03指对数（型）函数的图像与性质（含复合函数（专项训练）专项训练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

人教A版必修一第四章指数函数与对数函数 专题03指对数（型）函数的图像与性质（含复合函数） （专项训练）（解析版） 一、单选题 1．已知，，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用指数运算法则求得答案. 【详解】由，得，而，则， 所以. 故选：D 2．方程的解集是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，先把转化为，且，然后再化简求值即可． 【详解】原方程可化为：，即，解得：． 故选：B． 3．给出下列命题：①函数为偶函数；②函数在上单调递增； ③函数在区间上单调递减；④函数与的图像关于直线对称．其中正确命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】①函数为偶函数，因为 是正确的； ②函数在上单调递增，单调增是正确的； ③函数是偶函数，在区间上单调递增，故选项不正确； ④函数与互为反函数，根据反函数的概念得到图像关于对称.是正确的. 故答案为C. 4．若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，由换元法转化为在区间上恒成立，进而可得. 【详解】设，当时，， 故由题意可得关于的不等式在区间上恒成立， 设，由二次函数的性质可知在区间上单调递减， 故，得， 故选：D 5．已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据放缩法得出的范围，利用对数的运算，比出和的大小，即可得出的大小关系. 【详解】解：由题意 ，， ∵ ∴ ∴ 故选：D. 6．已知是定义域在上的奇函数，且满足．当时，，则（    ） A． B． C．4 D． 【答案】A 【分析】首先得到函数的周期性，再根据奇函数的性质计算可得； 【详解】解：由得，所以是周期为2的周期函数，且是定义域在上的奇函数，所以， 所以， 故选：A． 7．“”是“函数的图象不经过第一象限”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由题中条件图象不经过第一象限，求出m的范围，根据此范围来确定与两者关系判断充分必要性． 【详解】由图象不经过第一象限，则，解得， 而，故是图象不经过第一象限的必要不充分条件． 故选：B 8．若,则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由换底公式将表示为,再将代入,再用指数的运算法则写为底数为5的式子,再用对数恒等式计算出结果即可. 【详解】解:由题知, , . 故选：A 二、多选题 9．如图，已知直线，与函数，的图象分别交于，，，四点，且为平行四边形，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】首先确定点点的坐标，利用平行四边形对边平行且相等的性质 ，建立关于 的等式，利用平方差公式化简得到 ，再通过均值不等式可得 ，最后分析选项得出结论. 【详解】依题意，当 时， 在 图象下方， 所以在 图象上， 在 图象上， 所以 ， ， ， 又因为四边形为平行四边形， 所以 ，即 ，即 ， 又因为 ，所以 ， . 故A正确， B错误. 由均值不等式 ，化简可得 ，当 时等号成立， 由于 ，故 ， D正确， C错误. 故选：AD. 10．已知函数，则下列叙述正确的是（    ） A．当时，函数图象过 B．当时，函数在区间上是增函数 C．当时，函数的值域为 D．当时，若函数有最大值2，则 【答案】ACD 【分析】根据给定条件，利用指数函数图象及性质，逐项分析判断即可. 【详解】对于A，当时，，而， 即函数图象过，A正确； 对于B，当时，，，B错误； 对于C，当时，，， 则，，即函数的值域为，C正确； 对于D，当时，，令，函数在R上单调递减， 由函数有最大值2，得有最小值，显然，且， 由，解得，D正确. 故选：ACD 11．已知函数，则下列说法正确的有（    ） A．当时，只有极大值，无极小值 B．若函数在处取到极大值，则实数的取值范围为 C．当时，函数在区间内取到最大值，则实数的取值范围为 D．不存在实数，使得函数在区间内既有最大值又有最小值 【答案】BD 【分析】先借助导数讨论函数单调性，再利用函数单调性与极值的关系计算可得A、B；利用函数单调性与最值的关系计算可得C、D. 【详解】， 若，则，即在上单调递增； 若，则当时，， 当时，， 则在、上单调递增，在上单调递减； 若，则当时，， 当时，， 则在、上单调递增，在上单调递减； 对A：当时，在、上单调递增，在上单调递减， 故有极大值，有极小值，故A错误； 对B：若函数在处取到极大值，则，故B正确； 对C：当时，在、上单调递增，在上单调递减， 由，，则， 又函数在区间内取到最大值，则有， 解得，故C错误； 对D：若，且函数在区间内既有最大值又有最小值， 则有，，， 即有，， 当时，，即，不符； 若，且函数在区间内既有最大值又有最小值， 则有，，， 即有，， 当时，，即，不符； 若，则在上单调递增，在区间上不存在最大值与最小值； 综上所述：不存在实数，使得函数在区间内既有最大值又有最小值，故D正确. 故选：BD. 三、填空题 12．已知函数且，且的图象恒过定点，则点的坐标为 . 【答案】 【解析】根据对数函数的性质求解． 【详解】令，则，，即图象过定点． 故答案为： 13．在下列命题中：①两个函数的对应法则和值域相同，则这两个是同一个函数；②在上单调递增，③若函数的定义域为，则函数的定义域为；④若函数在其定义域内不是单调函数，则不存在反函数；⑤函数的最小值为4；⑥若关于的不等式在区间内恒成立，则实数m的范围是其中真命题的序号有 . 【答案】③ 【分析】根据题意，对题目中的命题进行分析，判断正误即可． 【详解】对于①：对应法则和值域相同的两个函数，其定义域不一定相同， 如f（x）＝x2，x∈R与g（x）＝x2，x∈[0，+∞），∴①错误； 对于②： 在 上单调递减，在 上单调递增，故②错误； 对于③：∵函数的定义域为，∴ ，即的定义域为， ∴，即，∴函数的定义域为，∴③正确； 对于④：函数f（x）在定义域上不单调，但函数f（x）存在反函数，∴④错误； 对于⑤：，令 则在上单调递增，没有最小值，∴⑤错误. 对于⑥：由|2x﹣m|0，得|2x﹣m|，∴， 即在区间[0，1]内恒成立， ∵函数f（x）在区间[0，1]内单调递增，∴f（x）的最大值为； 令g（x），t＝2x（1≤t≤2），则y＝t在[1，2]上为增函数，由内函数t＝2x为增函数，∴g（x）在区间[0，1]内单调递增，g（x）的最小值为2．∴．∴⑥错误. 故答案为③ 【点睛】本题考查了命题真假性的判断问题，考查两个函数相同的条件，复合型函数的单调性，抽象函数的定义域，存在反函数的充要条件，不等式恒成立问题，是综合题． 四、解答题 14．计算下列各式的值： （1）； （2）. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）根据指数运算性质运算求解即可； （2）根据对数运算性质运算求解即可. 【详解】解：（1）； （2） 15．已知函数（且）在上的最大值与最小值之积等于8，设函数． (1)求a的值，判断函数的单调性； (2)证明为奇函数； (3)若不等式对恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1)，在R上单调递增，证明见解析； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）由已知有求参数，再应用单调性定义证明函数的单调性； （2）根据奇偶性的定义证明函数的奇偶性； （3）问题化为恒成立，再应用换元法、基本不等式求左侧最小值，即可得参数范围. 【详解】（1）由在上单调，则，解得， 故，函数定义域为R， 在R上单调递增，证明如下， 令，则， 由，，则，即， 所以在R上单调递增； （2），函数定义域为R， 则， 所以为奇函数； （3）， 所以，则恒成立， 令， ，当且仅当，即时取等号， 所以. 所以实数m的取值范围为. 16．已知函数． （1）若m=0，求函数f（x）的定义域； （2）若函数f（x）的值域为R，求实数m的取值范围； （3）若函数f（x）在区间上是增函数，求实数m的取值范围． 【答案】（1）{x|x≠0}； （2）m≤-4或m≥0；（3）. 【分析】（1）直接由对数式的真数大于0，即可求解x的范围，得到答案； （2）由内层函数二次函数的判别式大于等于0，即可求解m的取值范围； （3）由题意可得，函数的对称轴，列出关于的不等式 ，即可求解. 【详解】（1）若m=0，函数f（x）=，其定义域为{x|x≠0}； （2）函数f（x）的值域为R，说明t=x2-mx-m能够取到大于0的所有实数， ∴△=m2+4m≥0，即m≤-4或m≥0； （3）函数f（x）在区间上是增函数， 则函数t=x2-mx-m的对称轴x=，且， 解得：． 【点睛】本题主要考查了函数的定义域及其求法，考查复合函数的单调性，对应复合函数的单调性，一要注意先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减”，属于中档题，着重考查了分析问题和解答问题的能力. 17．已知定义在R上的奇函数，偶函数，，，. (1)求，的值； (2)判断并证明的奇偶性； (3)求函数的值域. 【答案】(1)； (2)奇函数，证明见解析； (3). 【分析】（1）利用函数的奇偶性求参数值即可； （2）根据奇偶性的定义判定证明； （3）由，结合指数函数、分式型函数的性质求值域. 【详解】（1）由题意，为奇函数，为偶函数， 所以，即， 故恒成立，所以， 因为，即， 所以恒成立，所以. （2）由（1）知， 所以的定义域为， 因为， 所以为奇函数. （3）， 因为，所以，所以， 所以，所以， 故的值域为. 18．已知函数，其中，记函数的定义域为. （1）求函数的定义域； （2）若函数的最小值为，求的值； （3）若对于内的任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) (－∞，)∪[，+∞) 【详解】试题分析：解：（1）要使函数有意义：则有，解得 ∴ 函数的定义域D为 2分 （2） ，，即， 5分 由，得，． 7分 （注：不化简为扣1分） （3）由题知－x2+2mx－m2+2m＜1在x∈上恒成立， －2mx+m2－2m+1＞0在x∈上恒成立， 8分 令g(x)=x2－2mx+m2－2m+1，x∈， 配方得g(x)=(x－m)2－2m+1，其对称轴为x=m， 当m≤－3时， g(x)在为增函数， ∴g(－3)= (－3－m)2－2m+1= m2+4m +10≥0， 而m2+4m +10≥0对任意实数m恒成立，∴m≤－3． 10分 ②当－3＜m＜1时，函数g(x)在（－3,－1）为减函数，在（－1, 1）为增函数， ∴g(m)=－2m+1＞0，解得m＜ ∴－3＜m＜ 12分 ③当m≥1时，函数g(x)在为减函数，∴g(1)= (1－m)2－2m+1= m2－4m +2≥0， 解得m≥或m≤， ∴－3＜m＜ 14分 综上可得，实数m的取值范围是 (－∞，)∪[，+∞) 16分 考点：函数的概念和值域，二次函数的最值 点评：解决的关键是利用函数的概念以及分离参数的思想来借助于二次函数的最值得到参数的范围．属于基础题． 19．随着国家改革的深入推进，对新能源的补贴正在逐年降低，在2020年全面结束在这一领域的补助.某企业为了保证正常发展，计划从今年起对每件投入相应的资金进行新技术的开发和应用.若某产品的成本为40元/件，其市场价格为元/件（），且该产品每月的生产数量（万件）与成反比例，若每件商品的投入为元，当产品的市场价格为50元/件时，生产销售量为20万件.（，） （1）若，则为何值时，该工厂每月的利润最大，并求的最大值； （2）每件产品投入的资金最多为多少元时，可使工厂每月利润至少达到20万元？（精确到0.1万元） 【答案】（1）当元时利润最大54.7万元.（2）5.9元 【分析】(1)当时，可得出该工厂每月的利润，然后求出导数，得出单调区间，得到答案. (2)由题意有该工厂每月的利润，则恒成立，即恒成立，设，即求出的最大值，对求导，得出单调区间，可得出其最大值,从而得到答案. 【详解】设每月的生产数量， 当时，，则，∴， （1）当时，，， ，则. 46 49 51 + 0 ∴当元时利润最大即万元. （2）恒成立， 即，∴恒成立. 设，. 46 50 51 + 0 - ∴，即，∴. 答：每件产品投入的资金最多为5.9元时，可使工厂每月利润至少达到20万元. 【点睛】本题考查利用函数导数解决实际生产中的问题，考查恒成立求参数问题，属于中档题. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教A版必修一第四章指数函数与对数函数 专题03指对数（型）函数的图像与性质（含复合函数） （原卷版）（基础版） 一、单选题 1．已知，，则（    ） A． B． C．1 D． 2．方程的解集是（　　） A． B． C． D． 3．给出下列命题：①函数为偶函数；②函数在上单调递增； ③函数在区间上单调递减；④函数与的图像关于直线对称．其中正确命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 6．已知是定义域在上的奇函数，且满足．当时，，则（    ） A． B． C．4 D． 7．“”是“函数的图象不经过第一象限”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．若,则的值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．如图，已知直线，与函数，的图象分别交于，，，四点，且为平行四边形，则（   ） A． B． C． D． 10．已知函数，则下列叙述正确的是（    ） A．当时，函数图象过 B．当时，函数在区间上是增函数 C．当时，函数的值域为 D．当时，若函数有最大值2，则 11．已知函数，则下列说法正确的有（    ） A．当时，只有极大值，无极小值 B．若函数在处取到极大值，则实数的取值范围为 C．当时，函数在区间内取到最大值，则实数的取值范围为 D．不存在实数，使得函数在区间内既有最大值又有最小值 三、填空题 12．已知函数且，且的图象恒过定点，则点的坐标为 . 13．在下列命题中：①两个函数的对应法则和值域相同，则这两个是同一个函数；②在上单调递增，③若函数的定义域为，则函数的定义域为；④若函数在其定义域内不是单调函数，则不存在反函数；⑤函数的最小值为4；⑥若关于的不等式在区间内恒成立，则实数m的范围是其中真命题的序号有 . 四、解答题 14．计算下列各式的值： （1）； （2）. 15．已知函数（且）在上的最大值与最小值之积等于8，设函数． (1)求a的值，判断函数的单调性； (2)证明为奇函数； (3)若不等式对恒成立，求实数m的取值范围． 16．已知函数． （1）若m=0，求函数f（x）的定义域； （2）若函数f（x）的值域为R，求实数m的取值范围； （3）若函数f（x）在区间上是增函数，求实数m的取值范围． 17．已知定义在R上的奇函数，偶函数，，，. (1)求，的值； (2)判断并证明的奇偶性； (3)求函数的值域. 18．已知函数，其中，记函数的定义域为. （1）求函数的定义域； （2）若函数的最小值为，求的值； （3）若对于内的任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围. 19．随着国家改革的深入推进，对新能源的补贴正在逐年降低，在2020年全面结束在这一领域的补助.某企业为了保证正常发展，计划从今年起对每件投入相应的资金进行新技术的开发和应用.若某产品的成本为40元/件，其市场价格为元/件（），且该产品每月的生产数量（万件）与成反比例，若每件商品的投入为元，当产品的市场价格为50元/件时，生产销售量为20万件.（，） （1）若，则为何值时，该工厂每月的利润最大，并求的最大值； （2）每件产品投入的资金最多为多少元时，可使工厂每月利润至少达到20万元？（精确到0.1万元） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《人教A版必修一第四章指对数（型）函数的图像与性质（含复合函数）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B C D D A B A AD ACD 题号 11 答案 BD 1．D 【分析】根据给定条件，利用指数运算法则求得答案. 【详解】由，得，而，则， 所以. 故选：D 2．B 【分析】根据题意，先把转化为，且，然后再化简求值即可． 【详解】原方程可化为：，即，解得：． 故选：B． 3．C 【详解】①函数为偶函数，因为 是正确的； ②函数在上单调递增，单调增是正确的； ③函数是偶函数，在区间上单调递增，故选项不正确； ④函数与互为反函数，根据反函数的概念得到图像关于对称.