第3章 3.1.1 函数的概念(二)（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（人教A版）

本讲义聚焦高中数学函数概念的深化，核心知识点包括同一函数的判断（定义域与对应关系）、抽象函数定义域的求解（整体代换思想）、简单函数值域的求法（配方法、换元法、分离常数法等），构建从概念理解到应用的学习支架。 资料亮点在于例题典型且反思总结方法，如判断同一函数培养数学眼光观察本质，抽象函数定义域训练数学思维的逻辑推理，多种求值域方法助力数学语言表达。课中辅助教师教学，课后通过跟踪训练和对点练帮助学生查漏补缺。

3.1.1　函数的概念(二) 学习目标　1.会判断两个函数是否为同一个函数.(重点)2.会求抽象函数的定义域.(难点)3.会求简单函数的值域.(重点) 一、同一个函数 问题　结合函数的概念，如何才能确定一个函数？ 提示　有确定的定义域和对应关系即能确定一个函数. 例1　(课本例3)下列函数中哪个与函数y=x是同一个函数？ (1)y=()2； (2)u=； (3)y=； (4)m=. 解　(1)y=()2=x(x∈{x|x≥0})，它与函数y=x(x∈R)虽然对应关系相同，但是定义域不相同，所以这个函数与函数y=x(x∈R)不是同一个函数. (2)u==v(v∈R)它与函数y=x(x∈R)不仅对应关系相同，而且定义域也相同，所以这个函数与函数y=x(x∈R)是同一个函数. (3)y==|x|=它与函数y=x(x∈R)的定义域都是实数集R，但是当x<0时，它的对应关系与函数y=x(x∈R)不相同.所以这个函数与函数y=x(x∈R)不是同一个函数. (4)m==n(n∈{n|n≠0})，它与函数y=x(x∈R)的对应关系相同但定义域不相同.所以这个函数与函数y=x(x∈R)不是同一个函数. 例1　(多选)下列各组函数表示同一个函数的是(　　) A.f(x)=g(x)= B.f(x)=g(x)= C.f(x)=g(x)=x+3 D.汽车匀速运动时，路程与时间的函数关系f(t)=80t(0≤t≤5)与一次函数g(x)=80x(0≤x≤5) 答案　BD 解析　A项，f(x)=g(x)=不是同一个函数，对应关系不同； B项，是同一个函数，定义域、对应关系都相同； C项，f(x)=|x+3|，g(x)=x+3，不是同一个函数，对应关系不同； D项，是同一个函数，定义域、对应关系都相同. 反思感悟　判断两个函数为同一个函数的注意点： (1)判断两个函数是否为同一个函数，就是看两函数的定义域和对应关系是否相同，若两者都相同，则为同一个函数，若定义域和对应关系有一个不相同就不是同一个函数. (2) 若两个函数为同一个函数，则它们的值域一定相同，反之则不然，即若两函数的定义域与值域都相同，则它们也不一定是同一个函数. (3)函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的. (4)在化简解析式时，必须是等价变形. 跟踪训练1　下列各组函数中是同一个函数的是(　　) A.y=x+1与y= B.y=x2+1与s=t2+1 C.y=2x与y=2x(x≥0) D.y=(x+1)2与y=x2 答案　B 解析　A，C选项中两函数的定义域不同，D选项中两函数的对应关系不同，故A，C，D中不是同一个函数；B选项中两函数的定义域和对应关系均相同，是同一个函数. 二、求抽象函数的定义域 例2　(1)函数y=f(x)的定义域是[-1，3]，则f(2x+1)的定义域为　　　　. 答案　[-1，1] 解析　令-1≤2x+1≤3，解得-1≤x≤1， 所以f(2x+1)的定义域为[-1，1]. (2)若函数y=f(3x+1)的定义域为[-2，4]，则y=f(x)的定义域是(　　) A.[-1，1] B.[-5，13] C.[-5，1] D.[-1，13] 答案　B 解析　由题意知，-2≤x≤4，所以-5≤3x+1≤13， 所以y=f(x)的定义域是[-5，13]. 延伸探究　若函数f(3x+1)的定义域为[-2，4]，则f(2x+1)的定义域为　　　　　　. 答案　[-3，6] 解析　由例2(2)知，f(x)的定义域为[-5，13]， 令-5≤2x+1≤13，解得-3≤x≤6， 所以f(2x+1)的定义域为[-3，6]. 反思感悟　抽象函数的定义域 (1)若函数f(x)的定义域为[a，b]，则f(g(x))的定义域即为不等式a≤g(x)≤b的解集. (2)若函数f(g(x))的定义域为[c，d]，则f(x)的定义域即为g(x)在[c，d]上的值域. 三、求简单函数的值域 例3　求下列函数的值域： (1)y=-1； (2)y=x2-4x+6，x∈[1，5]； (3) y=x+； (4) y=. 解　(1)∵≥0，∴-1≥-1， ∴y=-1的值域为[-1，+∞). (2)配方得y=(x-2)2+2. ∵x∈[1，5]， ∴2≤y≤11，即函数的值域为[2，11]. (3) 令t=(t≥0)，则x=. y=+t=-t2+t+=-(t-1)2+1. ∵t≥0，∴当t=1，即x=0时，函数取得最大值，ymax=1， ∴函数y=x+的值域为(-∞，1]. (4)y==2+ ∵≠0，故y≠2， ∴函数的值域为(-∞，2)∪(2，+∞). 反思感悟　求函数值域的方法 (1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到. (2)配方法：此方法是求“二次函数类”值域的基本方法，即把函数通过配方转化为能直接看出其值域的方法. (3)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域. (4)换元法：对于一些无理函数(如y=ax±b±)，通过换元把它们转化为有理函数，然后利用有理函数求值域的方法，间接地求解原函数的值域. 跟踪训练2　求下列函数的值域： (1)y=2x+1，x∈{1，2，3，4，5}； (2)y=； (3)y=x4+2x2+3； (4) y=. 解　(1)∵y=2x+1，且x∈{1，2，3，4，5}， ∴y∈{3，5，7，9，11}. ∴函数的值域为{3，5，7，9，11}. (2)设t=-2x2+x+3，t≥0， 则t=-2 ∴0≤t≤ ∴0≤y≤ ∴函数的值域为. (3) 令x2=t，则t≥0，y=t2+2t+3=(t+1)2+2， ∵t≥0，∴(t+1)2≥1， ∴y≥3，∴函数的值域为[3，+∞). (4)∵y==3+≠3， ∴函数的值域为(-∞，3)∪(3，+∞). 1.知识清单： (1)同一个函数. (2)抽象函数的定义域. (3)简单函数的值域. 2.方法归纳：换元法、配方法、分离常数法，整体代换. 3.常见误区： (1)不会用整体代换的思想求抽象函数的定义域. (2)求函数值域时忽略函数的定义域. 1.(多选)已知四组函数，其中是同一个函数的是(　　) A.f(x)=x，g(x)=()2 B.f(x)=x，g(x)= C.f(n)=2n-1，g(n)=2n+1(n∈N) D.f(x)=x2-2x-1，g(t)=t2-2t-1 答案　BD 解析　对于A，定义域不同；对于C，对应关系不同；对于BD，定义域与对应关系都相同. 2.函数y=x2-2x的定义域为{0，1，2，3}，那么其值域为(　　) A.{-1，0，3} B.{0，1，2，3} C.{y|-1≤y≤3} D.{y|0≤y≤3} 答案　A 解析　由对应关系y=x2-2x得， 0→0，1→-1，2→0，3→3， 所以值域为{-1，0，3}. 3.已知函数f(x)=则对任意实数x，函数f(x)的值域是(　　) A.(0，2) B.(0，2] C.[0，2) D.[0，2] 答案　C 解析　依题意，f(x)= =2- 显然2x2+1≥1， 则0<≤2，于是0≤2-<2， 所以函数f(x)的值域是[0，2). 4.已知函数f(x)的定义域为(-1，1)，则函数g(x)=f+f(x-2)的定义域为(　　) A.(0，2) B.(1，2) C.(2，3) D.(-1，1) 答案　B 解析　由题意知 解得1<x<2. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共24分 1.函数f(x)=2x+1，x∈[0，1]的值域是(　　) A.[1，3] B.(1，3) C.[2，3] D.[0，2] 答案　A 解析　由f(x)=2x+1的图象(图略)知，图象整体是上升的， 当x∈[0，1]时，f(0)=1，f(1)=3， 所以值域为[1，3]. 2.(多选)下列各组函数为同一个函数的是(　　) A.f(x)=x，g(x)= B.f(x)=1，g(x)=(x-1)0 C.f(x)=g(x)= D.f(t)=g(t)=t+4(t≠4) 答案　CD 解析　对于A，这两个函数的定义域不同，所以这两个函数不是同一个函数； 对于B，这两个函数的定义域不同，所以这两个函数不是同一个函数； 对于C，这两个函数的定义域与对应关系均相同，所以这两个函数为同一个函数； 对于D，这两个函数的定义域与对应关系均相同，所以这两个函数是同一个函数. 3.已知函数f(x)的定义域为[-1，2]，则f(3-2x)的定义域为(　　) A. B.[-1，2] C.[-1，5] D. 答案　A 解析　由于函数f(x)的定义域为[-1，2]， 故-1≤3-2x≤2，解得≤x≤2， 即函数f(3-2x)的定义域为. 4.若集合A={y|y=x2-1}，B={y|y=-x2-2x}，则A∩B等于(　　) A.(-1，1) B.[-1，1] C.(-1，1] D.[-1，1) 答案　B 解析　集合A={y|y=x2-1}={y|y≥-1}， B={y|y=-x2-2x}={y|y=-(x+1)2+1}={y|y≤1}， 则A∩B=[-1，1]. 5.函数y=(x≥0)的值域为(　　) A.[-1，1) B.[-1，1] C.[-1，+∞) D.[0，+∞) 答案　A 解析　y==1+. ∵x≥0，∴x+1≥1，∴0<≤1， ∴-2≤<0， ∴-1≤1+<1. ∴函数y=(x≥0)的值域为[-1，1). 6.已知函数y=f(-2x+1)的定义域是[-1，2]，则y=f(x)的定义域是(　　) A. B.[-3，3] C.[-1，5] D. 答案　B 解析　∵y=f(-2x+1)的定义域为[-1，2]，即-1≤x≤2， ∴-3≤-2x+1≤3， ∴y=f(x)的定义域为[-3，3]. 7.(多选)如果某函数的定义域与其值域的交集是[a，b]，则称该函数为“[a，b]交汇函数”.下列函数是“[0，1]交汇函数”的是(　　) A.y= B.y=2-x C.y= D.y=-|x| 答案　AB 解析　由“[a，b]交汇函数”的定义可知，“[0，1]交汇函数”表示函数的定义域与值域的交集为[0，1]. 对于选项A，y=的定义域A=(-∞，1]，值域B=[0，+∞)，则A∩B=[0，1]，A正确； 对于选项B，y=2-x的定义域A=[0，+∞)，令t=≥0，则x=t2，y=2t-t2=-(t-1)2+1≤1，即函数的值域B=(-∞，1]，则A∩B=[0，1]，B正确； 对于选项C，y= ∵(x-1)2≥0，∴(x-1)2+1≥1， ∴0<≤1，∴函数的定义域A=R，值域B=(0，1]，则A∩B=(0，1]，C错误； 对于选项D，y=-|x|的定义域A=[-1，1]，y2=1-x2+x2-2|x|=1-2 ∵-1≤x≤1，∴0≤x2(1-x2)≤则0≤y2≤1，∴-1≤y≤1，即值域B=[-1，1]，则A∩B=[-1，1]，D错误. 8.(5分)若函数y=f(x)的定义域是[0，2]，则函数g(x)=的定义域是　　　　. 答案　[0，1) 解析　因为函数f(x)的定义域是[0，2]， 所以0≤2x≤2且x≠1，故g(x)的定义域是[0，1). 9.(5分)函数y=x-2的值域为　　　　　　　　　　　　. 答案　[0，+∞) 解析　令t=(t≥0)，则x=t2+1， y=t2+1-2t=(t-1)2， ∵t≥0，∴y=(t-1)2≥0， ∴函数的值域为[0，+∞). 10.(10分)(1)已知函数f(x)=求函数f(x+1)的定义域；(5分) (2)已知函数f(3x+1)的定义域为(-1，6]，求f(2x-5)的定义域.(5分) 解　(1)f(x)= 得解得-3≤x≤1， ∴函数f(x)=的定义域为[-3，1]， 由-3≤x+1≤1，得-4≤x≤0，即函数f(x+1)的定义域为[-4，0]. (2)∵函数f(3x+1)的定义域为(-1，6]， ∴-1<x≤6，则-2<3x+1≤19，即函数f(x)的定义域为(-2，19]， 由-2<2x-5≤19，得<x≤12，∴f(2x-5)的定义域为. 11.(多选)下列各组函数是同一个函数的是(　　) A.f(x)=与g(x)=x B.f(x)=x与g(x)= C.f(x)=x0与g(x)= D.f(x)=3x2+4x-2与g(t)=3t2+4t-2 答案　CD 解析　对于A，两个函数的定义域均为{x|x≤0}，但f(x)==|x|=-x与g(x)=x的对应关系不同，故不是同一个函数；对于B，g(x)==|x|与f(x)=x的定义域均为R，但对应关系不同，故不是同一个函数；对于C，两个函数的定义域都是{x|x≠0}，且f(x)=x0=1，g(x)==1，两个函数的对应关系也相同，故是同一个函数；对于D，f(x)=3x2+4x-2与g(t)=3t2+4t-2的定义域都是R，对应关系也相同，故是同一个函数. 12.(多选)函数f(x)=[x]的函数值表示不超过x的最大整数，当-≤x≤时，下列函数中，其值域与f(x)的值域相同的函数为(　　) A.y=x，x∈{-1，0，1，2，3} B.y=2x，x∈ C.y=x∈ D.y=x2-1，x∈{0，12} 答案　ABD 解析　当x∈时，f(x)=-1， 当x∈[0，1)时，f(x)=0， 当x∈[1，2)时，f(x)=1， 当x∈[2，3)时，f(x)=2， 当x∈时，f(x)=3， 所以当x∈时，f(x)的值域为{-1，0，1，2，3}， y=x，x∈{-1，0，1，2，3}，该函数的值域为{-1，0，1，2，3}，故A正确； y=2x，x∈该函数的值域为{-1，0，1，2，3}，故B正确； y=x∈该函数的值域为{-1，1，2，3，4}，故C错误； y=x2-1，x∈{0，12}，该函数的值域为{-1，0，1，2，3}，故D正确. 13.(5分)若A={y|y=x2-2x+2}，且a∈A，则的取值范围是　　　　. 答案　 解析　因为A={y|y=x2-2x+2}={y|y=(x-1)2+1}={y|y≥1}， 又a∈A，则a≥1， 所以a+2≥3，所以0<. 14.(10分)已知函数f(x)=x2-x+是否存在实数m，使得函数的定义域和值域都是[1，m](m>1)？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由. 解　存在.理由如下： f(x)=x2-x+(x-1)2+1图象的对称轴为x=1，顶点为(1，1)且开口向上. ∵m>1， ∴要使f(x)的定义域和值域都是[1，m]，则有m2-m+=m， 即m2-4m+3=0，∴m=3或m=1(舍)， ∴存在实数m=3满足条件. 15.若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，例如解析式为y=2x2+1，值域为{9}的“孪生函数”有三个：①y=2x2+1，x∈{-2}；②y=2x2+1，x∈{2}；③y=2x2+1，x∈{-2，2}.那么函数解析式为y=2x2+1，值域为{1，5}的“孪生函数”共有(　　) A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 答案　C 解析　由2x2+1=1解得x=0； 由2x2+1=5解得x=± 所以值域为{1，5}的自变量集合有{0，-}，{0}，{0，-}， 所以值域为{1，5}的“孪生函数”共有3个：y=2x2+1，x∈{0，-}；y=2x2+1，x∈{0}；y=2x2+1，x∈{0，-}. 16.(11分)已知使函数f(x)=的定义域为R的实数m的取值集合为A，使得函数f(x)的值域为[0，+∞)的实数m的取值集合为B.求集合A，B. 解　∵f(x)=的定义域为R， ∴关于x的不等式(m2-1)x2+(1-m)x+1≥0的解集为R， ∴当m=1时，不等式为 1≥0，解集为R，符合题意； 当m=-1时， 不等式为2x+1>0，解集不为R，不符合题意； 当 m≠±1 时，要使不等式(m2-1)x2+(1-m)x+1≥0的解集为R， 则 解得m≤- 或 m>1， 综上所述，实数m的取值范围是∪[1，+∞)， ∴A=. ∵f(x)=的值域为[0，+∞)， 设 f(x)=(u≥0)，值域为[0，+∞)， 则u=(m2-1)x2+(1-m)x+1 的值域能取到[0，+∞)，即umin≤0. 当m2-1>0时，m>1或m<-1且Δ=(1-m)2-4(m2-1)≥0，解得-≤m<-1； 当 m=-1 时，u=(m2-1)x2+(1-m)x+1=2x+1，其值域能取到[0，+∞)，故 m=-1成立； 当m=1或m2-1<0时，不符合题意， 综上，-≤m≤-1， 即B=. 学科网（北京）股份有限公司 $