第4章 4.5.2 用二分法求方程的近似解（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（人教A版）

本讲义聚焦“用二分法求方程的近似解”核心知识点，基于函数零点存在定理，构建“概念（定义、适用条件）—步骤（定区间、找中点、判符号、逼近零点）—应用”的学习支架，衔接函数零点概念，为算法思想学习奠基。 以猜手机价格、找假币等现实情境引入，培养“数学眼光”，通过程序化步骤梳理与例题解析渗透“数学思维”，借助表格记录计算过程强化“数学语言”。课中助力教师引导探究，课后分层练习帮助学生巩固，查漏补缺。

4.5.2　用二分法求方程的近似解 学习目标　1.了解二分法的原理及其适用条件.2.掌握二分法的实施步骤.(重点)3.体会二分法中蕴含的逐步逼近与程序化思想. 导语 同学们，前几天有个同事买了一部手机，为了游戏更有趣，暂且不告诉大家是什么牌子的手机，我可以告诉大家这部手机的价位在2 000元~3 000元，如果给大家5次猜价的机会，我只能告诉大家猜的价格比真实值多或少，大家能否猜出与手机真实价钱的误差在50元以内的价钱？注意啊，你的机会只有5次！接下来，让我们一起探究解决这个问题的方法吧. 一、二分法的概念 问题1　有16个大小相同，颜色相同的金币，其中有15个金币是真的，有一个质量稍轻的是假的.至少用天平称几次一定可以找出这个稍轻的假币？ 提示　4次. 第一次，两端各放8个金币，高的那一端一定有假币； 第二次，两端各放4个金币，高的那一端一定有假币； 第三次，两端各放2个金币，高的那一端一定有假币； 第四次，两端各放1个金币，高的那一端一定是假币. 在这个过程中，体现出了“一分为二，逐步逼近”的思想. 知识梳理　 二分法：对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法. 注意点： (1)二分法的求解原理是函数零点存在定理. (2)用二分法只能求变号零点，即零点左右两侧的函数值的符号相反，比如y=x2，该函数有零点为0，但不能用二分法求解. 例1　(1)(多选)下列函数图象与x轴均有交点，能用二分法求函数零点近似值的是(　　) 答案　ABC 解析　根据二分法的定义，知函数f(x)在区间[a，b]上的图象连续不断，且f(a)f(b)<0，即函数的零点是变号零点，才能将区间[a，b]一分为二，逐步得到零点的近似值.对各图象分析可知，选项A，B，C都符合条件，而选项D不符合，因为零点左右两侧的函数值不变号，所以不能用二分法求函数零点的近似值. (2)已知f(x)=x2+6x+c有零点，但不能用二分法求出零点的近似值，则c的值是(　　) A.9 B.8 C.7 D.6 答案　A 解析　依题意可知，x2+6x+c=0有两个相等的实数根， 则Δ=36-4c=0，∴c=9. 反思感悟　运用二分法求函数的零点应具备的条件 (1)函数图象在零点附近连续不断. (2)在该零点左右两侧的函数值异号. 跟踪训练1　已知函数f(x)的图象如图所示，其中零点的个数与可以用二分法求解的零点的个数分别为(　　) A.4，4 B.3，4 C.5，4 D.4，3 答案　D 解析　图象与x轴有4个交点，所以零点的个数为4；左右两侧的函数值异号的零点有3个，所以可以用二分法求解的零点的个数为3. 二、用二分法求函数零点的近似值 问题2　你能想办法求函数f(x)=x3-3的零点的近似值吗？ 提示　由于f(1)=-2<0，f(2)=5>0，因此可以确定区间[1，2]作为计算的初始区间，用二分法逐步计算，列表如下： 区间 中点的值 中点函数近似值 (1，2) 1.5 0.375 (1，1.5) 1.25 -1.046 9 (1.25，1.5) 1.375 -0.400 4 (1.375，1.5) 1.437 5 -0.029 5 当然，我们可以一直重复下去，这样的话，也会使求得的函数零点更精确，显然，这可能是一个无休止的过程.实际上，如果我们一开始给一个精确度的话，只要满足了给出的精确度，我们就可以停止计算，比如，该问题中，我们给出精确度为0.1. 由于|1.5-1.437 5|=0.062 5<0.1，所以原函数的一个正实数零点可取1.437 5. 知识梳理　 给定精确度ε，用二分法求函数y=f(x)零点x0的近似值的步骤 (1)确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0. (2)求区间(a，b)的中点c. (3)计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间： ①若f(c)=0(此时x0=c)，则c就是函数的零点； ②若f(a)f(c)<0(此时x0∈(a，c))，则令b=c； ③若f(c)f(b)<0(此时x0∈(c，b))，则令a=c. (4)判断是否达到精确度ε：若|a-b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤(2)~(4). 以上步骤可简化为：定区间，找中点，中值计算两边看；同号去，异号算，零点落在异号间；周而复始怎么办？精确度上来判断. 注意点： (1)初始区间的确定要包含函数的变号零点. (2)精确度ε表示当区间的长度小于ε时停止二分. (3)若|a-b|<ε，则[a，b]间的任意值都是满足精确度ε的近似值. 例2　(课本例2)借助信息技术，用二分法求方程2x+3x=7的近似解(精确度为0.1). 解　原方程即2x+3x-7=0，令f(x)=2x+3x-7，用信息技术画出函数y=f(x)的图象，并列出它的对应值表. x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 y -6 -2 3 10 21 40 75 142 273 观察图或表，可知f(1)f(2)<0，说明该函数在区间(1，2)内存在零点x0. 取区间(1，2)的中点x1=1.5，用信息技术算得f(1.5)≈0.33.因为f(1)f(1.5)<0，所以x0∈(1，1.5). 再取区间(1，1.5)的中点x2=1.25，用信息技术算得f(1.25)≈-0.87.因为f(1.25)f(1.5)<0，所以x0∈(1.25，1.5). 同理可得，x0∈(1.375，1.5)， x0∈(1.375，1.437 5). 由于|1.375-1.437 5|=0.062 5<0.1， 所以，原方程的近似解可取为1.375. 例2　用二分法求方程ln(2x+6)+2=3x的近似解时，令f(x)=ln(2x+6)+2-3x，并用计算器得到下表： x 1.00 1.25 1.375 1.50 f(x) 1.079 4 0.191 8 -0.360 4 -0.998 9 由表中的数据，求方程ln(2x+6)+2=3x的一个近似解.(精确度为0.1) 解　因为f(1.25)f(1.375)<0， 所以根据二分法的思想，可知函数f(x)的零点在区间[1.25，1.375]内， 但|1.375-1.25|=0.125>0.1，因此需要取区间[1.25，1.375]的中点1.312 5， 两个区间[1.25，1.312 5]和[1.312 5，1.375]中至少有一个包含零点. 又|1.375-1.312 5|=|1.312 5-1.25|=0.062 5<0.1，因此1.312 5是方程的一个近似解. 反思感悟　二分法求函数零点的关注点 (1)验证零点所在的区间是否符合精确度要求. (2)区间内的任一值都可以作为零点的近似值，一般取端点作为零点的近似值. 跟踪训练2　(1)用二分法求方程3x+x-5=0在区间(1，3)内的近似解，取区间的中点2，那么下一个有根的区间是　　　　.  