第1章 章末复习课 集合与常用逻辑用语（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（人教A版）

该高中数学单元复习讲义通过知识框架系统梳理集合的概念与关系、运算、充分条件与必要条件、全称量词与存在量词等核心内容，结合数轴、Venn图呈现知识脉络，明确数学抽象、逻辑推理等素养培养目标，突出重难点内在联系。 讲义亮点在于“例题解析-反思感悟-跟踪训练”的递进设计，如集合参数范围题用分类讨论思想，培养直观想象与数学运算素养。跟踪训练分层设置，基础题巩固概念，拓展题提升逻辑推理能力，助力教师精准教学，学生自主复习可明确方向。

一、集合的基本概念与集合间的基本关系 1.理解集合的有关概念，元素与集合的表示方法、元素与集合之间的关系，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合，能在集合不同的表示方法之间进行转化. 2.集合间的基本关系包括包含、真包含、相等.能从实例中抽象并识别出子集、真子集、空集的概念，能根据集合间的关系，会利用数形结合和分类讨论的思想求参数的值或范围. 3.掌握集合的基本概念与集合间的基本关系，提升数学抽象、逻辑推理和直观想象素养. 例1　(1)已知集合A={0，1，2}，则集合B={x-y|x∈A，y∈A}中元素的个数是(　　) A.1 B.3 C.5 D.9 答案　C 解析　①当x=0时，y=0，1，2， 此时x-y的值分别为0，-1，-2； ②当x=1时，y=0，1，2， 此时x-y的值分别为1，0，-1； ③当x=2时，y=0，1，2， 此时x-y的值分别为2，1，0. 综上可知，x-y的可能取值为-2，-1，0，1，2，共5个. (2)已知集合A={x|x<-1或x≥1}，B={x|2a<x≤a+1}，a<1，若B⊆A，则实数a的取值范围为　　　　　　　　. 答案　 解析　因为a<1，所以2a<a+1，所以B≠∅. 画数轴如图所示. 由B⊆A知， a+1<-1或2a≥1. 即a<-2或a≥. 由已知a<1，所以a<-2或≤a<1， 即所求a的取值范围是. 反思感悟　(1)解决集合的概念问题应关注两点 研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件；对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合是否满足互异性. (2)处理集合间关系问题的关键点 已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系.常常需要合理利用数轴、Venn图帮助分析. 跟踪训练1　(1)(多选)已知集合A={0，m，m2-3m+2}，且{2}⊆A，则实数m的取值不可以为(　　) A.2 B.3 C.0 D.-2 答案　ACD 解析　由{2}⊆A可知，若m=2，则m2-3m+2=0，这与m2-3m+2≠0相矛盾；若m2-3m+2=2，得m2-3m=0，即m=0或m=3，因为m≠0，所以m=3，此时A={0，3，2}符合题意，故m的值可以为3. (2)将例1(2)集合B中的条件“a<1”去掉，则实数a的取值范围为　　　　　　. 答案　 解析　∵B⊆A， ∴分B=∅和B≠∅两种情况， ①当B=∅时，2a≥a+1，∴a≥1； ②当B≠∅时，2a<a+1，∴a<1， 此时由例1(2)的解答知a<-2或≤a<1， 综上，a的取值范围为. 二、集合的基本运算 1.集合的运算主要包括交集、并集和补集运算.这也是高考对集合部分的主要考查点.对于较抽象的集合问题，解题时需借助Venn图或数轴等进行数形分析，使问题直观化、形象化，进而能使问题简捷、准确地获解. 2.掌握集合的概念与运算，重点提升逻辑推理和数学运算素养. 例2　(多选)已知集合A={x|x<2}，B={x|3-2x>0}，则(　　) A.A∩B= B.A∩(∁RB)= C.A∪B= D.(∁RA)∪B=R 答案　AB 解析　因为A={x|x<2}，B={x|3-2x>0}=∁RA={x|x≥2}，∁RB= 所以A∩B= A∩(∁RB)=A∪B={x|x<2}， (∁RA)∪B=. 反思感悟　(1)定义法或Venn图法：集合是用列举法给出的，运算时可直接借助定义求解，或把元素在Venn图中表示出来，借助Venn图观察求解. (2)数轴法：集合是用不等式(组)给出的，运算时可先将不等式在数轴中表示出来，然后借助数轴求解. 跟踪训练2　已知集合M={(x，y)|y=3x2}，N={(x，y)|y=5x}，则M∩N中的元素个数为(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 答案　C 解析　联立解得 因此M∩N中的元素个数为2. 三、充分条件与必要条件 1.若p⇒q，且q⇏p，则p是q的充分不必要条件，同时q是p的必要不充分条件； 若p⇔q，则p是q的充要条件，同时q是p的充要条件. 2.掌握充要条件的判断和证明，提升逻辑推理和数学运算素养. 例3　设集合A={x|-1<x<3}，非空集合B={x|2-a<x<2+a}.设p：x∈A，q：x∈B，若p是q成立的必要不充分条件，求实数a的取值范围. 解　因为p是q成立的必要不充分条件， 所以BA， 又B≠∅，则 解得0<a≤1， 所以实数a的取值范围是{a|0<a≤1}. 反思感悟　充分、必要、充要条件的常用判断方法 (1)定义法：直接判断“若p，则q”“若q，则p”的真假. (2)利用集合间的包含关系判断：设命题p对应的集合为A，命题q对应的集合为B，若A⊆B，则p是q的充分条件或q是p的必要条件；若AB，则p是q的充分不必要条件或q是p的必要不充分条件；若A=B，则p是q的充要条件. 跟踪训练3　已知p：4-x≤6，q：x≥a-1，若p是q的充要条件，则a的值为　　　　. 答案　-1 解析　由题意得，p：x≥-2；q：x≥a-1. 因为p是q的充要条件， 所以a-1=-2，则a=-1. 四、全称量词与存在量词 1.全称量词命题的否定一定是存在量词命题，存在量词命题的否定一定是全称量词命题.对含有一个量词的全称量词命题和存在量词命题进行否定时，首先改变量词，把全称量词改为存在量词，把存在量词改为全称量词，然后对结论进行否定. 2.通过对含有量词的命题的否定及利用命题的真假求参数范围等问题的研究，培养逻辑推理和数学运算素养. 例4　命题：“∀x∈R，x2≠x”的否定是(　　) A.∀x∉R，x2≠x B.∀x∈R，x2≠x C.∃x∉R，x2≠x D.∃x∈R，x2=x 答案　D 解析　先将“∀”改为“∃”，再否定结论，可得命题的否定为∃x∈R，x2=x. 反思感悟　全称量词命题与存在量词命题问题的关注点 (1)对全称量词命题和存在量词命题进行否定，一要改变量词，二要否定结论. (2)根据全称量词命题和存在量词命题的真假求参数的取值范围，一般把问题转化为函数、不等式或集合问题解决. 跟踪训练4　若命题“∃x<2 025，x>a”是假命题，则实数a的取值范围是　　　　. 答案　a≥2 025 解析　因为命题“∃x<2 025，x>a” 是假命题， 则其否定“∀x<2 025，x≤a”为真命题， 所以a≥2 025. 学科网（北京）股份有限公司 $