是正确的. 故答案为C. 4．D 【分析】设，由换元法转化为在区间上恒成立，进而可得. 【详解】设，当时，， 故由题意可得关于的不等式在区间上恒成立， 设，由二次函数的性质可知在区间上单调递减， 故，得， 故选：D 5．D 【分析】根据放缩法得出的范围，利用对数的运算，比出和的大小，即可得出的大小关系. 【详解】解：由题意 ，， ∵ ∴ ∴ 故选：D. 6．A 【分析】首先得到函数的周期性，再根据奇函数的性质计算可得； 【详解】解：由得，所以是周期为2的周期函数，且是定义域在上的奇函数，所以， 所以， 故选：A． 7．B 【分析】由题中条件图象不经过第一象限，求出m的范围，根据此范围来确定与两者关系判断充分必要性． 【详解】由图象不经过第一象限，则，解得， 而，故是图象不经过第一象限的必要不充分条件． 故选：B 8．A 【分析】先由换底公式将表示为,再将代入,再用指数的运算法则写为底数为5的式子,再用对数恒等式计算出结果即可. 【详解】解:由题知, , . 故选：A 9．AD 【分析】首先确定点点的坐标，利用平行四边形对边平行且相等的性质 ，建立关于 的等式，利用平方差公式化简得到 ，再通过均值不等式可得 ，最后分析选项得出结论. 【详解】依题意，当 时， 在 图象下方， 所以在 图象上， 在 图象上， 所以 ， ， ， 又因为四边形为平行四边形， 所以 ，即 ，即 ， 又因为 ，所以 ， . 故A正确， B错误. 由均值不等式 ，化简可得 ，当 时等号成立， 由于 ，故 ， D正确， C错误. 故选：AD. 10．ACD 【分析】根据给定条件，利用指数函数图象及性质，逐项分析判断即可. 【详解】对于A，当时，，而， 即函数图象过，A正确； 对于B，当时，，，B错误； 对于C，当时，，， 则，，即函数的值域为，C正确； 对于D，当时，，令，函数在R上单调递减， 由函数有最大值2，得有最小值，显然，且， 由，解得，D正确. 故选：ACD 11．BD 【分析】先借助导数讨论函数单调性，再利用函数单调性与极值的关系计算可得A、B；利用函数单调性与最值的关系计算可得C、D. 【详解】， 若，则，即在上单调递增； 若，则当时，， 当时，， 则在、上单调递增，在上单调递减； 若，则当时，， 当时，， 则在、上单调递增，在上单调递减； 对A：当时，在、上单调递增，在上单调递减， 故有极大值，有极小值，故A错误； 对B：若函数在处取到极大值，则，故B正确； 对C：当时，在、上单调递增，在上单调递减， 由，，则， 又函数在区间内取到最大值，则有， 解得，故C错误； 对D：若，且函数在区间内既有最大值又有最小值， 则有，，， 即有，， 当时，，即，不符； 若，且函数在区间内既有最大值又有最小值， 则有，，， 即有，， 当时，，即，不符； 若，则在上单调递增，在区间上不存在最大值与最小值； 综上所述：不存在实数，使得函数在区间内既有最大值又有最小值，故D正确. 故选：BD. 12． 【解析】根据对数函数的性质求解． 【详解】令，则，，即图象过定点． 故答案为： 13．③ 【分析】根据题意，对题目中的命题进行分析，判断正误即可． 【详解】对于①：对应法则和值域相同的两个函数，其定义域不一定相同， 如f（x）＝x2，x∈R与g（x）＝x2，x∈[0，+∞），∴①错误； 对于②： 在 上单调递减，在 上单调递增，故②错误； 对于③：∵函数的定义域为，∴ ，即的定义域为， ∴，即，∴函数的定义域为，∴③正确； 对于④：函数f（x）在定义域上不单调，但函数f（x）存在反函数，∴④错误； 对于⑤：，令 则在上单调递增，没有最小值，∴⑤错误. 对于⑥：由|2x﹣m|0，得|2x﹣m|，∴， 即在区间[0，1]内恒成立， ∵函数f（x）在区间[0，1]内单调递增，∴f（x）的最大值为； 令g（x），t＝2x（1≤t≤2），则y＝t在[1，2]上为增函数，由内函数t＝2x为增函数，∴g（x）在区间[0，1]内单调递增，g（x）的最小值为2．∴．∴⑥错误. 故答案为③ 【点睛】本题考查了命题真假性的判断问题，考查两个函数相同的条件，复合型函数的单调性，抽象函数的定义域，存在反函数的充要条件，不等式恒成立问题，是综合题． 14．（1）；（2）. 【解析】（1）根据指数运算性质运算求解即可； （2）根据对数运算性质运算求解即可. 【详解】解：（1）； （2） 15．(1)，在R上单调递增，证明见解析； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）由已知有求参数，再应用单调性定义证明函数的单调性； （2）根据奇偶性的定义证明函数的奇偶性； （3）问题化为恒成立，再应用换元法、基本不等式求左侧最小值，即可得参数范围. 【详解】（1）由在上单调，则，解得， 故，函数定义域为R， 在R上单调递增，证明如下， 令，则， 由，，则，即， 所以在R上单调递增； （2），函数定义域为R， 则， 所以为奇函数； （3）， 所以，则恒成立， 令， ，当且仅当，即时取等号， 所以. 所以实数m的取值范围为. 16．（1）{x|x≠0}； （2）m≤-4或m≥0；（3）. 【分析】（1）直接由对数式的真数大于0，即可求解x的范围，得到答案； （2）由内层函数二次函数的判别式大于等于0，即可求解m的取值范围； （3）由题意可得，函数的对称轴，列出关于的不等式 ，即可求解. 【详解】（1）若m=0，函数f（x）=，其定义域为{x|x≠0}； （2）函数f（x）的值域为R，说明t=x2-mx-m能够取到大于0的所有实数， ∴△=m2+4m≥0，即m≤-4或m≥0； （3）函数f（x）在区间上是增函数， 则函数t=x2-mx-m的对称轴x=，且， 解得：． 【点睛】本题主要考查了函数的定义域及其求法，考查复合函数的单调性，对应复合函数的单调性，一要注意先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减”，属于中档题，着重考查了分析问题和解答问题的能力. 17．(1)； (2)奇函数，证明见解析； (3). 【分析】（1）利用函数的奇偶性求参数值即可； （2）根据奇偶性的定义判定证明； （3）由，结合指数函数、分式型函数的性质求值域. 【详解】（1）由题意，为奇函数，为偶函数， 所以，即， 故恒成立，所以， 因为，即， 所以恒成立，所以. （2）由（1）知， 所以的定义域为， 因为， 所以为奇函数. （3）， 因为，所以，所以， 所以，所以， 故的值域为. 18．(1) (2) (3) (－∞，)∪[，+∞) 【详解】试题分析：解：（1）要使函数有意义：则有，解得 ∴ 函数的定义域D为 2分 （2） ，，即， 5分 由，得，． 7分 （注：不化简为扣1分） （3）由题知－x2+2mx－m2+2m＜1在x∈上恒成立， －2mx+m2－2m+1＞0在x∈上恒成立， 8分 令g(x)=x2－2mx+m2－2m+1，x∈， 配方得g(x)=(x－m)2－2m+1，其对称轴为x=m， 当m≤－3时， g(x)在为增函数， ∴g(－3)= (－3－m)2－2m+1= m2+4m +10≥0， 而m2+4m +10≥0对任意实数m恒成立，∴m≤－3． 10分 ②当－3＜m＜1时，函数g(x)在（－3,－1）为减函数，在（－1, 1）为增函数， ∴g(m)=－2m+1＞0，解得m＜ ∴－3＜m＜ 12分 ③当m≥1时，函数g(x)在为减函数，∴g(1)= (1－m)2－2m+1= m2－4m +2≥0， 解得m≥或m≤， ∴－3＜m＜ 14分 综上可得，实数m的取值范围是 (－∞，)∪[，+∞) 16分 考点：函数的概念和值域，二次函数的最值 点评：解决的关键是利用函数的概念以及分离参数的思想来借助于二次函数的最值得到参数的范围．属于基础题． 19．（1）当元时利润最大54.7万元.（2）5.9元 【分析】(1)当时，可得出该工厂每月的利润，然后求出导数，得出单调区间，得到答案. (2)由题意有该工厂每月的利润，则恒成立，即恒成立，设，即求出的最大值，对求导，得出单调区间，可得出其最大值,从而得到答案. 【详解】设每月的生产数量， 当时，，则，∴， （1）当时，，， ，则. 46 49 51 + 0 ∴当元时利润最大即万元. （2）恒成立， 即，∴恒成立. 设，. 46 50 51 + 0 - ∴，即，∴. 答：每件产品投入的资金最多为5.9元时，可使工厂每月利润至少达到20万元. 【点睛】本题考查利用函数导数解决实际生产中的问题，考查恒成立求参数问题，属于中档题. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $