第4章 4.4.2 对数函数的图象和性质(二)（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（人教A版）

本讲义聚焦对数函数的定义域、值域及反函数核心知识点，承接对数函数基本图象和性质，通过实例深化单调性在定义域（如含二次函数的对数式）、值域（如给定区间）中的应用，再引入反函数，明确指数函数与对数函数的互为反函数关系，构建递进式知识支架。 该资料以“例题-延伸探究-反思感悟-跟踪训练”螺旋设计，培养数学思维（如定义域与恒成立问题转化的逻辑推理）和数学语言表达（如反函数定义域值域互换的规范表述）。例如例2利用单调性求值域，例3反函数计算，课中辅助分层教学，课后课时对点练助学生查漏补缺，强化知识应用。

4.4.2　对数函数的图象和性质(二) 学习目标　1.进一步掌握对数函数的图象和性质.(重点)2.利用单调性进一步求函数的定义域和简单值域问题.(重难点)3.了解反函数的概念和图象特点. 一、与对数函数有关的定义域(值域)问题 例1　(1)函数y=的定义域为　　　　.  答案　(-∞，1] 解析　要使函数有意义，则lg(2-x)≥0， ∴∴x≤1. 故函数的定义域为(-∞，1]. (2)已知函数f(x)=ln(ax2+2x+1).若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围. 解　由f(x)的定义域为R， 得ax2+2x+1>0恒成立， 当a=0时，2x+1>0，x>-不符合题意； 当a≠0时， 由 解得a>1. 即实数a的取值范围为(1，+∞). 延伸探究1　若本例(2)中的“f(x)的定义域为R”改为“f(x)的值域为R”，求实数a的取值范围. 解　因为f(x)的值域为R， 所以{y|y=ax2+2x+1}⊇(0，+∞)， (也可以说y=ax2+2x+1取遍一切正数) ①当a=0时，y=2x+1可以取遍一切正数，符合题意； ②当a≠0时，需即0<a≤1. 综上，实数a的取值范围为[0，1]. 反思感悟　(1)求形如y=的定义域时，其解法为从外向里一层一层地将对数符号去掉，结合对数函数的单调性，最后求出x的取值范围. (2)把函数f(x)=logag(x)的定义域为R的问题转化为g(x)>0恒成立问题求解. 跟踪训练1　函数g(x)=lo-mx2+mx+1)的定义域为R，则实数m的取值范围为　　　　.  答案　(-4，0] 解析　由题意，得-mx2+mx+1>0在R上恒成立， 即mx2-mx-1<0在R上恒成立， 当m=0时，-1<0恒成立，符合题意. 当m≠0时得-4<m<0， 故实数m的取值范围为(-4，0]. 二、与对数函数有关的综合性问题 例2　已知函数f(x)=log2(x+1)-2. (1)若f(x)>0，求x的取值范围； (2)若x∈(-1，3]，求f(x)的值域. 解　(1)由题意得log2(x+1)-2>0， ∴log2(x+1)>2，∴x+1>4， ∴x>3.∴x的取值范围是(3，+∞). (2)∵x∈(-1，3]，∴x+1∈(0，4]， ∴log2(x+1)∈(-∞，2]， ∴log2(x+1)-2∈(-∞，0]. ∴f(x)的值域为(-∞，0]. 反思感悟　求对数型函数的值域一般是先求真数的范围，然后利用对数函数的单调性求解. 跟踪训练2　已知a≠2，函数f(x)=lg是奇函数. (1)求函数f(x)的解析式； (2)讨论f(x)的单调性. 解　(1)因为函数f(x)=lg是奇函数， 则f(-x)+f(x)=lg+lg =lg=0， 可得=1对于-<x<恒成立， 整理可得(4-a2)x2=0对于-<x<恒成立，可得4-a2=0， 因为a≠2，所以a=-2. 所以f(x)=lg. (2)设任意-<x1<x2< 可得-1<2x1<2x2<1， 所以-1<-2x2<-2x1<1， 得0<1-2x2<1-2x1<2， 因为0<1+2x1<1+2x2， 所以0<<1，0<<1， 所以f(x2)-f(x1)=lg-lg =lg<lg 1=0， 所以f(x2)<f(x1)， 因此f(x)在上单调递减. 三、反函数 问题　在同一坐标系下，画出函数y=2x与y=log2x的图象，观察两函数图象的关系. 提示　 知识梳理　 反函数：一般地，指数函数y=ax(a>0，且a≠1)与对数函数y=logax(a>0，且a≠1)互为反函数.它们的定义域与值域正好互换. 例3　若函数y=f(x)是函数y=2x的反函数，则f(f(2))的值为(　　) A.16 B.0 C.1 D.2 答案　B 解析　函数y=2x的反函数是y=log2x， 即f(x)=log2x. ∴f(f(2))=f(log22)=f(1)=log21=0. 延伸探究2　本例3改为若函数g(x)是函数f(x)=2x，x∈[-2，1]的反函数，则函数g(x)的定义域为　　　　.  答案　 解析　函数f(x)=2x，x∈[-2，1]的值域为 因为函数g(x)是其反函数， 所以函数g(x)的定义域为. 反思感悟　互为反函数的函数的性质 (1)同底数的指数函数与对数函数互为反函数. (2)互为反函数的两个函数的定义域与值域互换. (3)互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称. 跟踪训练3　y=3x与y=log3x的图象关于(　　) A.x轴对称 B.直线y=x对称 C.原点对称 D.y轴对称 答案　B 解析　函数y=3x与函数y=log3x互为反函数，故它们的图象关于直线y=x对称. 1.知识清单： (1)利用对数函数的单调性求函数的定义域. (2)求简单对数的值域、最值、奇偶性问题. (3)了解反函数的概念和图象. 2.方法归纳：数形结合法. 3.常见误区：求对数型函数的定义域时，有时需求几部分的交集. 1.函数f(x)=的定义域为(　　) A.(0，2) B.(0，2] C.(2，+∞) D.[2，+∞) 答案　C 解析　由题意得 即解得x>2. ∴函数f(x)的定义域为(2，+∞). 2.函数 f(x)=log2x-2在[8]上的值域为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　因为y=log2x在[8]上单调递增， 所以log2≤log2x≤log28， 即log2x∈. 故log2x-2∈ 即函数f(x)在[8]上的值域为. 3.若函数f(x)=ax+loga(x+1)在[0，1]上的最大值和最小值之和为a，则a的值为(　　) A. B. C.2 D.4 答案　B 解析　由题意得f(x)在[0，1]上单调递增或单调递减， ∴f(x)的最大值或最小值在端点处取得， 即f(0)+f(1)=a， 即1+a+loga2=a， ∴loga2=-1，解得a=. 4.若函数y=f(x)是函数y=ax(a>0，且a≠1)的反函数，其图象经过点则a=　　　　.  答案　 解析　由题意得f(x)=logax(a>0，且a≠1，x>0)， 因为f(x)的图象过点 所以loga所以 所以a2=2，所以a=负值舍去). 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共45分；多选题每小题6分，共12分 1.已知函数f(x)=log2x，若函数g(x)是f(x)的反函数，则g(2)等于(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 答案　D 解析　∵g(x)是f(x)的反函数，∴g(x)=2x， ∴g(2)=22=4. 2.设f(x)=3x+9，则其反函数的定义域是(　　) A.(0，+∞) B.(9，+∞) C.(10，+∞) D.(-∞，+∞) 答案　B 解析　∵3x>0，∴f(x)=3x+9>9， 因此其反函数的定义域为(9，+∞). 3.函数f(x)=的定义域为(　　) A.(e，+∞) B.(1，e] C.(-∞，1) D.(0，1)∪(1，e] 答案　D 解析　要使函数有意义，需满足解得0<x≤e且x≠1. 所以函数f(x)=的定义域为(0，1)∪(1，e]. 4.函数f(x)=lg|x|为(　　) A.奇函数，在区间(0，+∞)上单调递减 B.奇函数，在区间(0，+∞)上单调递增 C.偶函数，在区间(-∞，0)上单调递增 D.偶函数，在区间(-∞，0)上单调递减 答案　D 解析　已知函数的定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，关于坐标原点对称，且f(-x)=lg|-x|=lg|x|=f(x)，所以f(x)是偶函数；当x>0时，f(x)=lg x在区间(0，+∞)上单调递增，又因为f(x)为偶函数，所以f(x)=lg|x|在区间(-∞，0)上单调递减. 5.(多选)下列函数中，既是单调函数，又是奇函数的是(　　) A.y=2x-2-x B.y=3|x| C.y=log3x D.y=log23x 答案　AD 解析　易知f(x)=2x-2-x在R上是增函数， 又f(-x)+f(x)=(2-x-2x)+(2x-2-x)=0， ∴y=2x-2-x是单调函数，且为奇函数. 易知g(x)=log23x=xlog23在R上是增函数， 又g(-x)=-g(x)， ∴y=log23x是单调函数，且为奇函数. 显然B中y=3|x|及C中y=log3x不是奇函数. 6.已知函数f(x)=的值域为[m，+∞)，则(　　) A.m>1 B.m=0 C.m=1 D.0<m<1 答案　B 解析　当x<-1时，f(x)=此时f(x)在(-∞，-1)上单调递减， ∴f(x)>=1； 当x≥-1时，f(x)=ln(x+2)，此时f(x)在[-1，+∞)上单调递增， ∴f(x)≥ln(-1+2)=0. 综上所述，函数f(x)=的值域为[0，+∞)，故m=0. 7.已知函数y=log2(x2-2kx+k)的值域为R，则k的取值范围是(　　) A.0<k<1 B.0≤k<1 C.k≤0或k≥1 D.k=0或k≥1 答案　C 解析　令t=x2-2kx+k， 由y=log2(x2-2kx+k)的值域为R， 得函数t=x2-2kx+k的图象恒与x轴有交点， 所以Δ=4k2-4k≥0，即k≤0或k≥1. 8.(5分)函数y=log2(x-4)的反函数为f(x)，则f(3)=　　　　　.  答案　12 解析　令y=log2(x-4)=3，即x-4=23，解得x=12，则f(3)=12. 9.(5分)设a>1，函数f(x)=logax在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差为则a=　　　　.  答案　4 解析　∵a>1，∴f(x)=logax在[a，2a]上单调递增， ∴loga(2a)-logaa=即loga2=∴=2，a=4. 10.(10分)已知f(x)=lg(2+x)+lg(2-x). (1)求函数f(x)的定义域；(3分) (2)判断函数f(x)的奇偶性，并加以证明；(4分) (3)求f的值.(3分) 解　(1)由得-2<x<2， 所以函数f(x)的定义域为{x|-2<x<2}. (2)f(x)为偶函数，证明如下： 因为函数f(x)的定义域为{x|-2<x<2}，关于原点对称， 又f(-x)=lg[2+(-x)]+lg[2-(-x)] =lg(2-x)+lg(2+x)=f(x)， 所以函数f(x)=lg(2+x)+lg(2-x)为偶函数. (3)f=lg(2++lg(2- =lg[(2+2-]=lg 1=0. 11.已知函数f(x)=ln-x)+2，则f(lg 5)+f等于(　　) A.4 B.0 C.1 D.2 答案　A 解析　∵f(x)=ln-x)+2，∴f(x)的定义域为R， ∴f(-x)=ln+x)+2， ∴f(x)+f(-x)=ln[-x)+x)]+4=ln 1+4=4， ∴f(lg 5)+f =f(lg 5)+f(-lg 5)=4. 12.(多选)已知函数f(x)=lg(x2-2x+t)，则下列结论正确的是(　　) A.当t=2时，f(x)的值域为(0，+∞) B.