第4章 4.2.1 指数函数的概念（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（人教A版）

本讲义聚焦高中数学指数函数的概念，从折纸游戏情境引入，系统梳理指数函数定义（y=a^x，a>0且a≠1，定义域R）、底数限制条件，通过待定系数法求解析式，延伸至指数增长（如水稻种子繁殖）与衰减（如放射性物质）模型，构建从具体情境到抽象概念再到实际应用的学习支架。 该资料以现实问题（折纸层数与面积）驱动，引导学生用数学眼光观察数量关系，通过定义辨析题（例1判断指数函数）培养数学思维，结合细菌繁殖等案例强化数学语言表达。课中助力教师引导学生构建知识体系，课后通过分层练习和知识清单帮助学生查漏补缺，提升核心素养。

4.2.1　指数函数的概念 学习目标　1.理解指数函数的概念，了解对底数的限制条件的合理性.2.了解指数增长型和指数衰减型函数在实际问题中的应用. 导语 同学们，让我们来做个小游戏吧！将一张A4纸连续对折，折叠次数x与对应的层数y之间存在什么关系？对折后的面积S(假设原面积为1)与折叠的次数有什么关系？今天让我们探究一下这个问题. 一、指数函数的概念 问题1　阅读课本111页~113页，你有什么样的收获？ 提示　由课本问题1可知，B地景区的游客人次的年增长率是一个常数，问题2中的衰减率也是一个常数.函数y=1.11x(x∈[0，+∞))与函数y=(x∈[0，+∞))的函数解析式都是指数形式，底数为定值，自变量在指数位置. 知识梳理　 指数函数的概念：一般地，函数y=ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R. 注意点： (1)函数的特征：底数a>0，且a≠1. (2)指数幂的系数为1. 例1　(1)下列函数中是指数函数的是(　　) A.y=2·3x B.y= C.y=3x D.y=(-2)x 答案　C 解析　A中，3x的系数是2，故A不是指数函数；B中，y=的指数是x+1，不是自变量x，故B不是指数函数；C中，3x的系数是1，幂的指数是自变量x，且只有3x一项，故C是指数函数；D中，底数-2<0，故D不是指数函数. (2)若函数y=(2a-1)x(x是自变量)是指数函数，则a的取值范围是(　　) A.(0，1)∪(1，+∞) B.[0，1)∪(1，+∞) C.∪(1，+∞) D. 答案　C 解析　依题意得2a-1>0，且2a-1≠1， 解得a>且a≠1， 即a的取值范围是∪(1，+∞). 延伸探究　将例1(2)中指数函数的解析式换为“y=(a2-3a+3)·ax”，则a的值为　　　　. 答案　2 解析　由指数函数的定义知 由①得a=1或a=2，结合②得a=2. 反思感悟　判断一个函数是否为指数函数的方法 (1)底数的值a>0，且a≠1. (2)ax前的系数是否为1. (3)指数是否符合要求. 二、求指数函数的解析式或求值 例2　(课本例1)已知指数函数f(x)=ax(a>0，且a≠1)，且f(3)=π，求f(0)，f(1)，f(-3)的值. 解　因为f(x)=ax，且f(3)=π，则a3=π， 解得a=，于是f(x)=. 所以，f(0)=π0=1，f(1)=，f(-3)=π-1=. 例2　已知指数函数f(x)的图象过点则f(x)=　　　　，[f(2)]2的值为　　　　　　. 答案　 解析　设指数函数f(x)=ax(a>0，且a≠1)， 把点代入可得解得a=. 所以f(x)=所以[f(2)]2=. 反思感悟　(1)求指数函数的解析式时，一般采用待定系数法，即先设出函数的解析式，然后利用已知条件，求出解析式中的参数，从而得到函数的解析式，其中掌握指数函数的概念是解决这类问题的关键. (2)求指数函数的函数值的关键是求出指数函数的解析式. 跟踪训练1　指数函数y=f(x)满足f(-2)=那么f(2)·f(1)等于(　　) A.-3 B.9 C.27 D.81 答案　C 解析　设指数函数y=f(x)=ax(a>0，且a≠1)， 则a-2=解得a=3， 则指数函数的解析式为y=f(x)=3x， 故f(2)·f(1)=32×31=27. 三、指数增长型和指数衰减型函数的实际应用 问题2　如果我们将3张A4复印纸连续对折，折叠次数x与对应的层数y之间有什么关系？对折后的面积S(A4纸的面积近似为0.06平方米)与折叠的次数又有怎样的关系呢？ 提示　第x次折叠后对应的层数y=3×2x(x∈N*)， 对折后的面积S=0.06×(x∈N*). 知识梳理　 1.y=kax(k>0，a>0且a≠1)，当a>1时为指数增长型函数模型. 2.y=kax(k>0，a>0且a≠1)，当0<a<1时为指数衰减型函数模型. 例3　(1)某科研小组培育一种水稻新品种，由第1代1粒种子可以得到第2代120粒种子，以后各代每粒种子都可以得到下一代120粒种子.则第n代得到的种子数y与n的函数关系式为　　　　　　，第5代得到的种子数为　　　　　　. 答案　y=120n-1(n∈N*)　2.073 6×108 解析　根据题意，假设第n代得到的种子数为y， 由于第1代1粒种子可以得到第2代120粒种子，以后各代每粒种子都可以得到下一代120粒种子， 则y=120n-1(n∈N*)， 当n=5时，y=1204=2.073 6×108(粒). (2)某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过1年，这种物质剩留的质量是原来的84%.写出这种物质的剩留量关于时间的函数关系式. 解　设该物质最初的质量是1，经过x年剩留量是y. 经过1年，剩留量是y=1×0.84=0.841； 经过2年，剩留量是y=0.84×0.84=0.842； …… 一般地，经过x年，剩留量是y=0.84x(x∈N*). 反思感悟　关于函数y=kax(k∈R，且k≠0；a>0，且a≠1)在实际问题中的应用 (1)函数y=kax(k∈R，且k≠0；a>0，且a≠1)是用来刻画指数增长或指数衰减变化规律的非常有用的函数模型，一般当k>0时，若a>1，则刻画指数增长变化规律；若0<a<1，则刻画指数衰减变化规律. (2)解决此类问题可利用待定系数法，根据条件确定出解析式中的系数后，利用指数运算解题. 跟踪训练2　某种细菌经60分钟培养，可繁殖为原来的2倍，且知该细菌的繁殖规律为y=10ekt，其中e，k为常数，t表示时间(单位：小时)，y表示细菌个数，则10个细菌经过7小时培养，细菌能达到的个数为(　　) A.640 B.1 280 C.2 560 D.5 120 答案　B 解析　设原来的细菌数为a， 由题意可得，在函数y=10ekt中， 当t=1时，y=2a， ∴2a=10ek，即ek=∴y=10 当a=10，t=7时，y=10×27=1 280， ∴10个细菌经7小时培养能达到的个数为1 280. 1.知识清单： (1)指数函数的定义. (2)指数增长型和指数衰减型函数模型. 2.方法归纳：待定系数法. 3.常见误区：易忽视指数函数的底数a的限制条件：a>0且a≠1. 1.下列各函数中，是指数函数的是(　　) A.y=(-4)x B.y=-4x C.y=πx-1 D.y= 答案　D 解析　A中函数的底数不满足大于零，故不是指数函数；B中函数式中幂值的系数不是1，故不是指数函数；C中的指数是x-1，故不是指数函数. 2.若函数y=(m2-m-1)·mx是指数函数，则m等于(　　) A.-1或2 B.-1 C.2 D. 答案　C 解析　依题意，有 解得m=2(m=-1舍去). 3.某地大力开展植树造林.假设一片森林原来的面积为a亩，计划每年种植一些树苗，且森林面积的年增长率相同，当面积是原来的3倍时，所用时间是10年.则森林面积的年增长率为　　　　. 答案　-1 解析　设森林面积的年增长率为x， 根据题意可得a(1+x)10=3a， 即(1+x)10=3，则1+x=故x=-1. 故森林面积的年增长率为-1. 4.指数函数f(x)=()x，且f(a)=27，则a=　　　　. 答案　6 解析　由题意，()a=27，即=33， ∴=3，∴a=6. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共25分；多选题每小题6分，共24分 1.下列函数是指数函数的是(　　) A.y= B.y=(-8)x C.y=2x-1 D.y=x2 答案　A 解析　对于A，函数y=中，a=>1，是指数函数；对于B，函数y=(-8)x中，a=-8<0，不是指数函数；对于C，函数y=2x-1=·2x，不是指数函数；对于D，函数y=x2是幂函数，不是指数函数. 2.若函数f(x)=(a2+2a-2)(a+4)x为指数函数，则(　　) A.a=1或a=-3 B.a>0且a≠1 C.a=1 D.a=-3 答案　C 解析　因为函数f(x)=(a2+2a-2)(a+4)x为指数函数，则解得a=1. 3.(多选)已知指数函数f(x)满足f 则下列结论中正确的是(　　) A.f(x)=5x B.f(x)=5-x C.f(-1)= D.5f(1)=f(2) 答案　ACD 解析　设指数函数f(x)=ax(a>0且a≠1)，于是因此a=5，函数f(x)=5x，A正确，B错误；f(-1)=5-1=5f(1)=5×5=25=52=f(2)，C，D正确. 4.一种产品的成本是a元，今后m年内，计划使成本平均每年比上一年降低p%，成本y是经过年数x(0<x<m)的函数，其关系式是(　　) A.y=a(1+p%)x(0<x<m) B.y=a(1-p%)x(0<x<m) C.y=a(p%)x(0<x<m) D.y=a-(p%)x(0<x<m) 答案　B 解析　∵产品的成本是a元，1年后，成本为a-p%·a=a(1-p%)；2年后，成本为a(1-p%)-a(1-p%)·p%=a(1-p%)2；…， ∴x年后，成本y=a(1-p%)x(0<x<m). 5.(多选)已知函数f(x)=若f(a)=3，则实数a的值为(　　) A.-1 B.0 C.1 D.2 答案　AC 解析　当a≥0时，f(a)=3a=3，所以a=1； 当a<0时，f(a)==3，所以a=-1. 综上，实数a的值为1或-1. 6.(多选)函数f(x)=ax(a>0，且a≠1)，对于任意实数x，y都有(　　) A.f(xy)=f(x)f(y) B.f(x+y)=f(x)f(y) C.f(x-y)= D.f(x+y)=f(x)+f(y) 答案　BC 解析　f(xy)=axy=(ax)y=[f(x)]y或f(xy)=axy=(ay)x=[f(y)]x； f(x+y)=ax+y=axay=f(x)f(y)； f(x-y)=ax-y=. 7.(多选)下列函数关系中，不能看作是指数型函数y=kax(k≠0，a>0，a≠1)的模型的是(　　) A.自由落体运动中，物体离地面的高度与时间的关系 B.钟表盘中，时针的运行角度与时间的关系 C.某省的人口自然增长率为1.2%时，该省的人口总数与年份的关系 D.邮件的邮资与邮件质量之间的关系 答案　ABD 解析　选项A中的关系是二次函数关系，选项B中的关系是一次函数关系，选项C中的关系是指数型函数关系，选项D中的关系是分段函数关系. 8.(5分)若函数y=2(a-1)x是刻画指数衰减变化规律的模型，则a的取值范围是　　　　. 答案　(1，2) 解析　∵函数y=2(a-1)x是刻画指数衰减变化规律的模型， ∴0<a-1<1，解得1<a<2. 9.(5分)已知函数f(x)=若f(f(-1))=1，则a=　　　　　. 答案　 解析　∵f(-1)=21=2， ∴f(f(-1))=f(2)=a·22=1，则a=. 10.(10分)某林区某年木材蓄积量为200万立方米，由于采取了封山育林、严禁采伐等措施，预计使木材蓄积量的年平均增长率能达到5%.若经过x年后，该林区的木材蓄积量为y万立方米，求y=f(x)的解析式，并写出此函数的定义域. 解　由题意得， 经过1年后，木材蓄积量y1=200(1+5%)=200×1.05， 经过2年后，木材蓄积量y2=200×1.05×(1+5%)=200×1.052， 经过x年后，木材蓄积量y=200×1.05x. 定义域为N*. 11.函数y=f(x)是R上的奇函数，当x<0时，f(x)=2x，则当x>0时，f(x)等于(　　) A.-2x B.2-x C.-2-x D.2x 答案　C 解析　当x<0时，f(x)=2x， 当x>0时，-x<0，则f(-x)=2-x. 又f(x)是R上的奇函数， 所以当x>0时，f(x)=-f(-x)=-2-x. 12.(5分)已知函数y=f(x)，x∈R，且f(0)=2=2=2，…=2，n∈N*，则函数y=f(x)的一个可能的解析式为　　　　　　. 答案　f(x)=2×4x 解析　由题意，得=4=42，…=4x， ∴f(x)=2×4x. 13.(5分)已知f(2x+3)=ex，且f(x0)=1，则x0=　　　　. 答案　3 解析　令2x+3=t，则x=f(t)= 即f(x0)==1，解得x0=3. 14.(10分)已知二次函数f(x)=ax2+bx在x=-2处取得最大值，指数函数g(x)=. (1)求g的值；(5分) (2)设函数h(x)=g(x)+试判断h(x)的奇偶性，并说明理由.(5分) 解　(1)因为该二次函数的对称轴为x=- 所以由题意可得-=-2，得=4， 则g(x)=4x， 则g. (2)h(x)为偶函数. 理由如下： h(x)=g(x)+=4x+4-x，其定义域为R，关于原点对称. 因为h(-x)=4-x+4x=h(x)， 所以h(x)为偶函数. 15.某校甲、乙两食堂某年1月份的营业额相等，甲食堂的营业额逐月增加，并且每月的增加值相同；乙食堂的营业额也逐月增加，且每月增加的百分率相同.已知该年9月份两食堂的营业额又相等，则该年5月份(　　) A.甲食堂的营业额较高 B.乙食堂的营业额较高 C.甲、乙两食堂的营业额相等 D.不能确定甲、乙哪个食堂的营业额较高 答案　A 解析　设甲、乙两食堂1月份的营业额均为m，甲食堂的营业额每月增加a(a>0)，乙食堂的营业额每月增加的百分率为x.由题意，可得m+8a=m(1+x)8，则5月份甲食堂的营业额y1=m+4a，乙食堂的营业额y2=m(1+x)4=因为=(m+4a)2-m(m+8a)=16a2>0，所以y1>y2，故该年5月份甲食堂的营业额较高. 16.(11分)牛奶保鲜时间因储藏温度的不同而不同，假定保鲜时间y(单位：h)与储藏温度x(单位：℃)的关系式为y=kerx(k，r，e为常数).若牛奶在0 ℃的冰箱中，保鲜时间约是100 h，在5 ℃的冰箱中，保鲜时间约是80 h，那么在10 ℃的冰箱中的保鲜时间是多少？ 解　因为保鲜时间y与储藏温度x的关系式为y=kerx(k，r为常数)， 所以解得 所以y=100 所以当x=10时，y=100×=64， 所以在10 ℃的冰箱中的保鲜时间为64 h. 学科网（北京）股份有限公司 $