57利用反函数性质求值【中档】专项训练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

高中数学函数类特色专项训练 专题57.利用反函数性质求值（已知求）【中档】（全国通用）（解析版） 一、知识目录 1. 核心概念与定义（跨章节整合） 2. 性质辨析与易错点（综合多类函数） 3. 题型分类与例题精析（细分题型+综合考法） 4. 举一反三强化训练（每题对应一类综合考向） 5. 分层测试卷（基础/中等/拔高三层） 二、核心概念与定义 1.1 基础概念（跨章节整合） 1. 【概念1】反函数的核心性质 · 定义表述：若函数存在反函数，且，则必有；反之，若，则 · 数学符号/表达式：（在定义域内，在值域内） · 关键特征：原函数的输入值是反函数的输出值，原函数的输出值是反函数的输入值 · 跨章节关联：适用于所有存在反函数的函数类型，是反函数求值的核心依据 2. 【概念2】指对函数反函数的性质延伸 · 定义表述：指数函数（）与对数函数（）互为反函数，满足 · 数学符号/表达式：设，则，且 · 关键特征：可将指数方程与对数方程的求解相互转化，简化计算 · 跨章节关联：是指数运算与对数运算互逆性的直接体现，常用于方程与不等式的求解 1.2 性质辨析与易错点（综合辨析） 性质/结论 正确表述 常见易错点 跨函数辨析举例 反函数求值的等价性 若，则，需满足在定义域、在值域 忽略定义域与值域限制，盲目套用 已知（）且，错误认为，实际不在值域内 复合函数的反函数性质 （在定义域）；（在定义域） 混淆复合函数的定义域，错误化简 已知，错误计算，实际不在定义域 指对函数反函数的特殊性质 （）；（） 忽略对数真数大于0的条件，随意代入负数计算 错误计算（此式正确），但错误计算中真数为负（实际为正） 三、题型分类与例题精析 题型1： 直接利用求值 题型特征：已知函数的解析式和，直接利用反函数核心性质求，无需求反函数解析式 解题步骤： 1. 确认函数存在反函数（单调函数或一一对应） 2. 从已知条件中提取的对应关系 3. 直接根据性质得出 例题1 已知函数，且，求的值 解析： 1. 函数在上单调递增，存在反函数； 2. 已知，满足反函数性质的条件； 3. 根据，可得 答案： 举一反三1-1 已知函数，且，求的值 解析： 在上单调递增，存在反函数；由，根据反函数性质得 答案： 举一反三1-2 已知函数，且，求的值 解析： 在上单调递增，存在反函数；已知，直接得 答案： 举一反三1-3 已知函数，且，求的值 解析： 在上单调递增，存在反函数；由，得 答案： 题型2： 结合指对函数互逆性质求值 题型特征：已知指数函数或对数函数的等式，利用的互逆关系求值 解题步骤： 1. 识别等式中的指数或对数形式，确定底数 2. 将等式转化为的形式，其中为指数或对数函数 3. 利用反函数性质得出结果 例题2 已知，求的值 解析： 1. 设，则，的反函数为； 2. 根据反函数性质； 3. 可得 答案： 举一反三2-1 已知，求的值 解析： 设，则，其反函数为；由性质得 答案： 举一反三2-2 已知，求的值 解析： 设，，反函数为；由性质得 答案： 举一反三2-3 已知，求的值 解析： 设，，反函数为；由性质得 答案： 题型3： 含参数的反函数性质求值 题型特征：已知的关系式含参数，需先求解参数，再利用反函数性质求值 解题步骤： 1. 根据的已知条件列方程，求解参数值 2. 确认函数存在反函数 3. 利用反函数性质计算最终结果 例题3 已知函数（），且，求的值 解析： 1. 由得，结合解得，故； 2. 先求中，即，解得； 3. 根据反函数性质， 答案： 举一反三3-1 已知函数（），且，求的值 解析： 由得，即，（），；求，即，，故 答案： 举一反三3-2 已知函数，且，求的值 解析： 由得，，，；求，即，，，故 答案： 举一反三3-3 已知函数，且，求的值 解析： 由得，，，；求，即，，，故 答案： 四、分层测试卷 （一）基础达标卷（5题） 1. 单选题 已知函数，且，则的值为（） A. B. C. D. 解析： 单调递增，存在反函数；由，根据反函数性质得 答案：B 2. 多选题 下列利用反函数性质求值的计算正确的有（） A. 已知，，则 B. 已知，，则 C. 已知，则 D. 已知，则 解析： 选项A、B、C、D均严格遵循的反函数性质，计算全部正确 答案：ABCD 3. 填空题 已知函数，且，则的值为______ 解析： 单调递减，存在反函数；由，得 答案： 4. 解答题 (1) 已知函数，且，求的值 解析： 在上单调递增，存在反函数；已知，根据反函数性质得 答案： (2) 已知，利用反函数性质求的值 解析： 设，，其反函数为；由性质得 答案： （二）能力提升卷（5题） 1. 单选题 已知函数（），且，则的值为（） A. B. C. D. 解析： 由得，，，；；求，即，，（原选项无正确答案，此处修正计算） 答案： 2. 多选题 已知函数，下列说法正确的有（） A. 在上单调递增，存在反函数 B. 若，则 C. 的定义域是 D. 解析： A：单调递增，故单调递增，存在反函数，正确；B：，符合反函数性质，正确；C：值域为，故定义域为，正确；D：，故，正确 答案：ABCD 3. 填空题 已知函数（），，，则的值为______ 解析： 由得，，；由得，；；求，即，，，故 答案： 4. 解答题 (1) 已知函数，且，求的值 解析： 已知，先求，即，，；根据反函数性质得 答案： (2) 已知函数，且，求的值 解析： 求，即，，，故 答案： （三）拔尖拓展卷（5题） 1. 单选题 已知函数，若，则的值为（） A. B. C. D. 解析： 已知，根据反函数性质；求解：，，，故 答案：D 2. 多选题 已知函数的反函数为，且过点，，则下列说法正确的有（） A. B. C. D. 解析： 过即，故，A正确；过即，故，B正确；，C正确；，D正确 答案：ABCD 3. 填空题 已知函数，则的值为______ 解析： 化简，求，即，，，故 答案： 4. 解答题 (1) 已知函数（），且，，求的值 解析： 求，即，，，，故 答案： (2) 已知函数是奇函数，且存在反函数，若，求的值 解析： 是奇函数，故；根据反函数性质，由得 答案： ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学函数类特色专项训练 专题57.利用反函数性质求值（已知求）【中档】（全国通用）（原卷版） 一、知识目录 1. 核心概念与定义（跨章节整合） 2. 性质辨析与易错点（综合多类函数） 3. 题型分类与例题精析（细分题型+综合考法） 4. 举一反三强化训练（每题对应一类综合考向） 5. 分层测试卷（基础/中等/拔高三层） 二、核心概念与定义 1.1 基础概念（跨章节整合） 1. 【概念1】反函数的核心性质 · 定义表述：若函数存在反函数，且，则必有；反之，若，则 · 数学符号/表达式：（在定义域内，在值域内） · 关键特征：原函数的输入值是反函数的输出值，原函数的输出值是反函数的输入值 · 跨章节关联：适用于所有存在反函数的函数类型，是反函数求值的核心依据 2. 【概念2】指对函数反函数的性质延伸 · 定义表述：指数函数（）与对数函数（）互为反函数，满足 · 数学符号/表达式：设，则，且 · 关键特征：可将指数方程与对数方程的求解相互转化，简化计算 · 跨章节关联：是指数运算与对数运算互逆性的直接体现，常用于方程与不等式的求解 1.2 性质辨析与易错点（综合辨析） 性质/结论 正确表述 常见易错点 跨函数辨析举例 反函数求值的等价性 若，则，需满足在定义域、在值域 忽略定义域与值域限制，盲目套用 已知（）且，错误认为，实际不在值域内 复合函数的反函数性质 （在定义域）；（在定义域） 混淆复合函数的定义域，错误化简 已知，错误计算，实际不在定义域 指对函数反函数的特殊性质 （）；（） 忽略对数真数大于0的条件，随意代入负数计算 错误计算（此式正确），但错误计算中真数为负（实际为正） 三、题型分类与例题精析 题型1： 直接利用求值 题型特征：已知函数的解析式和，直接利用反函数核心性质求，无需求反函数解析式 解题步骤： 1. 确认函数存在反函数（单调函数或一一对应） 2. 从已知条件中提取的对应关系 3. 直接根据性质得出 例题1 已知函数，且，求的值 举一反三1-1 已知函数，且，求的值 举一反三1-2 已知函数，且，求的值 举一反三1-3 已知函数，且，求的值 题型2： 结合指对函数互逆性质求值 题型特征：已知指数函数或对数函数的等式，利用的互逆关系求值 解题步骤： 1. 识别等式中的指数或对数形式，确定底数 2. 将等式转化为的形式，其中为指数或对数函数 3. 利用反函数性质得出结果 例题2 已知，求的值 举一反三2-1 已知，求的值 举一反三2-2 已知，求的值 举一反三2-3 已知，求的值 题型3： 含参数的反函数性质求值 题型特征：已知的关系式含参数，需先求解参数，再利用反函数性质求值 解题步骤： 1. 根据的已知条件列方程，求解参数值 2. 确认函数存在反函数 3. 利用反函数性质计算最终结果 例题3 已知函数（），且，求的值 举一反三3-1 已知函数（），且，求的值 举一反三3-2 已知函数，且，求的值 举一反三3-3 已知函数，且，求的值 四、分层测试卷 （一）基础达标卷（5题） 1. 单选题 已知函数，且，则的值为（） A. B. C. D. 2. 多选题 下列利用反函数性质求值的计算正确的有（） A. 已知，，则 B. 已知，，则 C. 已知，则 D. 已知，则 3. 填空题 已知函数，且，则的值为______ 4. 解答题 (1) 已知函数，且，求的值 (2) 已知，利用反函数性质求的值 （二）能力提升卷（5题） 1. 单选题 已知函数（），且，则的值为（） A. B. C. D. 2. 多选题 已知函数，下列说法正确的有（） A. 在上单调递增，存在反函数 B. 若，则 C. 的定义域是 D. 3. 填空题 已知函数（），，，则的值为______ 4. 解答题 (1) 已知函数，且，求的值 (2) 已知函数，且，求的值 （三）拔尖拓展卷（5题） 1. 单选题 已知函数，若，则的值为（） A. B. C. D. 2. 多选题 已知函数的反函数为，且过点，，则下列说法正确的有（） A. B. C. D. 3. 填空题 已知函数，则的值为______ 4. 解答题 (1) 已知函数（），且，，求的值 (2) 已知函数是奇函数，且存在反函数，若，求的值 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $