒时，电流强度是（    ） A．安 B．5安 C．安 D．安 类型七　三角函数模型在生活中的应用 【例7】（24-25高一下·湖北武汉·期中）（多选）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用（图1），明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图2）．若一半径为2米的筒车水轮圆心距离水面1米（图3），已知水轮按逆时针转动，每分钟转动5圈，当水轮上点从水中浮现时（图3中点）开始计时，经过分钟后点距离水面的高度为米，下列结论正确的有（   ） A．关于的函数解析式为（） B．点第一次到达最高点需用时5秒 C．点再次接触水面需用时8秒 D．当点运动2秒时，距水面的高度为2米 【变1】（24-25高一上·浙江杭州·期末）某游乐场的摩天轮示意图如图，已知该摩天轮的半径为30米，轮上最低点与地面的距离为2米，沿逆时针方向匀速旋转，旋转一周所需时间为分钟.在圆周上均匀分布12个座舱，标号分别为（可视为点），在旋转过程中，座舱与地面的距离与时间的函数关系基本符合正弦函数模型，现从图示位置，即1号座舱（可视为点）位于圆周最右端时开始计时，旋转时间为分钟. (1)求1号座舱（点）与地面的距离与时间的函数关系的解析式（写出定义域）； (2)在前24分钟内，求1号座舱（点）与地面的距离为17米时的值. 【变2】（24-25高一下·内蒙古包头·月考）为迎接大运会的到来，学校决定在半径为，圆心角为的扇形空地的内部修建一平行四边形观赛场地，如图所示，则观赛场地的面积最大值为 . 【变3】（24-25高一下·江苏·月考）如图，某侦察飞机沿水平直线匀速飞行．在A处观测地面目标，测得俯角．飞行后到达处，此时观测地面目标，测得俯角．又飞行一段时间后到达处，此时观测地面目标，测得俯角的余弦值为，则该侦察飞机由至的飞行时间为 ．    四、课后练习 1．（24-25高二下·云南楚雄·月考）将函数的图象上所有点向右平移个单位后得到的图象关于轴对称，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·河南新乡·期中）将函数的图象向左平移个单位长度后，所得图象与原图象重合，且的最小值为2，则曲线的对称中心的横坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·广东广州·期末）如图，一个半径为3米的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心O距离水面的高度为1.5米.设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d（单位：米）（在水面下则d为负数），若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间t（单位：秒）之间的关系为（，，），则（   ） A． B． C．盛水筒出水后至少经过秒就可到达最低点 D．盛水筒P在转动一圈的过程中，P在水中的时间为秒 4．（25-26高三上·天津河西·期中）已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B．将的图象向右平移个单位，再将所有点的横坐标变为原来2倍，得到的图象，则 C．的对称中心为 D．若，且，则 5．（2025·陕西榆林·一模）（多选）已知函数（），满足，则关于函数的说法正确的有（   ） A． B．函数的对称中心为（） C．函数的单调递减区间为（） D．函数在上的最小值为 6．（25-26高三上·河南周口·月考）（多选）已知函数的部分图象如图所示，则（   ） A．函数的最小正周期为 B．点是函数图象的一个对称中心 C．直线是函数图象的一条对称轴 D．函数图象可以由函数的图象向右平移个单位长度得到 7．（25-26高三上·广东深圳·开学考试）（多选）水车（如图1）是古代中国人民充分利用水力资源发展出来的一种机械，它对农业的发展有巨大贡献，使耕地受地形的制约大为减轻，实现丘陵地和山坡地的开发.图1中的水车外圆周上的每个盛水桶都作逆时针方向的匀速圆周运动，将水车抽象为一个以点O为圆心的圆，将水面抽象为一条直线（如图2所示），水车上的盛水桶A视为点A，则在转动过程中点A到水面的高度h（米）与转动时间t（秒）满足函数关系式（A＞0，＞0，），其部分图象如图3所示，则下列结论正确的是（   ） A．水车的外圆半径m B．点A运动一周所用的时间为1分钟 C．初始状态时直线OA与水面所成的角为 D．点A到水面的初始高度为2.5m 8．（25-26高三上·湖南长沙·阶段练习）如图，摩天轮的半径为，摩天轮的中心点距地面的高度为，摩天轮做匀速转动，每36min转一圈，摩天轮上点的起始位置在最低点处.则在摩天轮转动的一圈内，点距离地面超过的时长为 分钟. 9．（25-26高三上·湖南邵阳·期中）已知（，，），其图象经过点，若存在，使得为函数的最大值，为函数的最小值，且同时满足，则的取值范围是 ． 10．（2025高三·全国·专题练习）如图所示，一个摩天轮半径为10米，轮子的底部在地面上2米处，如果此摩天轮每20秒转一圈，且当摩天轮上某人经过点处（点与摩天轮中心高度相同）时开始计时.    (1)求此人相对于地面的高度关于时间的函数关系式； (2)在摩天轮转动的一圈内，有多长时间此人相对于地面的高度不超过10米? 11．（2025·河南·模拟预测）已知函数的最小正周期为． (1)求的单调递减区间； (2)先将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，再将所得图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 12．（25-26高三上·广东·月考）已知函数为偶函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为. (1)求的解析式及单调递减区间； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求函数的值域. 20 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $