第4章 4.3.2 第2课时 换底公式（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（人教A版）

本讲义聚焦高中数学换底公式核心知识点，通过问题引导推导公式log_a b = log_c b / log_c a（a,b,c>0且a,c≠1），梳理其推论（如log_a N = 1/log_N a等），搭建从对数基本运算到综合应用的学习支架。 资料以问题链驱动探究，通过假设推导培养数学思维的推理能力，结合地震能量、溶液过滤等实际问题引导用数学眼光观察现实世界。例题多解法、训练分层递进，课中助力教师教学，课后帮助学生巩固知识、提升数学语言表达与问题解决能力。

第2课时　换底公式 学习目标　1.掌握换底公式及其推论.(重点)2.能熟练运用对数的运算性质进行化简求值.(难点) 一、对数的换底公式 问题　假设=x，则log25=xlog23，即log25=log23x，从而有3x=5，再将此式化为对数式可得到什么结论？ 提示　x=log35，从而x==log35. 知识梳理　 1.对数换底公式：logab=a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1). 2.对数换底公式的重要推论 (1)logaN=N>0，且N≠1；a>0，且a≠1). (2bm=logab(a>0，且a≠1，b>0，n≠0). (3)logab·logbc·logcd=logad(a>0，b>0，c>0，d>0，且a≠1，b≠1，c≠1). 特别地logab·logba=1. 注意点： (1)公式成立的条件要使每一个对数式都有意义. (2)在具体运算中，我们习惯换成常用对数或自然对数，即logab=或logab=a>0，且a≠1；b>0). 例1　(1)计算：(log43+log83)(log32+log92)； (2)计算：. (3)已知log189=a，18b=5，用a，b表示log3645的值. 解　(1)原式= = =. (2)原式= =lo×lo9=lo×3lo32 =-×log32×3log23=-. (3)方法一　∵18b=5，∴log185=b. ∴log3645= =. 方法二　∵18b=5，∴log185=b. ∴log3645=. 延伸探究　若本例(3)条件不变，求log915(用a，b表示). 解　∵18b=5，∴log185=b. ∴log915= = = =. 反思感悟　利用换底公式进行化简求值的原则和技巧 跟踪训练1　(1的值是(　　) A. B. C.1 D.2 答案　A 解析　方法一　将分子、分母利用换底公式转化为常用对数， 即. 方法二　将分子利用换底公式转化为以2为底的对数， 即. 方法三　. (2)已知lg 2=a，lg 3=b，用a，b表示log212. 解　因为lg 2=a，lg 3=b， 所以log212=. 二、对数运算性质的综合运用 例2　(1)设3a=4b=36，求的值； (2)已知x，y，z为正数，若3x=4y=6z，求的值. 解　(1)方法一　由3a=4b=36， 得a=log336，b=log436， 由换底公式得=log363=log364， ∴=2log363+log364=log3636=1. 方法二　由3a=4b=36，两边取以6为底的对数，得alog63=blog64=log636=2， ∴=log63log64=log62， ∴=log63+log62=log66=1. (2)令3x=4y=6z=a(a>0)， 由题意得a≠1， ∴x=log3a，y=log4a，z=log6a， ∴. 反思感悟　利用对数式与指数式互化求值的方法 (1)在对数式、指数式的互化运算中，要注意灵活运用定义、性质和运算法则，尤其要注意条件和结论之间的关系，进行正确的相互转化. (2)对于连等式可令其等于k(k>0)，然后将指数式用对数式表示，再由换底公式可将指数的倒数化为同底的对数，从而使问题得解. 跟踪训练2　已知3a=4b=c，且=2，求c的值. 解　∵3a=4b=c，∴c>0，∴a=log3c，b=log4c， 又=2，∴a≠0，b≠0，∴c≠1， ∴=logc3=logc4， ∴=logc3+ logc4=logc12=2. ∴c2=12， 又∵c>0，∴c=2. 三、实际问题中的对数运算 例3　(课本例5)尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量E(单位：焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为 lg E=4.8+1.5M. 2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，它所释放出来的能量是2008年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震的多少倍(精确到1)？ 