第4章 4.5.1 函数的零点与方程的解（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（人教A版）

本讲义聚焦高中数学“函数的零点与方程的解”核心知识点，从古代数学家方程求解历史引入，通过三组方程与函数的对比问题链，构建函数零点、方程的解与图象交点的关联，进而系统讲解零点定义、存在定理及个数判断方法，形成从概念到应用的完整学习支架。 该资料以问题驱动和历史情境激发学习兴趣，通过实例分析（如判断函数零点所在区间、零点个数）培养数学思维中的推理能力与运算能力，借助数形结合（函数图象与方程解转化）强化数学语言表达。课中助力教师引导学生探究，课后通过跟踪训练和课时对点练帮助学生巩固知识、查漏补缺。

4.5.1　函数的零点与方程的解 学习目标　1.了解函数的零点、方程的解与图象交点三者之间的联系.(重点)2.会借助函数零点存在定理判断函数的零点所在的大致区间.(重点)3.能借助函数单调性及图象判断零点个数.(难点) 导语 同学们，我国古代数学家对部分方程的求解问题给出了比较系统的求解方法，比如：《九章算术》中就给出了一次方程、二次方程和三次方程的具体求解方法，北宋数学家贾宪给出了三次及三次以上的方程的解法，南宋数学家秦九韶给出了求任意次方程正解的方法，今天，让我们站在这些数学巨人的肩上，来探究方程的解与函数零点的关系吧. 一、函数的零点与方程的解 问题1　观察下列三组方程与函数： 方程 函数 x2-2x-3=0 y=x2-2x-3 x2-2x+1=0 y=x2-2x+1 x2-2x+3=0 y=x2-2x+3 利用函数图象探究方程的根与函数图象与x轴的交点之间的关系. 提示　方程x2-2x-3=0的根为-1，3，函数y=x2-2x-3的图象与x轴交于点(-1，0)，(3，0)； x2-2x+1=0有两个相等的实数根，为1，函数y=x2-2x+1的图象与x轴有唯一交点(1，0)； x2-2x+3=0没有实数根，函数y=x2-2x+3的图象与x轴无交点. 问题2　问题1中的函数的零点是函数图象与x轴的交点坐标吗？ 提示　不是，零点不是点，零点是函数图象与x轴的交点的横坐标. 知识梳理　 1.概念：对于一般函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点. 2.函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的解的关系： 注意点： (1)零点不是点，是函数图象与x轴交点的横坐标. (2)求零点可转化为求对应方程的解. (3)并不是所有的函数都有零点，如函数y=2x，y=|x|+1都没有零点. 例1　(1)函数f(x)=(x2-4的零点为　　　　　　.  答案　2或 解析　由题意，得方程(x2-4=0， 则x2-4=0或2x-1=0，解得x=±2或x= 又由2x-1≥0，解得x≥ 所以函数f(x)=(x2-4的零点为2或. (2)若一次函数f(x)=kx+b有一个零点-2，则函数g(x)=bx2-kx的图象可能是(　　) 答案　B 解析　因为一次函数f(x)=kx+b有一个零点-2， 所以-2k+b=0(k≠0)，即b=2k， 对于g(x)=bx2-kx，令g(x)=0，则bx2-kx=0，则x(bx-k)=0， 即x(2kx-k)=0，解得x=0或x=0.5， 所以g(x)有两个零点，分别为0和0.5，符合题意的只有B选项. 反思感悟　探究函数零点的两种求法 (1)代数法：求方程f(x)=0的实数根，若存在实数根，则函数存在零点，否则函数不存在零点. (2)几何法：与函数y=f(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点. 跟踪训练1　(1)函数f(x)=的零点为　　　　　　.  答案　-3，e2 解析　当x≤0时，令x2+2x-3=0， 解得x=-3(x=1舍去)； 当x>0时，令-2+ln x=0，解得x=e2. 所以函数f(x)=的零点为-3和e2. (2)函数f(x)=的大致图象是(　　) 答案　C 解析　由于x+1≠0，即x≠-1，所以f(x)的定义域是{x|x≠-1}，由此排除A，B选项； 由f(x)=0解得x=1，即x=1是f(x)的唯一零点，由此排除D选项. 二、函数零点存在定理 问题3　探究函数y=x2+4x-5的零点所在区间及零点所在区间的端点对应函数值的正负情况，并说明函数图象在零点附近有什么变化规律？ 