第4章 4.4.2 对数函数的图象和性质(一)（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（人教A版）

本讲义聚焦高中数学对数函数的图象和性质，通过类比指数函数的研究思路，引导学生经列表描点绘制y=log₂x等图象，归纳定义域、值域、单调性等性质，再应用性质解决比较大小、解对数不等式问题，构建“图象—性质—应用”的学习支架。 资料以问题链驱动探究，通过“画图象—析性质—用性质”递进设计，培养数学眼光观察函数关系。如分类讨论底数a>1与0<a<1的性质差异，发展数学思维推理意识；结合y=log₅|x|到y=log₅|x-1|的平移实例，提升数学语言表达直观性。课中例题助教师引导深化理解，课后课时对点练覆盖多样题型，方便学生自主查漏补缺，强化知识应用。

4.4.2　对数函数的图象和性质(一) 学习目标　1.初步掌握对数函数的图象和性质.(重点)2.会类比指数函数研究对数函数的性质.(重点)3.掌握对数函数的图象和性质的简单应用.(难点) 导语 同学们，还记得我们是如何研究指数函数的吗？实际上，研究对数函数的思路和研究指数函数的思路是一致的，我们可以用类比的方法来研究对数函数.请同学们看下面的问题1. 一、对数函数的图象和性质 问题1　请同学们利用列表、描点、连线的画图步骤，先完成下列表格，再在同一坐标系下画出对数函数y=log2x和y=x的图象. x … 0.25 0.5 1 2 4 8 16 32 … y=log2x … … y=x … … 提示　(1)-2　-1　0　1　2　3　4　5　2　1　0　　-1　-2　-3　-4　-5 (2)描点、连线. 问题2　为了更好地研究对数函数的性质，我们再选取底数a=3，4你能在同一坐标系下作出它们的函数图象吗？ 提示　 知识梳理　对数函数的图象和性质 y=logax(a>0，且a≠1) 底数 a>1 0<a<1 图象 定义域 (0，+∞) 值域 R 单调性 在(0，+∞)上是增函数 在(0，+∞)上是减函数 最值 无最大、最小值 奇偶性 非奇非偶函数 共点性 图象过定点(1，0)，即x=1时，y=0 函数 值特点 当x∈(0，1)时，y∈(-∞，0)； 当x∈[1，+∞)时，y∈[0，+∞) 当x∈(0，1)时，y∈(0，+∞)； 当x∈[1，+∞)时，y∈(-∞，0] 对称性 函数y=logax与y=x的图象关于x轴对称 注意点： (1)函数图象只出现在y轴右侧. (2)对任意底数a，当x=1时，y=0，故过定点(1，0). (3)当0<a<1时，底数越小，图象越靠近x轴. (4)当a>1时，底数越大，图象越靠近x轴. (5)任意底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称. 例1　(1)如图，若C1，C2分别为函数y=logax和y=logbx的图象，则(　　) A.0<a<b<1 B.0<b<a<1 C.a>b>1 D.b>a>1 答案　B 解析　作直线y=1，则直线与C1，C2的交点的横坐标分别为a，b，易知0<b<a<1. (2)若函数y=loga(x+b)+c(a>0，且a≠1)的图象恒过定点(3，2)，则实数b=　　　　，c=　　　　.  答案　-2　2 解析　由题意，得2=loga(3+b)+c. 又当a>0，且a≠1时，loga1=0恒成立， ∴c=2，3+b=1，∴b=-2，c=2. (3)已知f(x)=loga|x|(a>0，且a≠1)满足f(-5)=1，试画出函数f(x)的图象. 解　因为f(-5)=1，所以loga5=1，即a=5， 故f(x)=log5|x|= 所以函数f(x)=log5|x|的图象如图所示. 延伸探究1　在例1(3)中，若条件不变，试画出函数g(x)=loga|x-1|的图象. 解　因为f(x)=log5|x|，所以g(x)=log5|x-1|， 如图，g(x)的图象是由f(x)的图象向右平移1个单位长度得到的. 延伸探究2　在例1(3)中，若条件不变，试画出函数h(x)=|logax|的图象，并写出其值域和单调区间. 解　因为a=5， 所以h(x)=|log5x|.h(x)的图象如图中实线部分所示. 由图象知，其值域为[0，+∞)，单调递减区间是(0，1]，单调递增区间是(1，+∞). 反思感悟　(1)对数函数y=logax(a>0且a≠1)的图象恒过定点(1，0)，即当x=1时，y=0，令其真数等于1，可得图象过定点的坐标. (2)对数型函数图象的变换方法 ①作y=f(|x|)的图象时，保留y=f(x)(x>0)的图象不变，x<0时y=f(|x|)的图象与y=f(x)(x>0)的图象关于y轴对称. ②作y=|f(x)|的图象时，保留y=f(x)的x轴及上方图象不变，把x轴下方图象以x轴为对称轴翻折上去即可. ③有关对数函数平移也符合“左加右减，上加下减”的规律. ④y=f(-x)与y=f(x)的图象关于y轴对称，y=-f(x)与y=f(x)的图象关于x轴对称，y=-f(-x)与y=f(x)的图象关于原点对称. 二、利用单调性比较对数值的大小 例2　(课本例3)比较下列各题中两个值的大小： (1)log23.4，log28.5； (2)log0.31.8，log0.32.7； (3)loga5.1，loga5.9(a>0，且a≠1). 解　(1)log23.4和log28.5可看作函数y=log2x的两个函数值.因为底数2>1，对数函数y=log2x是增函数，且3.4<8.5， 所以log23.4<log28.5. (2)log0.31.8和log0.32.7可看作函数y=log0.3x的两个函数值.因为底数0.3<1，对数函数y=log0.3x是减函数，且1.8<2.7， 所以log0.31.8>log0.32.7. (3)loga5.1和loga5.9可看作函数y=logax的两个函数值.对数函数的单调性取决于底数a是大于1还是小于1，因此需要对底数a进行讨论. 当a>1时，因为函数y=logax是增函数，且5.1<5.9， 所以loga5.1<loga5.9； 当0<a<1时，因为函数y=logax是减函数，且5.1<5.9， 所以loga5.1>loga5.9. 例2　比较下列各组中两个值的大小： (1)log31.9，log32； (2)log23，log0.32； (3)logaπ，loga3.14(a>0，且a≠1)； (4)log50.4，log60.4. 解　(1)因为y=log3x在(0，+∞)上单调递增，1.9<2，所以log31.9<log32. (2)因为log23>log21=0，log0.32<log0.31=0， 所以log23>log0.32. (3)当a>1时，函数y=logax在(0，+∞)上单调递增，又π>3.14，则有logaπ>loga3.14； 当0<a<1时，函数y=logax在(0，+∞)上单调递减，又π>3.14，则有logaπ<loga3.14. 综上所述，当a>1时，logaπ>loga3.14； 当0<a<1时，logaπ<loga3.14. (4)在同一直角坐标系中，作出y=log5x，y=log6x的图象，再作出直线x=0.4(图略)，观察图象可得log50.4<log60.4. 反思感悟　比较对数值大小时常用的四种方法 (1)同底数的利用对数函数的单调性. (2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化. (3)底数和真数都不同，找中间量. (4)若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论. 跟踪训练　比较大小： (1)log23，log32，log46； (2)log3π，log2log3. 解　(1)∵y=log4x在(0，+∞)上单调递增， ∴log23=log49>log46>1， 又∵log32<1， ∴log23>log46>log32. (2)∵log2log23， 又1<log23<2，∴<log2<1. 又log3log32<log3π>1， ∴log3π>log2>log3. 三、利用单调性解对数不等式 例3　解下列关于x的不等式： (1)lox>lo4-x)； (2)loga(2x-5)>loga(x-1)； (3)logx>1. 解　(1)由题意可得解得0<x<2. 所以原不等式的解集为{x|0<x<2}. (2)当a>1时，原不等式等价于 解得x>4. 当0<a<1时，原不等式等价于 解得<x<4. 综上所述，当a>1时，原不等式的解集为{x|x>4}； 当0<a<1时，原不等式的解集为. (3)当x>1时，logx>logxx，所以x<无解； 当0<x<1时，logx>logxx，所以<x<1. 综上，原不等式的解集为. 延伸探究3　将例3(2)的不等式改为：已知loga(2a+1)<loga(3a)<0，求实数a的取值范围. 解　由题意可知即a>0且a≠1. 当a>1时，∵loga(2a+1)<loga(3a)<0=loga1， ∴2a+1<3a<1，此时无解； 当0<a<1时，∵loga(2a+1)<loga(3a)<0=loga1， ∴2a+1>3a>1，解得<a<1， 因此，实数a的取值范围为. 反思感悟　对数不等式的三种考查类型及解法 (1)形如logax>logab的不等式，借助y=logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0<a<1两种情况进行讨论. (2)形如logax>b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式(b=logaab)，再借助y=logax的单调性求解. (3)形如logf(x)a>logg(x)a(f(x)，g(x)>0且不等于1，a>0)的不等式，可利用换底公式化为同底的对数进行求解，或利用函数图象求解. 1.知识清单： (1)对数函数的图象及性质. (2)利用对数函数的图象及性质比较大小. (3)利用单调性解对数不等式. 2.方法归纳：分类讨论法、数形结合法. 3.常见误区：作对数函数图象时易忽视底数a>1与0<a<1两种情况. 1.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=ln(x+1)，则函数f(x)的图象为(　　) 答案　D 解析　由f(x)是R上的奇函数，得函数图象关于原点对称，排除A，B. 又当x>0时f(x)=ln(x+1)，排除C. 2.若a=20.2，b=log43.2，c=log20.5，则(　　) A.a>b>c B.b>a>c C.c>a>b D.b>c>a 答案　A 解析　∵a=20.2>1>b=log43.2>0>c=-1， ∴a>b>c. 3.当a>1时，在同一平面直角坐标系中，函数y=a-x与y=logax的图象为(　　) 答案　C 解析　∵a>1，∴0<<1， ∴y=a-x是减函数，y=logax是增函数. 4.不等式lo2x+3)<lo5x-6)的解集为　　　.  答案　 解析　由题意可得解得<x<3. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共12分 1.若对数函数y=log(a+1)x(x>0)是增函数，则实数a的取值范围是(　　) A.(-1，0) B.(0，+∞) C.(-∞，-1) D.(0，1) 答案　B 解析　因为函数y=log(a+1)x在(0，+∞)上是增函数， 所以a+1>1，则a>0. 2.若lg(2x-4)≤1，则x的取值范围是(　　) A.(-∞，7] B.(2，7] C.[7，+∞) D.(2，+∞) 答案　B 解析　由题意得0<2x-4≤10，即2<x≤7. 3.(多选)已知a>0，b>0，且ab=1，a≠1，则函数f(x)=ax与函数g(x)=-logbx在同一坐标系中的图象可能是(　　) 答案　AB 解析　∵g(x)=-logbx=lox=logax， ∴f(x)和g(x)的单调性相同， 结合选项可知A，B正确. 4.函数y=logax，y=logbx，y=logcx，y=logdx的图象如图所示，则a，b，c，d的大小顺序是(　　) A.1<d<c<a<b B.c<d<1<a<b C.c<d<1<b<a D.d<c<1<a<b 答案　B 解析　令函数y=logax，y=logbx，y=logcx，y=logdx取同样的函数值1，得到的自变量的值恰好分别是a，b，c，d.直线y=1从左到右依次与上述四个函数的图象交于A(c，1)，B(d，1)，C(a，1)，D(b，1)(图略)，从而得出c<d<a<b.又a>1，b>1，d<1，c<1，∴c<d<1<a<b. 5.如图为函数y=m+lognx的图象，其中m，n为常数，则下列结论正确的是(　　) A.m<0，n>1 B.m>0，n>1 C.m>0，0<n<1 D.m<0，0<n<1 答案　D 解析　根据图象可知，函数y=m+lognx(m，n是常数)是减函数， 所以0<n<1. 又当x=1时，y<0，即y=m+logn1=m<0. 6.若a=2 0250.2，b=log0.22 025，c=0.22 025，则(　　) A.a>b>c B.b>a>c C.a>c>b D.c>a>b 答案　C 解析　b=log0.22 025<log0.21=0， a=2 0250.2>2 0250=1，0<c=0.22 025<0.20=1， ∴a>c>b. 7.函数f(x)=lg(|x|-1)的大致图象是(　　) 答案　B 解析　由f(x)的定义域为(-∞，-1)∪(1，+∞)，且f(-x)=lg(|-x|-1)=lg(|x|-1)=f(x)，得f(x)是偶函数，由此知C，D错误； 又当x>1时，f(x)=lg(x-1)在(1，+∞)上单调递增，所以B正确. 