第3章 培优课 函数性质的综合问题（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（人教A版）

本讲义聚焦高中数学函数性质综合问题，核心涵盖函数图象对称性（对称轴与对称中心条件）及奇偶性、单调性的综合应用。通过问题引入、表格梳理对称条件，结合例题与跟踪训练，搭建从基础到综合的学习支架。 该资料以问题驱动引导学生观察函数对称性培养抽象能力（数学眼光），通过性质推导与定义法证明单调性发展推理意识（数学思维），用规范步骤与表格呈现提升数学表达（数学语言）。例2综合奇偶性求解析式、证单调性、解不等式，课中助教师高效授课，课后练习题帮助学生巩固查漏。

培优课　函数性质的综合问题 学习目标　1.理解和掌握对称轴和对称中心满足的条件.(重难点)2.掌握函数性质的综合应用问题.(重点) 一、函数图象的对称性 问题1　当函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称时，会满足怎样的条件呢？ 提示　如图所示，在x=a两边取对称的两个自变量的值，如a-x，a+x，由对称性知它们的函数值相等，即f(a-x)=f(a+x)；反之，若对定义域内任意x都有f(a-x)=f(a+x)，则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称. 问题2　当函数y=f(x)的图象关于点(a，0)对称时，又会满足怎样的条件呢？ 提示　如图所示，在x=a两边取对称的两个自变量的值，如a-x，a+x，由对称性知它们的函数值互为相反数，即f(a-x)=-f(a+x)；反之，若对定义域内任意x都有f(a-x)=-f(a+x)，则函数y=f(x)的图象关于点(a，0)对称. 知识梳理 1.函数图象关于直线对称 y=f(x)在定义域内恒满足的条件 y=f(x)的图象的对称轴 f(a+x)=f(a-x) 直线x=a f(x)=f(a-x) 直线x= f(a+x)=f(b-x) 直线x= 2.函数图象关于点对称 y=f(x)在定义域内恒满足的条件 y=f(x)的图象的对称中心 f(a-x)=-f(a+x) (a，0) f(x)=-f(a-x) f(a+x)=-f(b-x) f(a+x)+f(b-x)=c 注意点： (1)若函数f(x+a)是偶函数，则函数f(x)的图象关于直线x=a对称. (2)若函数f(x+a)是奇函数，则函数f(x)的图象关于点(a，0)对称. 例1　已知定义在R上的偶函数y=f(x)，其图象关于点对称，且当x∈[0，1]时，f(x)=-x+则f 等于(　　) A.-1 B.0 C.1 D. 答案　B 解析　∵y=f(x)的图象关于点对称， ∴f +f =0， 即f(1+x)+f(-x)=0. 又∵y=f(x)为偶函数， ∴f(-x)=f(x)， ∴f(1+x)+f(x)=0， 即f(1+x)=-f(x)， ∴f =-f =0. 反思感悟　解决对称性、单调性和奇偶性综合问题的方法 (1)图象法，根据题意，作出符合要求的草图，便可得出结论. (2)性质法，根据对称性、单调性和奇偶性的性质，逐步推导解决求值和比较大小的问题. 注意：使用性质要规范，切不可自创性质！ 跟踪训练　若函数f(x)在(0，2)上单调递增，函数f(x+2)是偶函数，则下列结论正确的是(　　) A.f(1)<f <f  B.f<f(1)<f  C.f <f <f(1) D.f <f(1)<f 答案　B 解析　∵f(x+2)是偶函数， ∴f(2-x)=f(2+x). 故f(x)的图象关于直线x=2对称， ∴f =f =f 又f(x)在(0，2)上单调递增<1< ∴f <f(1)<f  即f <f(1)<f . 二、函数性质的综合应用 例2　已知函数f(x)=是定义在(-1，1)上的奇函数，且f . (1)确定函数f(x)的解析式； (2)用定义法证明f(x)在(-1，1)上是增函数； (3)解不等式：f(t-1)+f(t)<0. (1)解　根据题意得 即 解得经检验，当a=1，b=0时，符合题意， ∴f(x)=x∈(-1，1). (2)证明　任取x1，x2∈(-1，1)，且x1<x2， 则f(x1)-f(x2)= = ∵-1<x1<x2<1， ∴x1-x2<0，1+>0，1+>0，1-x1x2>0， ∴f(x1)-f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)， ∴f(x)在(-1，1)上是增函数. (3)解　由题意得，f(t-1)<-f(t)=f(-t). ∵f(x)在(-1，1)上是增函数， ∴解得0<t<. ∴不等式的解集为. 延伸探究　本例改为f(x)=是定义在(-1，1)上的偶函数，且f . (1)确定f(x)的解析式； (2)用定义法证明f(x)在[0，1)上单调递减； (3)解不等式：f(t-1)<f(t). (1)解　由题意得 即 解得 经检验，当a=0，b=时，符合题意， ∴f(x)=x∈(-1，1). (2)证明　任取x1，x2∈[0，1)，且x1<x2， 则f(x1)-f(x2)= = ∵x1，x2∈[0，1)，且x1<x2， ∴x1+x2>0，x2-x1>0，1+>0，1+>0， ∴f(x1)-f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)， ∴f(x)在[0，1)上单调递减. (3)解　由(2)知f(x)在[0，1)上单调递减， ∴f(x)在(-1，0]上单调递增， ∵f(t-1)<f(t)， ∴解得0<t< ∴原不等式的解集为. 反思感悟　奇偶性、单调性的综合应用 利用函数的奇偶性将函数式转化，利用单调性解决常见不等式问题，在综合性题目中，要熟练掌握奇偶性、单调性的性质及变形，适当应用解题技巧，化简求值，解题时，一定要特别注意函数的定义域. 1.知识清单： (1)函数图象的对称轴和对称中心. (2)函数性质的综合应用. 2.方法归纳：数形结合、等价转化. 3.常见误区：容易忽视奇函数中的隐含条件f(0)=0. 1.已知偶函数f(x)在区间[0，+∞)上单调递增，则满足f(2x-1)<f(1)的x的取值范围是(　　) A.(-1，1) B.(-1，0) C.(0，1) D.(-1，1] 答案　C 解析　因为偶函数f(x)在区间[0，+∞)上单调递增， 所以f(2x-1)<f(1)等价于f(|2x-1|)<f(1)， 即|2x-1|<1，解得0<x<1. 2.设f(x)是R上的偶函数，且在(0，+∞)上单调递减，若x1<0且x1+x2>0，则(　　) A.f(-x1)>f(-x2) B.f(-x1)=f(-x2) C.f(-x1)<f(-x2) D.f(-x1)与f(-x2)的大小关系不确定 答案　A 解析　∵x1+x2>0，∴x2>-x1， ∵x1<0，∴-x1>0，∴0<-x1<x2， ∵f(x)在(0，+∞)上单调递减， ∴f(-x1)>f(x2)，∵f(x)是R上的偶函数， ∴f(-x2)=f(x2)，即f(-x1)>f(-x2). 3.已知定义在R上的奇函数f(x)，且当x∈[0，+∞)时，f(x)单调递增，则不等式f(2x+1)+f(1)≥0的解集是(　　) A.(-∞，1) B.(-1，+∞) C.[-1，+∞) D.(-∞，1] 答案　C 解析　因为函数f(x)是奇函数，所以不等式f(2x+1)+f(1)≥0等价于f(2x+1)≥f(-1). 又当x≥0时，函数f(x)单调递增， 所以函数f(x)在R上为增函数， 所以f(2x+1)≥f(-1)等价于2x+1≥-1， 解得x≥-1. 4.设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(2+x)=f(-x).若f(-3)=3，则f(-1)=　　　　. 答案　-3 解析　因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(-3)=-f(3)=3， 所以f(3)=-3， 因为f(2+x)=f(-x)， 所以f(x)的图象关于直线x=1对称. 所以f(-1)=f(3)=-3. 课时对点练 [分值：90分] 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.已知函数f(x)是R上的偶函数，且在(0，+∞)上单调递增，则(　　) A.f(-1)=-f(1) B.f(-2)<f(1) C.f(-1)<f(2) D.f(1)>f(2) 答案　C 解析　由题意知f(-x)=f(x)， 又函数f(x)在(0，+∞)上单调递增， 所以f(-2)=f(2)>f(1)=f(-1). 2.已知f(x)=(m-1)x2+2mx+3为偶函数，则f(x)在区间(2，5)上(　　) A.单调递增 B.单调递减 C.有增有减 D.增减性不确定 答案　B 解析　由f(x)是偶函数，即f(-x)=f(x)，得m=0，所以f(x)=-x2+3，由函数f(x)=-x2+3的图象(图略)知，f(x)在区间(2，5)上单调递减. 3.设f(x)为奇函数，且在(-∞，0)上单调递减，f(-2)=0，则xf(x)<0的解集为(　　) A.(-1，0)∪(2，+∞) B.(-∞，-2)∪(0，2) C.(-∞，-2)∪(2，+∞) D.(-2，0)∪(0，2) 答案　C 解析　因为f(x)为奇函数，且在(-∞，0)上单调递减，f(-2)=0， 所以f(-2)=-f(2)=0，且f(x)在(0，+∞)上单调递减. 由xf(x)<0，得 根据f(x)在(-∞，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递减， 得不等式的解集为(-∞，-2)∪(2，+∞). 4.已知函数f(x)在区间(0，2)上单调递减，且函数y=f(x+2)是偶函数，那么f(x)(　　) A.在区间(2，4)上单调递减 B.在区间(2，4)上单调递增 C.在区间(-2，0)上单调递减 D.在区间(-2，0)上单调递增 答案　B 解析　∵函数y=f(x+2)是偶函数， ∴函数y=f(x+2)的图象关于y轴对称， 即函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称， ∵函数f(x)在(0，2)上单调递减， ∴函数f(x)在(2，4)上单调递增. 5.已知f(x)是定义在(2a-6，a)上的奇函数，且f(x)在[0，a)上单调递减，则不等式f(3x-1)≥f(1-4x)的解集为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　因为f(x)是定义在(2a-6，a)上的奇函数， 所以2a-6+a=0，解得a=2， 所以f(x)的定义域为(-2，2). 又f(x)在[0，2)上单调递减，从而f(x)在(-2，2)上单调递减， 所以由f(3x-1)≥f(1-4x)， 可得解得-<x≤ 即不等式的解集为. 6.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意两个正数x1，x2(x1<x2)，都有x2f(x1)>x1f(x2)，记a= f(2)，b=f(1)，c=-f(-3)，则a，b，c之间的大小关系为(　　) A.a>b>c B.b>a>c C.c>b>a D.a>c>b 答案　B 解析　因为对任意两个正数x1，x2(x1<x2)，都有x2f(x1)>x1f(x2)， 所以令g(x)= 则函数g(x)=在(0，+∞)上单调递减. 由f(x)是定义在R上的奇函数可得c=- f(-3)= f(3)=g(3)， 又a= f(2)=g(2)，b=f(1)=g(1)， 所以g(1)>g(2)>g(3)，即b>a>c. 二、多项选择题(每小题6分，共18分) 7.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f(x)=x-x2，则下列说法正确的是(　　) A.f(-1)=0 B.f(x)的最大值为 C.f(x)在区间(-1，0)上单调递增 D.f(x)>0的解集为(-1，1) 答案　AB 解析　由函数f(x)是定义在R上的偶函数， 当x≥0时，f(x)=x-x2， 故f(-1)=f(1)=0，故A正确； 当x≥0时，根据二次函数的性质可知，当x=时，函数f(x)取得最大值 根据偶函数的性质可知，f(x)的最大值为故B正确； 设x<0，则-x>0，所以f(-x)=-x-x2， 故当x<0时，f(x)=-x-x2，由二次函数的性质知f(x)在(-1，0)上不单调，故C错误； 当x≥0时，由f(x)=x-x2>0，解得0<x<1，故由f(x)为偶函数得f(x)>0的解集为(-1，0)∪(0，1)，故D错误. 8.已知定义域为R的函数f(x)在(-∞，-1)上单调递增，且f(x-1)为偶函数，则(　　) A.f(x)的图象关于直线x=-1对称 B.f(x)在(-1，+∞)上单调递增 C.f(1)=f(-2) D.f(-3)<f(0)<f  答案　AD 解析　因为f(x-1)为偶函数，且函数f(x)在(-∞，-1)上单调递增， 所以f(x)的图象关于直线x=-1对称，且f(x)在(-1，+∞)上单调递减，所以A正确，B不正确； 因为f(x)的图象关于直线x=-1对称，所以f(1)=f(-3)≠f(-2)，所以C不正确； 因为f(x)的图象关于直线x=-1对称， 所以f(0)=f(-2)，f =f  又f(x)在(-∞，-1)上单调递增， 所以f(-3)<f(-2)<f  即f(-3)<f(0)<f 所以D正确. 9.已知定义在(-∞，0)∪(0，+∞)上的函数f(x)满足： ①对任意x，y∈(-∞，0)∪(0，+∞)，f(x·y)=f(x)+f(y)； ②当x>1时，f(x)>0，且f(2)=1. 则下列结论正确的是(　　) A.f(1)=f(-1)=0 B.函数f(x)是奇函数 C.函数f(x)在(0，+∞)上单调递增 D.函数f(x)在区间[-4，0)∪(0，4]上的最大值为2 答案　ACD 解析　在①中，令x=y=1，则f(1)=f(1)+f(1)，得f(1)=0， 令x=y=-1，则f(1)=f(-1)+f(-1)=0，得f(-1)=0，故A正确； 在①中，令y=-1，则f(-x)=f(x)+f(-1)=f(x)， 又函数f(x)的定义域关于原点对称， ∴函数f(x)为偶函数，故B错误； 任取x1，x2∈(0，+∞)，且x1<x2，则>1. ∵当x>1时，f(x)>0，∴f >0， ∴f(x2)=f=f(x1)+f >f(x1)， ∴函数f(x)在(0，+∞)上单调递增，故C正确； 由以上分析知函数f(x)在区间[-4，0)∪(0，4]上是偶函数，且在(0，4]上单调递增， ∴函数f(x)在区间[-4，0)∪(0，4]上的最大值为f(-4)=f(4). ∵f(2)=1，∴令x=y=2，则f(4)=f(2×2)=f(2)+f(2)=2，故D正确. 三、填空题(每小题5分，共15分) 10.已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，它们的定义域均为[-3，3]，且它们在[0，3]上的图象如图所示，则不等式<0的解集是　　　　　. 答案　(-2，-1)∪(0，1)∪(2，3) 解析　不等式<0可化为f(x)g(x)<0， 由题图可知，当x>0时，其解集为(0，1)∪(2，3). ∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，定义域均为[-3，3]， 即f(x)=f(-x)，-g(x)=g(-x)，则f(-x)g(-x)=-f(x)g(x)， ∴f(x)g(x)是奇函数， ∴当x<0时，f(x)g(x)<0的解集为(-2，-1). 综上，不等式<0的解集是(-2，-1)∪(0，1)∪(2，3). 11.函数f(x)=(x2+2x)(x2+ax+b)的图象关于直线x=1对称，则a+b=　　　. 答案　2 解析　因为函数f(x)=(x2+2x)(x2+ax+b)的图象关于直线x=1对称，所以f(1+x)=f(1-x)， 所以 即解得 所以a+b=2. 12.已知函数f(x)=若f(x-1)<f(2x+1)，则x的取值范围为　　　　　　　. 答案　(-∞，-2)∪(0，+∞) 解析　若x>0，则-x<0， f(-x)=(-x)2+2x=x2+2x=f(x)， 同理可得，当x<0时，f(-x)=f(x)， 且当x=0时，f(0)=f(0)，所以f(x)是偶函数. 显然当x>0时，函数f(x)单调递增， 所以不等式f(x-1)<f(2x+1)等价于 |x-1|<|2x+1|， 整理得x(x+2)>0，解得x>0或x<-2. 四、解答题(共27分) 13.(13分)已知函数f(x)=是定义在(-3，3)上的奇函数，且f(1)=. (1)求实数a和b的值；(4分) (2)判断函数f(x)在(-3，3)上的单调性，并证明你的结论；(5分) (3)若f(t2-1)+f(1-4t)<0，求实数t的取值范围.(4分) 解　(1)因为函数f(x)=是定义在(-3，3)上的奇函数， 所以f(0)==0，解得b=0， 则f(x)= 又因为f(1)=解得a=2， 经检验当a=2，b=0时，f(x)是奇函数， 所以a=2，b=0. (2)f(x)=x∈(-3，3)， 函数f(x)在(-3，3)上单调递增. 证明：任取x1，x2∈(-3，3)，且x1<x2， 所以f(x1)-f(x2)= = = = 因为-3<x1<x2<3， 所以9->0，9->0，x1x2+9>0，x1-x2<0， 则<0， 所以f(x1)-f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)， 故函数f(x)在(-3，3)上单调递增. (3)函数f(x)是定义在(-3，3)上的奇函数， 且f(t2-1)+f(1-4t)<0， 则f(t2-1)<-f(1-4t)=f(4t-1)， 因为函数f(x)在(-3，3)上单调递增， 所以 解得0<t<1， 所以t的取值范围是(0，1). 14.(14分)定义在(-∞，0)∪(0，+∞)上的函数f(x)满足f(xy)=f(x)-f且函数f(x)在(-∞，0)上单调递减. (1)求f(-1)，并证明函数f(x)是偶函数；(7分) (2)若f(2)=1，解不等式f -f≤1.(7分) 解　(1)令y=≠0，则f =f(x)-f(x)， 即f(1)=f(x)-f(x)=0， 再令x=1，y=-1，可得f(-1)=f(1)-f(-1)， 即2f(-1)=f(1)=0， 所以f(-1)=0， 令y=-1，可得f(-x)=f(x)-f(-1)=f(x)， 又该函数的定义域关于原点对称， 所以f(x)是偶函数. (2)因为f(2)=1，函数f(x)为偶函数， 所以f(-2)=1. 因为函数f(x)在(-∞，0)上单调递减， 所以函数f(x)在(0，+∞)上单调递增. 又f -f=f =f(2x-4)， 所以原不等式可化为f(|2x-4|)≤f(2)， 即 解得1≤x<2或2<x≤3. 所以不等式f -f ≤1的解集为[1，2)∪(2，3]. 学科网（北京）股份有限公司 $