第4章 4.3.2 第1课时 对数的运算（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（人教A版）

本讲义聚焦高中数学对数的运算性质这一核心知识点，从指数式与对数式互化切入，通过问题链引导学生推导积、商、幂的对数运算性质，结合知识梳理、例题解析及跟踪训练，构建“探究—归纳—应用”的学习支架。 资料以开普勒对数应用史为导语激发兴趣，通过问题链培养推理能力（数学思维），分层例题与练习题帮助学生用数学语言表达运算过程（数学语言），课中辅助教师引导探究，课后助力学生巩固提升、查漏补缺。

4.3.2　对数的运算 第1课时　对数的运算 学习目标　1.掌握积、商、幂的对数运算性质，理解其推导过程和成立的条件.(重点)2.能熟练运用对数的运算性质进行化简求值.(难点) 导语 同学们，数学运算的发展可谓是贯穿了整个人类进化史，从人们对天文、航天、航海感兴趣开始，发现数太大了，比如天文学家开普勒利用他的对数表简化了行星轨道的复杂计算，对数被誉为“用缩短计算时间而使天文学家延长寿命”，对整个科学的发展起到了重要作用. 一、对数的运算性质 问题1　将指数式M=ap，N=aq化为对数式，结合指数运算性质MN=apaq=ap+q能否将其化为对数式？它们之间有何联系(用一个等式表示)？ 提示　由M=ap，N=aq得p=logaM，q=logaN. 由MN=ap+q得p+q=loga(MN). 从而得出loga(MN)=logaM+logaN(a>0，且a≠1，M>0，N>0). 问题2　结合问题1，若=ap-q，又能得到什么结论？ 提示　将指数式=ap-q化为对数式，得 loga=p-q=logaM-logaN(a>0，且a≠1，M>0，N>0). 问题3　结合问题1，若Mn=(ap)n=anp(n∈R)，又能有何结果？ 提示　由Mn=anp，得logaMn=np=nlogaM(a>0，且a≠1，M>0，n∈R). 知识梳理 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么 (1)loga(MN)=logaM+logaN. (2)loga=logaM-logaN. (3)logaMn=nlogaM(n∈R). 注意点： (1)性质的逆运算仍然成立. (2)公式成立的条件是M>0，N>0，而不是MN>0，比如式子log2[(-2)·(-3)]有意义，而log2(-2)与log2(-3)都没有意义. (3)性质(1)可以推广为：loga(N1·N2·…·Nk)=logaN1+logaN2+…+logaNk，其中Nk>0，k∈N*. 例1　(课本例3)求下列各式的值： (1)lg；　(2)log2(47×25). 解　(1)lg； (2)log2(47×25)=log247+log225 =7log24+5log22 =7×2+5×1 =19. 例1　求下列各式的值. (1)log3e+log3； (2)lg 50-lg 5； (3)lg+2lg 2. 解　(1)log3e+log3=log3=log33=1. (2)lg 50-lg 5=lg=lg 10=1. (3)lg+2lg 2=lg 5-lg 2+2lg 2 =lg 5+lg 2=lg 10=1. 反思感悟　对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行. 跟踪训练1　求下列各式的值： (1)log2； (2)2log52+log50.25； (3)ln 3+ln； (4)log35-log315. 解　(1)log2=log2. (2)2log52+log50.25=log522+log50.25=log5(4×0.25)=log51=0. (3)ln 3+ln=ln=ln 1=0. (4)log35-log315=log3=log3=log33-1=-1. 二、对数运算性质的运用 例2　(课本例4)用ln x，ln y，ln z表示ln 解　ln =ln x2+ln =2ln x+ln z. 例2　用lg x，lg y，lg z表示下列各式： (1)lg(xyz)；(2)lg；(3)lg. 解　(1)lg(xyz)=lg x+lg y+lg z. (2)lg=lg(xy3)-lg =lg x+lg y3-lg =lg x+3lg y-lg z. (3)lg=lg -lg(y2z)=lg -(lg y2+lg z) =lg x-2lg y-lg z. 