解　设里氏9.0级和8.0级地震的能量分别为E1和E2. 由lg E=4.8+1.5M，可得 lg E1=4.8+1.5×9.0， lg E2=4.8+1.5×8.0. 于是，lg=lg E1-lg E2 =(4.8+1.5×9.0)-(4.8+1.5×8.0)=1.5. 利用计算工具可得，=101.5≈32. 虽然里氏9.0级地震与里氏8.0级地震仅相差1级，但前者释放出来的能量却是后者的约32倍. 例3　某化工厂生产一种溶液，按市场需求，杂质含量不能超过0.1%.若初始时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少要使产品达到市场要求，则至少应过滤的次数为(已知：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)(　　) A.6 B.7 C.8 D.9 答案　C 解析　设至少需要过滤n次， 则0.02×≤0.001，即. 所以nlg≤lg即n(lg 2-lg 3)≤-lg 20， 即n≥≈7.4. 又n∈N，所以n≥8. 所以至少过滤8次才能使产品达到市场要求. 反思感悟　关于对数运算在实际问题中的应用 (1)在与对数相关的实际问题中，先将题目中数量关系理清，再将相关数据代入，最后利用对数运算性质、换底公式进行计算. (2)在与指数相关的实际问题中，可将指数式利用取对数的方法，转化为对数运算，从而简化复杂的指数运算. 跟踪训练3　在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v(单位：m/s)和燃料的质量M(单位：kg)、火箭(除燃料外)的质量m(单位：kg)满足ev=e为自然对数的底数，ln 3≈1.099).当燃料质量M为火箭(除燃料外)质量m的两倍时，求火箭的最大速度. 解　因为v=ln =2 000ln且M=2m， 所以v=2 000×ln 3≈2 000×1.099=2 198(m/s). 故当燃料质量M为火箭(除燃料外)质量m的两倍时，火箭的最大速度约为2 198 m/s. 1.知识清单： (1)换底公式. (2)对数的实际应用. 2.方法归纳：换底公式、转化法. 3.常见误区：要注意对数的换底公式的结构形式，易混淆. 1.-+log23×log34的值为(　　) A. B. C.1 D. 答案　D 解析　原式=- =-. 2.已知2x=3，log4=y，则x+2y的值为(　　) A.3 B.8 C.4 D.log48 答案　A 解析　由2x=3得x=log23， ∴x+2y=log23+2log4 =log23+2lo =log23+log2=log28=3. 3.已知lg 2=a，lg 3=b，则log36等于(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　log36=. 4.锶90是发生核爆后产生的主要辐射物之一，它每年的衰减率为2.47%，那么大约经过　　　　　年，辐射物中锶90的剩余量不高于原有的7.46%(结果保留整数)(　　)  (参考数据：ln 0.074 6≈-2.596，ln 0.975 3≈-0.025) A.110 B.100 C.104 D.90 答案　C 解析　由题意，设辐射物中锶90的原有含量为a，至少经过t年辐射物中锶90的剩余量不高于原有的7.46%， 所以a(1-0.024 7)t≤0.074 6a，即0.975 3t≤0.074 6=0.975 所以t≥log0.975 30.074 6=≈104， 所以大约经过104年，辐射物中锶90的剩余量不高于原有的7.46%. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共12分 1.化简log832的值为(　　) A. B.2 C.4 D. 答案　D 解析　log832=. 2.log29×log34等于(　　) A. B. C.2 D.4 答案　D 解析　方法一　原式==4. 方法二　原式=2log23×=2×2=4. 3.等于(　　) A.lg 3 B.-lg 3 C. D.- 答案　C 解析　原式=lo+lo =lo+lo =lo=log310=. 4.若a=log35，5b=6，则ab-log32等于(　　) A.1 B.-1 C.2 D.-2 答案　A 解析　由5b=6⇒b=log56， 故ab-log32=log35·log56-log32=log35·-log32=log36-log32=log3=log33=1. 5.已知log23=a，log27=b，则log4256等于(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　由换底公式及运算性质化简整理，得log4256= = 将log23=a，log27=b代入上式，得log4256=. 