第3章 习题课 反比例函数、对勾函数（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（人教A版）

本讲义聚焦高中数学反比例函数与对勾函数的图象和性质，从反比例函数定义、定义域、值域、单调性及奇偶性切入，延伸至对勾函数f(x)=x+a/x（a≠0）的性质探究与综合运用，构建从基础到综合的学习支架。 该资料通过问题引导深化概念理解，用定义法证明单调性培养数学思维，结合图象分析发展几何直观，综合应用题强化模型意识。如例3分类讨论对勾函数最值，跟踪训练结合定义域求值域，课中辅助教师教学，课后帮助学生查漏补缺。

习题课　反比例函数、对勾函数 学习目标　1.掌握反比例函数和对勾函数的图象和性质.(重难点)2.会利用对勾函数解决一些综合问题.(难点) 一、反比例函数的图象和性质 问题1　反比例函数的定义是什么？ 提示　形如y=的函数叫做反比例函数，其中x为自变量且x≠0，k为非零常数. 问题2　反比例函数的图象会过坐标原点吗？ 提示　不会，因为x≠0. 例1　画出反比例函数y=(k为非零常数)的图象. (1)求函数的定义域和值域； (2)判断函数的单调性和奇偶性. 解　 (1)函数的定义域为{x|x≠0}，函数的值域为{y|y≠0}. (2)令y=f(x)，当k>0时，f(x)的单调递减区间为(-∞，0)和(0，+∞)，没有单调递增区间，证明如下： 当x>0时，∀x1，x2∈(0，+∞)且x1<x2， f(x1)-f(x2)= ∵k>0，x1>0，x2>0，x1<x2，∴x2-x1>0， ∴f(x1)-f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)， ∴f(x)在(0，+∞)上单调递减； 同理可证当x<0时，f(x)在(-∞，0)上单调递减. 当k<0时，f(x)的单调递增区间为(-∞，0)和(0，+∞)，没有单调递减区间(证明略). 易知，函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，定义域关于原点对称， 又f(-x)==-=-f(x)， 故函数f(x)为奇函数. 反思感悟　研究反比例函数的几个方面 (1)函数的定义域和值域可以由图象直接得到. (2)由图象或者单调性的定义可知反比例函数的单调性与k有关，在书写单调区间时，需要注意两个单调递增(减)区间的连接方法. (3)由图象或者奇偶性的定义可知反比例函数为奇函数，其图象关于原点中心对称. 跟踪训练1　作出y=(-2≤x<1且x≠0)的图象，并指出其值域和单调区间. 解　由题意知函数y=(-2≤x<1且x≠0)的图象为反比例函数图象的一部分， 当x=-2时，y==-1；当x=1时，y==2； 所以该函数图象如图. 由图象可知，函数y=(-2≤x<1且x≠0)的值域为(-∞，-1]∪(2，+∞). 单调递减区间为[-2，0)和(0，1)，没有单调递增区间. 二、对勾函数的图象和性质 1.借助计算机软件，绘制出f(x)=x+的图象如图所示： 该函数图象介于y=x和y轴之间，且图象无限接近y=x和y轴，函数图象像两个对号一样，故称此类函数为“对勾函数”. 2.f(x)=x+的性质： (1)定义域：{x|x≠0}； (2)值域：(-∞，-2]∪[2，+∞)； (3)奇偶性：奇函数； (4)单调性：在(-∞，-1)，(1，+∞)上单调递增，在(-1，0)，(0，1)上单调递减. (5)最大值、最小值：函数无最大、最小值，但是当x>0时，函数有最小值2，当x<0时，函数有最大值-2. (6)对称性：图象关于(0，0)成中心对称. 例2　探究函数f(x)=x+(a>0)的性质，并画出它的简图(单调性需证明，其余性质列出即可). 解　(1)定义域：{x|x≠0}； (2)值域：(-∞，-2]∪[2+∞)； (3)奇偶性：奇函数； (4)单调性：函数f(x)=x+(a>0)在(-∞，-)和(+∞)上单调递增，在[-0)和(0]上单调递减，证明如下： 任取x1，x2∈(0]，且x1<x2， 则f(x1)-f(x2)=x1+-x2-=(x1-x2)·. 因为0<x1<x2≤ 所以x1-x2<0，0<x1x2<a， 所以>1，所以1-<0， 所以f(x1)-f(x2)>0， 即f(x1)>f(x2). 所以f(x)在(0]上单调递减. 任取x1，x2∈(+∞)，且x1<x2， 则f(x1)-f(x2)=(x1-x2). 因为x1-x2<0，x1x2>a， 所以<1，所以1->0， 所以f(x1)-f(x2)<0， 所以f(x1)<f(x2). 所以f(x)在(+∞)上单调递增. 同理，f(x)在(-∞，-)上单调递增，在(-0)上单调递减. 其图象如图所示. 延伸探究1　当a<0时，探究该函数的性质，并画出函数的简图(单调性需证明，其余性质列出即可). 解　(1)定义域：{x|x≠0}； (2)值域：R； (3)奇偶性：奇函数； (4)函数f(x)在区间(-∞，0)，(0，+∞)上单调递增，证明如下： 任取x1，x2∈(0，+∞)，且x1<x2， 则f(x1)-f(x2)=x1+ =(x1-x2) 因为0<x1<x2， 所以x1-x2<0， 又a<0，所以1->0， 所以f(x1)-f(x2)<0， 即f(x1)<f(x2)， 所以函数f(x)在区间(0，+∞)上单调递增； 同理可证，函数f(x)在区间(-∞，0)上单调递增. 其简图如图所示. 反思感悟　(1)函数f(x)=x+(a≠0)的单调性 ①当a>0时，在(-∞，-)和(+∞)上单调递增，在[-0)和(0]上单调递减； ②当a<0时，在区间(-∞，0)和(0，+∞)上单调递增. (2)形如y=ax+(a，b>0)的函数，都被称为“对勾函数”. 跟踪训练2　函数f(x)=x+. (1)x∈[1，3]，f(x)的最小值是　　　　；  (2)x∈f(x)的值域为　　　　；  (3)x∈∪(0，3]，f(x)的值域为　　　　　　　　　　　. 答案　(1)2　(2)　(3)∪[2，+∞) 解析　(1)∵f(x)在[1，3]上单调递增， ∴f(x)的最小值为f(1)=2. (2)∵f(x)在上单调递减，在[1，3]上单调递增， ∴最小值为f(1)=2， ∵f =f(3)，∴最大值为f(3)， ∴f(x)在上的值域为. (3)∵x∈∪(0，3]，且f(x)在上单调递减， ∴f(x)在上的值域是 又f(x)在(0，3]上先单调递减，然后单调递增，在x=1处取得最小值f(1)=2， ∴f(x)在(0，3]上的值域是[2，+∞)， ∴f(x)在∪(0，3]上的值域为∪[2，+∞). 三、对勾函数的综合运用 例3　已知函数f(x)=. (1)当a=4时，求函数f(x)在(0，+∞)上的最小值； (2)当a>0时，求函数f(x)在[2，+∞)上的最小值. 解　(1)当a=4时，f(x)==x+-2， 当x∈(0，+∞)时，f(x)=x+-2 ≥2-2=2， 当且仅当x=即x=2时等号成立， ∴f(x)的最小值为2. (2)f(x)=x+-2，设0<x1<x2< f(x1)-f(x2)=x1-x2+ =(x1-x2) = ∵0<x1<x2< ∴x1x2<a， ∴f(x1)-f(x2)>0， 即f(x1)>f(x2)， ∴f(x)在(0)上单调递减，同理可证f(x)在(+∞)上单调递增， 当0<a≤4时，0<≤2，函数f(x)在[2，+∞)上单调递增， f(x)min=f(2)=； 当a>4时>2，函数f(x)在[2)上单调递减， 在(+∞)上单调递增， f(x)min=f()=2-2. 设f(x)的最小值为g(a)， ∴g(a)= 延伸探究2　当a>0时，求函数f(x)在(0，2]上的最小值. 解　由例3(2)知，f(x)在(0)上单调递减，在(+∞)上单调递增. 当0<a<4时，0<<2，函数f(x)在(0)上单调递减，在(2]上单调递增， ∴f(x)min=f()=2-2， 当a≥4时≥2，函数f(x)在(0，2]上单调递减， ∴f(x)min=f(2)= 设f(x)的最小值为h(a)， 则h(a)= 反思感悟　求对勾函数的最值问题，可以利用函数的单调性及其图象研究，也可以利用基本不等式. 1.知识清单： (1)反比例函数的图象和性质. (2)对勾函数的图象和性质. 2.方法归纳：分类讨论、数形结合. 3.常见误区：研究函数的性质一定先确定函数的定义域. 1.函数y=当x>0时，y随x的增大而增大，那么m的取值范围是(　　) A.m<3 B.m>3 C.m<-3 D.m>-3 答案　A 解析　在反比例函数y=中，若k>0，在x>0时，y随x的增大而减小，若k<0，在x>0时，y随x的增大而增大，所以由题意得m-3<0，m<3. 2.(多选)已知函数y=下列结论中正确的是(　　) A.其图象经过点(3，1) B.其图象分别位于第一、三象限 C.当x>0时，y随x的增大而减小 D.当x>1时，y>3 答案　ABC 解析　反比例函数y=当x=3时，y=1，故A正确； 因为y=分子大于0，所以图象在第一、三象限，故B正确； 反比例函数在第一、三象限上都单调递减，故C正确； 因为在(0，+∞) 上，y=单调递减，所以当x>1时，0<y<3，故D错误. 3.已知函数f(x)=则f(x)在(1，3]上的值域是(　　) A.[4，5) B.(4，5) C. D. 答案　A 解析　∵f(x)==x+ ∴f(x)在(1，2)上单调递减，在[2，3]上单调递增， ∴f(2)=4是f(x)在(1，3]上的最小值， 又f(1)=5，f(3)= ∴f(x)在(1，3]上的值域为[4，5). 4.函数f(x)=x-的单调递增区间为　　　　. 答案　(-∞，0)和(0，+∞) 解析　画出函数图象如图，可知函数f(x)的单调递增区间为(-∞，0)和(0，+∞). 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共12分 1.已知集合A=B=C=则下列结论正确的是(　　) A.A=B B.A=C C.B=C D.A=B=C 答案　A 解析　∵函数y=的定义域为A=={x|x≠0}，值域为B=={y|y≠0}，且集合A，B都是数集，C是点集，∴A=B. 2.某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p(千帕)是气球体积V(立方米)的反比例函数，其图象如图所示，则这个函数的解析式为(　　) A.p=96V B.p=- C.p= D.p= 答案　D 解析　因为气球内气体的气压是气球体积的反比例函数，所以可设p=由图象可知，点(1.5，64)在函数图象上，所以64=解得k=96， 故p=. 3.函数f(x)=x+的单调递减区间为(　　) A.(-3，0)∪(0，3) B.(-3，3) C.(-3，0)和(0，3) D.(-∞，-3)和(3，+∞) 答案　C 解析　由f(x)=x+的图象知C正确. 4.函数f(x)=bx++1(a>0，b>0)，若f(4)=则f(-4)的值为(　　) A.- B.- C.- D. 答案　C 解析　令g(x)=bx+(a>0，b>0)，则g(x)为奇函数，所以g(4)+g(-4)=0. 又f(4)=g(4)+1， ① f(-4)=g(-4)+1， ② ①+②得f(4)+f(-4)=2， 因为f(4)= 所以f(-4)=-. 5.函数f(x)=2x+在区间[1，3]上的最小值是(　　) A.6 B.4 C.4 D. 答案　B 解析　由对勾函数的图象的特点可知，当x=时函数有最小值，最小值为4. 6.(多选)下列函数中，满足对任意x1，x2∈(1，+∞)，有<0的是(　　) A.f(x)=x+ B.f(x)= C.f(x)=1+ D.f(x)=-x- 答案　CD 解析　对任意x1，x2∈(1，+∞)， 有<0， 则函数在区间(1，+∞)上单调递减. 对于A，f(x)=x+由对勾函数的图象与性质可知，函数在区间(1，+∞)上单调递增，故A不满足题意； 对于B，f(x)=根据复合函数的单调性知，函数在区间(1，+∞)上单调递增，故B不满足题意； 对于C，f(x)=1+函数在区间(1，+∞)上单调递减，故C满足题意； 对于D，f(x)=-x- ，显然函数在区间(1，+∞)上单调递减，故D满足题意. 7.一批救灾物资随26辆汽车从某市以v km/h的速度送往灾区，已知运送的路线长400 km，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于 km，那么这批物资全部到达灾区最少需要(　　) A.5 h B.10 h C.15 h D.20 h 答案　B 解析　由已知得这批物资全部到达灾区的路程是第一辆车出发，到最后一辆车到灾区，总路程最小为400+25=400+ 设这批物资全部到达灾区的时间为t h， 则t=≥2=10. 当且仅当即v=80时，等号成立. ∴这批物资全部到达灾区最少需要10 h. 8.(5分)函数y=x+-2(0<x<1)的值域为　　　　　. 答案　(3，+∞) 解析　因为对勾函数y=x+在(0，1)上单调递减，且没有最大值， 所以y=x+>1+=5， 所以y=x+-2>5-2=3， 则值域为(3，+∞). 9.(5分)设函数f(x)=x+x∈若∃x∈使得a2-a≥f(x)成立，则实数a的取值范围是　　　　　　　　. 答案　(-∞，-1]∪[2，+∞) 解析　因为函数f(x)=x+x∈ 而函数f(x)在上单调递减，在[1，3]上单调递增， 所以f(x)min=f(1)=1+1=2， 即函数的最小值为2， 又∃x∈使得a2-a≥f(x)成立， 则a2-a≥f(x)min， 即a2-a≥2，解得a≥2或a≤-1， 即实数a的取值范围是(-∞，-1]∪[2，+∞). 10.(10分)作出函数y=的图象，并写出函数的单调区间和值域. 解　y==1+图象如图所示. 函数在(-∞，2)和(2，+∞)上单调递减. 因为≠0， 所以1+≠1. 故单调递减区间为(-∞，2)和(2，+∞)，无单调递增区间.值域为(-∞，1)∪(1，+∞). 11.(多选)已知函数f(x)=则(　　) A.f(x)的值域是{y|y≠4} B.f(x)的定义域为R C.f(2 026)+f(-2 022)=8 D.f(2 023)+f(-2 019)=8 答案　ACD 解析　由f(x)==4+ 则定义域为{x|x≠2}，值域为{y|y≠4}， 所以点(2，4)是f(x)的对称中心， 则f(2 026)+f(-2 022)=f(2 023)+f(-2 019)=8， 综上，A，C，D正确，B错误. 12.(5分)已知对勾函数y=x+(a>0)在(-∞，-a)和(a，+∞)上单调递增，在(-a，0)和(0，a)上单调递减.若对勾函数f(x)=x+(t>0)在正整数集N*上单调递增，则实数t的取值范围为　　　　. 答案　(0，2) 解析　根据题意得f(x)在(+∞)上单调递增，要使f(x)在正整数集N*上单调递增，则解得0<t<2， ∴实数t的取值范围为(0，2). 13.(5分)函数y=(0<x<1)的值域为　　　　. 答案　(1，2) 解析　令t=x2+1，则x2=t-1， ∵x∈(0，1)∴t∈(1，2)， ∴y==t+-3， 当t∈(1，2)时，y=t+-3单调递减， ∴y∈(1，2)，即函数的值域为(1，2). 14.(11分)一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费y1(单位：万元)与仓库到车站的距离x(单位：km)成反比，每月库存货物费y2(单位：万元)与(4x+1)成正比；若在距离车站10 km处建仓库，则y1与y2分别为2万元和8.2万元.记两项费用之和为w. (1)求w关于x的解析式；(7分) (2)这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小？求出最小值.(4分) 解　(1)∵每月土地占地费y1(单位：万元)与仓库到车站的距离x(单位：km)成反比， ∴可设y1= ∵每月库存货物费y2(单位：万元)与(4x+1)成正比， ∴可设y2=(4x+1)k2， 又∵在距离车站10 km处建仓库，则y1与y2分别为2万元和8.2万元， ∴k1=2×10=20，k2==0.2， ∴y1=y2=(4x+1)×0.2=0.8x+0.2， ∴w=y1+y2=+0.8x+0.2(x>0). (2)∵w=+0.8x+0.2 ≥2+0.2=8.2， 当且仅当=0.8x，即x=5时等号成立， ∴这家公司应该把仓库建在距离车站5 km处，才能使两项费用之和最小，最小值为8.2万元. 15.(5分)已知函数f(x)=若存在0<x1<x2<x3<x4，使得f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4)，则x1x2x3x4的取值范围是　　　　. 答案　(96，100) 解析　因为f(x)= 可得函数图象如图所示. 由图可知，当y∈(4，5)时，存在0<x1<x2<x3<x4，使得f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4)， 不妨令此时y=a，则对于x1，x2满足方程x+=a，即x2-ax+4=0，所以x1x2=4；对于x3，x4满足方程-x2+10x-20=a，即-x2+10x-20-a=0，所以x3+x4=10，则有x4=10-x3， 所以x1x2x3x4=4x3x4=4x3(10-x3)=-4(x3-5)2+100， 其中x3∈(4，5)，则-4(x3-5)2+100∈(96，100)， 即x1x2x3x4∈(96，100). 16.(12分)已知函数y=x+有如下性质：如果常数t>0，那么该函数在(0]上单调递减，在[+∞)上单调递增. (1)已知f(x)=2x+-7，x∈[0，1]，利用上述性质，求函数f(x)的单调区间和值域；(6分) (2)利用上述函数性质，当方程t2-(8+a)t+4=0在[2，3]上有解时，求实数a的取值范围.(6分) 解　(1)设t=2x+1，则f(x)=u(t)=t+-8， 因为x∈[0，1]，则t=2x+1∈[1，3]. 由已知性质可知u(t)在[1，2]上单调递减，在[2，3]上单调递增. 所以f(x)的单调递减区间为单调递增区间为. 当2x+1=2，即x=时，f(x)min=f =-4， 又f(0)=-3，f(1)=- 所以f(x)max=-3， 所以值域为[-4，-3]. (2)由题意得at=t2-8t+4， 因为t≥2， 所以a=t-8+=t+-8=u(t)， 由(1)知u(t)=t+-8在[2，3]上单调递增， 所以u(t)min=u(2)=-4， u(t)max=u(3)=- 所以实数a的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $