第4章 习题课 指数型函数、对数型函数的性质的综合（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（人教A版）

本讲义聚焦高中数学指数型函数、对数型函数性质综合应用，系统梳理单调性判定（复合函数“同增异减”）、值域求解（换元法转化二次函数）及综合应用，构建从基础方法到复杂问题的递进学习支架。 资料以典型例题（如指数型函数单调性分析、对数型函数单调区间求解）为载体，通过反思感悟提炼换元法等核心方法，强调定义域优先原则。培养学生数学思维（推理能力）、数学眼光（抽象能力），课中辅助教师高效授课，课后助力学生巩固方法、查漏补缺。

习题课　指数型函数、对数型函数的性质的综合 学习目标　1.会求指数型函数、对数型函数的单调性、值域等问题.(重难点)2.掌握判断指数型函数、对数型函数单调性的方法.(重点) 一、指数型函数的单调性问题 例1　判断函数f(x)=的单调性. 解　令u=x2-2x， 易知u=x2-2x=(x-1)2-1在(-∞，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增， 又∵y=在(-∞，+∞)上单调递减， ∴f(x)=在(-∞，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减. 延伸探究1　若本例不变，求f(x)的值域. 解　因为u=x2-2x=(x-1)2-1≥-1， 所以y=u∈[-1，+∞)， 所以0<=2， 所以函数f(x)的值域为(0，2]. 反思感悟　关于指数型函数y=af(x)(a>0，且a≠1)的单调性由两点决定，一是底数a>1还是0<a<1；二是f(x)的单调性，它由两个函数y=au，u=f(x)复合而成. 二、对数型函数的单调性问题 例2　(1)求函数y=lox2-3x+2)的单调区间. 解　由x2-3x+2>0得x<1或x>2. 令t=x2-3x+2， 则t=x2-3x+2=当x∈(2，+∞)时，t=x2-3x+2单调递增，当x∈(-∞，1)时，t=x2-3x+2单调递减. 又y=lot为减函数， ∴当x∈(2，+∞)时，原函数单调递减；当x∈(-∞，1)时，原函数单调递增. 故函数y=lox2-3x+2)的单调递增区间为(-∞，1)，单调递减区间为(2，+∞). (2)求函数y=(log0.4x)2-2log0.4x+2的单调区间. 解　令t=log0.4x，则它在(0，+∞)上单调递减. y=t2-2t+2=(t-1)2+1在(1，+∞)上单调递增，在(-∞，1)上单调递减. 由t=log0.4x>1得0<x<0.4； 由t=log0.4x<1得x>0.4， 故所求函数的单调递增区间为(0.4，+∞)，单调递减区间为(0，0.4). 反思感悟　函数单调性的判定方法与策略 (1)定义法：一般步骤：设元→作差→变形→判断符号→得出结论. (2)图象法：如果函数f(x)是以图象形式给出或函数f(x)的图象易作出，结合图象可求得函数的单调区间. (3)y=f(g(x))型函数：先将函数y=f(g(x))分解为y=f(t)和t=g(x)，再讨论这两个函数的单调性，最后根据复合函数“同增异减”的规则进行判定. 跟踪训练　求函数y=log2(1-x2)的单调区间. 解　由题意知1-x2>0，∴-1<x<1. 令t=1-x2，x∈(-1，1)， 则当x∈(-1，0)时，函数t=1-x2单调递增， 又y=log2t为增函数. ∴当x∈(-1，0)时，y=log2(1-x2)单调递增. 同理，当x∈(0，1)时，y=log2(1-x2)单调递减. 故y=log2(1-x2)的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(-1，0). 三、函数的综合应用 例3　求函数f(x)=log2(4x)·lox∈的值域. 解　f(x)=log2(4x)·lo =(log2x+2)· =-[(log2x)2+log2x-2]. 设log2x=t. ∵x∈∴t∈[-1，2]， 则有y=-t2+t-2)，t∈[-1，2]， 易得二次函数图象的对称轴为t=- ∴函数y=-t2+t-2)在上单调递增，在上单调递减， ∴当t=-时，ymax=.当t=2时，ymin=-2. ∴f(x)的值域为. 延伸探究2　若把本例改为y=4x-2x+1-3.求函数的值域和单调区间. 解　函数y=4x-2x+1-3的定义域为R，设t=2x，则t>0. 因为y=4x-2x+1-3=(2x)2-2×2x-3=t2-2t-3=(t-1)2-4≥-4， 所以函数y=4x-2x+1-3的值域为[-4，+∞). 因为y=t2-2t-3在(-∞，1]上单调递减，此时由t≤1得x≤0. 又指数函数t=2x在(-∞，0]上单调递增， 所以函数y=4x-2x+1-3的单调递减区间为(-∞，0]. 同理，因为y=t2-2t-3在[1，+∞)上单调递增，此时由t≥1得x≥0. 又指数函数t=2x在[0，+∞)上单调递增， 所以函数y=4x-2x+1-3的单调递增区间为[0，+∞). 反思感悟　解决指数型和对数型函数的值域问题时，一般先根据指数或对数的运算性质对原函数进行化简，再利用换元法转化为二次函数求值域，这里需注意换元后新元的范围. 1.知识清单： (1)指数型函数的单调性. (2)对数型函数的单调性. (3)函数的综合应用. 2.方法归纳：换元法. 3.常见误区：求对数型函数的单调性易忽视定义域. 1.函数f(x)=loga|x-1|在(0，1)上单调递减，那么f(x)在(1，+∞)上(　　) A.单调递增且无最大值 B.单调递减且无最小值 C.单调递增且有最大值 D.单调递减且有最小值 答案　A 解析　设u=|x-1|， ∵u在(0，1)上单调递减，且函数f(x)=loga|x-1|在(0，1)上单调递减， 则a>1， ∵u在(1，+∞)上单调递增， ∴f(x)在(1，+∞)上单调递增且无最大值. 2.函数y=lo-x2-2x+3)的单调递增区间是(　　) A.[-1，1) B.(-∞，1) C.[1，3) D.(1，+∞) 答案　A 解析　由题意，得要使函数y=lo-x2-2x+3)有意义，则满足-x2-2x+3>0， 即x2+2x-3=(x+3)(x-1)<0， 解得-3<x<1， 即函数的定义域为(-3，1)， 令g(x)=-x2-2x+3=-(x+1)2+4， 所以函数g(x)在区间(-3，-1)上单调递增，在区间[-1，1)上单调递减， 又函数y=lox在定义域上是减函数， 所以y=lo-x2-2x+3)的单调递增区间为[-1，1). 3.已知函数f(x)=是增函数，那么实数a的取值范围是(　　) A.(1，+∞) B.(3，+∞) C.(1，3) D.(1，3] 答案　D 解析　∵函数f(x)=是增函数， ∴a>1且a0≥3a-8， 解得1<a≤3，故实数a的取值范围是(1，3]. 4.设函数f(x)=则f(x)的单调递增区间为　　　　.  答案　(-∞，1] 解析　设u=|x-1|，则y=. ∵y=是减函数，u=|x-1|在[1，+∞)上单调递增，在(-∞，1]上单调递减， ∴y=在(-∞，1]上单调递增. 因此y=的单调递增区间是(-∞，1]. 课时对点练 [分值：90分] 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.函数f(x)=loga[(a-1)x+1]在定义域上(　　) A.是增函数 B.是减函数 C.先增后减 D.先减后增 答案　A 解析　当a>1时，y=logat和t=(a-1)x+1都是增函数，所以f(x)是增函数； 当0<a<1时，y=logat和t=(a-1)x+1都是减函数，所以f(x)是增函数. 综上，函数f(x)在定义域上是增函数. 2.函数f(x)=的单调递增区间为(　　) A.(-∞，2) B.[1，2] C.(2，3) D.(2，+∞) 答案　B 解析　由-x2+4x-3≥0得1≤x≤3， 即函数f(x)的定义域为[1，3]， 令u= 因为f(x)=2u在[1，3]上为增函数， 且u=的单调递增区间为[1，2]， 所以f(x)=的单调递增区间为[1，2]. 3.函数f(x)=+1在[-1，2]上的最小值是(　　) A.1 B. C. D.3 答案　C 解析　由题意，得函数f(x)=+1=+1，设t=因为x∈[-1，2]， 所以t= 则函数y=t2-t+1= 当t=时，ymin=. 4.设函数f(x)=loga|x+1|在区间(-1，0)上有f(x)>0，则下列关于函数f(x)的说法正确的是(　　) A.在区间(-∞，0)上单调递增 B.在区间(-∞，-1)上单调递增 C.在区间(-∞，0)上单调递减 D.在区间(-∞，-1)上单调递减 答案　B 解析　当-1<x<0，即0<x+1<1时， f(x)=loga|x+1|>0， ∴0<a<1，令u=|x+1|>0，x≠-1， 则u=|x+1|在(-∞，-1)上单调递减， 在(-1，+∞)上单调递增， 又函数y=logau为减函数， ∴f(x)在(-∞，-1)上单调递增，在(-1，+∞)上单调递减. 5.若函数f(x)=lo-x2+4x+5)在区间(3m-2，m+2)上单调递增，则实数m的取值范围为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　由-x2+4x+5>0，得-1<x<5，所以函数f(x)的定义域为(-1，5). 令u=-x2+4x+5=-(x-2)2+9，故u在(2，5)上单调递减. 且y=lou为减函数， ∴f(x)=lo-x2+4x+5)的单调递增区间为(2，5). 由题意得解得≤m<2. 6.函数f(x)=(log2x)2-log2x3+4，x∈(1，4]的值域为(　　) A.[2，4) B. C. D. 答案　C 解析　令t=log2x，x∈(1，4]， 则t∈(0，2]， ∴原函数化为y=t2-3t+4，t∈(0，2]， ∴当t=时， y有最小值为-3×+4=； 当t=0时，y有最大值为4，但取不到. ∴f(x)的值域为. 二、多项选择题(每小题6分，共18分) 7.若3a-3b>2b-2a，则下列不等式正确的是(　　) A.ln(a-b+1)>0 B.ln(b-a+1)>0 C.ea-b-1>0 D.eb-a-1>0 答案　AC 解析　因为函数f(x)=3x+2x为增函数，3a-3b>2b-2a，即3a+2a>3b+2b， 所以a>b，a-b>0，则a-b+1>1， 所以ln(a-b+1)>0，故A正确； 由b-a<0，得b-a+1<1，所以ln(b-a+1)<0，故B错误； ea-b>e0=1，所以ea-b-1>0，故C正确； eb-a<e0=1，所以eb-a-1<0，故D错误. 8.已知函数f(x)=的值域为R，则实数a的取值可以为(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 答案　BC 解析　由题意知，当1<x<6时，f(x)=log0.2(x-1)∈(-1，+∞)， 由于函数f(x)=的值域为R， 故当x≥6时，f(x)=11-ax应单调递减，且取值范围包含(-∞，-1]，故a>0，且11-6a≥-1， ∴0<a≤2. 9.关于函数f(x)=lgx≠0)，有下列结论，其中正确的是(　　) A.其图象关于y轴对称 B.f(x)的最小值是lg 2 C.当x>0时，f(x)是增函数；当x<0时，f(x)是减函数 D.f(x)的单调递增区间是(-1，0)，(1，+∞) 答案　ABD 解析　因为f(x)的定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)， f(-x)=lg=f(x)， 所以f(x)是偶函数，故A正确； 令t==|x|+≥2，y=lg t是增函数， y=lg t≥lg 2，所以f(x)的最小值为lg 2，故B正确； 当x>0时，t==x+根据对勾函数可得 t=x+的单调递减区间是(0，1)，单调递增区间是(1，+∞)，y=lg t是增函数， 所以f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增，故C错误； 根据偶函数的对称性，f(x)在(-∞，-1)上单调递减，在(-1，0)上单调递增， 所以f(x)的单调递增区间是(-1，0)，(1，+∞)，故D正确. 三、填空题(每小题5分，共15分) 10.已知函数f(x)=e|x-a|(a为常数)，若f(x)在区间(-∞，1]上单调递减，则a的取值范围是　　　　.  答案　[1，+∞) 解析　因为函数f(x)=e|x-a|(a为常数)，若f(x)在区间(-∞，1]上单调递减， 则t=|x-a|在区间(-∞，1]上单调递减， 又函数t=|x-a|在区间(-∞，a]上单调递减， 所以(-∞，1]⊆(-∞，a]，故a≥1. 则a的取值范围是[1，+∞). 11.若y=loga(ax+3)(a>0，且a≠1)在区间(-1，+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是　　　　.  答案　(1，3] 解析　因为y=loga(ax+3)(a>0，且a≠1)在区间(-1，+∞)上单调递增，知u=ax+3在区间(-1，+∞)上单调递增，且u>0，故y=logau关于u在(0，+∞)上单调递增， 所以解得1<a≤3. 故实数a的取值范围是(1，3]. 12.函数f(x)=lo-x2+ax+2)在(1，2)上单调递增，则实数a的取值范围是　　　　.  答案　[1，2] 解析　令t=-x2+ax+2，而y=lot是减函数， 所以f(x)=lo-x2+ax+2)在(1，2)上单调递增等价于t=-x2+ax+2在(1，2)上单调递减且t(x)=-x2+ax+2>0恒成立， 即 解得1≤a≤2. 四、解答题(共27分) 13.(13分)求函数y=lo-x2+2x+1)的值域和单调区间. 解　由-x2+2x+1>0，知函数的定义域为(1-1+. 设t=-x2+2x+1=-(x-1)2+2. ∵y=lot为减函数，且0<t≤2， ∴y≥-1，故y=lo-x2+2x+1)的值域为[-1，+∞). ∵t=-x2+2x+1在(1-1)上单调递增， 在(1，1+上单调递减， 又y=lot为减函数. ∴函数y=lo-x2+2x+1)的单调递增区间为(1，1+单调递减区间为(1-1). 14.(14分)已知函数f(x)=a>0，且a≠1)是定义在R上的奇函数. (1)求a的值；(7分) (2)求函数f(x)的值域.(7分) 解　(1)∵f(x)是R上的奇函数， ∴f(0)=0，即=0， 解得a=2，经检验a=2符合题意. (2)由(1)知，f(x)==1-在R上单调递增， ∵2x+1>1，∴0<<2， ∴-2<-<0， ∴-1<1-<1， ∴函数f(x)的值域为(-1，1). 学科网（北京）股份有限公司 $