6.已知ab≠1，logam=2，logbm=3，则logabm等于(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　由题意知，m>0，a>0，且a≠1，b>0，且b≠1， 因为logam=2，logbm=3，则m≠1， 所以由换底公式可得logma=logmb= 又因为logma+logmb=logmab(ab≠1)， 所以logmab= 所以由换底公式可得logabm=. 7.(多选)若log2m=log4n，则下列结论一定成立的是(　　) A.n=2m B.log9n=log3m C.ln n=2ln m D.log2m=log8(mn) 答案　BCD 解析　依题意log2m=log4n，所以m>0，n>0，log2m=lon=log2n=log2所以m=m2=n，A选项错误； log9n=lom2=log3m=log3m，B选项正确； ln n=ln m2=2ln m，C选项正确； log8(mn)=lom3=log2m=log2m，D选项正确. 8.(5分)若ln 3=a，则log9e=　　　　(结果用含a的代数式表示).  答案　 解析　因为ln 3=a，所以ea=3，则log9e=. 9.(5分)设log23·log36·log6m=log4(2m+8)，则实数m=　　　　.  答案　4 解析　左边==log2m=log4m2，所以m2=2m+8，解得m=4或m=-2(负值舍去). 10.(10分)计算下列各式的值： (1)log535+2lo-log5-log514；(5分) (2)(log2125+log425+log85)·(log52+log254+log1258).(5分) 解　(1)原式=log535+log550-log514+2lo =log5+lo2=log553-1=2. (2)方法一　原式= = =log25·3log52 =13log25·=13. 方法二　原式= = ==13. 11.根据有关资料，汽车二级自动驾驶仪能够处理空间复杂度的上限M约为1010，目前人类可预测的地面危机总数N约为36×230.则下列各数中与最接近的是(参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　∵ 两边取常用对数，可得lg=lg 1010-lg 36-lg 230≈10-6×0.48-30×0.30=-1.88. ∴≈10-1.88≈. 12.(多选)若10a=4，10b=25，5c=4，则下列计算正确的是(　　) A.a+b=2 B.b-a=1 C.ab=10 D. 答案　AD 解析　由10a=4，10b=25，5c=4， 则a=lg 4，b=lg 25，c=log54， 所以a+b=lg 4+lg 25=lg 100=2，故A正确； b-a=lg 25-lg 4=lg≠1，故B错误； 由ab≤=1，当且仅当a=b时取等号， 又a=lg 4，b=lg 25，所以等号不成立，即ab<1，故C错误； 由=log410-log45=log42=故D正确. 13.(5分)若lg a+lg b=2，lg a·lg b=则lg(ab)·(logab+logba)=　　　　.  答案　12 解析　因为lg a+lg b=2，lg a·lg b=. 所以lg(ab)·(logab+logba)=(lg a+lg b)· =(lg a+lg b)· =(lg a+lg b)· =2×=12. 14.(11分)设xa=yb=zc，其中x，y，z均大于0，且都不为1求证：z=xy. 证明　令xa=yb=zc=k，k>0且k≠1， 则a=logxk，b=logyk，c=logzk. 因为所以 即logkx+logky=logkz. 所以logk(xy)=logkz，即z=xy. 15.(5分)函数f(n)=log(n+1)(n+2)(n∈N*)，定义使f(1)·f(2)·f(3)·…·f(k)为整数的数k(k∈N*)叫做“企盼数”，则在区间上这样的“企盼数”共有　　　个.  答案　9 解析　令g(k)=f(1)·f(2)·f(3)·…·f(k)， 利用对数的换底公式可得f(k)=log(k+1)(k+2)= 得到g(k)=×…×=log2(k+2). 要使g(k)为整数，则k+2=2m，m∈N*. 由于k∈即2m∈ 因为22=4，210=1 024，211=2 048， 可取m=2，3，…，10. 因此在区间上这样的“企盼数”共有9个. 16.(12分)设a，b，c是直角三角形的三边长，其中c为斜边长，且a≠1.求证：log(c+b)a+log(c-b)a=2log(c+b)a·log(c-b)a. 证明　由勾股定理，得a2+b2=c2. log(c+b)a+log(c-b)a = = = = =2log(c+b)a·log(c-b)a. 所以原式成立. 学科网（北京）股份有限公司 $