第3章 3.2.2 第2课时 奇偶性的应用（配套课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（人教A版）

该高中数学课件聚焦函数奇偶性的应用，核心内容包括利用奇偶性求解析式，以及结合单调性比较大小、解不等式等。通过问题引导复习奇偶性定义，建立与解析式求解、单调性分析的知识联系，搭建学习支架。 其亮点在于采用步骤化方法（如“求谁设谁”）和综合应用实例，培养学生数学思维（推理能力）、数学眼光（抽象能力）和数学语言（模型意识）。例如求解析式时逻辑清晰，比较大小时转化自变量到同一单调区间，帮助学生提升解题能力，教师可高效开展教学。

第2课时 奇偶性的应用 第三章　3.2.2　奇偶性 <<< 1.掌握用奇偶性求解析式的方法.(重点) 2.理解奇偶性对单调性的影响并能用以比较大小、求最值和解不等式.(难点) 学习目标 一、根据函数的奇偶性求函数的解析式 二、函数的奇偶性与单调性的综合应用 课时对点练 随堂演练 内容索引 根据函数的奇偶性求函数的解析式 一 已知函数的奇偶性求解析式： 如果已知函数f(x)的奇偶性和区间[a，b]上的解析式，求f(x)在对称区间 [-b，-a]上的解析式，其解决思路为 (1)“求谁设谁”，在哪个区间上求解析式，就应设x在哪个区间上，即设x∈[-b，-a]； (2)利用已知区间的解析式进行代入，求得f(-x)； (3)利用f(x)的奇偶性写出f(x)与f(-x)的关系，从而解出f(x)在区间[-b，-a]上的解析式. 5 　(1)若f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=x2-2x+3，求当x<0时，f(x)的解析式. 例 1 设x<0，则-x>0， 将-x代入已知的解析式得f(-x)=(-x)2-2(-x)+3=x2+2x+3， 由于f(x)是奇函数，故f(x)=-f(-x)=-x2-2x-3. 即当x<0时，f(x)=-x2-2x-3. 解 6 (2)设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)+g(x)=求函数f(x)，g(x)的 解析式. 7 ∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数， ∴f(-x)=f(x)，g(-x)=-g(x)， ∵f(x)+g(x)=. ① 用-x代替上式中的x， 得f(-x)+g(-x)= ∴f(x)-g(x)= ② (①+②)÷2，得f(x)=(x≠±1)； (①-②)÷2，得g(x)=(x≠±1). 解 8 若例1(1)条件不变，求函数f(x)的解析式. 延伸探究 1 由例1(1)知，当x<0时，f(x)=-x2-2x-3. 又因为f(x)是定义在R上的奇函数， 所以f(0)=0. 故f(x)= 解 9 将例1(1)中的条件“f(x)是定义在R上的奇函数”改为“f(x)是定义在R上的偶函数”，其余不变，求当x<0时，f(x)的解析式. 延伸探究 2 设x<0，则-x>0， f(-x)=(-x)2-2(-x)+3=x2+2x+3， 由于f(x)是偶函数，故f(x)=f(-x)， 所以f(x)=x2+2x+3. 即当x<0时，f(x)=x2+2x+3. 解 10 (1)已知某区间上函数的解析式，求对称区间上的函数的解析式，应设这个区间上的变量为x，此时-x成了已知区间上的解析式中的变量，通过应用奇函数或偶函数的定义，即可得所求区间上的解析式. (2)已知函数f(x)，g(x)的组合运算解析式与奇偶性，则把x换为-x，构造方程组求解. 提醒：若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数，则必有f(0)=0，但若为偶函数，未必有f(0)=0. 反 思 感 悟 11 二 函数的奇偶性与单调性的综合应用 提示　若f(x)为奇函数，则f(x)在(1，2)上单调递减；若f(x)为偶函数，则f(x)在(1，2)上单调递增. 已知函数f(x)在(-2，-1)上单调递减，请根据奇函数与偶函数的图象特点回答：如果f(x)为奇函数，那么它在(1，2)上的单调性如何？如果f(x)为偶函数，那么它在(1，2)上的单调性又如何？ 问题1 角度1　比较大小 提示　若f(x)为奇函数，则f(x)在(1，2)上的最小值为-M，最大值为-m；若f(x)为偶函数，则f(x)在(1，2)上的最大值为M，最小值为m. 已知函数f(x)在(-2，-1)上的最大值为M，最小值为m，请根据奇函数与偶函数的图象特点回答：如果f(x)为奇函数，那么它在(1，2)上的最值情况如何？如果f(x)为偶函数，那么它在(1，2)上的最值情况又如何？ 问题2 1.若f(x)为奇函数且在区间[a，b]上单调递增，则f(x)在[-b，-a]上 ，即在对称区间上单调性 . 2.若f(x)为偶函数且在区间[a，b]上单调递增，则f(x)在[-b，-a]上 ，即在对称区间上单调性 . 3.若f(x)为奇函数且在区间[a，b]上有最大值为M，则f(x)在[-b，-a]上有最小值为 . 4.若f(x)为偶函数且在区间[a，b]上有最大值为N，则f(x)在[-b，-a]上有最大值为 . 单调递增 一致(相同) 单调递减 相反 -M N 知识梳理 　已知f(x)是奇函数，且在区间[0，+∞)上单调递增，则f(-0.5)，f(-1)，f(0)的大小关系是 A.f(-0.5)<f(0)<f(-1) B.f(-1)<f(-0.5)<f(0) C.f(0)<f(-0.5)<f(-1) D.f(-1)<f(0)<f(-0.5) 例 2 ∵函数f(x)为奇函数， 且f(x)在区间[0，+∞)上单调递增， ∴f(x)在R上单调递增， ∴f(-1)<f(-0.5)<f(0). 解析 √ 16 把例2中的条件“f(x)是奇函数”改为“f(x)是偶函数”，其余条件不变. (1)比较f(-0.5)，f(-1)，f(0)三者之间的大小； 延伸探究 3 由偶函数与单调性的关系知，若x∈[0，+∞)，f(x)单调递增， 则当x∈(-∞，0]时，f(x)单调递减， ∴f(-1)>f(-0.5)>f(0). 解 17 (2)比较f(-2)，f(π)，f(-3)三者之间的大小. 由(1)知当x∈[0，+∞)时，f(x)单调递增，当x∈(-∞，0]时，f(x)单调递减. 方法一　∵f(x)是偶函数，∴f(-3)=f(3)，f(-2)=f(2)， 又f(2)<f(3)<f(π)； ∴f(-2)<f(-3)<f(π). 方法二　其图象的几何特征是自变量的绝对值越小，则其函数值越小， ∵|-2|<|-3|<π， ∴f(π)>f(-3)>f(-2). 解 18 比较大小的求解策略 (1)若自变量在同一个单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小； (2)若自变量不在同一个单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一个单调区间上，然后利用单调性比较大小. 反 思 感 悟 19 　设定义在[-2，2]上的奇函数f(x)在区间[0，2]上单调递减，若f(1-m) <f(m)，求实数m的取值范围. 例 3 角度2　解不等式 20 因为f(x)是奇函数且f(x)在[0，2]上单调递减， 所以f(x)在[-2，2]上单调递减. 所以不等式f(1-m)<f(m)等价于 解得-1≤m<. 所以实数m的取值范围为. 解 21 在本例中，把条件中的“奇函数”改为“偶函数”，其他条件不变，求实数m的取值范围. 延伸探究 4 因为当x∈[0，2]时，f(x)单调递减，且f(x)为偶函数， 所以当x∈[-2，0]时，f(x)单调递增. 因为f(1-m)<f(m)， 所以解得-1≤m< 所以实数m的取值范围为. 解 22 利用函数的奇偶性与单调性解不等式的步骤 (1)将所给的不等式转化为两个函数值的大小关系； (2)由已知或利用奇偶性得出区间上的单调性，再利用单调性“脱去”函数的对应法则“f”，转化为解不等式(组)的问题. 提醒：在转化时，自变量的取值必须在同一单调区间上；当不等式一边没有写成“f(x)”的形式时，需转化为“f(x)”的形式，如已知f(1)=0，若f(x-1)<0，则f(x-1)<f(1).注意偶函数f(x)中结论f(x)=f(|x|)的灵活运用. 反 思 感 悟 23 1.知识清单： (1)利用奇偶性求函数的解析式. (2)利用奇偶性和单调性比较大小、解不等式. 2.方法归纳：转化法、数形结合法. 3.常见误区：解不等式易忽视函数的定义域. 课堂小结 随堂演练 三 1 2 3 4 1.设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)=2x2-x，则f(1)等于 A.-3 B.-1 C.1 D.3 √ 方法一　∵f(x)为奇函数，f(-1)=2×(-1)2-(-1)=3，∴f(1)=-f(-1)=-3. 方法二　当x>0时，-x<0，则f(-x)=2x2+x=-f(x)， ∴f(x)=-2x2-x，故 f(1)=-3. 解析 1 2 3 4 2.若偶函数f(x)在区间(-∞，-1]上单调递增，则 A.f<f(-1)<f(2) B.f(2)<f<f(-1) C.f(2)<f(-1)<f D.f(-1)<f<f(2) √ ∵f(x)为偶函数，∴f(2)=f(-2). 又f(x)在区间(-∞，-1]上单调递增，且-2<-<-1， ∴f(2)=f(-2)<f<f(-1). 解析 1 2 3 4 3.已知函数f(x)=为奇函数，则a+b等于 A.-1 B.1 C.0 D.2 √ 方法一　当x>0时，-x<0，∴f(-x)=x2-x， ∵f(x)为奇函数， ∴f(x) =-f(-x)=-x2+x=ax2+bx， ∴a=-1，b=1，故a+b=0. 方法二　a+b=f(1)=-f(-1)=-[(-1)2+(-1)]=0. 解析 1 2 3 4 4.已知定义在R上的偶函数f(x)在(-∞，0]上单调递增，若f(a)>f(3)，则实数a的取值范围是　　　　. (-3，3) 由题意可知|a|<3，解得-3<a<3. 解析 课时对点练 四 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A A ACD C B B ABC (2，4)，(-4，-2) 题号 9 11 12 13 15 答案 (-3，0)∪(3，+∞) A C 506 -1 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (1)当x<0时，-x>0，所以f(-x)=(-x)2+4(-x)=x2-4x. 因为f(x)是奇函数， 所以f(x)=-f(-x)=-(x2-4x)=-x2+4x， 所以f(x)= (2)设任意的x1，x2∈(0，+∞)，且x1<x2， 则f(x2)-f(x1)=(+4x2)-(+4x1)=(x2-x1)(x2+x1+4).因为0<x1<x2， 16 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 所以x2-x1>0，x2+x1+4>0， 所以f(x2)-f(x1)>0，所以f(x1)<f(x2)， 所以f(x)在(0，+∞)上单调递增. 16 14. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (1)由题意可知 所以 解得<x< 故函数g(x)的定义域为. (2)由g(x)≤0，得f(x-1)+f(3-2x)≤0， 所以f(x-1)≤-f(3-2x). 16 14. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 因为f(x)为奇函数，所以f(x-1)≤f(2x-3). 而f(x)在(-2，2)上单调递减， 所以解得<x≤2. 所以不等式g(x)≤0的解集为. 16 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (1)因为a>b，所以a-b>0， 由题意得>0，所以f(a)+f(-b)>0. 又f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(-b)=-f(b)， 所以f(a)-f(b)>0，故f(a)>f(b). (2)因为f(1+m)+f(3-2m)≥0， 所以f(1+m)≥-f(3-2m)，又f(x)是奇函数， 所以f(1+m)≥f(2m-3)， 16 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由(1)知f(x)为R上的增函数， 所以1+m≥2m-3，所以m≤4. 所以实数m的取值范围为(-∞，4]. 16 基础巩固 1.已知函数f(x)为奇函数且定义域为R，当x>0时，f(x)=x+1，则当x<0时，f(x)等于 A.x-1 B.x+1 C.-x-1 D.-x+1 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当x<0时，-x>0，f(x)=-f(-x)=-(-x+1)=x-1. 解析 2.如果奇函数f(x)在区间[-3，-1]上单调递增且有最大值5，那么函数f(x)在区间[1，3]上 A.单调递增且最小值为-5 B.单调递增且最大值为-5 C.单调递减且最小值为-5 D.单调递减且最大值为-5 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵f(x)为奇函数， ∴f(x)在[1，3]上的单调性与在[-3，-1]上一致， ∴f(x)在区间[1，3]上单调递增， 又f(x)在区间[-3，-1]上有最大值5， ∴f(x)在区间[1，3]上有最小值-5. 解析 3.(多选)已知函数f(x)是R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)=x2+x+a-2，则 A.a=2 B.f(2)=2 C.f(x)是R上的增函数 D.f(-3)=-12 √ f(x)是R上的奇函数，故f(0)=a-2=0，得a=2，故A正确； 当x≥0时，f(x)=x2+x，所以f(2)=4+2=6，故B错误； 当x≥0时，f(x)=x2+x在[0，+∞)上单调递增，由奇函数的图象关于原点对称可知，f(x)在(-∞，0]上单调递增，故f(x)是R上的增函数，故C正确； f(-3)=-f(3)=-(9+3)=-12，故D正确. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 4.若f(x)=(m-1)x2+6mx+2是偶函数，则f(0)，f(1)，f(-2)的大小关系为 A.f(0)>f(-2)>f(1) B.f(-2)>f(0)>f(1) C.f(0)>f(1)>f(-2) D.f(1)>f(0)>f(-2) √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当m=1时，f(x)=6x+2不符合题意；当m≠1时，由题意可知，其图象关于y轴对称， ∴m=0，∴f(x)=-x2+2， ∴f(x)在(-∞，0)上单调递增，在[0，+∞)上单调递减. 又0<1<2，∴f(0)>f(1)>f(2)=f(-2). 解析 5.奇函数f(x)在(-∞，0)上的解析式为f(x)=x(1+x)，则f(x)在(0，+∞)上有 A.最大值- B.最大值 C.最小值- D.最小值 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法一　当x<0时，f(x)=x2+x= 所以f(x)有最小值- 因为f(x)是奇函数，所以当x>0时，f(x)有最大值. 方法二　当x>0时，-x<0，所以f(-x)=-x(1-x). 又f(x)是奇函数，即f(-x)=-f(x)， 所以f(x)=x(1-x)=-x2+x=- 所以当x>0时，f(x)有最大值. 解析 6.已知偶函数f(x)在[0，+∞)上单调递增，且f(3)=0，则f(x)>0的解集是 A.{x|-3<x<3} B.{x|x<-3或x>3} C.{x|x>3} D.{x|x<-3} √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为偶函数f(x)在[0，+∞)上单调递增，且f(3)=0，所以f(x)=f(|x|)>0=f(3)， 则|x|>3，解得x>3或x<-3， 故f(x)>0的解集是{x|x<-3或x>3}. 解析 7.(多选)已知函数f(x)，g(x)的定义域都是R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，2f(x)+3g(x)=6x2-2x+3，则 A.[f(x)]2-3g(x)是偶函数 B.f(x)=-x C.g(x)=2x2+1 D.g(2)=4 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 令F(x)=[f(x)]2-3g(x)， 因为f(x)是奇函数，g(x)是偶函数， 所以F(-x)=[f(-x)]2-3g(-x)=[-f(x)]2-3g(x)=[f(x)]2-3g(x)=F(x)， 所以F(x)=[f(x)]2-3g(x)是偶函数，故A正确； 因为2f(x)+3g(x)=6x2-2x+3， ① 所以2f(-x)+3g(-x)=-2f(x)+3g(x)=6x2+2x+3， ② 由①②，得f(x)=-x，g(x)=2x2+1，故B，C正确； 易得g(2)=8+1=9，故D错误. 解析 8.已知奇函数f(x)的定义域为[-5，5]，且在[0，5]上的图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为　　　 　　 . 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2，4)，(-4，-2) 根据图象可得f(x)在[0，5]上的单调递增区间为(0，2)，(4，5)，单调递减区间为(2，4)， 又函数f(x)为奇函数，由奇函数在对称的区间上单调性相同得， f(x)在[-5，0]上的单调递增区间为(-2，0)，(-5，-4)， 单调递减区间为(-4，-2). 所以f(x)在定义域[-5，5]上的单调递减区间为(2，4)，(-4，-2). 解析 9.若奇函数f(x)在(0，+∞)上单调递增，且f(3)=0，则不等式>0的解集为　　　　　　　　　. 因为f(x)为奇函数，所以=f(x)，因为f(3)=0，所以f(-3)=0. 因为f(x)在(0，+∞)上单调递增，所以f(x)在(-∞，0)上单调递增，所以当x>0时，f(x)>0=f(3)，解得x>3；当x<0时，f(x)>0=f(-3)，解得-3<x<0.所以原不等式的解集为(-3，0)∪(3，+∞). 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (-3，0)∪(3，+∞) 10.设函数f(x)是R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=x2+4x. (1)求f(x)的表达式. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当x<0时，-x>0，所以f(-x)=(-x)2+4(-x)=x2-4x. 因为f(x)是奇函数， 所以f(x)=-f(-x)=-(x2-4x)=-x2+4x， 所以f(x)= 解 (2)证明f(x)在区间(0，+∞)上单调递增. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设任意的x1，x2∈(0，+∞)，且x1<x2， 则f(x2)-f(x1)=(+4x2)-(+4x1)=(x2-x1)(x2+x1+4).因为0<x1<x2， 所以x2-x1>0，x2+x1+4>0， 所以f(x2)-f(x1)>0，所以f(x1)<f(x2)， 所以f(x)在(0，+∞)上单调递增. 证明 11.已知函数y=f(x)是偶函数，其图象与x轴有9个交点，则方程f(x)=0的所有实根之和是 A.0 B.3 C.6 D.9 综合运用 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为函数f(x)的图象关于y轴对称，且其图象与x轴有9个交点，所以f(0) =0且其余8个交点关于原点对称，所以方程f(x)=0的所有实根之和是0. 解析 √ 12.已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数，且在(-∞，0]上单调递增，若对于任意的x∈R，不等式f(ax)>f(x2+1)恒成立，则a的取值范围是 A. B. C.(-2，2) D.(-∞，-2)∪(2，+∞) 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在(-∞，0]上单调递增， ∴函数f(x)在[0，+∞)上单调递减， ∵不等式f(ax)>f(x2+1)恒成立， ∴|ax|<x2+1恒成立， ∴-x2-1<ax<x2+1， 即的解集为R， ∴Δ=a2-4<0，解得-2<a<2. 解析 13.若函数f(x)=(t≠0)在[-2 025，2 025]上的最大值为M，最小值为N，且M+N=2 024，则实数t的值为　　　. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 506 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意，f(x)=2t+x∈[-2 025，2 025]， 设g(x)=x∈[-2 025，2 025]，t≠0， 其定义域关于原点对称， 则f(x)=2t+g(x)，x∈[-2 025，2 025]. 因为g(-x)==-=-g(x)， 所以g(x)=x∈[-2 025，2 025]为奇函数，其图象关于原点对称， 所以g(x)max+g(x)min=0， 所以f(x)max+f(x)min=2t+g(x)max+2t+g(x)min=4t+0=M+N=2 024，所以t=506. 解析 14.已知函数f(x)的定义域为(-2，2)，函数g(x)=f(x-1)+f(3-2x). (1)求函数g(x)的定义域； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意可知 所以 解得<x< 故函数g(x)的定义域为. 解 (2)若f(x)为奇函数，并且在定义域上是减函数，求不等式g(x)≤0的解集. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由g(x)≤0，得f(x-1)+f(3-2x)≤0， 所以f(x-1)≤-f(3-2x). 因为f(x)为奇函数，所以f(x-1)≤f(2x-3). 而f(x)在(-2，2)上单调递减， 所以解得<x≤2. 所以不等式g(x)≤0的解集为. 解 15.已知y=f(x)+x2是奇函数且f(1)=1，若g(x)=f(x)+2，则g(-1)=　　　. 拓广探究 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 -1 ∵y=f(x)+x2是奇函数， ∴f(-x)+(-x)2=-[f(x)+x2]， ∴f(x)+f(-x)+2x2=0， ∴f(1)+f(-1)+2=0. ∴g(-1)=f(-1)+2=-f(1)=-1. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16.设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意a，b∈R，当a+b≠0时，都有 >0. (1)若a>b，试比较f(a)与f(b)的大小关系； 16 因为a>b，所以a-b>0， 由题意得>0，所以f(a)+f(-b)>0. 又f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(-b)=-f(b)， 所以f(a)-f(b)>0，故f(a)>f(b). 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)若f(1+m)+f(3-2m)≥0，求实数m的取值范围. 16 因为f(1+m)+f(3-2m)≥0， 所以f(1+m)≥-f(3-2m)，又f(x)是奇函数， 所以f(1+m)≥f(2m-3)， 由(1)知f(x)为R上的增函数， 所以1+m≥2m-3，所以m≤4. 所以实数m的取值范围为(-∞，4]. 解 第三章　3.2.2　奇偶性 <<< $