提示　利用图象可知，零点-5∈(-6，-4)，零点1∈(0，2)，且f(-6)f(-4)<0，f(0)f(2)<0，且函数图象在零点附近是连续不断的.再比如：函数f(x)=2x-1的零点为∈(0，1)，且有f(0)f(1)<0；函数f(x)=log2(x-1)的零点为2，2∈且有f f(3)<0，且以上函数在零点附近的图象也都是连续的. 知识梳理　函数零点存在定理 如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的解. 注意点： (1)定理要求函数图象在闭区间[a，b]上连续，且f(a)f(b)<0. (2)图象在闭区间[a，b]上连续的函数y=f(x)，f(a)f(b)<0是函数有零点的充分不必要条件. (3)该定理是用来判断函数的变号零点，比如y=x2，有零点为0，但是该零点的两侧函数值的符号相同，称为不变号零点. 例2　(1)若函数f(x)的图象在R上连续不断，且满足f(0)<0，f(1)>0，f(2)>0，则下列说法正确的是(　　) A.f(x)在区间(0，1)上一定有零点，在区间(1，2)上一定没有零点 B.f(x)在区间(0，1)上一定没有零点，在区间(1，2)上一定有零点 C.f(x)在区间(0，1)上一定有零点，在区间(1，2)上可能有零点 D.f(x)在区间(0，1)上可能有零点，在区间(1，2)上一定有零点 答案　C 解析　由题知f(0)f(1)<0， 所以根据函数零点存在定理可得，f(x)在区间(0，1)上一定有零点， 又f(1)f(2)>0， 因此无法判断f(x)在区间(1，2)上是否有零点. (2)函数f(x)=lg x-的零点所在的区间是(　　) A.(0，1) B.(1，10) C.(10，100) D.(100，+∞) 答案　B 解析　函数f(x)的定义域为(0，+∞)，且函数f(x)是定义域上的增函数， f(1)=-1<0，f(10)=1->0， ∴在(1，10)内，函数f(x)存在零点. 反思感悟　判断函数y=f(x)在所给区间(a，b)上是否有零点的常用方法 (1)解方程法：当对应方程f(x)=0易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上. (2)利用函数零点存在定理：首先看函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若f(a)f(b)<0，则函数y=f(x)在区间(a，b)内必有零点. (3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断. 跟踪训练2　二次函数f(x)=ax2+bx+c的部分对应值如表： x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 y=f(x) 6 m -4 -6 -6 -4 n 6 由表判断方程ax2+bx+c=0的两根所在的区间是(　　) A.(-3，-1)和(2，4) B.(-3，-1)和(-1，1) C.(-1，1)和(1，2) D.(-∞，-3)和(4，+∞) 答案　A 解析　易知f(x)=ax2+bx+c的图象是一条连续不断的曲线，又f(-3)f(-1)=6×(-4)=-24<0. 所以f(x)在(-3，-1)内有零点， 故方程ax2+bx+c=0在(-3，-1)内有根. 同理方程ax2+bx+c=0在(2，4)内有根. 三、函数零点个数的问题 例3　(课本例1)求方程ln x+2x-6=0的实数解的个数. 解　方法一　设函数f(x)=ln x+2x-6，利用计算工具，列出函数y=f(x)的对应值表，并画出图象. x y 1 -4 2 -1.306 9 3 1.098 6 4 3.386 3 5 5.609 4 6 7.791 8 7 9.945 9 8 12.079 4 9 14.197 2 由表和图可知，f(2)<0，f(3)>0，则f(2)f(3)<0.由函数零点存在定理可知，函数f(x)=ln x+2x-6在区间(2，3)内至少有一个零点. 容易证明，函数f(x)=ln x+2x-6，x∈(0，+∞)是增函数，所以它只有一个零点，即相应方程ln x+2x-6=0只有一个实数解. 方法二　原方程实数解的个数即为函数y=ln x与y=-2x+6的图象交点的个数. 在同一平面直角坐标系下，作出两函数的图象(如图). 由图象知，函数y=ln x与y=-2x+6的图象只有一个交点. 所以方程ln x+2x-6=0只有一个实数解. 例3　判断下列函数的零点的个数. (1)f(x)=x2-x+； (2)f(x)=ln x+x2-3； (3)f(x)=x2-. 解　(1)由f(x)=0，即x2-x+=0， 得Δ=-4×=-<0， 所以方程x2-x+=0没有实数根， 即f(x)零点的个数为0. (2)方法一　函数对应的方程为ln x+x2-3=0， 所以原函数零点的个数即为函数y=ln x与y=3-x2的图象交点的个数. 在同一平面直角坐标系下，作出两函数的图象(如图). 由图象知，函数y=3-x2与y=ln x的图象只有一个交点. 从而方程ln x+x2-3=0只有一个解， 即函数f(x)=ln x+x2-3只有一个零点. 方法二　由于f(1)=ln 1+12-3=-2<0， f(2)=ln 2+22-3=ln 2+1>0， 所以f(1)f(2)<0， 又f(x)=ln x+x2-3的图象在[1，2]上是连续的， 所以f(x)在(1，2)上必有零点， 又f(x)在(0，+∞)上是单调递增的，所以f(x)只有一个零点. (3)方法一　令f(x)=x2-=0，得x2= 即x3=2，解得x=故函数只有1个零点. 方法二　令f(x)=x2-=0，得x2= 设g(x)=x2(x≠0)， h(x)=x≠0)，在同一平面直角坐标系中画出函数y=g(x)与y=h(x)的图象，如图， 由图象可知两个函数图象只有1个交点，故函数只有一个零点. 反思感悟　判断函数零点个数的四种常用方法 (1)利用方程的解，转化为解方程，有几个不同的实数解就有几个零点. (2)画出函数y=f(x)的图象，判定它与x轴的交点个数，从而判定零点的个数. (3)结合单调性，利用函数零点存在定理，可判定y=f(x)在(a，b)内零点的个数. (4)转化成两个函数图象的交点个数问题. 跟踪训练3　(1)函数f(x)=x2-x-1的零点有　　　　个.  答案　2 解析　∵对于方程x2-x-1=0， ∴Δ=1+4>0， 故方程x2-x-1=0有两个不同的根， 故函数f(x)=x2-x-1有2个零点. (2)已知函数f(x)=和函数g(x)=log2x，则函数h(x)=f(x)-g(x)的零点个数是　　　　.  答案　3 解析　作出g(x)与f(x)的图象如图， 由图知f(x)与g(x)的图象有3个交点，即h(x)有3个零点. 1.知识清单： (1)函数的零点的定义. (2)函数的零点与方程的解的关系. (3)函数零点存在定理. (4)函数零点个数的判断. 2.方法归纳：定理法、方程法、数形结合法. 3.常见误区：零点理解成点；零点个数问题不能转化成函数图象交点个数的问题. 1.函数f(x)=log2x的零点是(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 答案　A 解析　令f(x)=log2x=0，解得x=1. 2.函数f(x)=2x-的零点所在的区间是(　　) A.(1，+∞) B. C. D. 答案　B 解析　易知f(x)在(0，+∞)上单调递增. 由f(x)=2x-得f-2<0， f(1)=2-1=1>0，∴ff(1)<0. ∴零点所在区间为. 3.对于函数f(x)，若f(-1)f(3)<0，则(　　) A.方程f(x)=0一定有一实数解 B.方程f(x)=0一定无实数解 C.方程f(x)=0一定有两实数解 D.方程f(x)=0可能无实数解 答案　D 解析　∵函数f(x)的图象在[-1，3]上未必连续，故尽管有f(-1)f(3)<0，但方程f(x)=0在(-1，3)上可能无实数解. 4.函数f(x)=(x-1)(x2+3x-10)的零点有　　　　个.  答案　3 解析　∵f(x)=(x-1)(x2+3x-10) =(x-1)(x+5)(x-2)， ∴由f(x)=0得x=-5或x=1或x=2. 故函数f(x)的零点有3个. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共18分 1.下列各图象表示的函数中没有零点的是(　　) 答案　D 解析　结合函数零点的定义可知选项D没有零点. 2.函数f(x)=log3x-8+2x的零点所在的区间是(　　) A.(5，6) B.(3，4) C.(2，3) D.(1，2) 答案　B 解析　f(3)=log33-8+2×3=-1<0， f(4)=log34-8+2×4=log34>0. 又因为f(x)在(0，+∞)上为增函数， 所以其零点所在的区间是(3，4). 3.已知f(x)为奇函数，且该函数有三个零点，则三个零点之和等于(　　) A.0 B.1 C.-1 D.不能确定 答案　A 解析　因为奇函数的图象关于原点对称， 所以若f(x)有三个零点，则其和必为0. 4.已知函数f(x)=则函数f(x)的零点为(　　) A.0 B.-2，0 C. D.0 答案　D 解析　当x≤1时，令2x-1=0，得x=0. 当x>1时，令1+log2x=0，得x=舍去). 综上所述，函数f(x)的零点为0. 5.(多选)下列说法中正确的是(　　) A.函数f(x)=x+1，x∈[-2，0]的零点为(-1，0) B.函数f(x)=2x-1的零点为0 C.函数f(x)的零点即函数f(x)的图象与x轴的交点 D.函数f(x)的零点即方程f(x)=0的实数根 答案　BD 解析　函数的零点是数，不是点，所以A错误； 由2x-1=0，得x=0，又f(x)=2x-1在R上单调递增，则f(x)有唯一零点0，所以B正确； 函数f(x)的零点是方程f(x)=0的实数根，是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标，所以D正确，C错误. 6.已知函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，有如下对应值，则下列说法正确的是(　　) x 1 2 3 4 5 6 y 123.56 21.45 -7.82 11.45 -53.76 -128.88 A.函数y=f(x)在区间[1，6]上有3个零点 B.函数y=f(x)在区间[1，6]上至少有3个零点 C.函数y=f(x)在区间[1，6]上至多有3个零点 D.函数y=f(x)在区间[1，2]上无零点 答案　B 解析　由表可知f(2)f(3)<0，f(3)f(4)<0，f(4)f(5)<0. 由函数零点存在定理，知函数y=f(x)在区间(2，3)，(3，4)，(4，5)上分别至少存在1个零点，所以函数y=f(x)在区间[1，6]上至少有3个零点. 虽然f(1)f(2)>0，但函数y=f(x)在[1，2]上也有可能存在零点. 7.(多选)函数f(x)=lg x-x+1的零点所在的区间可以是(　　) A.(0，1) B.(1，2) C.(2，3) D.(3，4) 答案　AC 解析　令lg x-x+1=0，即lg x=x-1， 分别画出函数y1=lg x与函数y2=x-1的图象， 得到两图象有两个公共点，由图象可知，f(x)有两个零点， 区间(0，1)内存在零点显而易见. 因为f(2)=lg 2-×2+1=lg 2>0， f(3)=lg 3-×3+1=lg 3-lg 9-1)<0， 所以f(2)f(3)<0，则f(x)在区间(2，3)内存在零点. 8.(5分)函数f(x)=x的零点个数为　　　　.  答案　1 解析　令f(x)=0，可得方程x. 在同一平面直角坐标系内作出函数y= 与y=x的图象，如图，由图可知，函数y=与y=x的图象只有一个交点，故方程x只有一个解，故函数f(x)只有一个零点. 9.(5分)已知函数f(x)=x2-ax-b的两个零点是2和3，则函数g(x)=bx2-ax-1的零点是　　　　.  答案　-- 解析　由题意知，方程x2-ax-b=0的两根为2，3， ∴即a=5，b=-6， ∴方程bx2-ax-1=-6x2-5x-1=0的根为-- 即为函数g(x)的零点. 10.(10分)判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出其零点. (1)f(x)=-x2+2x-1；(2分) (2)f(x)=x4-x2；(2分) (3)f(x)=4x+5；(3分) (4)f(x)=log3(x+1).(3分) 解　(1)令-x2+2x-1=0，解得x1=x2=1， 所以函数f(x)=-x2+2x-1存在零点， 其零点为1. (2)令f(x)=x4-x2=x2(x-1)(x+1)=0， 解得x=0或x=1或x=-1， 故函数f(x)=x4-x2存在零点， 其零点为0，-1和1. (3)令4x+5=0，则4x=-5， 因为4x>0，-5<0，所以方程4x+5=0无实数解. 所以函数f(x)=4x+5不存在零点. (4)令log3(x+1)=0，解得x=0， 所以函数f(x)=log3(x+1)存在零点，其零点为0. 11.若函数f(x)=x-a∈R)在区间(1，2)内有零点，则a的值可能是(　　) A.-2 B.0 C.1 D.3 答案　D 解析　若a≤0， 则f(x)=x->0在区间(1，2)上恒成立， 故没有零点； 若a>0，令x-=0，解得x=或x=-舍去)， 故1<<2，解得1<a<4. 12.(多选)函数f(x)=ax2-x-1有且仅有一个零点，则实数a的值为(　　) A.1 B.0 C. D.- 答案　BD 解析　当a=0时，函数f(x)=-x-1有且仅有一个零点，满足题意； 当a≠0时，由函数f(x)=ax2-x-1有且仅有一个零点，可得Δ=1+4a=0，解得a=-. 13.(5分)已知函数f(x)=3x+x，g(x)=log3x+2，h(x)=log3x+x的零点依次为a，b，c，则a，b，c的大小关系是　　　　.(用“<”连接)  答案　a<b<c 解析　画出函数y=3x，y=log3x，y=-x，y=-2的图象，如图所示， 观察图象可知，函数f(x)=3x+x，g(x)=log3x+2，h(x)=log3x+x的零点依次是点A，B，C的横坐标，由图象可知a<b<c. 14.(10分)已知二次函数f(x)满足f(0)=1，且f(x+1)-f(x)=2x-1，g(x)为偶函数，且当x≥0时，g(x)=f(x). (1)求f(x)的解析式；(3分) (2)在给定的坐标系内画出g(x)的图象；(3分) (3)讨论函数h(x)=g(x)-t(t∈R)的零点个数.(4分) 解　(1)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，则f(0)=c=1， 因为f(x+1)-f(x)=[a(x+1)2+b(x+1)+1]-(ax2+bx+1)=2ax+a+b， 故2ax+a+b=2x-1， 所以解得 因此f(x)=x2-2x+1. (2)当x≥0时，g(x)=f(x)=x2-2x+1， 当x<0时，-x>0，则g(-x)=(-x)2-2(-x)+1=x2+2x+1， 因为g(x)为偶函数，故g(-x)=g(x)， 故g(x)=x2+2x+1， 综上，g(x)= 画出函数g(x)的图象如图. (3)由图可知，g(1)=g(-1)=0，g(0)=1， 当t<0时，函数h(x)没有零点， 当t=0时，函数h(x)有两个零点， 当0<t<1时，函数h(x)有四个零点， 当t=1时，函数h(x)有三个零点， 当t>1时，函数h(x)有两个零点. 15.设函数f(x)=2 025ex+2 025ln x，满足f(a)f(b)f(c)<0(0<a<b<c)，若f(x)存在零点x0，则下列选项中一定错误的是(　　) A.x0∈(a，b) B.x0∈(b，c) C.x0∈(a，c) D.x0∈(c，+∞) 答案　B 解析　因为y=ex，y=ln x在(0，+∞)上单调递增， 所以f(x)=2 025ex+2 025ln x在(0，+∞)上为增函数， 又0<a<b<c，所以f(a)<f(b)<f(c)， 因为f(a)f(b)f(c)<0， 所以f(a)<0，f(b)>0，f(c)>0或f(a)<0，f(b)<0，f(c)<0， 当f(a)<0，f(b)>0，f(c)>0时， 由f(x)存在零点x0，可知x0∈(a，b)⊆(a，c)，此时A，C选项正确，B，D选项错误； 当f(a)<0，f(b)<0，f(c)<0时， 由f(x)存在零点x0，可知x0∈(c，+∞)，此时A，B，C选项错误，D选项正确. 综上，选项中一定错误的是B选项. 16.(12分)已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)=x2-2x. (1)求出函数f(x)在R上的解析式；(4分) (2)画出函数f(x)的图象，并写出单调区间；(4分) (3)若y=f(x)的图象与直线y=m有3个交点，求实数m的取值范围.(4分) 解　(1)由于函数f(x)是定义域为R的奇函数，则f(0)=0；当x<0时，-x>0，因为f(x)是奇函数， 所以f(x)=-f(-x)=-[(-x)2-2(-x)]=-x2-2x. 综上，f(x)= (2)图象如图所示，单调递增区间为(-∞，-1]，[1，+∞)；单调递减区间为(-1，1). (3)由题意得，方程f(x)=m有三个不同的解，由图象可知， -1<m<1，即m的取值范围是(-1，1). 学科网（北京）股份有限公司 $