答案　(1，2) 解析　设f(x)=3x+x-5，f(1)=3+1-5<0， f(3)=33+3-5>0，f(2)=32+2-5>0，∵f(1)f(2)<0， ∴f(x)零点所在的区间为(1，2)， ∴方程3x+x-5=0下一个有根的区间是(1，2). (2)(多选)用二分法求函数f(x)=5x+7x-2的一个零点，其参考数据如下： x 0.062 5 0.093 75 0.125 0.156 25 0.187 5 f(x) -0.456 7 -0.180 9 0.097 8 0.379 7 0.664 7 根据上述数据，可得f(x)=5x+7x-2的一个零点近似值(精确度0.05)为(　　) A.0.062 5 B.0.093 75 C.0.125 D.0.096 答案　BCD 解析　已知f(0.093 75)<0，f(0.125)>0，则函数f(x)的零点所在区间为(0.093 75，0.125)，所以零点在区间(0.093 75，0.125)上，|0.125-0.093 75|=0.031 25<0.05，所以0.093 75，0.096，0.125都符合题意. 1.知识清单： (1)二分法的定义. (2)利用二分法求函数的零点、方程的近似解. 2.方法归纳：化归、逼近. 3.常见误区：二分法并不适用于所有零点，只能求函数的变号零点，且函数图象在零点附近是连续的. 1.下列函数零点不能用二分法求解的是(　　) A.f(x)=x3-1 B.f(x)=ln x+3 C.f(x)=x2+2x+2 D.f(x)=-x2+4x-1 答案　C 解析　对于A选项，f(x)=x3-1在R上为增函数，且与x轴有唯一交点， 交点两侧的函数值异号，则可用二分法求解； 对于B选项，f(x)=ln x+3在(0，+∞)上为增函数，且与x轴有唯一交点， 交点两侧的函数值异号，则可用二分法求解； 对于C选项，f(x)=x2+2x+2=(x+2≥0恒成立，所以不能用二分法求解； 对于D选项，f(x)=-x2+4x-1=-(x-2)2+3，在(-∞，2)上单调递增，在(2，+∞)上单调递减，所以f(x)max=f(2)=3>0，则零点处的两侧函数值异号，可用二分法求解. 2.(多选)下列关于函数y=f(x)，x∈[a，b]的叙述中，正确的是(　　) A.若x0∈[a，b]且满足f(x0)=0，则x0是f(x)的一个零点 B.若x0是f(x)在区间[a，b]上的零点，则可用二分法求x0的近似值 C.函数f(x)的零点是方程f(x)=0的根，方程f(x)=0的根也一定是函数f(x)的零点 D.用二分法求方程的根时，得到的都是近似值 答案　AC 解析　易知A正确； 因为函数f(x)不一定连续，故B错误； 由函数f(x)的零点的定义知C正确； 用二分法求方程的根时，得到的根也可能是精确值，故D错误. 3.用二分法求函数f(x)=x3+5的零点可以取的初始区间是(　　) A.(-2，-1) B.(-1，0) C.(0，1) D.(1，2) 答案　A 解析　f(-2)f(-1)=-12<0，所以可以取的初始区间是(-2，-1). 4.若函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表： f(1)=-2 f(1.5)=0.625 f(1.25)≈-0.984 f(1.375)≈-0.260 f(1.437 5)≈0.162 f(1.406 25)≈-0.054 那么方程x3+x2-2x-2=0的一个近似解(精确度为0.05)为(　　) A.1.5 B.1.375 C.1.437 5 D.1.25 答案　C 解析　∵f(1.406 25)<0，f(1.437 5)>0， ∴f(1.406 25)f(1.437 5)<0， ∴该方程的解在区间(1.406 25，1.437 5)内， 又∵|1.406 25-1.437 5|=0.031 25<0.05， ∴方程的近似解可以是1.437 5. 课时对点练 [分值：90分] 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共12分 1.用二分法求如图所示的函数f(x)的零点时，不可能求出的零点是(　　) A.x1 B.x2 C.x3 D.x4 答案　C 解析　能用二分法求零点的函数必须满足在区间[a，b]上连续不断，且f(a)f(b)<0.而x3左右两侧的函数值都小于零，不满足区间端点处函数值符号相异的条件. 2.用二分法求函数f(x)=2x-3的零点时，初始区间可选为(　　) A.[-1，0] B.[0，1] C.[1，2] D.[2，3] 答案　C 解析　f(-1)=-<0，f(0)=-2<0， f(1)=-1<0，f(2)=1>0，f(3)=5>0， 则f(1)f(2)<0，即初始区间可选[1，2]. 3.(多选)在用“二分法”求函数f(x)零点的近似值时，若第一次所取区间为(-2，4)，则第二次所取区间可能是(　　) A.(-2，-1) B.(-2，1) C.(2，4) D.(1，4) 答案　BD 解析　由题知第一次所取区间为(-2，4)，取中间值=1， 则第二次所取区间可能是(-2，1)或(1，4). 4.用二分法求函数f(x)在(a，b)内唯一零点的近似值时，精确度为0.001，则结束计算的条件是(　　) A.|a-b|<0.1 B.|a-b|<0.001 C.|a-b|>0.001 D.|a-b|=0.001 答案　B 解析　根据二分法的步骤知当|a-b|小于精确度ε时，便可结束计算. 5.下列函数中，不能用二分法求函数零点的有(　　) A.f(x)=5x+2 B.f(x)=log5x C.f(x)=x2+2x+1 D.f(x)=3x-2 答案　C 解析　选项A，由f(-1)f(1)=-3×7<0， 可得f(x)=5x+2在(-1，1)上存在零点，且可用二分法求此函数零点； 选项B，由f f(5)=-1×1<0，可得f(x)=log5x在上存在零点，且可用二分法求此函数零点； 选项C，f(x)=x2+2x+1=(x+1)2≥0，则其零点为-1，但不存在实数a，b满足f(a)f(b)<0，因而不能用二分法求此函数零点； 选项D，由f(0)f(1)=-1×1<0，可得f(x)=3x-2在(0，1)上存在零点，且可用二分法求此函数零点. 6.(多选)利用计算器，列出自变量和函数值的对应值如下表. x -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 y=2x 0.3299 0.3789 0.4353 0.5 0.5743 0.6598 0.7579 0.8706 1 y=x2 2.56 1.96 1.44 1 0.64 0.36 0.16 0.04 0 若方程2x=x2有一个根位于区间(a，a+0.4)内，则a可以取(　　) A.-1.4 B.-1 C.-0.8 D.-0.6 答案　BC 解析　令f(x)=2x-x2，则f(-1.6)<0， f(-1.4)<0，f(-1.2)<0， f(-1)<0，f(-0.8)<0，f(-0.6)>0， f(-0.4)>0，f(-0.2)>0，f(0)>0， f(-1.4)f(-1)>0，f(-1)f(-0.6)<0， f(-0.8)f(-0.4)<0，f(-0.6)f(-0.2)>0， 故a可能取-1或-0.8. 7.用二分法求方程ln x-=0在[1，2]上的解时，取中点c=1.5，则下一个有根区间为(　　) A.[1，1.25] B.[1，1.5] C.[1.25，1.5] D.[1.5，2] 答案　D 解析　令f(x)=ln x-易得f(x)为增函数， 又因为f(1)=-1<0， f(2)=ln 2-=ln 2-ln >ln 2-ln =ln 2-ln 2=0， f(1.5)=ln=lnln e=lnln e2=ln 4-2)<0， 所以下一个有根区间为[1.5，2]. 8.(5分)若函数f(x)=x2+ax+b有零点，但不能用二分法求出，则a，b的关系是　　　　　　.  答案　a2=4b 解析　∵函数f(x)=x2+ax+b有零点，但不能用二分法求出， ∴函数f(x)=x2+ax+b的图象与x轴相切， ∴对于x2+ax+b=0，有Δ=a2-4b=0， ∴a2=4b. 9.(5分)“二分法”是求无理数的近似值的一个有效方法，用这个方法求的近似值时，构造的函数是　　　　　，选定的初始区间是　　　　　(答案不唯一，写出一个即可).  