第4章 §4.1 指 数（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（人教A版）

本高中数学讲义聚焦n次方根、根式、分数指数幂及实数指数幂运算，通过从平方根、立方根类比构建n次方根概念，衔接根式性质与分数指数幂互化，形成从具体到抽象的学习支架。 以毕达哥拉斯学派无理数发现史导入，培养数学眼光，通过问题链引导类比推理发展数学思维，例题结合延伸探究强化符号表达与应用意识。课中助力教师引导探究，课后课时对点练与知识清单帮助学生查漏补缺。

学习目标　1.理解n次方根及根式的概念，掌握根式的性质.能利用根式的性质对根式进行运算.(重点)2.理解分数指数幂的含义，掌握根式和分数指数幂的互化.(重点)3.掌握实数指数幂的运算性质，并能对代数式进行化简或求值.(重难点) 导语 公元前五世纪，古希腊有一个数学学派名叫毕达哥拉斯学派，其学派中的一个成员希伯索斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数来表示，希伯索斯的发现使数学史上第一个无理数诞生了.这就是本节课我们要学习的根式. 一、n次方根 问题1　如果x2=a(a>0)，那么x叫做a的什么？这样的x有几个？x3=a呢？ 提示　如果x2=a(a>0)，那么x叫做a的平方根，这样的x有两个；如果x3=a，那么x叫做a的立方根，这样的x有一个. 问题2　类比平方根、立方根的概念，试着说说4次方根、5次方根、10次方根等，你认为n次方根应该是什么？ 提示　比如(±2)4=16，我们把±2叫做16的4次方根；(±3)4=81，我们把±3叫做81的4次方根；(-2)5=-32，我们把-2叫做-32的5次方根；(±2)10=1 024，我们把±2叫做1 024的10次方根等.类比上述过程，我们可以得到：如果2n=a，那么我们把2叫做a的n次方根. 知识梳理　 1.n次方根的定义 一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*. 2.n次方根的性质 n为奇数 n为偶数 a∈R a>0 a=0 a<0 x= x=± x=0 x不存在 3.根式 式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数. 4.根式的性质 (1)负数没有偶次方根. (2)0的任何次方根都是0，记作=0. (3)①当n为奇数时=a(n∈N*，且n>1). ②当n为偶数时=|a|=(n∈N*，且n>1). 注意点： (1)对于()n=a，若n为奇数，则a∈R；若n为偶数，则a≥0. (2)()n与意义不同，比如=-3=3，而没有意义，故()n≠. (3)当a≥0时，()n=；当a<0且n为奇数时，()n=；当a<0且n为偶数时，对于要注意运算次序. 例1　(课本例1)求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4). 解　(1)=-8； (2)=|-10|=10； (3)=|3-π|=π-3； (4)=|a-b|= 例1　(1)化简下列各式： ①+()5； ②+()6； ③(a≤1). 解　①原式=(-2)+(-2)=-4. ②原式=|-2|+2=2+2=4. ③原式=|3a-3|=3|a-1|=3-3a. 延伸探究1　将例1(1)的②+()6改为“”， 试化简该式. 解　=a+|a|= 延伸探究2　将例1(1)的③(a≤1)中的条件“a≤1”删去，试化简该式. 解　=|3a-3|=3|a-1|= (2)已知-3<x<3，求的值. 解　原式= =|x-1|-|x+3|， ∵-3<x<3， ∴当-3<x<1时， 原式=-(x-1)-(x+3)=-2x-2； 当1≤x<3时，原式=(x-1)-(x+3)=-4. ∴原式= 反思感悟　正确区分与()n (1)中的a可以是全体实数的值取决于n的奇偶性. (2)()n已暗含了有意义，根据n的奇偶性可知a的范围. 二、根式与分数指数幂的互化 问题3　被开方数的指数不能被根指数整除的根式，比如a>0，是否也可以表示为分数指数幂的形式？如何表示？ 提示　可以.. 知识梳理　根式与分数指数幂的互化 (1)规定正数的正分数指数幂的意义是：(a>0，m，n∈N*，且n>1). (2)规定正数的负分数指数幂的意义是：(a>0，m，n∈N*，且n>1). (3)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义. (4)整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即： ①aras=ar+s(a>0，r，s∈Q)； ②(ar)s=ars(a>0，r，s∈Q)； ③(ab)r=arbr(a>0，b>0，r∈Q). 拓展：①(a>0，r，s∈Q)； ②(a>0，b>0，r∈Q). 注意点： (1)分数指数幂不可理解为个a相乘，它是根式的一种写法. (2)正数的负分数指数幂总表示正数，而不是负数. 例2　(课本例3)用分数指数幂的形式表示并计算下列各式(其中a>0)： (1)a2·； (2). 解　(1)a2·=a2； (2)=(a=(. 例2　将下列根式化成分数指数幂的形式： (1)(a>0)； (2)； (3)((b>0). 解　(1)原式==(. (2)原式=. (3)原式=[(. 反思感悟　根式与分数指数幂互化的规律 (1)根指数分数指数的分母，被开方数(式)的指数分数指数的分子. (2)如果根式中含有多重根号，要由里向外用分数指数幂写出. 跟踪训练1　(1)求值：=　　　　；  (2)用分数指数幂表示=　　　　. 答案　(1)-　(2) 解析　(1)原式==-. (2)原式=. 三、实数指数幂的运算 1.无理数指数幂：一般地，无理数指数幂aα(a>0，α为无理数)是一个确定的实数. 2.实数指数幂的运算法则 (1)aras=ar+s(a>0，r，s∈R). (2)(ar)s=ars(a>0，r，s∈R). (3)(ab)r=arbr(a>0，b>0，r∈R). (4)拓展：①=ar-s(a>0，r，s∈R)； ②(a>0，b>0，r∈R). 注意点： 特别强调底数a>0，b>0. 例3　(课本例4)计算下列各式(式中字母均是正数)： (1)； (2)； (3)()÷. 解　(1) =[2×(-6)÷(-3)] =4ab0 =4a； (2) =m2n-3 =； (3)()÷ = =-a =-a. 例3　(1)=　　　　.(式中字母均是正数)  答案　 解析　原式= = =a-1=. (2)计算：-(π-3)0+. 解　原式=-1+2=2. (3)计算：. 解　原式==25=32. 反思感悟　关于指数式的化简、求值问题 (1)无论是化简还是求值，一般的运算顺序是先乘方，再乘除，最后加减. (2)若式子中含有根式，一般把底数中的根式化为指数式，指数中的根式可以保留直接运算. 跟踪训练2　(1)计算：-(-2)0-； (2)化简：2÷(-6)(x，y>0)； (3)化简：(2(m>0). 解　(1)原式=-1--1-. (2)原式=[2×(-3)÷(-6)] =x2y. (3)原式=(2=26m3=64m3. 四、实数指数幂的综合运用 例4　已知x+x-1=7，求值： (1)x2+x-2； (2)； (3)x2-x-2. 解　(1)x+x-1=7，两边平方得x2+2+x-2=49， 所以x2+x-2=47. (2)设m=两边平方得m2=x+x-1+2=7+2=9， 因为m>0，所以m=3，即=3. (3)设n=两边平方得n2=x+x-1-2=7-2=5， 因为n∈R，所以n=± 即=±. 所以x-x-1=()()=±3 x2-x-2=(x+x-1)(x-x-1)=±21. 延伸探究3　本例的条件不变，求x3+x-3的值. 解　由x+x-1=7平方可得x2+x-2=47， 所以x3+x-3=(x+x-1)(x2+x-2-1)=7×46=322. 反思感悟　利用整体代换法求分数指数幂 (1)整体代换法是数学变形与计算常用的技巧方法，分析观察条件与结论的结构特点，灵活运用恒等式是关键. (2)利用整体代换法解决分数指数幂的计算问题，常常运用完全平方公式及其变形公式. 常见的变形公式： x2+x-2=(x±x-1)2∓2，x+x-1=()2∓2=()2∓2. 1.知识清单： (1)n次方根的概念、表示及性质. (2)分数指数幂与根式的相互转化. (3)实数指数幂的运算性质. (4)实数指数幂的综合运用. 2.方法归纳：转化法、整体代换法. 3.常见误区： (1)对于，当n为偶数时，忽略a≥0. (2)混淆()n和. (3)在运用分数指数幂的运算性质化简时，其结果不能同时含有根式和分数指数，也不能既含有分母又含有负指数. 1.若a<则化简的结果是(　　) A.4a-1 B.1-4a C.- D.- 答案　B 解析　∵a<∴4a-1<0， ∴=|4a-1|=-(4a-1)=1-4a. 2.(多选)下列根式与分数指数幂的互化中，正确的是(　　) A.-=-(x>0) B.=-(x>0) C.(xy>0) D. 答案　AC 解析　-=-故A正确； 故B错误； (xy>0)，故C正确； =|y故D错误. 3.化简(x>0)的结果是(　　) A.x B.x2 C.1 D. 答案　A 解析　原式==x. 4.已知=5(x>0)，那么等于(　　) A. B.- C.± D.7 答案　A 解析　()2=+2=5+2=7. 又x>0，故. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共45分；多选题每小题6分，共6分 1.若+(a-4)0有意义，则a的取值范围是(　　) A.[2，+∞) B.[2，4)∪(4，+∞) C.(-∞，2)∪(2，+∞) D.(-∞，4)∪(4，+∞) 答案　B 解析　由题意可知 ∴a≥2且a≠4. 2.化简：等于(　　) A.1 B.-1 C.7-2π D.2π-7 答案　A 解析　=|π-4|+(π-3)=4-π+π-3=1. 3.已知a>0，则下列运算中正确的是(　　) A. B.(-a2)3=(-a3)2 C.(-2)0=1 D.(-)5=- 答案　D 解析　故A错误；(-a2)3=-a2×3 =-a6，(-a3)2=a6，故B错误；当a=4时，(-2)0无意义，故C错误；(-)5=-故D正确. 4.化简(其中a>0，b>0)的结果是(　　) A. B.- C. D.- 答案　C 解析　 =. 5.(多选)已知xy≠0，且=-3xy2，则下列结论正确的是(　　) A.x>0，y>0 B.x<0，y<0 C.x>0，y<0 D.x<0，y>0 答案　BD 解析　因为=3|x|·y2， 又=-3xy2， 所以3|x|·y2=-3xy2， 又xy≠0，所以x<0，y>0或y<0. 6.下列根式与分数指数幂的互化错误的是(　　) A.-=(-x B.(y>0) C.(x>0) D.[(x>0) 答案　A 解析　A项错误，-=-(x≥0)，而(-x(x≤0)； B项正确(y>0)； C项正确(x>0)； D项正确，[(x>0). 7.若3a·9b=则下列等式正确的是(　　) A.a+b=-1 B.a+b=1 C.a+2b=-1 D.a+2b=1 答案　C 解析　∵3a·9b=3a·32b=3a+2b==3-1， ∴a+2b=-1. 8.(5分)当x<0时，x+=　　　　. 答案　1 解析　原式=x+|x|+=x-x+1=1. 9.(5分)化简：=　　　　. 答案　1 解析　原式==1. 10.(10分)(1)化简：(2)(-6)(-3)(a>0，b>0)；(5分) (2)求值：+2-2×-0.010.5.(5分) 解　(1)(2)(-6)(-3) =2×(-6)×(-3) =36a. (2)+2-2×-0.010.5 =1+ =1+ =1+ =. 11.已知2a=5b=m，且=2，则m等于(　　) A. B.10 C.20 D.100 答案　A 解析　由题意得m>0， ∵2a=m，5b=m， ∴2=5= ∵2×5= ∴m2=10，∴m=. 12.方程的解是(　　) A.x=- B.x=- C.x= D.x= 答案　B 解析　∵=3-2，∴x-1=-2， ∴x=-.∴方程的解是x=-. 13.(5分)已知a2x=3，则=　　　　　　. 答案　 解析　原式==a2x-1+a-2x=3-1+. 14.(12分)(1)已知x=a-3+b-2，化简.(5分) (2)已知=4，x=a+3y=b+3求(x+y+(x-y的值.(7分) 解　(1)由x=a-3+b-2，得x-a-3=b-2， ∴ =. (2)令=A=B，则x=A3+3AB2，y=B3+3A2B， x+y=A3+3AB2+3A2B+B3=(A+B)3， x-y=A3+3AB2-3A2B-B3=(A-B)3， ∴(x+y+(x-y=(A+B)2+(A-B)2=2(A2+B2)=2=8. 15.复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息，我国现行定期储蓄中的自动转存业务就是类似复利计算的储蓄.某人在银行存入本金5万元并办理了自动转存业务，已知每期利率为p，若存m期，本利和为5.4万元，若存n期，本利和为5.5万元，若存m+n期，则利息为(　　) A.5.94万元 B.1.18万元 C.6.18万元 D.0.94万元 答案　D 解析　由题意可得则5(1+p)m·5(1+p)n=5.4×5.5， 即存m+n期，本利和为5(1+p)m+n=5.4×1.1=5.94，故存m+n期，利息为5.94-5=0.94(万元). 16.(12分)若a=3，求的值. 解　 = = = ==-1. 学科网（北京）股份有限公司 $