反思感悟　用已知对数的值来表示所求对数的值时，要增强目标意识，把真数拆解成已知对数的真数，合理地把所求向已知条件转化. 跟踪训练2　已知lg 2=a，lg 3=b，则lg=　　　　(结果用含a，b的代数式表示).  答案　b+3a-1 解析　lg=lg 12-lg 5=lg(3×22)-(1-lg 2) =lg 3+lg 22-1+lg 2 =lg 3+3lg 2-1=b+3a-1. 三、利用对数的运算性质化简、求值 例3　计算下列各式的值： (1)(lg 5)2+2lg 2-(lg 2)2； (2； (3)log535-2log5+log57-log51.8. 解　(1)原式=(lg 5)2+(2-lg 2)lg 2 =(lg 5)2+(1+lg 5)lg 2 =(lg 5)2+lg 2·lg 5+lg 2 =(lg 5+lg 2)·lg 5+lg 2 =lg 5+lg 2=1. (2)原式= =. (3)原式=log5(5×7)-2(log57-log53)+log57-log5 =log55+log57-2log57+2log53+log57-2log53+log55 =2log55=2. 反思感悟　利用对数运算性质化简求值 (1)“收”：将同底的两个对数的和(差)合并为积(商)的对数，即公式的逆用. (2)“拆”：将积(商)的对数拆成同底的两个对数的和(差)，即公式的正用. (3)“凑”：将同底数的对数凑成特殊值，如利用lg 2+lg 5=1，进行计算或化简. 跟踪训练3　计算下列各式的值： (1)2log23-log2+log27； (2)lg 25+lg 8+lg 5×lg 20+(lg 2)2. 解　(1)方法一　原式=2log23-(log263-log28)+log27 =2log23-log27-log29+log28+log27 =2log23-2log23+3=3. 方法二　原式=log29-log2+log27 =log2=log28=log223=3. (2)原式=2lg 5+2lg 2+lg 5×(2lg 2+lg 5)+(lg 2)2 =2lg 10+(lg 5+lg 2)2 =2+(lg 10)2=2+1=3. 1.知识清单： (1)对数的运算性质. (2)对数运算性质的运用. (3)利用对数的运算性质化简、求值. 2.方法归纳：转化法. 3.常见误区：要注意对数的运算性质的结构形式，易混淆，且不可自创运算法则. 1.计算lg 2-lg等于(　　) A.-1 B. C.1 D.5 答案　C 解析　原式=lg=lg 10=1. 2.若a>0，且a≠1，x>0，n∈N*，则下列各式中正确的为(　　) A.(logax)n=nlogax B.(logax)n=logaxn C.logax=-loga D.logax 答案　C 解析　根据对数的运算性质logaMn=nlogaM(M>0，a>0，且a≠1，n∈R)知C正确. 3.已知lg 3=a，lg 7=b，则lg的值为(　　) A.a-b2 B.a-2b C. D. 答案　B 解析　∵lg 3=a，lg 7=b， ∴lg=lg 3-lg 49=lg 3-2lg 7=a-2b. 4.=　　　　.  答案　2 解析　原式==2. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共12分 1.log242+log243+log244等于(　　) A.1 B.2 C.24 D. 答案　A 解析　原式=log24(2×3×4)=log2424=1. 2.计算lg 2-lg-eln 2等于(　　) A.-1 B. C.3 D.-5 答案　A 解析　原式=lg 10-2=-1. 3.已知3a=2，那么log38-2log36用a表示是(　　) A.a-2 B.5a-2 C.3a-(1+a)2 D.3a-a2 答案　A 解析　因为3a=2，所以a=log32， 所以log38-2log36=log323-2(log32+1)=log32-2=a-2. 4.若lg x-lg y=t，则lg-lg等于(　　) A.3t B.t C.t D. 答案　A 解析　lg-lg=3lg-3lg =3lg=3(lg x-lg y)=3t. 5.若lg a，lg b是方程2x2-4x+1=0的两个实根，则ab的值等于(　　) A.2 B. C.100 D. 答案　C 解析　由题意得lg a+lg b=2， ∴lg(ab)=2， ∴ab=100. 6.(多选)若x>0，y>0，则下列各式中，一定成立的是(　　) A.lg x+lg y=lg(x+y) B.lg=lg x-lg y C.lg x2=(lg x)2 D.lg=3lg y-lg x 答案　BD 解析　lg x+lg y=lg(xy)，故A不正确； 根据对数的运算法则得lg=lg x-lg y，故B正确； lg x2=2lg x，故C不正确； lg=lg y3-lg =lg y3-lg =3lg y-lg x，故D正确. 7.已知lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1，设N=45×910，则N所在的区间为(　　) A.(1011，1012) B.(1012，1013) C.(1013，1014) D.(1014，1015) 答案　B 解析　lg N=lg(45×910)=10lg 2+20lg 3≈12.552，对选项中的区间端点值同样取以10为底的对数值，可知B正确. 8.(5分)设alog34=2，则4-a=　　　　　.  答案　 解析　因为alog34=2， 所以log34a=2，则4a=32=9， 则4-a=. 9.(5分)已知lg 2=m，lg 3=n，则=　　　　　　　.(用m，n表示)  答案　 解析　∵lg 2=m，lg 3=n， ∴ =. 10.(10分)计算下列各式的值： (1)log3+log1025+log104+；(5分) (2)2log32-log3+log38-.(5分) 解　(1)原式=log3+log10(25×4)+2 =log3+log10102+2=-+2+2=. (2)原式=2log32-(log325-log39)+3log32- =2log32-5log32+2log33+3log32-9=2-9=-7. 11.(多选)下列等式成立的是(　　) A.=1 B.=2 C.lg 14-2lg+lg 7-lg 18=0 D.(lg 2)2+lg 2lg 5+lg 5=2 答案　AC 解析　=1，A成立； =1，B不成立； lg 14-2lg+lg 7-lg 18=(lg 7+lg 2)-(2lg 7-2lg 3)+lg 7-(2lg 3+lg 2)=0，C成立； (lg 2)2+lg 2lg 5+lg 5=lg 2(lg 2+lg 5)+lg 5=lg 2+lg 5=1，D不成立. 12.已知2log3+log3b=0，则下列等式一定正确的是(　　) A.(2a)2=2b B.a·eln a=b C.b=2a D.log2a=3log2(ab) 答案　B 解析　由2log3+log3b=0，得a>0，b>0， 且log3a-2+log3b=0， 即log3(a-2b)=0， ∴a-2b=1，b=a2，而此时b=2a不总是成立，故C错误； 若(2a)2=2b，即22a=2b，则b=2a，结合以上分析可知A错误； 由于a·eln a=a·a=a2=b，故B正确； 又log2(ab)=log2a3=3log2a，故D错误. 13.已知logax=2，logbx=1，logcx=4(a，b，c，x>0且a，b，c，x≠1)，则logx(abc)等于(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　由题意得x=a2=b=c4， 所以(abc)4=x7， 又a，b，c，x>0，且x≠1， 所以abc=所以logx(abc)=. 14.(11分)已知2lg(x-2y)=lg x+lg y，求. 解　由题可得lg(x-2y)2=lg(xy)， 所以(x-2y)2=xy，即x2-5xy+4y2=0， 所以(x-y)(x-4y)=0，解得x=y或x=4y， 所以=1或=4. 又所以>2，所以=4. 15.(5分)已知x>0，y>0，若-1≤lg ≤2，1≤lg x≤4，则lg 的取值范围是　　　　　.  答案　[0，6] 解析　因为x>0，y>0，-1≤lg ≤2，1≤lg x≤4，可知>0， 则lg =lg=lg +lg x∈[0，6]， 所以lg 的取值范围是[0，6]. 16.(12分)267-1这个数的位数是多少？(参考数据：lg 2≈0.301) 解　由题意，得 lg(267-1)≈lg 267=67lg 2≈67×0.301=20.167， ∴267-1≈1020.167， ∴267-1这个数的位数为21. 学科网（北京）股份有限公司 $