第4章 4.4.3 不同函数增长的差异（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（人教A版）

本讲义聚焦“不同函数增长的差异”核心知识点，系统梳理一次函数（直线上升）、指数函数（指数爆炸）、对数函数（对数增长）的单调性、增长速度及比较，通过投资方案问题引入，经图象观察、表格总结构建知识支架，衔接函数模型选择应用。 该资料以投资方案等现实问题激发兴趣，体现“用数学眼光观察现实世界”，通过表格对比、例题分析增长速度培养“数学思维”的推理能力，函数模型选择实例（如汽车产量预测）引导“数学语言”表达。课中问题链助教师引导理解，课后跟踪训练与对点练帮助学生查漏补缺，强化应用。

4.4.3　不同函数增长的差异 学习目标　1.了解常用的描述现实世界中不同增长规律的函数模型.2.了解直线上升、指数爆炸、对数增长等增长含义.(重点)3.能根据具体问题选择合适的函数模型.(难点) 导语 同学们，等你们工作了，显然要面对一个现实的问题，那就是如何使你的收入最大化，如果你现在手里有一笔资金可以用于投资，现在有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报是这样的：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番.请问，你会选择哪种投资方案？为了解决这个问题，让我们一起开始今天的探究吧！ 一、几个函数模型增长差异的比较 问题　把一次函数y=2x、对数函数y=lg x和指数函数y=2x的图象画到同一坐标系下，观察图象并思考下面问题： (1)这三个函数在区间(0，+∞)内的单调性是怎样的？ 提示　都是单调递增的. (2)当x趋于无穷大时，在这三个函数中，哪一个函数的增长速度快？哪一个慢？ 提示　函数y=2x增长速度最快，y=2x匀速增长，y=lg x的增长速度最慢. 知识梳理　三种常见函数模型的增长差异 函数 性质 y=ax(a>1) y=logax(a>1) y=kx(k>0) 在(0，+∞)上的单调性 单调递增 单调递增 单调递增 图象的变化 随x的增大逐渐变“陡” 随x的增大逐渐趋于稳定 增长速度不变 形象描述 指数爆炸 对数增长 直线上升 增长速度 y=ax(a>1)的增长速度最终都会大大超过y=kx(k>0)的增长速度；总存在一个x0，当x>x0时，恒有logax<kx 增长结果 存在一个x0，当x>x0时，有ax>kx>logax 注意点： (1)当描述增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型. (2)当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长很大时，常常选用对数函数模型. (3)一次函数增长速度不变，平稳变化. (4)函数值的大小不等同于增长速度快慢，数值大不一定增长速度快，增长速度体现在函数值的变化趋势上. 例1　(1)下列函数中，增长速度最快的是(　　) A.y=2 025x B.y=x2 025 C.y=log2 025x D.y=2 025x 答案　A 解析　比较一次函数、幂函数、指数函数与对数函数可知，指数函数的增长速度最快. (2)三个变量y1，y2，y3随着变量x的变化情况如表： x 1 3 5 7 9 11 y1 5 135 625 1 715 3 635 6 655 y2 5 29 245 2 189 19 685 177 149 y3 5 6.10 6.61 6.95 7.20 7.40 则与x呈对数型函数、指数型函数、幂函数型函数变化的变量依次是(　　) A.y1，y2，y3 B.y2，y1，y3 C.y3，y2，y1 D.y3，y1，y2 答案　C 解析　由指数函数、对数函数、幂函数的增长速率比较，指数函数增长最快，对数函数增长最慢，由题中表格可知，y1是幂函数，y2是指数函数，y3是对数函数. 反思感悟　常见的函数模型及增长特点 (1)线性函数模型：线性函数模型y=kx+b(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变. (2)指数函数模型：指数函数模型y=ax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧加快，形象地称为“指数爆炸”. (3)对数函数模型：对数函数模型y=logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓. (4)幂函数模型：幂函数y=xn(n>0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间. 跟踪训练1　下列函数中，增长速度越来越慢的是(　　) A.y=6x B.y=log6x C.y=x2 D.y=6x 答案　B 解析　D中一次函数的增长速度不变；A，C中函数的增长速度越来越快；只有B中对数函数的增长速度越来越慢，符合题意. 二、函数增长速度的比较 例2　函数f(x)=2x和g(x)=x3的图象如图所示.设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1<x2. (1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数； (2)结合函数图象，判断f(6)，g(6)，f(2 025)，g(2 025)的大小. 解　(1)曲线C1对应的函数为g(x)=x3，曲线C2对应的函数为f(x)=2x. (2)因为f(1)>g(1)，f(2)<g(2)，f(9)<g(9)，f(10)>g(10)， 所以1<x1<2，9<x2<10， 所以x1<6<x2<2 025， 从图象上可以看出，当x1<x<x2时， f(x)<g(x)，所以f(6)<g(6). 当x>x2时，f(x)>g(x)， 所以f(2 025)>g(2 025). 又因为g(2 025)>g(6)， 所以f(2 025)>g(2 025)>g(6)>f(6). 反思感悟　指数函数、对数函数和幂函数增长差异的判断方法 (1)根据函数的变化量的情况对函数增长模型进行判断. (2)根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升的快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数；图象趋于平缓的函数是对数函数. 跟踪训练2　函数f(x)=lg x，g(x)=0.3x-1的图象如图所示. (1)试根据函数的增长差异指出C1，C2分别对应的函数； (2)以两图象的交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较. 解　(1)C1对应的函数为g(x)=0.3x-1；C2对应的函数为f(x)=lg x. (2)当0<x<x1时，g(x)>f(x)； 当x1<x<x2时，f(x)>g(x)； 当x>x2时，g(x)>f(x)； 当x=x1或x=x2时，f(x)=g(x). 三、函数模型的选择 例3　某汽车制造商在2025年年初公告：公司计划2025年的生产目标为43万辆.已知该公司近三年的汽车生产量如表所示： 年份(年) 2022 2023 2024 产量(万辆) 8 18 30 如果我们将年份2022，2023，2024，2025分别编号为第1，2，3，4年.现在有两个函数模型：二次函数模型f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，指数型函数模型g(x)=a·bx+c(a≠0，b>0，且b≠1)，哪个模型能更好地反映该公司年产量y与年份编号x的关系？ 解　建立年产量y与年份编号x的函数，可知函数图象必过点(1，8)，(2，18)，(3，30). (1)构造二次函数模型 f(x)=ax2+bx+c(a≠0)， 将点的坐标代入，可得 解得 则f(x)=x2+7x， 故f(4)=44，与计划误差为1万辆. (2)构造指数型函数模型 g(x)=a·bx+c(a≠0，b>0，且b≠1)， 将点的坐标代入，可得 解得 则g(x)=-42， 故g(4)=-42=44.4，与计划误差为1.4万辆. 由(1)(2)可得，二次函数模型f(x)=x2+7x能更好地反映该公司年产量y与年份编号x的关系. 反思感悟　建立函数模型应遵循的三个原则 (1)简化原则：建立函数模型，原型一定要简化，抓主要因素、主要变量，尽量建立较低阶、较简便的模型. (2)可推演原则：建立模型，一定要有意义，既能作理论分析，又能计算、推理，且能得出正确结论. (3)反映性原则：建立模型，应与原型具有“相似性”，所得模型的解应具有说明问题的功能，能回到具体问题中解决问题. 跟踪训练3　某人对东北一种松树的生长进行了研究，收集了其高度h(米)与生长时间t(年)的相关数据，选择h=mt+b(m≠0)与h=loga(t+1)(a>0，且a≠1)来刻画h与t的关系，你认为哪个符合？并预测第8年的松树高度. t(年) 1 2 3 4 5 6 h(米) 0.6 1 1.3 1.5 1.6 1.7 解　据表中数据作出散点图如图， 由图可以看出用一次函数模型不吻合，选用对数型函数比较合理， 将(2，1)代入到h=loga(t+1)中， 得1=loga3，解得a=3.即h=log3(t+1)， 当t=8时，h=log3(8+1)=2， 故可预测第8年松树的高度为2米. 1.知识清单：三种函数模型：线性函数增长模型、指数型函数增长模型、对数型函数增长模型. 2.方法归纳：转化法. 3.常见误区：不理解三种函数增长的差异. 1.(多选)如图是某厂总产量y与时间x(月)的函数图象，则该厂(　　) A.前3个月总产量增长的速度越来越快 B.前3个月总产量增长的速度越来越慢 C.第3个月到第5个月总产量增长的速度越来越快 D.第3个月到第5个月总产量增长的速度越来越慢 答案　AD 2.在一次数学试验中，采集到如下一组数据： x -2.0 -1.0 0 1.0 2.0 3.0 y 0.24 0.51 1 2.02 3.98 8.02 则x，y的函数关系与下列哪类函数最接近？(其中a，b为待定系数)(　　) A.y=a+bx B.y=a+bx C.y=ax2+b D.y=a+ 答案　B 解析　在坐标系中描出各点(图略)， 知模拟函数为y=a+bx. 3.甲从A地到B地，途中前一半路程的行驶速度是v1，后一半路程的行驶速度是v2(v1<v2)，则下图中能正确反映甲从A地到B地走过的路程s与时间t的关系的是(　　) 答案　B 4.现测得(x，y)的两组对应值分别为(1，2)，(2，5)，现有两个待选模型：甲：y=x2+1，乙：y=3x-1，若又测得(x，y)的一组对应值为(3，10.2)，则应选用 　　　　作为函数模型.  答案　甲 解析　把x=1，2，3分别代入甲、乙两个函数模型，经比较发现模型甲较好. 课时对点练 [分值：85分] 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共18分 1.下列函数图象中，估计有可能用函数y=a+blg x(b>0)来模拟的是(　　) 答案　C 解析　由于函数y=lg x在定义域内单调递增，且是上凸的，又b>0，所以当x>0时，y=a+blg x(b>0)的图象是单调递增且上凸的. 2.下列函数中，随x的增大增长速度最快的是(　　) A.y=ex B.y=100ln x C.y=x100 D.y=100·2x 答案　A 解析　指数函数y=ax，在a>1时呈爆炸式增长，并且a值越大，增长速度越快，故选A. 3.在某试验中，测得变量x和变量y之间的对应数据如表： x 0.50 0.99 2.01 3.98 y -1.01 0.01 0.98 2.00 则下列函数中，最能反映变量x和y之间的变化关系的是(　　) A.y=2x B.y=x2-1 C.y=2x-2 D.y=log2x 答案　D 解析　将x=0.50，y=-1.01代入计算，可以排除A； 将x=2.01，y=0.98代入计算，可以排除B，C； 将各数据代入函数y=log2x，可知满足题意. 4.假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案每天的回报如图所示.横轴为投资时间，纵轴为每天的回报，根据以上信息，若使回报最多，则下列说法中错误的是(　　) A.投资3天以内(含3天)，采用方案一 B.投资4天，不采用方案三 C.投资6天，采用方案一 D.投资12天，采用方案二 答案　D 解析　若投资3天以内(含3天)，由图易知方案一每天的回报最大，故采用方案一； 若投资4天，方案三回报最小，故不采用； 若投资6天，方案一为40×6=240(元)，方案二为10+20+…+60=210(元)，故采用方案一； 若投资12天，易知采用方案三回报最大. 5.y1=2x，y2=x2，y3=log2x，当2<x<4时，有(　　) A.y1>y2>y3 B.y2>y1>y3 C.y1>y3>y2 D.y2>y3>y1 答案　B 解析　由题意可知，三个函数在区间(2，4)上都是单调递增的，所以4<y1<16，4<y2<16，1<y3<2，所以y3最小，由函数y1，y2的图象可知，在区间(2，4)上，函数y2的图象恒在函数y1的图象上方， 所以y2>y1>y3. 6.(多选)当a>1时，下列结论中正确的是(　　) A.指数函数y=ax，当a越大时，其函数值的增长越快 B.指数函数y=ax，当a越小时，其函数值的增长越快 C.对数函数y=logax，当a越大时，其函数值的增长越快 D.对数函数y=logax，当a越小时，其函数值的增长越快 答案　AD 解析　对于指数函数y=ax(a>1)，底数a越大，在y轴右侧，其图象越接近于y轴，其函数值的增长越快；对于对数函数y=logax(a>1)，底数越大，其图象越接近于x轴，函数值的增长越慢，因此当a越小时，其函数值的增长越快. 7.