答案　f(x)=x2-17　[4，5](答案不唯一) 解析　由于是方程x2-17=0的一个根， 故构造函数f(x)=x2-17， 根据函数零点存在定理，可以选区间[4，5]. 10.(10分)以下是用二分法求方程x3+3x-5=0的一个近似解(精确度为0.1)的不完整的过程，请补充完整，并写出结论. 设函数f(x)=x3+3x-5，其图象在(-∞，+∞)上是连续不断的一条曲线. 先求值，f(0)=　　　　，f(1)=　　　　，f(2)=　　　　，f(3)=　　　　.  所以f(x)在区间　　　　内存在零点x0.填表：  区间 中点m f(m)的符号 解　因为方程为x3+3x-5=0， 令f(x)=x3+3x-5， 所以f(0)=-5，f(1)=-1，f(2)=9，f(3)=31， f(x)在区间(1，2)内存在零点x0，填表为 区间 中点m f(m)的符号 (1，2) 1.5 + (1，1.5) 1.25 + (1，1.25) 1.125 - (1.125，1.25) 1.187 5 + (1.125，1.187 5) 1.156 25 + 因为|1.187 5-1.125|=0.062 5<0.1， 所以原方程的近似解可取1.187 5. 11.一块电路板的AB线段之间有60个串联的焊接点，知道电路不通的原因是焊口脱落，要想用二分法的思想检测出是哪处焊口脱落，至少需要检测(　　) A.4次 B.6次 C.8次 D.30次 答案　B 解析　利用二分法检测，每次取中点，焊接点数减少一半，不妨设需要n次检测，则≤1， 即2n≥60，因为25<60<26，故n的最小值为6，即至少需要检测6次. 12.用二分法求函数的零点，经过若干次运算后函数的零点在区间(a，b)内，当|a-b|<ε(ε为精确度)时，函数零点的近似值x0=与真实零点的误差的取值范围为(　　) A. B. C.[0，ε) D.[0，2ε) 答案　B 解析　真实零点离近似值x0最远即靠近a或b， 而b--a= 所以误差的取值范围为. 13.(5分)某同学在借助计算器求“方程lg x=2-x的近似解(精确度为0.1)”时，设f(x)=lg x+x-2，算得f(1)<0，f(2)>0；在以下过程中，他用“二分法”又取了4个x的值，计算了其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解是x≈1.8.那么他再取的x的4个值依次是　　　　.  答案　1.5，1.75，1.875，1.812 5 解析　第一次用二分法计算得区间(1.5，2)，第二次得区间(1.75，2)，第三次得区间(1.75，1.875)，第四次得区间(1.75，1.812 5). 14.(13分)用二分法求方程2x+x=4在[1，2]内的近似解(精确度为0.2). 参考数据： x 1.125 1.25 1.375 1.5 1.625 1.75 1.875 2x 2.18 2.38 2.59 2.83 3.08 3.36 3.67 解　令f(x)=2x+x-4， 则f(1)=2+1-4<0，f(2)=22+2-4>0. 用二分法的思想，列表如下： 区间 区间中点值xn f(xn)的符号 (1，2) x1=1.5 f(x1)>0 (1，1.5) x2=1.25 f(x2)<0 (1.25，1.5) x3=1.375 f(x3)<0 ∵|1.375-1.5|=0.125<0.2， ∴2x+x=4在[1，2]内的近似解可取为1.375. 15.(5分)已知函数f(x)满足：对任意x1，x2∈[a，b]，x1≠x2，都有>0，且f(a)f(b)<0.在用二分法寻找零点的过程中，依次确定了零点所在区间为[a，b]又f=0，则函数f(x)的零点为　　　　.  答案　 解析　因为对任意x1，x2∈[a，b]，x1≠x2，都有>0，且f(a)f(b)<0， 所以f(x)在[a，b]上单调递增，且f(a)<0，f(b)>0， 因为a+1>a恒成立， 所以解得 所以f(x)的零点为. 学科网（北京）股份有限公司 $