当t=-3时，f(x)的定义域为(-∞，-1)∪(3，+∞) C.当t取任意实数时，均有f(x)的图象关于直线x=1对称 D.若f(x)的定义域为R，则实数t的取值范围是[1，+∞) 答案　BC 解析　当t=2时，f(x)=lg(x2-2x+2)=lg[(x-1)2+1]≥lg 1=0，故f(x)的值域为[0，+∞)，故A错误；当t=-3时，f(x)=lg(x2-2x-3)=lg[(x+1)(x-3)]，此时定义域为(-∞，-1)∪(3，+∞)，故B正确；真数y=x2-2x+t的图象关于直线x=1对称，故C正确；若f(x)的定义域为R，则x2-2x+t>0在R上恒成立，即Δ=4-4t<0，则t>1，故D错误. 13.任取x1，x2∈[a，b]，且x1≠x2，若f恒成立，则称f(x)为[a，b]上的凸函数，下列函数中在其定义域上不为凸函数的是(　　) A.y=2x B.y=log2x C.y=-x2 D.y= 答案　A 解析　根据题意，任取x1，x2∈[a，b]，且x1≠x2，若f恒成立， 则称f(x)为[a，b]上的凸函数， ∴在函数y=f(x)的图象上任取两个不同的点A，B，线段AB(端点除外)总在f(x)的图象的下方， ∴函数f(x)为凸函数， 分别作出四个函数的图象，如图所示， 由图可知y=log2x，y=-x2，y=在其定义域上的图象满足凸函数的概念，y=2x的图象不满足凸函数的概念， ∴y=log2x，y=-x2，y=在其定义域上是凸函数， y=2x在其定义域上不是凸函数. 14.(11分)已知函数f(x)=log2(4x+1)-x. (1)判断函数f(x)=log2(4x+1)-x的奇偶性；(5分) (2)解关于m的不等式f(2m+1)>f(m-1).(6分) 解　(1)∵4x>0，∴4x+1>1，∴f(x)的定义域为R， 由f(-x)=log2(4-x+1)+x=log2+x=log2(1+4x)-log24x+x=log2(4x+1)-xlog24+x=log2(4x+1)-x=f(x)， ∴f(x)为偶函数. (2)∵f(x)=log2(4x+1)-x=log2=log2函数y=t+在[1，+∞)上单调递增， 当x≥0时，2x≥1，y=2x+在[0，+∞)上单调递增， ∴f(x)在[0，+∞)上单调递增， 又函数f(x)为偶函数，∴函数f(x)在[0，+∞)上单调递增，在(-∞，0]上单调递减， ∵f(2m+1)>f(m-1)，∴|2m+1|>|m-1|， 两边平方得4m2+4m+1>m2-2m+1，解得m<-2或m>0， ∴所求不等式的解集为(-∞，-2)∪(0，+∞). 15.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞)上单调递增.若实数a满足f(log2a)+f(loa)≤2f(1)，则a的最小值是(　　) A. B.1 C. D.2 答案　C 解析　由题设，f(x)在(-∞，0)上单调递减， 由偶函数的定义知f(loa)=f(-log2a) =f(log2a)， ∴f(log2a)+f(loa)=2f(log2a)≤2f(1)， 即f(log2a)≤f(1)， ∴|log2a|≤1，则-1≤log2a≤1，得≤a≤2. 故a的最小值是. 16.(12分)已知函数f(x)=lo的图象关于原点对称，其中a为常数. (1)求a的值；(6分) (2)若当x∈(1，+∞)时，f(x)+lox-1)<m恒成立，求实数m的取值范围.(6分) 解　(1)∵函数f(x)的图象关于原点对称， ∴函数f(x)的定义域关于原点对称， ∵>0，∴(x-1)(1-ax)>0， 令(x-1)(1-ax)=0， 得x1=1，x2=∴=-1，a=-1， 经验证，a=-1满足题意. (2)∵f(x)+lox-1)=lo+lox-1) =lo1+x)， ∴当x>1时，lo1+x)<-1， 又当x∈(1，+∞)时，f(x)+lox-1)<m恒成立， ∴m≥-1. 即实数m的取值范围是[-1，+∞). 学科网（北京）股份有限公司 $