(多选)函数f(x)=g(x)=lox，h(x)=在区间(0，+∞)上(　　) A.f(x)递减速度越来越慢 B.g(x)递减速度越来越慢 C.h(x)递减速度越来越快 D.g(x)的递减速度慢于h(x)的递减速度 答案　AB 解析　根据指数函数、对数函数及幂函数的性质结合图象可知在区间(0，+∞)上， f(x)=递减速度越来越慢，故A正确； g(x)=lox递减速度越来越慢，故B正确； h(x)=递减速度越来越慢，故C错误； h(x)的递减速度慢于g(x)的递减速度，故D错误. 8.(5分)已知函数f(x)=3x，g(x)=2x，当x∈R时，f(x)与g(x)的大小关系为　　　　.  答案　f(x)>g(x) 解析　在同一平面直角坐标系中画出函数f(x)=3x，g(x)=2x的图象，如图所示，由于函数f(x)=3x的图象在函数g(x)=2x图象的上方， 则f(x)>g(x). 9.(5分)某工厂8年来某种产品总产量C与时间t(年)的函数关系如图所示. 以下三种说法： ①前三年总产量增长的速度越来越快；②前三年总产量增长的速度越来越慢；③第三年后这种产品停止生产. 其中说法正确的序号是　　　　.  答案　②③ 解析　由图可知，前三年总产量增长的速度越来越慢，故①错误，②正确； 第三年后这种产品的总产量保持不变，所以产品停止生产，故③正确. 10.(10分)每年的3月12日是植树节，全国各地在这一天都会开展各种形式的植树活动，某市现有树木面积10万平方米，计划今后5年内扩大树木面积，现有两种方案如下： 方案一：每年植树1万平方米； 方案二：每年树木面积比上一年增加9%. 5年后哪个方案的树木面积较大？ 解　方案一：5年后树木面积为10+1×5=15(万平方米). 方案二：5年后树木面积是10(1+9%)5≈15.386(万平方米)， 因为15.386>15，所以方案二的树木面积较大. 11.(多选)如图表示一位骑自行车和一位骑摩托车的旅行者从甲城到乙城所行驶的路程与时间之间的函数关系，两人走同一条线路，有人根据函数图象，提出了关于这两个旅行者的信息，其中正确的是(　　) A.骑自行车者比骑摩托车者早出发3 h，晚到1 h B.骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动 C.骑摩托车者在出发1.5 h后追上了骑自行车者 D.骑摩托车者在出发1.5 h后与骑自行车者速度一样 答案　ABC 解析　看时间轴易知A正确；骑摩托车者行驶的路程与时间的函数图象是直线，所以是匀速运动，而骑自行车者行驶的路程与时间的函数图象是折线，所以是变速运动，故B正确；两函数图象的交点的横坐标对应于4.5，故C正确，D错误. 12.如图所示，向放在水槽底部的烧杯注水(流量一定)，注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽，水槽中水面上升高度h与注水时间t之间的函数关系大致是(　　) 答案　B 解析　开始的一段时间，水槽底部没有水，烧杯满了之后水槽中水面上升速度先快后慢，与B图象相吻合. 13.某小型贸易公司为了实现年终10万元利润的目标，特制定了销售人员年终绩效奖励方案：当销售利润为x(单位：万元)(4≤x≤10)时，奖金y(单位：万元)随销售利润x的增加而增加， 但奖金总数不超过2万元，同时奖金不超过销售利润的.则下列函数中，符合该公司奖励方案的函数模型是(　　) A.y=0.4x B.y=lg x+1 C.y= D.y=1.125x 答案　B 解析　在选项B中，y=lg x+1在区间[4，10]上单调递增，当x=10时，ymax=2. 由图知lg x+1<在x∈[4，10]上恒成立，故y=lg x+1符合题意. 14.(12分)某产品近日开始上市，通过市场调查，得到该产品每件的市场价y(单位：元)与上市时间x(单位：天)的数据如表： 上市时间x/天 4 10 36 市场价y/元 90 51 90 (1)根据上表数据，从下列函数模型中选取一个恰当的函数模型来描述该产品的市场价y与上市时间x的变化关系，并简要说明你选取的理由；(4分) ①y=ax+b；②y=ax2+bx+c；③y=alogbx(b>0，且b≠1). (2)利用你选取的函数模型，求该产品市场价最低时的上市天数以及最低的价格.(8分) 解　(1)因为随着时间x的增加，y的值先减后增，而所给的函数模型中y=ax+b和y=alogbx(b>0，且b≠1)都是单调函数，不满足题意， 所以选择y=ax2+bx+c. (2)把点(4，90)，(10，51)，(36，90)代入y=ax2+bx+c中，得 解得 所以y=x2-10x+126=x-20)2+26， 所以当x=20时，y有最小值26， 所以当该产品上市20天时市场价最低，最低的价格为26元. 学科网（北京）股份有限公司 $