8.(5分)已知函数y=loga(x-1)+2x(a>0且a≠1)恒过定点A，则点A的坐标为　　　　　　.  答案　(2，4) 解析　令x-1=1得x=2，此时y=4， 即函数y=loga(x-1)+2x(a>0且a≠1)恒过定点A(2，4). 9.(5分)不等式x+3)<2x-1)的解集为　　　　.  答案　 解析　由题意可得 解得<x<4. 10.(10分)比较下列各组中两个值的大小： (1)ln 0.3，ln 2；(2分) (2)loga3.1，loga5.2(a>0，且a≠1)；(2分) (3)log30.2，log40.2；(3分) (4)log3π，logπ3.(3分) 解　(1)因为函数y=ln x在(0，+∞)上是增函数， 又0.3<2，所以ln 0.3<ln 2. (2)当a>1时，函数y=logax在(0，+∞)上是增函数， 又3.1<5.2，所以loga3.1<loga5.2； 当0<a<1时，函数y=logax在(0，+∞)上是减函数， 又3.1<5.2，所以loga3.1>loga5.2. 综上所述，当a>1时，loga3.1<loga5.2； 当0<a<1时，loga3.1>loga5.2. (3)因为0>log0.23>log0.24，所以 即log30.2<log40.2. (4)因为函数y=log3x在(0，+∞)上是增函数， 又π>3， 所以log3π>log33=1. 同理，1=logππ>logπ3，所以log3π>logπ3. 11.(多选)已知函数f(x)=logax(a>0，且a≠1)的图象经过点(4，2)，则下列说法中正确的是(　　) A.函数f(x)是增函数 B.函数f(x)是偶函数 C.若x>1，则f(x)>0 D.若f(x)<1，则x∈(2，+∞) 答案　AC 解析　由题意得f(4)=2，即loga4=2，∴a2=4， ∵a>0且a≠1，∴a=2，∴f(x)=log2x， ∴f(x)在(0，+∞)上是增函数，但不是偶函数，故A正确，B错误； 当x>1时，f(x)>0，故C正确； 由log2x<1，得x<2， 又∵x>0，∴x∈(0，2)，故D错误. 12.若函数f(x)=(k-1)ax-a-x(a>0且a≠1)在R上既是奇函数，又是增函数，则g(x)=loga(x+k)的图象是(　　) 答案　B 解析　∵函数f(x)=(k-1)ax-a-x(a>0且a≠1)在R上是奇函数， ∴f(0)=0，∴k=2，经检验k=2满足题意， 又函数f(x)为增函数，∴a>1， ∴ g(x)=loga(x+2)， 定义域为{x|x>-2}，且为增函数. 13.已知函数f(x)=满足f(a-1)<f(3-a)，则实数a的取值范围是(　　) A.(-∞，2) B.(2，+∞) C.(-∞，0) D.(0，+∞) 答案　A 解析　当x<1时，f(x)=x3-1，此时f(x)单调递增，当x≥1时，f(x)=ln x，此时f(x)单调递增，且f(1)=0=13-1，则f(x)是R上的增函数，若有f(a-1)<f(3-a)，则有a-1<3-a，解得a<2. 14.(11分)已知f(x)=|lg x|，且>a>b>1，试借助图象比较f(a)，f(b)，f(c)的大小. 解　先作出函数y=lg x的图象，再将图象位于x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到x轴上方，于是得f(x)=|lg x|的图象(如图)，由图象可知，f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增. 由>a>b>1得f >f(a)>f(b)， 又f=|-lg c|=|lg c|=f(c). ∴f(c)>f(a)>f(b). 15.(5分)已知f(x)=的值域为R，那么实数a的取值范围是　　　　.  答案　 解析　要使函数f(x)的值域为R， 则必须满足 即解得-≤a<. 16.(12分)若不等式x2-logmx<0在内恒成立，求实数m的取值范围. 解　由x2-logmx<0，得x2<logmx， 要使x2<logmx在内恒成立，只要y=logmx在内的图象在y=x2在内的图象的上方，于是0<m<1. 在同一坐标系中作y=x2和y=logmx的草图，如图所示. ∵当x=时，y=x2= ∴只要当x=时，y=logm=logm即可， ∴即≤m.又0<m<1，∴≤m<1. 即实数m的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $