第4章 4.2.2 指数函数的图象和性质(一)（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（人教A版）

本讲义聚焦指数函数的图象和性质这一核心知识点，前承指数函数的定义，通过具体函数y=2^x与y=(1/2)^x的列表描点画图，引导学生分析定义域、值域、单调性等性质，进而归纳a>1和0<a<1时的一般规律，构建从具体到抽象的学习支架。 该资料以问题链驱动探究，通过画图实践培养几何直观（数学眼光），对比分析函数性质发展推理能力（数学思维），知识梳理表格与例题解析强化数学语言表达。课中助力教师引导学生主动建构知识，课后课时对点练帮助学生巩固应用，查漏补缺。

4.2.2　指数函数的图象和性质(一) 学习目标　1.掌握指数函数的图象和性质.(重点)2.学会利用指数函数的图象和性质解决简单的函数定义域、值域的问题.(难点) 导语 请同学们回顾指数函数的定义和指数函数的解析式的特征.一般来说，函数的图象与性质紧密联系，图象可反映函数的性质，所以我们今天类比研究幂函数的图象和性质的过程和方法，进一步研究指数函数. 问题1　用列表、描点、连线的画图步骤，先完成下列表格，再画出指数函数y=2x与y=的图象. x -2 -1 0 1 2 y=2x y= 提示　(1)　1　2　4 4　2　1　 (2)y=2x和y=的图象如图所示. 问题2　通过图象，分析y=2x与y=的性质并完成下列表格. 函数 y=2x y= 定义域 值域 单调性 最值 奇偶性 特殊点 y的变化情况 当x<0时，　　　　；  当x>0时，　　　  当x<0时，　　 　；  当x>0时，　　　  提示　R　R　(0，+∞)　(0，+∞)　增函数　减函数　无最值　无最值　非奇非偶函数　非奇非偶函数　(0，1)　(0，1)　0<y<1　y>1　y>1　0<y<1 问题3　比一比y=2x与y=的图象有哪些相同点？有哪些不同点？ 提示　相同点：定义域、值域、最值的情况、奇偶性、经过一个共同点；不同点：单调性、函数值的变化.我们还发现y=2x与y=这两个底数互为倒数的函数的图象关于y轴对称. 问题4　再选取底数，a=3，a=4，a=a=在同一个坐标系中画出相应的指数函数的图象，观察这些图象的位置和变化趋势，它们有哪些共同的性质？ 提示　共同的性质：(1)当a>1时，函数在R上单调递增，当0<a<1时，函数在R上单调递减. (2)函数的图象恒过点(0，1). 知识梳理　指数函数的图象和性质 a>1 0<a<1 图象 性 质 定义域 R 值域 (0，+∞) 最值 无最值 过定点 过定点(0，1)，即x=0时，y=1 函数值的变化 当x<0时，0<y<1； 当x>0时，y>1 当x>0时，0<y<1； 当x<0时，y>1 单调性 在R上是增函数 在R上是减函数 奇偶性 非奇非偶函数 对称性 y=ax与y=的图象关于y轴对称 注意点： (1)函数图象只出现在x轴上方. (2)当x=0时，有a0=1，故过定点(0，1). (3)当0<a<1时，底数越小，图象越靠近y轴. (4)当a>1时，底数越大，图象越靠近y轴. (5)任意底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称. 一、指数函数的图象 例1　如图是指数函数①y=ax，②y=bx，③y=cx，④y=dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系是(　　) A.a<b<1<c<d B.b<a<1<d<c C.1<a<b<c<d D.a<b<1<d<c 答案　B 解析　作直线x=1，由下到上分别与②，①，④，③相交，所以b<a<1<d<c. 反思感悟　解决指数函数图象问题的注意点 (1)熟记当底数a>1和0<a<1时，图象的大体形状. (2)在y轴右侧，指数函数的图象“底大图高”. 跟踪训练1　函数y=ax，y=x+a在同一坐标系中的图象可能是(　　) 答案　D 解析　由题意知a>0且a≠1，且函数y=x+a为增函数. 当0<a<1时，y=ax为减函数，直线y=x+a在y轴上的截距大于0且小于1； 当a>1时，y=ax为增函数，直线y=x+a在y轴上的截距大于1.只有选项D符合. 二、指数函数图象的应用 例2　(1)函数f(x)=ax-2+1(a>0，且a≠1)的图象恒过定点(　　) A.(0，1) B.(0，2) C.(2，1) D.(2，2) 答案　D 解析　方法一　令x-2=0， 得x=2，则f(2)=2， 故函数f(x)的图象恒过定点(2，2). 方法二　因为y=ax(a>0，且a≠1)的图象恒过定点(0，1)， 又f(x)=ax-2+1的图象是由y=ax的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的， 故f(x)的图象恒过定点(2，2). (2)要使g(x)=3x+1+t的图象不经过第二象限，则t的取值范围为(　　) A.t≤-1 B.t<-1 C.t≤-3 D.t≥-3 答案　C 解析　∵函数g(x)=3x+1+t的图象过定点(0，3+t)，且为增函数，要使g(x)的图象不经过第二象限，则3+t≤0，解得t≤-3. 反思感悟　与指数函数相关的图象问题 (1)定点问题：令函数解析式中的指数为0，即可求出横坐标，再求纵坐标即可. (2)平移问题：对于横坐标x满足“左加右减”. 跟踪训练2　(1)函数f(x)=2ax+1-3(a>0，且a≠1)的图象恒过的定点是　　　　. 答案　(-1，-1) 解析　因为y=ax的图象过定点(0，1)， 所以令x+1=0，即x=-1， 则f(-1)=-1， 故f(x)=2ax+1-3的图象恒过定点(-1，-1). (2)已知直线y=2a与函数y=|2x-2|的图象有两个公共点，求实数a的取值范围. 解　函数y=|2x-2|的图象如图所示.要使直线y=2a与该图象有两个公共点，则有0<2a<2，即0<a<1，故实数a的取值范围为(0，1). 三、与指数函数有关的定义域(值域)问题 例3　求下列函数的定义域、值域： (1)y=32x+1；(2)y=23-x；(3)y=. 解　(1)函数的定义域为R， ∵x∈R，∴2x+1∈R， ∴函数y=32x+1的值域为(0，+∞). (2)函数的定义域为R， ∵x∈R，∴3-x∈R， ∴函数y=23-x的值域为(0，+∞). (3)由x-1≠0得x≠1， ∴函数的定义域为(-∞，1)∪(1，+∞)， ∴≠0≠1， ∴函数的值域为(0，1)∪(1，+∞). 反思感悟　y=af(x)(a>0，且a≠1)型函数的定义域、值域的求法 (1)形如y=af(x)(a>0，且a≠1)的函数的定义域就是f(x)的定义域. (2)形如y=af(x)(a>0，且a≠1)的函数的值域，先求出u=f(x)的值域，再结合y=au的单调性求出y=af(x)的值域.若a的取值范围不确定，则需对a进行分类讨论. 跟踪训练3　(1)函数f(x)=的定义域为　　　　. 答案　[-1，2] 解析　由题意可得解得-1≤x≤2，所以函数的定义域为[-1，2]. (2)将例3(2)的函数解析式变为f(x)=(a>0，且a≠1)，求此函数的值域. 解　f(x)的定义域是R， 因为-x2-2x+3=-(x+1)2+4≤4， 所以当a>1时，函数f(x)的值域为(0，a4]， 当0<a<1时，函数f(x)的值域为[a4，+∞). 1.知识清单： (1)指数函数的图象. (2)指数函数图象的应用. (3)与指数函数有关的定义域(值域)问题. 2.方法归纳：数形结合法. 3.常见误区：形如函数y=af(x)(a>0且a≠1)过定点的问题，要使f(x)=0. 1.函数f(x)=πx与g(x)=的图象关于(　　) A.原点对称 B.x轴对称 C.y轴对称 D.直线y=-x对称 答案　C 解析　设点(x，y)为函数f(x)=πx的图象上任意一点，则点(-x，y)为g(x)=π-x=的图象上的点.因为点(x，y)与点(-x，y)关于y轴对称， 所以函数f(x)=πx与g(x)=的图象关于y轴对称. 2.指数函数y=ax与y=bx的图象如图所示，则(　　) A.a<0，b<0 B.a<0，b>0 C.0<a<1，b>1 D.0<a<1，0<b<1 答案　C 解析　结合指数函数图象的特点可知0<a<1，b>1. 3.函数f(x)=3-ax+1(a>0，且a≠1)的图象恒过定点(　　) A.(-1，2) B.(1，2) C.(-1，1) D.(0，2) 答案　A 解析　∵y=ax的图象恒过定点(0，1)， ∴令x+1=0，即x=-1，则f(-1)=2. 故f(x)=3-ax+1的图象恒过定点(-1，2). 4.函数y=的定义域为　　　　，值域为　　　　. 答案　{x|x≥2}　{y|0<y≤1} 解析　由x-2≥0，得x≥2， 所以定义域为{x|x≥2}≥0， 又因为0<<1，所以0<≤1， 即y=的值域为{y|0<y≤1}. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共12分 1.下列图象中，函数y=2-x的大致图象是(　　) 答案　B 解析　易得y=2-x=∵0<<1， ∴y=2-x是减函数，且当x=0时，y=1. 2.函数y=-1的定义域是(　　) A.R B.{x|x≠1} C.{x|x≠0} D.{x|x≠0且x≠1} 答案　C 解析　要使y=-1有意义， 只需有意义，即x≠0. 3.函数f(x)=的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(　　) A.a>1，b<0 B.a>1，b>0 C.0<a<1，b>0 D.0<a<1，b<0 答案　D 解析　从曲线的变化趋势，可以得到函数f(x)为减函数，从而有0<a<1； 又当x=0时，f(x)<1，即a-b<1=a0，∴-b>0，即b<0. 4.若函数f(x)=2ax+m-n(a>0，且a≠1)的图象恒过点(-1，4)，则m+n等于(　　) A.3 B.1 C.-1 D.-2 答案　C 解析　由题意知 解得∴m+n=-1. 5.(多选)已知函数f(x)=2x+a，则(　　) A.f(x)的定义域为R B.f(x)的值域为R C.f(x)是偶函数 D.f(x)既不是奇函数也不是偶函数 答案　AD 解析　f(x)的定义域为R，值域为(0，+∞)，故A项正确，B项错误； f(-x)=2-x+a≠f(x)≠-f(x)，所以f(x)既不是奇函数，也不是偶函数，故C项错误，D项正确. 6.若a>1，-1<b<0，则函数y=ax+b的图象一定不过(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案　D 解析　∵a>1，且-1<b<0， ∴函数的图象如图所示. 故图象过第一、二、三象限. 7.函数f(x)=的图象大致为(　　) 答案　B 解析　f(x)= 由指数函数的图象知B正确. 8.(5分)若指数函数f(x)=(a2-1)x在R上为减函数，则a的取值范围为　　　　　. 答案　(--1)∪(1) 解析　由题意得， 0<a2-1<1， 即1<a2<2， ∴-<a<-1或1<a<. 9.(5分)已知函数y=的图象与指数函数y=ax的图象关于y轴对称，则实数a=　　　　　. 答案　4 解析　因为y=与y=ax的图象关于y轴对称， 所以=a-1=解得a=4. 此时，y=与y=4x的图象关于y轴对称，符合题意. 10.(10分)画出函数y=|2x-1|的图象，根据图象写出函数的定义域、值域、单调区间和最值. 解　函数图象如图所示，定义域为R；值域为{y|y≥0}；单调递减区间为(-∞，0)，单调递增区间为(0，+∞)；最小值为0，无最大值. 11.设函数f(x)=则满足f(x+1)<f(2x)的x的取值范围是(　　) A.(-∞，0) B.(0，+∞) C.(-∞，1) D.(0，1) 答案　C 解析　函数f(x)=的图象如图， 显然函数f(x)在R上单调递减， ∵f(x+1)<f(2x)， ∴x+1>2x， 解得x<1. 12.(多选)已知实数a，b满足等式2 025a=2 026b，下列等式可以成立的是(　　) A.a=b=0 B.a<b<0 C.0<a<b D.0<b<a 答案　ABD 解析　如图，观察易知，a<b<0或0<b<a或a=b=0. 13.(5分)若关于x的方程=k有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围为　　　　. 答案　(0，1) 解析　由题意知，y=与y=k的图象有两个不同的交点， 又y= 如图所示， 所以0<k<1. 14.(11分)已知函数f(x)=ax-1(x≥0)的图象经过点其中a>0，且a≠1. (1)求a的值；(4分) (2)求函数y=f(x)+1(x≥0)的值域.(7分) 解　(1)因为函数f(x)=ax-1(x≥0)的图象经过点 所以a2-1=a=. (2)由(1)得f(x)=(x≥0)， 故函数f(x)在区间[0，+∞)上是减函数， 当x=0时，函数f(x)取得最大值2，故f(x)∈(0，2]， 所以函数y=f(x)+1=+1∈(1，3]， 所以函数y=f(x)+1(x≥0)的值域为(1，3]. 15.已知函数f(x)=若存在x1，x2，x3(x1<x2<x3)，使f(x1)=f(x2)=f(x3)，则f(x1+x2+x3)的取值范围是(　　) A.(0，1] B.[0，1] C.(-∞，1] D.(-∞，1) 答案　B 解析　作出f(x)的大致图象如图，其与直线y=a(0<a<1)的交点的横坐标自左向右依次排列为x1，x2，x3， 由图可知，x1，x2关于直线x=-1对称，x3>0，即x1+x2=-2， 则x1+x2+x3>-2. 由图象知，当x>-2时，f(x)∈[0，1]， 所以f(x1+x2+x3)的取值范围是[0，1]. 16.(12分)已知函数f(x)=ax+b(a>0，且a≠1). (1)若f(x)的图象如图①所示，求a，b的值；(4分) (2)若f(x)的图象如图②所示，求a，b的取值范围；(4分) (3)在(1)中，若|f(x)|=m有且仅有一个实数根，求m的取值范围.(4分) 解　(1)由题图①知f(x)的图象过点(2，0)，(0，-2)，所以 又因为a>0，且a≠1， 所以a=b=-3. (2)由题图②知f(x)单调递减，所以0<a<1， 又f(0)<0，即a0+b<0，所以b<-1. 故a的取值范围为(0，1)， b的取值范围为(-∞，-1). (3)由(1)知f(x)=()x-3，则画出|f(x)|=|()x-3|的图象如图所示，要使|f(x)|=m有且仅有一个实数根，则m=0或m≥3. 故m的取值范围为{0}∪[3，+∞). 学科网（北京）股份有限公司 $