第4章 周末练12 章末检测试卷(四)（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（人教A版）

**基本信息** 高中数学函数单元章末检测，通过选择、填空、解答题综合考查函数概念、运算及应用，以题载知，检测知识逻辑与数学思维。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念理解|选择1-3|定义域/定点/奇偶性判断|从概念生成到性质应用| |运算求解|选择5/填空12/解答15|指数对数运算/比较大小|运算规则与性质结合| |图像应用|选择6-7/填空14|函数图像识别/零点问题|数形结合思想的应用| |综合应用|选择10/解答17-19|实际应用与综合问题|知识迁移与模型构建|

周末练12　章末检测试卷(四) [时间：120分钟 分值：150分] 一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分) 1.函数f(x)=2ax-1-1(a>0，且a≠1)恒过定点(　　) A.(1，-1) B.(1，1) C.(0，1) D.(0，-1) 答案　B 解析　由题意知，x-1=0，即x=1， 此时f(1)=2a0-1=1， 所以函数恒过定点(1，1). 2.若log3(x-2)=2y-3=1，则x+y的值为(　　) A.2 B.3 C.5 D.8 答案　D 解析　由log3(x-2)=1，得x-2=3，解得x=5， 由2y-3=1，得y-3=0，解得y=3，所以x+y=8. 3.函数f(x)=+lg(5-3x)的定义域是(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　由即1≤x<. 4.函数f(x)=的零点个数是(　　) A.2 B.3 C.4 D.1 答案　A 解析　令x2-2=0得x=±只有x=-符合题意； 令2x-6+ln x=0得6-2x=ln x，在同一直角坐标系内，画出y=6-2x，y=ln x的大致图象，如图所示，观察图象得，交点有1个，所以当x>0时，f(x)有1个零点. 综上，f(x)的零点个数是2. 5.设a=20.2，b=c=log0.20.3，则a，b，c的大小关系为(　　) A.a<b<c B.b<a<c C.b<c<a D.c<a<b 答案　D 解析　因为a=20.2>20=1，b==20.3>20.2，c=log0.20.3<log0.20.2=1，所以c<a<b. 6.函数f(x)=的图象大致为(　　) 答案　A 解析　当x<1时，1-x>0，f(x)=>0，故排除B，C； 当x>1时，1-x<0，f(x)=<0，故排除D. 7.如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x+1)的解集是(　　) A.{x|-1<x≤0} B.{x|-1≤x≤1} C.{x|-1<x≤1} D.{x|-1<x≤2} 答案　C 解析　令g(x)=log2(x+1)，作函数g(x)的图象如图，g(x)的定义域为{x|x>-1}， 结合图象知不等式f(x)≥log2(x+1)的解集为{x|-1<x≤1}. 8.已知函数f(x)=的值域为M.若(1，+∞)⊆M，则实数a的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　当a=0时，f(x)=2-x+1∈(0，+∞)， 符合题意； 当a≠0时，因为函数f(x)=的值域为M，且满足(1，+∞)⊆M， 由指数函数的单调性可知，a>0， 二次函数y=ax2-x+1的最小值ymin≤0， 即≤0，即0<a≤ 综上，0≤a≤. 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.若直线y=3a与函数y=|ax-1|(a>0，且a≠1)的图象有两个公共点，则a可以是(　　) A.2 B. C. D. 答案　CD 解析　由题意，直线y=3a与函数y=|ax-1|(a>0，且a≠1)的图象有两个公共点， 当0<a<1时，y=|ax-1|的图象如图(1)所示， 由已知得0<3a<1，∴0<a<； 当a>1时，y=|ax-1|的图象如图(2)所示， 由已知可得0<3a<1， ∴0<a<结合a>1可得a无解. 综上可知，a的取值范围为. 10.边际函数是经济学中的一个基本概念，在国防、医学、环保和经济管理等许多领域中都有十分广泛的应用，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf(x)=f-f(x).某公司每月最多生产75台报警系统装置，生产x台的收入函数R(x)=3 000x-20x2(单位：元)，其成本函数C(x)=500x+4 000(单位：元)，利润是收入与成本之差，设利润函数为P(x)，则以下说法正确的是(　　) A.P(x)取得最大值时，每月产量为63台 B.边际利润函数的表达式为MP(x)=2 480-40x C.利润函数P(x)与边际利润函数MP(x)不具有相同的最大值 D.边际利润函数MP(x)说明随着产量的增加，每台利润与前一台利润差额在减少 答案　BCD 解析　对于A选项，P(x)=R(x)-C(x)=-20x2+2 500x-4 000，二次函数P(x)的图象开口向下，对称轴为直线x==62.5，因为x∈N*，所以P(x)取得最大值时，每月产量为63台或62台，A错；对于B选项，MP(x)=P-P(x)=-20+2 500-4 000-=2 480-40xB对；对于C选项，P(x)max=P=P=74 120，因为函数MP(x)=2 480-40x为减函数，则MP(x)max=MP=2 440，C对；对于D选项，函数MP(x)=2 480-40x为减函数，说明随着产量的增加，每台利润与前一台利润差额在减少，D对. 11.已知函数f(x)=lo2-x)-log2(x+4)，则下列结论中正确的是(　　) A.函数f(x)的定义域是[-4，2] B.函数y=f(x-1)是偶函数 C.函数f(x)在区间[-1，2)上是单调递减 D.函数f(x)的图象关于直线x=-1对称 答案　BD 解析　由题意得2-x>0，x+4>0， 解得-4<x<2， 故函数定义域为(-4，2)，故A错误； y=f(x-1)=-log2[(3-x)(x+3)]的定义域为(-3，3)， 设g(x)=-log2[(3-x)(x+3)]， 所以g(-x)=-log2[(3+x)(-x+3)]=g(x)， 即y=f(x-1)是偶函数，故B正确； f(x)=-log2[(2-x)(x+4)] =-log2(-x2-2x+8) =-log2[-(x+1)2+9] =lo[-(x+1)2+9]， 因为y=-(x+1)2+9在[-1，2)上单调递减， y=lox也单调递减， 所以函数f(x)在区间[-1，2)上单调递增，故C错误； 由f(-2-x)=-log2[(x+4)(2-x)]=f(x)， 可得f(x)的图象关于直线x=-1对称，故D正确. 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12.若函数f(x)=xln(x+为偶函数，则实数a=　　　　.  答案　1 解析　由f(x)为偶函数及y=x为奇函数， 知y=ln(x+为奇函数， 所以ln(-x++ln(x+ =ln(a+x2-x2)=ln a=0， 解得a=1. 13.用二分法求函数f(x)=3x-x-4的一个零点，其参考数据如下： x 1.600 0 1.587 5 1.575 0 1.562 5 1.556 2 1.550 0 f(x)的近似值 0.200 0.133 0.067 0.003 -0.029 -0.060 据此数据，可得方程3x-x-4=0的一个近似解(精确度为0.01)可取　　　　.  答案　1.556 2(答案不唯一) 解析　由f(1.562 5)f(1.556 2)<0，且|1.556 2-1.562 5|=0.006 3<0.01，得方程3x-x-4=0的一个近似解可以为1.556 2. 14.已知函数f(x)=若关于x的方程f(x)-m=0恰有两个不同的实数解，则实数m的取值范围为　　　　.  答案　[1，3)∪{0} 解析　因为关于x的方程f(x)-m=0恰有两个不同的实数解， 所以函数y=f(x)的图象与直线y=m有两个交点，作出函数图象，如图所示， 所以当m∈[1，3)∪{0}时，函数y=f(x)的图象与直线y=m有两个交点， 所以实数m的取值范围是[1，3)∪{0}. 四、解答题(本题共5小题，共77分) 15.(13分)(1)计算：+(lg 5)0+；(6分) (2)解方程：log3(6x-9)=3.(7分) 解　(1)原式=+(lg 5)0+ =+1+=4. (2)由方程log3(6x-9)=3得6x-9=33=27， ∴6x=36=62，∴x=2. 经检验，x=2是原方程的解. ∴原方程的解为x=2. 16.(15分)已知函数y=log4(2x+3-x2). (1)求函数的定义域；(6分) (2)求y的最大值，并求取得最大值时的x值.(9分) 解　(1)由真数2x+3-x2>0， 解得-1<x<3， 所以函数的定义域为{x|-1<x<3}. (2)将原函数分解为y=log4u，u=2x+3-x2两个函数.因为u=2x+3-x2=-(x-1)2+4≤4， 所以当x=1时，u取得最大值4， 又y=log4u为增函数， 所以y=log4(2x+3-x2)≤log44=1. 所以y的最大值为1， 此时x=1. 17.(15分)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≤0时，f(x)=-2x. (1)求当x>0时，f(x)的解析式；(6分) (2)若存在x∈[2，3]，使得f(x)+≥4成立，求实数m的取值范围.(9分) 解　(1)因为函数f(x)是定义在R上的偶函数， 当x≤0时，f(x)=-2x， 则当x>0时，-x<0， 所以f(x)=f(-x)=-2-x=2x-. (2)当x∈[2，3]时，f(x)=2x- 对于f(x)+≥4，即2x-≥4， 整理得(2x)2-4×2x≥1-m， 令t=2x，则t∈[4，8]，可得t2-4t≥1-m， 原题意等价于存在t∈[4，8]，使得t2-4t≥1-m成立， 且y=t2-4t的图象开口向上，对称轴为直线t=2， 可知y=t2-4t在[4，8]上单调递增，当t=8时，y=t2-4t取到最大值32， 可得32≥1-m，解得m≥-31， 所以实数m的取值范围为[-31，+∞). 18.(17分)已知指数函数f(x)=ax(a>0，且a≠1)过点(m，n)，在①=0；②函数y=x2-2x+4的顶点坐标为(m，n)；③函数y=logbx+3(b>0，且b≠1)过定点(m，n)这三个条件中任选一个，回答下列问题. (1)求f(x)的解析式，并判断g(x)=f(x)+的奇偶性；(10分) (2)解不等式：loga(1+x)<loga(2-x).(7分) 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 解　(1)由①可知=0， 即解得 由②可知，函数y=x2-2x+4=(x-1)2+3的顶点坐标为(1，3)， 则 由③可知，函数y=logbx+3(b>0，且b≠1)过定点(1，3)， 则 综上，三个条件中任选一个， 均有即f(x)=ax过点(1，3)， 即a=3，f(x)=3x. g(x)=f(x)+=3x+3-x，x∈R， g(-x)=f(-x)+=3-x+3x=g(x)， ∴g(x)为偶函数. (2)loga(1+x)<loga(2-x)， 即log3(1+x)<log3(2-x)， 可化为2-x>1+x>0， ∴-1<x<. 即不等式loga(1+x)<loga(2-x)的解集为. 19.(17分)某化工厂一天中污水污染指数f(x)与时刻x(时)的函数关系为f(x)=|log25(x+1)-a|+2a+1，x∈[0，24]，其中a为污水治理调节参数，且a∈(0，1). (1)若a=求一天中哪个时刻污水污染指数最低；(8分) (2)规定每天中f(x)的最大值作为当天的污水污染指数，要使该厂每天的污水污染指数不超过3，则调节参数a应控制在什么范围内？(9分) 解　(1)因为a= 则f(x)=+2≥2. 当f(x)=2时，log25(x+1)-=0， 得x+1=2=5，即x=4. 所以一天中早上4点该厂的污水污染指数最低. (2)设t=log25(x+1)， 则当0≤x≤24时，0≤t≤1. 设g(t)=|t-a|+2a+1，t∈[0，1]， 则g(t)= 显然g(t)在[0，a]上单调递减，在(a，1]上单调递增， 则f(x)max=max{g(0)，g(1)}， 因为g(0)=3a+1，g(1)=a+2， 则有 解得a≤ 又a∈(0，1)， 故调节参数a应控制在内. 学科网（北京）股份有限公司 $