第4章 4.2.2 指数函数的图象和性质(二)（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（人教A版）

本讲义聚焦指数函数单调性的应用这一核心知识点，承接指数函数的定义、图象和基本性质，通过比较大小、解指数不等式及综合运用三个模块，搭建从基础性质到实际应用的学习支架。 资料设计亮点在于例题分层呈现、方法归纳清晰，如比较大小分同底数、同指数、不同底数指数三类，解不等式强调分类讨论，培养学生数学思维与逻辑推理能力。课中助力教师系统授课，课后通过跟踪训练与课时对点练帮助学生巩固提升，弥补知识盲点。

4.2.2　指数函数的图象和性质(二) 学习目标　1.会利用指数函数的单调性比较大小和解指数不等式.(重点)2.掌握指数函数图象和性质的综合应用.(重难点) 一、利用单调性比较大小 例1　(课本例3)比较下列各题中两个值的大小： (1)1.72.5，1.73； (2)0.，0.； (3)1.70.3，0.93.1. 解　(1)1.72.5和1.73可看作函数y=1.7x当x分别取2.5和3时所对应的两个函数值. 因为底数1.7>1，所以指数函数y=1.7x是增函数. 因为2.5<3，所以1.72.5<1.73. (2)同(1)理，因为0<0.8<1，所以指数函数y=0.8x是减函数. 因为->-，所以0.<0.. (3)由指数函数的性质知 1.70.3>1.70=1，0.93.1<0.90=1， 所以1.70.3>0.93.1. 例1　比较下列各题中数的大小： (1)1.11.1，1.10.9；(2)0.1-0.2，0.10.9；(3)30.1，π0.1；(4)1.70.1，0.91.1；(5)0.70.8，0.80.7. 解　(1)因为y=1.1x是增函数，1.1>0.9， 故1.11.1>1.10.9. (2)因为y=0.1x是减函数，-0.2<0.9， 故0.1-0.2>0.10.9. (3)因为y=x0.1在(0，+∞)上单调递增，3<π， 故30.1<π0.1. (4)因为1.70.1>1.70=1，0.91.1<0.90=1， 故1.70.1>0.91.1. (5)取中间值0.70.7，因为0.70.8<0.70.7<0.80.7，故0.70.8<0.80.7(也可取中间值0.80.8，即0.70.8<0.80.8<0.80.7). 反思感悟　一般地，比较幂大小的方法有 (1)对于底数相同指数不同的两个幂的大小，利用指数函数的单调性来判断. (2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用幂函数的单调性来判断. (3)对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过中间值来判断. 跟踪训练1　(1)下列大小关系正确的是(　　) A.0.43<30.4<π0 B.0.43<π0<30.4 C.30.4<0.43<π0 D.π0<30.4<0.43 答案　B 解析　0.43<0.40=1=π0=30<30.4. (2)设a=0.60.6，b=0.61.5，c=1.50.6，则a，b，c的大小关系是(　　) A.a<b<c B.a<c<b C.b<a<c D.b<c<a 答案　C 解析　∵1.50.6>1.50=1，0.60.6<0.60=1， 故1.50.6>0.60.6， 又函数y=0.6x是减函数，且1.5>0.6， ∴0.61.5<0.60.6，故0.61.5<0.60.6<1.50.6. 即b<a<c. 二、简单的指数不等式的解法 例2　(1)解不等式23x-1≤2. 解　不等式23x-1≤2可化为23x-1≤21， 则3x-1≤1，解得x≤ 故原不等式的解集是. 延伸探究　将例2(1)改为“解不等式≤2”. 解　∵2= ∴原不等式可以转化为. ∵y=是减函数， ∴3x-1≥-1，∴x≥0， 故原不等式的解集是{x|x≥0}. (2)已知>ax+6，求实数x的取值范围. 解　分情况讨论：①当0<a<1时，函数f(x)=ax是减函数， ∴x2-3x+1<x+6， ∴x2-4x-5<0， 解得-1<x<5； ②当a>1时，函数f(x)=ax是增函数， ∴x2-3x+1>x+6， ∴x2-4x-5>0，解得x<-1或x>5， 综上所述，当0<a<1时， 实数x的取值范围是{x|-1<x<5}； 当a>1时，实数x的取值范围是{x|x<-1或x>5}. 反思感悟　(1)利用指数型函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式. (2)解不等式af(x)>ag(x)(a>0，且a≠1)的依据是指数型函数的单调性，要养成判断底数取值范围的习惯，若底数不确定，就需进行分类讨论，即af(x)>ag(x)⇒f(x)>g(x)(a>1)或f(x)<g(x)(0<a<1). 三、指数函数图象和性质的综合运用 例3　已知函数f(x)=g(x)=f(x)-1. (1)判断函数y=g(x)的奇偶性，并求函数y=g(x)的值域； (2)若实数m满足g(m)+g(m-2)>0，求实数m的取值范围. 解　(1)因为g(x)=f(x)-1=-1=定义域为R， 设任意x∈R，-x∈R，且g(-x)==-g(x)， 所以函数g(x)是奇函数. 又因为g(x)=-1=-1，1+3-2x>1， 所以0<<2， 所以-1<-1<1， 所以函数y=g(x)的值域是(-1，1). (2)因为y=1+3-2x是R上的减函数， 所以g(x)=-1=-1在R上是增函数， 所以y=g(x)在R上是单调递增的奇函数， 由g(m)+g(m-2)>0得，g(m)>-g(m-2)=g(2-m)， 所以m>2-m，所以m>1. 故实数m的取值范围是(1，+∞). 反思感悟　函数性质的综合应用 (1)解题过程中要关注、体会性质的应用，如果性质应用不充分，会导致解题步骤烦琐或无法求解，如本题中奇偶性、单调性的应用，可以将复杂的指数运算转化为一元二次不等式问题. (2)一元二次不等式的恒成立问题，可以结合相应的二次函数的图象，转化为等价的条件求解，恒成立问题还可以利用分离参数、转化为最值问题等方法求解. 跟踪训练2　设a>0，函数f(x)=是定义域为R的偶函数. (1)求实数a的值； (2)求f(x)在[0，1]上的值域. 解　(1)由f(x)=f(-x)，得 即4x=0， 所以=0， 根据题意，可得-a=0， 又a>0，所以a=1. (2)由(1)可知f(x)=4x+ 设任意的x1，x2∈[0，+∞)，且x1<x2， 则f(x1)-f(x2)= =(. 因为0≤x1<x2，所以 所以<0. 又因为x1+x2>0，所以>1， 所以1->0，所以f(x1)-f(x2)<0， 即f(x1)<f(x2). 所以函数f(x)在[0，+∞)上单调递增. 所以函数f(x)在[0，1]上的最大值为f(1)=4+；最小值为f(0)=1+1=2. 故f(x)在[0，1]上的值域为. 1.知识清单： (1)比较大小. (2)解不等式、方程. (3)指数函数图象和性质的综合运用. 2.方法归纳：转化与化归. 3.常见误区：研究y=af(x)型函数，易忽视讨论a>1还是0<a<1. 1.已知0.3m>0.3n，则m，n的大小关系为(　　) A.m>n B.m<n C.m=n D.不能确定 答案　B 解析　因为函数y=0.3x是减函数，且0.3m>0.3n，所以m<n. 2.f(x)=x∈R，那么f(x)是(　　) A.奇函数且在(0，+∞)上单调递增 B.偶函数且在(0，+∞)上单调递增 C.奇函数且在(0，+∞)上单调递减 D.偶函数且在(0，+∞)上单调递减 答案　D 解析　由x∈R且f(-x)=f(x)知f(x)是偶函数， 当x>0时，f(x)=单调递减. 3.函数f(x)=的定义域为(　　) A.(-3，0] B.(-3，1] C.(-∞，-3)∪(-3，0] D.(-∞，-3)∪(-3，1] 答案　A 解析　由题意知，自变量x应满足 解得 所以函数f(x)的定义域为(-3，0]. 4.不等式的解集为　　　　. 答案　(1，2) 解析　因为y=是减函数， 且 所以x2-2x-2<x-4， 即x2-3x+2<0， 解得1<x<2. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共45分；多选题每小题6分，共6分 1.若2x+1<1，则x的取值范围是(　　) A.(-1，1) B.(-1，+∞) C.(0，1)∪(1，+∞) D.(-∞，-1) 答案　D 解析　2x+1<1=20，因为函数y=2x为增函数， 所以x+1<0，所以x<-1， 所以x的取值范围为(-∞，-1). 2.设y1=40.9，y2=80.48，y3=则(　　) A.y3>y1>y2 B.y2>y1>y3 C.y1>y2>y3 D.y1>y3>y2 答案　D 解析　由题意得，y1=40.9=21.8，y2=21.44，y3=21.5， 又y=2x是增函数， 所以21.8>21.5>21.44，即y1>y3>y2. 3.已知a=0.310.1，b=0.310.2，c=0.320.1，则(　　) A.a<b<c B.a<c<b C.b<a<c D.c<a<b 答案　C 解析　因为指数函数y=0.31x是减函数， 所以0.310.1>0.310.2，即a>b； 因为幂函数y=x0.1在(0，+∞)上单调递增， 所以0.320.1>0.310.1，即c>a， 故b<a<c. 4.(多选)已知不等式ax-3>a1-x，下列结论正确的是(　　) A.当a>1时，不等式的解集为(-∞，2) B.当a>1时，不等式的解集为(2，+∞) C.当0<a<1时，不等式的解集为(-∞，2) D.当0<a<1时，不等式的解集为(2，+∞) 答案　BC 解析　当0<a<1时，y=ax是减函数， 由ax-3>a1-x，得x-3<1-x，解得x<2. 当a>1时，y=ax是增函数， 由ax-3>a1-x，得x-3>1-x，解得x>2. 因此B，C正确，A，D不正确. 5.函数y=ax在[0，1]上的最大值与最小值的和为3，则函数y=2ax-1在[0，1]上的最大值是(　　) A.6 B.1 C.3 D. 答案　C 解析　函数y=ax在[0，1]上是单调的，最大值与最小值都在端点处取到，故有a0+a1=3，解得a=2， 因此函数y=2ax-1=4x-1在[0，1]上单调递增， 当x=1时，ymax=3. 6.已知函数f(x)=2x-2-x+5，若f(m)=4，则f(-m)等于(　　) A.4 B.6 C.-4 D.-6 答案　B 解析　设g(x)=f(x)-5=2x-2-x，x∈R， 则g(-x)=2-x-2x=-g(x)，即g(x)是奇函数， 故g(m)+g(-m)=0，即f(m)-5+f(-m)-5=0，即f(m)+f(-m)=10， 因为f(m)=4，所以f(-m)=6. 7.若对任意的x∈[-3，-2]，都有(2m-1)2x≤1恒成立，则m的取值范围为(　　) A.(-∞，2] B. C.(-∞，4] D. 答案　B 解析　由(2m-1)2x≤1恒成立，得2m-1≤恒成立，又x∈[-3，-2]，所以的最小值为=4，所以2m-1≤4，m≤. 8.(5分)函数y=的定义域是　　　　. 答案　[4，+∞) 解析　由题意得2x-1-8≥0，即2x-1≥8=23， ∴x-1≥3，解得x≥4. 9.(5分)不等式23-2x<0.53x-4的解集为　　　　. 答案　{x|x<1} 解析　原不等式可化为23-2x<24-3x， 因为函数y=2x是增函数， 所以3-2x<4-3x，解得x<1， 则不等式的解集为{x|x<1}. 10.(10分)已知指数函数f(x)的图象过点P(3，8)，且函数g(x)的图象与f(x)的图象关于y轴对称，又g(2x-1)<g(3x)，求x的取值范围. 解　设f(x)=ax(a>0且a≠1)， 因为f(3)=8，所以a3=8，即a=2，所以f(x)=2x， 又因为g(x)与f(x)的图象关于y轴对称， 所以g(x)= 因此由g(2x-1)<g(3x)，即 得2x-1>3x，解得x<-1. 所以x的取值范围为(-∞，-1). 11.已知f(x)=(a≠0)是奇函数，则a等于(　　) A.-2 B.-1 C.2 D.1 答案　C 解析　由题意得f(x)的定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，因为f(x)是奇函数，所以f(-x)=-f(x)， 即=- 所以 故2ax-x=2x， 所以ax-x=x，解得a=2. 12.设定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)=2x-4(x≥0)，若f(x-2)>0，则x的取值范围是(　　) A.(-∞，0) B.(0，4) C.(4，+∞) D.(-∞，0)∪(4，+∞) 答案　D 解析　当x≥0时，令f(x)=2x-4>0，解得x>2. 又∵f(x)是定义在R上的偶函数， ∴其图象关于y轴对称，∴不等式f(x)>0在R上的解集为(-∞，-2)∪(2，+∞). ∴不等式f(x-2)>0等价为x-2∈(-∞，-2)∪(2，+∞)，解得x∈(-∞，0)∪(4，+∞). 13.(5分)函数f(x)=(a>0，且a≠1)是减函数，则a的取值范围是　　　　. 答案　 解析　由题意知f(x)是减函数， 则≤a<1. 故a的取值范围是. 14.(12分)已知函数f(x)=x3. (1)求函数的定义域；(4分) (2)讨论f(x)的奇偶性；(4分) (3)求证：对定义域内的所有x，f(x)>0.(4分) (1)解　要使函数f(x)有意义，则2x-1≠0，即x≠0，则函数f(x)的定义域为{x|x≠0}. (2)解　由(1)知f(x)的定义域关于原点对称. ∵f(x)=x3=·x3， ∴f(-x)=·(-x)3 =·(-x)3=·x3=f(x)， 则函数f(x)是偶函数. (3)证明　∵函数f(x)是偶函数， ∴只要证明当x>0时，f(x)>0即可. 当x>0时，2x-1>0，此时x3>0， 即f(x)>0成立， ∴对定义域内的所有x，f(x)>0. 15.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y=[x]称为高斯函数，例如[-3.5]=-4，[2.1]=2，已知函数f(x)=g(x)=[f(x)]，则下列叙述正确的是(　　) A.g(x)是奇函数 B.f(x)在R上是增函数 C.f(x)的值域是 D.g(x)的值域是{-1，0，1} 答案　B 解析　f(x)==- 由于g(x)的定义域为R，且g(0)=[f(0)]==1≠0，故g(x)不是奇函数，故A错误； 由于y=1+ex为增函数且恒为正， 所以f(x)=-为增函数，B正确； 因为1+ex>1，则0<<1， 所以f(x)=-的值域是故C错误； 由于f(x)=- 所以g(x)的值域是{0，1，2}，故D错误. 16.(12分)已知函数f(x)=是奇函数. (1)求实数a，b的值；(4分) (2)若函数f(x)的定义域为R. ①若存在t∈[-1，1]使得不等式f(t2-t)<f(2t2-k)有解，求实数k的取值范围；(4分) ②若函数g(x)满足f(x)·[g(x)+2]=2x-2-x，若对任意x∈R且x≠0，不等式g(2x)≥m·g(x)-10恒成立，求实数m的最大值.(4分) 解　(1)因为f(x)是奇函数，所以f(x)+f(-x)=0，所以=0， 化简并变形得(a+b)(2x+2-x)+2ab+2=0，对任意的x恒成立， 则a+b=0且ab+1=0，解得a=1，b=-1或a=-1，b=1. (2)因为f(x)的定义域是R，所以a=1，b=-1舍去， 所以a=-1，b=1，所以f(x)=. ①f(x)==1- 对任意x1，x2∈R，x1<x2， 有f(x1)-f(x2)=- 因为x1<x2，所以<0， 所以f(x1)<f(x2)，因此f(x)在R上单调递增. 因为f(t2-t)<f(2t2-k)，所以t2-t<2t2-k，即k<t2+t在t∈[-1，1]时有解. 当t∈[-1，1]时，t2+t的最大值为2，所以k<2，即实数k的取值范围是(-∞，2). ②因为f(x)·[g(x)+2]=2x-2-x， 所以g(x)=2x+2-x(x≠0)， 所以g(2x)=22x+2-2x=(2x+2-x)2-2， 不等式g(2x)≥m·g(x)-10恒成立， 即(2x+2-x)2-2≥m(2x+2-x)-10恒成立， 令s=2x+2-x，s>2，则当s>2时，m≤s+恒成立， 因为s>2，由基本不等式可得s+≥4当且仅当s=2时，等号成立， 所以m≤4故实数m的最大值为4. 学科网（北京）股份有限公司 $